2.8. ПРОГНОЗНЫЕ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Во многих случаях исследователь заинтересован в том, чтобы при данной выборочной информации у делать выводы о событиях, которые еще не наблюдались, что составляет часть общей задачи прогноза. Байесовский подход позволяет получить ФПВ для еще не наблюдавшихся событий, которая известна под названием прогнозной ФПВ; пусть, например, у представляет вектор еще не состоявшихся наблюдений. Запишем

как совместную ФПВ для у и вектора параметров при условии данной выборочной информации у. Выражение в правой части (2.28), есть условная ФПВ для у при данных 0 и у, есть условная ФПВ для при данном у, т. е. апостериорная ФПВ для . Для получения прогнозной ФПВ мы просто интегрируем (2.28) по , т. е.

Вторая строка (2.29) указывает на то, что прогнозная ФПВ может рассматриваться как средняя условных прогнозных ФПВ причем весовой функцией служит апостериорная ФПВ для , т. е.

Пример 2.8. В примере 2.2 мы имели независимых наблюдений полученных выборкой из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестным математическим ожиданием

и известной дисперсией . В условиях расплывчатой информации относительно было установлено (см. (2.14)), что апостериорная ФПВ является нормальной с выборочной средней в качестве математического ожидания и дисперсией . Мы хотим теперь получить прогнозную ФПВ для новых наблюдений, скажем которая еще не имела места. Два сомножителя в подынтегральном выражении во второй строке (2.29) имеют вид

и из (2.14)

Тогда из (2.29) имеем

Преобразуя последнее выражение для выделения полного квадрата относительно и интегрируя по и, получаем из (2.30) прогнозную ФПВ для а именно

Можно убедиться, что нормально распределено с математическим ожиданием , т. е. выборочной средней, и дисперсией Разумеется, ФПВ (2.31) может быть использована для построения вероятностных утверждений относительно при данном у.