ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Примем допущение, согласно которому генерируется линейной авторегрессионной схемой первого порядка, т. е. где для имеет место . Специфицируйте априорную ФПВ для и а, выбрав для этого гамма-нормальный вид ФПВ; иными словами, пусть выполняется причем где являются априорными параметрами, значения которым приписываются исследователем в соответствии с его априорными представлениями, (а) Какой вид и какие свойства имеет маргинальная априорная ФПВ для при заданном выше виде априорной ФПВ для Пусть задано. Постройте маргинальные апостериорные ФПВ для и дайте сводку их свойств.

2. В упражнении 1 формализуйте и нанесите на график априорную ФПВ для , которая отражала бы априорное представление и обладала бы априорными математическим ожиданием и дисперсией для , равными 0,5 и 0,04 соответственно.

3. Покажите, каким образом априорную ФПВ, построенную в упражнении 2, можно использовать для анализа линейной авторегрессионной схемы, описанной в упражнении 1.

4. Допустим, что имеет место линейная авторегрессионная схема ; известно, что она «стартует» при причем значение известно и Постройте ФПВ для при этих допущениях и допущении, что имеет при всех

5. Рассмотрим процесс где являются параметрами, а суть возмущения с нулевыми математическими ожиданиями. Кроме того, примем допущение, что для имеет место Заметим, что мы можем записать или

. Объясните утверждение: «параметры неидентифицируемы без дополнительной априорной информации о них». Приведите несколько примеров априорной информации относительно и которая была бы достаточной для обеспечения идентифицируемости этих параметров.

6. Пусть где есть неизвестный весовой параметр при причем значение известно, являются значениями независимой переменной в период времени есть возмущение. В подходе Алмон было принято допущение, что могут быть аппроксимированы многочленом от i; например, если мы используем многочлен второй степени, то получим

который затем подставляется в выражение для

Теперь сделаем допущение, что для имеет место и используем расплывчатую априорную ФПВ причем у принадлежит области от до Постройте совместную апостериорную ФПВ для у при заданных выборочных наблюдениях Что представляет из себя маргинальная апостериорная ФПВ для ?

7. В упражнении 6 постройте совместную апостериорную ФПВ для Объясните, как построить -ный байесовский доверительный интервал для

8. Часто в приложениях подхода Алмон (см. упражнение 6) делаются допущения, что Для исследования этих допущений постройте, используя результаты, полученные в упражнении 6, совместную и маргинальные апостериорные ФПВ для . Если апостериорная плотность вероятности очень низка в окрестности точки то что это означает (и вообще означает ли это что-либо) с точки зрения обоснованности допущения, согласно которому

9. Рассмотрите следующую модель «мультипликатора-акселерато-ра»:

где есть потребление; — инвестиции; доход; а и — скалярные параметры, случайные возмущения. Подставляя (а) и (б) в (в), запишите «финальное уравнение» для Снабдите модель допущениями о свойствах возмущений и априорной ФПВ для

параметров. Затем объясните, как получить совместную и маргинальную апостериорные ФПВ для .

10. Покажите, как апостериорная ФПВ для в упражнении 9 может быть использована в целях получения вероятностных утверждений о свойствах решения финального уравнения для полученного в упражнении 9.

11. Пусть чистые расходы на жилищное строительство в период по допущениям удовлетворяют зависимости

где — параметр запаздывания; — заданный запас жилого фонда в конце периода случайное возмущение; желаемый запас жилого фонда на период. Поскольку переменная ненаблюдаема, допустим, что агхг, где есть наблюдаемая независимая переменная, суть параметры, значения которых неизвестны. Подставляя это выражение вместо в уравнение для имеем

Если рассматривать эти три последние зависимости как преобразование перехода от и , то, для того чтобы это преобразование было взаимно-однозначным, нужно, чтобы его якобиан был отличен от нуля. Постройте якобиан и покажите, что он отличен от нуля при . Затем, приняв допущение, согласно которому для имеет место , при заданном начальном наблюдении получите оцениватели МНП для оценивателей МНП получите оцениватели МНП и и прокомментируйте их выборочные свойства в условиях больших выборок.

12. Пусть в упражнении 11 мы использовали расплывчатую априорную ФПВ Постройте предполагаемую тем самым априорную ФПВ для и а, если и прокомментируйте ее свойства. Затем получите совместную апостериорную ФПВ для Покажите, что маргинальная апостериорная ФПВ для одномерная t -ФПВ Стьюдента. Заметим, что маргинальные апостериорные ФПВ для имеют вид отношений коррелированных -переменных Стьюдента. Покажите, что эти величины в больших выборках будут распределены как отношения коррелированных нормальных переменных.

13. Запишите уравнение для в упражнении 11 в следующем виде:

Объясните, как можно получить оценки МНП путем минимизации используя двухпараметрический поиск перебором по значениям Даст ли эта процедура те же оценки МНП, которые были получены в упражнении 11?

14. В упражнении 13 примите допущение, согласно которому априорная ФПВ для задается выражением

Постройте условную апостериорную ФПВ для при заданных . Какое условие требуется наложить на , чтобы эта условная ФПВ для была собственной?

15. В упражнении 11 предположим, что у нас нет данных о чистых расходах, но есть данные о валовых расходах, , где представляет возмещение. Если сделать допущение, что , где есть параметр амортизации, то мы имеем

Идентифицируемы ли параметры этого уравнения, если значение неизвестно? С другой стороны, если значение известно, скажем , то объясните, как получить оценки МНП и байесовские оценки параметров .

16. В упражнении 15 сформулируйте информативную априорную ФПВ для параметра и покажите, как ее можно использовать при построении маргинальных апостериорных ФПВ для параметров уравнения, объясняющего