7.2. МОДЕЛЬ АВТОРЕГРЕССИОННОГО ПРОЦЕССА ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ОСНОВАННАЯ НА НЕПОЛНЫХ ДАННЫХ

Предположим, что мы заинтересованы в выводах о параметрах следующей авторегрессионной модели с квартальным шагом:

где t в скобках обозначает, что значение соответствующей величины относится к кварталу, причем есть зависимая переменная категории «запас», и возмущение, вектор-строка наблюдений за k независимыми переменными, а и являются неизвестными коэффициентами. Мы принимаем допущение, согласно которому возмущения нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной Мы располагаем всеми квартальными наблюдениями но в отношении нас есть только годовых наблюдений: . Например, может представлять собой запас денег или капитала на конец соответствующего квартала. Наша задача заключается в получении выводов о параметрах (7.15), а именно и в условиях, когда мы располагаем только годовыми наблюдениями за переменной

Обозначив квартал, за который у нас есть наблюденное значение зависимой переменной, через t, мы путем простых преобразований получаем

т. е. именно то, что логически следует из модели (7.15) при тех наблюдениях, которыми мы располагаем относительно у. Если мы положим

то очевидно, что возмущения нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной Теперь, если допустить, что у (0) — фиксированная и известная величина, функция правдоподобия, базирующаяся на тех наблюдениях, которыми мы располагаем для переменной у, будет иметь вид

где у обозначает вектор, состоящий из наблюдений ; суммирование в экспоненте производится по следующим значениям задаваемое (7.17), представляет

Прежде всего мы укажем, как получить оценки параметров МНП. Логарифмируя функцию правдоподобия, дифференцируя ее по и приравнивая ее производную к нулю, мы получаем

Подставляя вместо в логарифм функции правдоподобия, мы получаем следующий результат:

последнее выражение максимизируется по и , т. е. ищутся значения и , минимизирующие Одним из методов поиска этих значений является вычисление остаточной суммы квадратов, назовем ее в регрессии по при различных значениях . Если есть значение , минимизирующее то и соответствующие значения компонент вектора , задаваемые

где

являются оценками МНП. Подставляя эти оценки в (7.20), мы получаем оценку МНП Вместе со средним квадратичным отклонением большой выборки, полученным из оценки информационной матрицы, эти результаты могут служить для приближенных выводов большой выборки.

В байесовском анализе конечной выборки мы используем функцию правдоподобия (7.18) вместе со следующей расплывчатой априорной ФПВ:

причем . Что касается , то можно принять как допущение так и поскольку это затрагивает только область численного интегрирования в последующих выкладках. Надо, однако, иметь в виду, что принятие допущения предполагает невзрывной характер авторегрессионного процесса. В условиях этих априорных допущений апостериорная ФПВ для параметров имеет вид

причем представлена в явном виде (7.19).

В целях получения совместной маргинальной апостериорной ФПВ для и мы проинтегрируем (7.25) по и получим

Удобно представить (7.26) в виде

где есть Т-мерный вектор-столбец, типовая компонента которого имеет вид есть матрица размерности Т X k, типовая строка которой имеет вид . Положим

и

тогда мы можем переписать (7.27) в виде

где Из (7.30) непосредственно следует, что условная апостериорная ФПВ для вектора при заданном есть многомерная -ФПВ Стьюдента с математическим ожиданием, представленным Этот факт показывает, насколько чувствительны выводы относительно компонент к допущениям о .

В целях получения маргинальной апостериорной ФПВ для мы проинтегрируем (7.30) по вектору с использованием свойств многомерной -ФПВ Стьюдента и получим

последнее выражение может быть проанализировано численно для получения выводов относительно . Что же касается маргинальной апостериорной ФПВ для компоненты , скажем то (7.30) можно проинтегрировать по , чтобы получить

где V являются подматрицами матрицы или

причем блочное представление собтветствует блочному представлению вектора в виде и подвектора остальных компонент. Таким образом, есть скаляр, является -мерным вектор-строкой, есть матрица размерности Для анализа двумерной ФПВ (7.32) могут быть использованы методы численного интегрирования.