ПРИЛОЖЕНИЕ. РАСПЛЫВЧАТЫЕ АПРИОРНЫЕ ФПВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

В параграфе 7.1 мы рассмотрели стационарный авторегрессионный процесс, заданный моделью

где для имеет место . Из (1) очевидно, что задает уровень . Ниже мы перепараметризируем модель в терминах

т. е.

Функция правдоподобия в этом случае представляется выражением

Как мы помним из 2-й главы, Джеффрис предложил принять корень квадратный из определителя информационной матрицы в качестве расплывчатой априорной ФПВ, хотя и предупредил о необходимости действовать при этом осторожно и обдуманно; таким образом, расплывчатая априорная ФПВ Джеффриса задается выражением

причем

где оператор М обозначает операции перехода к математическому ожиданию по ФПВ для наблюдений и , т. е. является логарифмом функции правдоподобия. После того как построена ФПВ (5), мы можем преобразовать ее в предполагаемую априорную ФПВ для с использованием зависимости (2).

Для того чтобы проиллюстрировать операции, которые требуются для получения расплывчатой априорной ФПВ Джеффриса в данной задаче, мы прежде всего построим информационную матрицу. Из (4) имеем

Затем, обозначив величину в фигурных скобках в выражении записываем

и

Переходя к математическому ожиданию по у, имеем

При получении результатов, представленных в (8), мы используем соотношения при всех значениях t.

Далее,

и

Переходя в двух последних выражениях к ожиданиям, имеем

Наконец,

и

В качестве математического ожидания последнего выражения имеем

Сводя воедино результаты получаем информационную матрицу из выражения (6) в виде

Из (11) следует, что информация о независима как от информации о , так и от информации о .

Подсчитав определитель матрицы (11) и сохранив только главные члены порядка мы имеем в результате .

После извлечения из этой величины квадратного корня получаем приближенную расплывчатую априорную ФПВ Джеффриса, а именно

Появление сомножителя в этом последнем выражении вместо связано с причинами, аналогичными тем, которые обсуждались в приложении ко 2-й главе. Если мы последуем Джеффрису и приложим его принцип отдельно для а и для других параметров, т. е. извлечем квадратный корень из элемента (1, 1) матрицы (11) в целях получения расплывчатой априорной ФПВ для а, а затем извлечем корень квадратный из определителя информационной матрицы для размерности 2x2, сохраняя только члены порядка , то в результате получим

где вместо сомножителя появляется сомножитель Чтобы получить априорную ФПВ для и а, заметим сначала, что из (2) следует и, таким образом, мы имеем

Приближенная априорная ФПВ Джеффриса включает допущение, что распределены независимо, причем первые две величины распределены равномерно, а ФПВ последней величины пропорциональна т. е. является бета-ФПВ с параметрами (1/2, 1/2). Эта ФПВ для имеет наибольшую плотность в конечных точках а минимум плотности — при

Интересно установить вид «априорной ФПВ с минимальной информацией» (см. приложение ко 2-й главе) для настоящей задачи. ФПВ для одного наблюдения задается выражением

Тогда в ФПВ для выборочных данных имеется следующее информационное содержание:

Если мы максимизируем априорное среднее информационное содержание ФПВ для выборочных данных и вычтем информацию, содержащуюся в априорной ФПВ, при условии ограничения, требующего, чтобы ФПВ была собственной, то получим в результате

Эта априорная ФПВ для 0, 0 и а обладает по 0 и а свойствами, аналогичными (13). Однако входит в нее в несколько ином виде, а именно ФПВ (15) унимодальна по с максимумом при и падением плотности вероятности до нуля при Сомножитель в (13) ведет себя точно так же, как но обладает совершенно другими свойствами.