7.5. ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБЛАСТИ ОЦЕНИВАНИЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ

является нашей функцией потребления, где для периодов времени измеряется , т. е. реальное потребление; есть «нормальный» реальный доход; k — параметр, значение которого неизвестно, возмущение. Примем допущение, что «нормальный» доход удовлетворяет следующей зависимости:

или, если произвести последовательную подстановку в (7.63а) запаздывающих значений , зависимости

где параметр А по допущению принимает значения в области . Объединяя (7.62) и (7.636), мы получим

Это уравнение и будет основным объектом нашего анализа в условиях допущения, что есть внесистемная переменная: тем самым мы исключаем осложнения, связанные с «системой одновременных уравнений».

Что касается возмущения в то мы примем следующие допущения.

Допущение I. причем нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной Назовем такое распределение

Допущение II. Для в (7.64) имеет место

Допущение III. Для в (7.64) осуществляется авторегрессионная схема первого порядка, , где для имеет место

Допущение IV. Возмущение в (7.64) удовлетворяет зависимости где для имеет место

Надо заметить, что если бы параметр в допущении III равнялся , то допущения III и I были бы неразличимы. Аналогично, если бы 7 было равно 0 в IV, то IV было бы эквивалентно 1.

Теперь мы вернемся к анализу (7.64) в условиях допущений и использования квартальных данных по США о личном доходе и расходах на потребление за 1947 (I) - 1960 (IV) годы в неизменных ценах и с устранением сезонных колебаний. В условиях допущения I совместная ФПВ для наблюдений имеет вид

где . С учетом ранее сделанных допущений о параметрах мы принимаем

В (7.66) мы формализовали допущение о том, что параметры распределены независимо и ФПВ для являются равномерными. Заметим, что употребляется априорная информация . Объединяя (7.65) и (7.66) и интегрируя по мы получаем совместную апостериорную ФПВ для

Интересно, что условная апостериорная ФПВ для к при заданном k, а также условная апостериорная ФПВ для k при заданном к являются усеченными одномерными -ФПВ Стьюдента. Ввиду усеченности этих ФПВ аналитическое получение маргинальных апостериорных ФПВ для затруднительно. Поэтому для построения маргинальных ФПВ с использованием упомянутых выше квартальных данных по США за период 1947 (I) - 1960 (IV) годов были применены методы численного интегрирования. Некоторые характеристики этих ФПВ представлены в табл. 7.3. Из полученных результатов следует, что апостериорная ФПВ для k обнаруживает довольно сильную островершинность, в то время как ФПВ для к обнаруживает «сплюснутость». Результаты также подкрепляют гипотезу о том, что значение к существенно отличается от нуля.

Таблица 7.3. Апостериорные меры, характеризующие маргинальные апостериорные ФПВ, построенные на основе (7.67) в условиях допущения I

Далее мы перейдем к анализу (7.64) в условиях допущения II. В этих условиях совместная ФПВ для наблюдений имеет вид

где есть полоснодиагональная матрица вида (7.45).

Что касается априорных допущений о параметрах, то мы используем (7.66) с заменой на Применяя теорему Байеса, мы объединим (7.66) и (7.68) и проинтегрируем полученное выражение по . В результате получается совместная апостериорная ФПВ для в условиях допущения II:

где . Эта апостериорная ФПВ была проанализирована методами численного интегрирования с применением квартальных данных за 1947 (I) - 1960 (IV) годы; результаты представлены в табл. 7.4. В этом случае оказалось, что маргинальные ФПВ для параметров сильно отличаются от таковых в случае принятия допущения I о возмущениях. Полученные маргинальные ФПВ оказались бимодальными, а использование в качестве априорной информации привело к существенному усечению апостериорных ФПВ. Эти результаты показывают, что допущения относительно возмущений оказывают серьезное влияние на результаты анализа. В данном случае мы видим, что эмпирические данные не подтверждают возможность осуществления допущения II в сочетании с другими допущениями, включенными в модель.

