ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Рассмотрите задачу об выборочных средних из параграфа 5.1 с функцией правдоподобия, заданной выражением (5.1). Предположим, что вместо (5.3) мы используем следующую априорную ФПВ для компонент и а;

где суть значения, выбираемые исследователем, (а) Дайте интерпретацию приведенной выше априорной ФПВ. (б) Определите математическое ожидание апостериорной ФПВ для при заданном (в) Прокомментируйте свойства маргинальной апостериорной ФПВ для .

2. Проанализируйте систему (5.17 а,б) с функцией правдоподобия (5.18), используя информативные априорные ФПВ для и в виде обратных гамма-ФПВ. (Выразите при этом апостериорную ФПВ в терминах , где

Какое допущение о значениях параметров достаточно для того, чтобы сделать возможным анализ системы как простой регрессионной модели? Если вы считаете это допущение обоснованным, определите математическое ожидание апостериорной ФПВ для с использованием расплывчатой априорной ФПВ для

В связи с неравенствами, представленными в (5.61), сформулируйте допущения относительно значений параметров в выражениях при которых следующие оцениватели в условиях больших, выборок определяют границы достаточно узкого интервала, содержащего истинное значение Р:

5. Докажите, что именно представленный выражением (5.50) корень уравнения (5.49) обеспечивает максимум функции правдоподобия.

6. Пусть в (5.27) представляет логарифм перманентного дохода индивидуума, в (5.28) — логарифм перманентного потребления. Объясните подробно различие допущений об этих величинах в функциональной и структурной формах МОП.

7. При выводе (5.61) мы предполагали, что в (5.30) и (5.31) некоррелированы. Как должны измениться зависимости (5.56)- (5.58) и неравенства (5.61), если имеет место

Допустим, что мы располагаем данными об измерениях одной и той же величины, например среднего дохода домашнего хозяйства,

полученными из двух различных источников. Пусть данные для региона, получены на основании некоторого обследования, а данные на основании другого независимого обследования. Рассмотрим эти данные в контексте МОП:

(а) Интерпретируйге

Если в то в каком смысле совместны оба множества измерений?

(в) Если заданы допущения, сделанные выше в связи с (5.30) и (5.31), объясните, как получить оценки и при условии, что приписывается известное значение, или при условии, что

Обсудите возможные источники априорной информации о параметрах и укажите, как она может быть использована при оценивании.

9. Представьте себе, что мы используем априорную ФПВ, представленную в (5.67) при анализе МОП. Будет ли с возрастанием объема выборки влияние априорной ФПВ стремиться к пренебрежимо малому? Только ли в малых выборках влияет допущение о нормальном и независимом распределении на результаты оценивания байесовскими методами и МНП?

10. Используя информацию из табл. 5.1, получите оценки границ интервала углового коэффициента в (5.61).

11. Рассмотрите систему (5.27) — (5.30) в качестве представления модели перманентного дохода Фридмана, где обозначают соответственно логарифмы измеренного дохода и потребления, перманентного дохода и потребления. Дайте интерпретацию этой модели в контексте функциональной и структурной форм МОП.

12. В упражнении 11 примите допущение структурной формы МОП и установите достаточные условия идентифицируемости всех параметров. Как влияет допущение на результаты вашего анализа?

13. В условиях допущений, обеспечивающих идентифицируемость в упражнении 12, получите оценки МНП параметров модели перманентного дохода.

14. Выберите априорную ФПВ для параметров модели перманентного потребления, обсужденной выше в упражнениях 11 и 12; укажите путь построения маргинальных апостериорных ФПВ для этой модели.

15. Пусть мы располагаем измеримыми переменными-заменителями, которые могут быть использованы вместо перманентного потребления и перманентного дохода. Обозначим их соответственно через и исследуем гипотезу пропорциональности, которая предполагает, что перманентное потребление пропорционально перманентному доходу. Является ли , где есть член, представляющий ошибку (возмущение), экономически обоснованной альтернативной моделью, в особенности в области низких значений

В качестве другой альтернативы гипотезе пропорциональности рассмотрите

где есть ошибка (возмущение). Как ведет себя средняя склонность к потреблению при стремлении 0 при условии

Ниже представлены данные на душу населения в долларах США 1955 г. для которые являются переменными-заменителями, представляющими перманентный доход и перманентные сбережения. Эти данные относятся к 26 странам; на основе этих данных наряду с расплывчатой априорной ФПВ проанализируйте две зависимости, предложенные в упражнении 15 в качестве альтернатив гипотезе пропорциональности в рамках регрессионного исследования. В частности, какова апостериорная вероятность того, что

(см. скан)

17. В зависимость введите допущение, что и F; имеют общие ошибки измерения, может быть, вследствие общих ошибок в выборе весов или использования валютных курсов при переводе в доллары США; иными словами, что и

где являются истинными значениями переменных; с — константа, случайная ошибка с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной Как повлияет присутствие ошибки измерения на результаты расчетов, приведенных в упражнении 16?

18. В условиях допущения о структуре ошибок измерения принятого в упражнении 17, вычислите оценку МНП параметра в зависимости

причем с использованием данных из упражнения 16 и принимая различные значения для

19. При допущении, что задано некоторое значение. Осуществите байесовский анализ модели из упражнения 18. Определите, как свойства условной апостериорной ФПВ для при заданном к зависят от значения, приписанного к.

20. Объясните, как модель из упражнения 18 может быть проанализирована с байесовских позиций при помощи априорной ФПВ для других параметров. Используя данные из упражнения 16, постройте апостериорные ФПВ.

21. Рассмотрите систему, аналогичную (5.99) — (5.100):

но в условиях допущения, что -мерный вектор-столбец является стохастическим, независимым от и с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей размерности Путем исследования вторых моментов могут быть определены неравенства, ограничивающие , которые аналогичны представленным выражением (5.61). Содержит ли ФПВ для , информацию, относящуюся к этим ограничениям, а тем самым к ?

22. Докажите результат, представленный выражением (5.113).

23. В прогнозировании много внимания уделяется сравнению прогнозов с фактическими измеренными исходами . Поскольку как , так и содержат ошибки, рассмотрите следующую модель:

причем . Если в , то в каком смысле можно сказать, что прогнозы являются несмещенными?

24. В связи с упражнением 23 приведите примеры, в которых рационально допустить, что по всей вероятности, распределены независимо, и примеры, в которых, по всей вероятности, распределены не независимо.

25. Проверьте анализ системы из упражнения 23 при условии допущений для МОП, рассмотренных в настоящей главе.

26. Выскажите мнение по поводу следующего утверждения: хотя регрессия по дает несостоятельные оценки в (в) упражнения 23. такая регрессия все же может оказаться полезной для система тических корректировок прогнозов.