ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Векторы и скаляры.

Величины, с которыми приходится встречаться в механике, физике и других их прикладных дисциплинах, бывают двоякого рода. С одной стороны, такие величины, как температура, время, масса, плотность, длина отрезка, площадь, объем и т. д., вполне характеризуются одним числовым значением. С другой стороны, таьне величины, как сила, скорость, ускорение и т. д., становятся определенными только тогда, когда известно, каковы их числовые значения и направления в пространстве. Величины первого рода называются скалярными, или, короче, скалярами. Величины второго рода называются векторными.

Всякую векторную величину геометрически мы можем изобразить с помощью отрезка определенной длины и определенною направления, если длину отрезка при выбранной единице масштаба примем равной числовому значению векторной величины, а направление отрезка будем считать совпадающим с ее направлением.

Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление в пространстве (т. е. направленный отрезок), будем называть вектором. Таким образом, вектор служит для геометрического изо сражении физической векторной величины.

Два вектора считаются равными, если выполнены следующие три условия: 1) длины векторов равны, 2) векторы параллельны, т. е. расположены на одной прямой или на параллельных прямых, 3) векторы направлены в одну сторону.

Следует различать начало и конец вектора. Поменяв их местами, мы получим уже другой вектор (направленный противоположно первому). Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно помещать в любой точке пространства. Выбрав некоторое начало — точку О, — удобно считать все

векторы исходящими из этой точки. В таком случае мы будем говорить, что векторы приведены к общему началу О.

На чертеже направление вектора условимся отмечать стрелкой. В тексте мы будем обозначать векторы либо одной напечатанной жирно буквой, либо двумя буквами со стрелкой над ними, при этом первая буква указывает начало вектора, а вторая — его конец. Так, вектор, идущий из точки О в точку М, мы будем обозначать двумя буквами ОМ или просто одной буквой, которая стоит в конце вектора; следовательно, мы считаем:

Если начало вектора не совпадает с выбранным началом О, то во избежание недоразумений мы будем обыкновенно употреблять две буквы АВ. Длина вектора, называемая также модулем или скаляром век гора, обозначается теми же буквами, что и вектор, но без стрелки (или же если вектор обозначен одной буквой, то той же буквой, но напечатанной нежирно). Иногда длину вектора записывают при помощи обычного в алгебре знака модуля: Таким образом, есть длина вектора — длина вектора М.