Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
2.11. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА БАЙЕСОВСКИХ АПОСТЕРИОРНЫХ ФПВ ПРИ БОЛЬШИХ ВЫБОРКАХ
В этом параграфе мы кратко обсудим некоторые свойства апостериорных ФПВ при больших выборках. Сначала рассмотрим апостериорную ФПВ для скалярного параметра
:
где
есть наша априорная ФПВ, а
функция правдоподобия, базирующаяся на
независимых выборочных наблюдениях
Предположим, что как
, так и
являются ненулевыми в пространстве параметров и имеют непрерывные производные; кроме того,
имеет единственный максимум при
оценке наибольшего правдоподобия.
Вообще говоря, как поясняет Джеффрис,
будет порядка
, в то время как
не зависит от
, объема выборки. Таким образом, уже эвристически можно сказать, что сомножитель правдоподобия при больших выборках будет доминировать в апостериорной ФПВ (2.34). Поскольку при весьма общих условиях с возрастанием
вид графика функции правдоподобия приближается к кривой плотности нормального распределения, центрированной вокруг оценки наибольшего правдоподобия 0, то и апостериорная ФПВ для случая больших выборок будет нормальной с математическим ожиданием, равным оценке наибольшего правдоподобия 0.
Для того чтобы представить эти соображения в более явном виде, мы разложим в ряд оба сомножителя в (2.34) в окрестности оценки
наибольшего правдоподобия
, а именно
и, обозначив
имеем
где использован тот факт, что
(ввиду того что
есть оценка наибольшего правдоподобия), а также разложение
Перемножая (2.35) и (2.36), получаем
Доминирующий сомножитель в (2.37)
имеет вид функции плотности нормального распределения с математическим ожиданием, равным оценке наибольшего правдоподобия
, и дисперсией, равной
Таким образом, если мы используем только доминирующий сомножитель в (2.37), аппроксимаций апостериорной ФПВ для
при больших выборках будет иметь вид
Поскольку
обычно имеет порядок
, то с ростом
апостериорная ФПВ приобретает все более островершинный характер, оставаясь центрированной вокруг
, т. е. дисперсия ее убывает с возрастанием
.
В отношении точности аппроксимации (2.38) Джеффрис замечает, что
имеет порядок
вследствие чего члены
имеют порядок
в то время как
имеет порядок
. В результате аппроксимация
дает ошибку порядка
Пример 2.10. Допустим, что мы располагаем
независимыми наблюдениями, полученными путем выборки из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестным математическим ожиданием
и известным средним квадратичным отклонением
Известно, что выборочная средняя
есть оценка наибольшего правдоподобия для Используя (2.38) в применении к любой априорной ФПВ, удовлетворяющей множеству рассмотренных выше допущений, можно получить следующую аппроксимацию апостериорной ФПВ
для больших выборок:
где
и
Таким образом, при большой выборке аппроксимацией апостериорной ФПВ для
является нормальная ФПВ с математическим ожиданием
и дисперсией
Аргументацию, приведенную выше, легко обобщить на случай, когда мы имеем дело не со скаляром, а с вектором параметров, т. е. при большой выборке апостериорная ФПВ для 0 будет аппроксимироваться нормальной ФПВ с математическим ожиданием
, оценкой наибольшего правдоподобия и ковариационной матрицей
И в этом случае, так же как и ранее, мы можем разложить в ряд оба множителя апостериорной ФПВ для
где
Тогда, оставив только главные члены разложения и обозначив через
приближенную пропорциональность, мы получим
т. е. выражение, соответствующее функции плотности многомерного нормального распределения с математическим ожиданием 0, оценкой наибольшего правдоподобия и ковариационной матрицей С, которая представляется выражением (2.39).
Весьма интересно отметить тесное соответствие байесовских результатов результатам, вытекающим из метода наибольшего правдоподобия. Спорным, конечно, является вопрос о том, насколько велик должен быть объем выборки для того, чтобы результаты аппроксимации больших выборок оказались достаточно точными. К счастью, обычно нет необходимости опираться на результаты аппроксимации больших выборок, поскольку исследователь может получить апостериорные ФПВ конечных выборок, если только ему даны элементы, составляющие теорему Байеса. В некоторых случаях, однако, когда возникают вычислительные трудности при анализе сложных апостериорных ФПВ, изложенные выше результаты для больших выборок могут оказаться полезными.