Б.2. МНОГОМЕРНАЯ ФПВ t-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА (М t-ФПВ С)

Говорят, что компоненты случайного вектора распределены по многомерному -распределению Стьюдента, если и только если они имеют следующую ФПВ:

где является ПОСМ размерности при для т. Так как квадратичная форма является положительно-определенной, то -ФПВ С имеет единственную моду в точке х = 0. Далее, так как ФПВ является симметричной относительно х = 0, математическое ожидание М -ФПВ С есть 0, которое, как будет показано ниже, существует при Симметрия относительно предполагает, что моменты четного порядка относительно (когда они существуют) все равны нулю. Матрица моментов второго порядка относительно математического ожидания существует при и задается формулой

Для обоснования того факта, что (Б.20) является собственной нормированной ФПВ, заметим, что она является положительной в области своего определения. Рассмотрим преобразование

где С есть невырожденная матрица размерности , такая, что ФПВ для -мерного вектор-столбца z имеет вид

т. e. является стандартизованной M -ФПВ С. Докажем, что ФПВ в (Б.22) является нормированной. Для этого сделаем, следующее преобразованием

образование переменных

где для . Из (Б.23) получаем

Якобиан преобразования, рассмотренного в (Б.23), равен: Таким образом, ФПВ в (Б.22) принимает вид

Далее, для интегрирования (Б.25) по используем следующие результаты:

и

Подставляя (Б.26), (Б.27), (Б.28) в

с подынтегральным выражением, заданным (Б.25), получим, что интеграл в (Б.29) равен единице. Таким образом, (Б.25) и (Б.20) являются нормированными ФПВ.

Из (Б.25) и (Б.26) видно, что нормированная маргинальная ФПВ для имеет вид

Обозначив получим

Иначе говоря, (Б.31) имеет вид Ф-ФПВ с степенями свободы (см. (А.68)). Следовательно, случайная переменная при условии, что z имеет стандартизованную М -ФПВ С (Б.22), распределена с Ф-ФПВ при степенях свободы. Далее, выписываем выражение вида (Б.21) для связи случайных переменных.

Следовательно, квадратичная форма имеет Ф-ФПВ с и v степенями свободы в случае, если имеет М -ФПВ С, заданную (Б.20).

Чтобы получить выражение для первых и вторых моментов, связанных с (Б.20), определим моменты, связанные с (Б.22), и затем, используя (Б.21), найдем моменты для (Б.20). Для ответа на вопрос о существовании моментов, рассмотрим момент относительно нуля. Для вычисления этого момента рассмотрим интеграл

где Пользуясь критериями сходимости, рассмотренными в приложении А, можно увидеть, что (Б.33) будет сходиться при любых от, если или Таким образом, для существования момента первого порядка необходимо выполнение неравенства для второго и т. д. Из симметрии (Б.22) имеем

и из получаем при

Для вычисления вторых моментов, связанных с (Б.22), рассмотрим (Б.33) при Обозначив и представим (Б.33) в следующем виде:

Проинтегрируем по которые входят в величину таким образом, с помощью мы получаем

где является нормирующей постоянной (Б.22). Подынтегральное выражение (Б.36) может быть представлено в виде стандартизованной М -ФПВ С. Произведя интегрирование, получаем

Поскольку подобные распределения могут быть применены в отдельности к для то ковариационная матрица для есть

Так как ковариационная матрица для имеет вид

Рассмотрим теперь маргинальные и условные ФПВ, связанные с М -ФПВ С. Для удобства рассуждений введем и перепишем

(Б.20) в виде

Представим вектор в блочном виде, где есть тгмерный вектор-столбец есть -мерный вектор-столбец, а Пусть также

где матрица Н представлена в блочном виде в соответствии с блочным представлением вектора Тогда

где обозначают первую и вторую квадратичные формы соответственно в выражении

Далее, замечая, что представим в виде

где

Вторая строка в (Б.42) дает явные выражения для маргинальной и условной ФПВ:

где

и

где определены в связи с (Б.41); (Б.44) и (Б.45) показывают, что в общем маргинальная и условная ФПВ, связанные с М -ФПВ С, являются в свою очередь

Из можно получить, что математическое ожидание и ковариационная матрица маргинальной ФПВ для равны соответственно:

и

так как . Для условной ФПВ в получаем

и

где

Рассмотрим далее линейную комбинацию компонент случайного вектора имеющего М -ФПВ С, заданную

где L есть невырожденная матрица размерности Тогда Якобиан преобразования равен и, следовательно, ФПВ для w имеет вид

где Таким образом, компоненты w имеют M -ФПВ С с математическим ожиданием и ковариационной матрицей Маргинальные и апостериорные ФПВ, связанные с , легко могут быть получены с помощью и, разумеется, будут иметь форму М -ФПВ С. Простая линейная комбинация компонент скажем первая компонента w, будет иметь в качестве маргинальной ФПВ одномерную -ФПВ С.

Наконец, как это видно из уже рассмотренных случаев, М -ФПВ С связана с МН ФПВ и О гамма-ФПВ. Рассмотрим совместную ФПВ

где обозначает -мерную нормальную ФПВ с математическим ожиданием и ковариационной матрицей обозначает О гамму-ФПВ с параметрами т. е.

где k есть нормирующая постоянная. Тогда, интегрируя по а, мы получаем

что совпадает с видом (Б.20), если k является нормирующей постоянной.