А.3. ФПВ ГАММА- И «хи квадрат»-РАСПРЕДЕЛЕНИЙ (ГАММА-ФПВ И «хи квадрат»-ФПВ)
Как это следует из названия, гамма-ФПВ тесно связана с гамма-функцией. Случайная переменная
имеет гамма-распределение, если и только если ее ФПВ имеет вид
где
являются строго положительными параметрами; т. е.
. Из
видно, что у является параметром масштаба. Если а 1, то ФПВ имеет единственную моду в точке
Для малых значений параметра а ФПВ имеет длинный правый хвост. С возрастанием а для любого данного значения параметра у ФПВ становится более симметричной и приближается к нормальной ФПВ. ФПВ гамма-распределения может быть представлена в стандартизованной форме с помощью замены переменной
. В результате получим следующий результат:
Из определения гамма-функции очевидно, что
является собственной нормированной ФПВ и что моменты всех порядков существуют. Моменты относительно нуля, обозначаемые через
равны:
Из
для первых четырех моментов получим
Отсюда видно, что a является математическим ожиданием гамма-ФПВ и (это несколько удивительно) также ее дисперсией. Далее, для третьего и четвертого моментов относительно математического ожидания получим
. Объединяя полученные результаты, имеем
При условии, что
скошенность всегда является положительной величиной. Поскольку мода находится в точке
при
, мера скошенности Пирсона равна
мода