Таблица 7.4 Апостериорные меры, характеризующие маргинальные апостериорные ФПВ (7.69), базирующиеся на допущении II

При анализе (7.64) в условиях допущения III удобно, заметив, что выразить (7.64) как или , что приводит к

или

где

Тогда совместная ФПВ для наблюдений в условиях допущения III имеет вид

В качестве априорной ФПВ мы используем

Объединение (7.72) с (7.71) дает совместную апостериорную ФПВ для параметров. Эта апостериорная ФПВ может быть проинтегрирована аналитически по в целях получения маргинальной двумерной ФПВ для

где причем , а R есть матрица размерности строка которой имеет вид

ФПВ (7.73) была проанализирована численными методами; результаты представлены в табл. 7.5.

Таблица 7.5 Апостериорные меры, характеризующие маргинальные апостериорные ФПВ (7.73), базирующиеся на допущении III

Теперь мы обратимся к анализу (7.64) в условиях допущения IV относительно возмущений. Совместная ФПВ для наблюдений задается выражением:

где есть -мерный вектор-столбец. В этом случае использовалась следующая априорная ФПВ:

Объединяя с помощью теоремы Байеса (7.74) и (7.75), можно получить апостериорную ФПВ для параметров, аналитическое интегрирование которой по дает следующую двумерную апостериорную ФПВ для

где

Апостериорная ФПВ (7.76) была проанализирована численными методами с использованием квартальных данных по США. Результаты в целом согласуются с ранее изложенными в том смысле, что существенно отлична от нуля. Однако математическое ожидание К в табл. 7.6 несколько отличается от приведенного выше, что указывает на некоторую чувствительность результатов к допущениям относительно возмущений.

Таблица 7.6. Апостериорные меры, характеризующие маргинальные апостериорные ФПВ (7.76), базирующиеся на допущении IV

До сих пор мы работали с относительно расплывчатыми априорными ФПВ и, таким образом, давали возможность отражения в наших апостериорных ФПВ в основном информации выборки. Для иллюстрации того, как информация выборки влияет на априорные представления,

которые нельзя считать, относительно расплывчатыми, мы приняли допущение о том, что априорные представления исследователей А и В различны. Оба исследователя согласны в том, что к и k распределены априори независимо, но расходятся в предположениях о значении к. Допустим, что априорные ФПВ этих исследователей имеют вид:

Оба исследователя пользуются одними и теми же допущениями относительно . Их априорная ФПВ для k есть бета-ФПВ с математическим ожиданием 0,9 и дисперсией 0,00089. Для они применяют одну и ту же расплывчатую ФПВ. Что же касается к, то оба они используют априорную бета-ФПВ, но с различными параметрами. Исследователь А так выбрал параметры своей априорной ФПВ для к в (7.77), чтобы обеспечить равенство математического ожидания 0,7, а априорной дисперсии — 0,0041; исследователь В приписал своим априорным параметрам значения, при которых априорное математическое ожидание к равняется 0,2, а дисперсия — 0,0146.

Объединив априорные ФПВ (7.77) и (7.78) с функцией правдоподобия (7.65), мы можем увидеть, как меняет информация, содержащаяся в квартальных данных по США, априорные представления исследователей А и В, формализованные в виде (7.77) и (7.78). В частности, перемножая (7.65) и (7.77) или (7.78) и интегрируя результат аналитически по мы приходим к двумерным апостериорным ФПВ для к и k исследователей А и В. Эти апостериорные ФПВ были проанализированы численными методами, а результаты представлены в табл. 7.7.

Таблица 7.7. Маргинальные апостериорные ФПВ для и k, соответствующие априорным ФПВ исследователей А (7.77) и В (7.78) в условиях принятия допущения I

Результаты, представленные в табл. 7.7, показывают, что в результате воздействия информации выборки как А, так и В получили более высокое значение параметра k по сравнению со своими априорными ожиданиями. Кроме того, информация выборки обеспечила значительное снижение дисперсии ФПВ для k. Что же качается к, то под воздействием информации выборки представления исследователей А и В несколько сблизились. Априори исследователь А приписывал к математическое ожидание, равное 0,7, в то время как исследователь В считал, что соответствующее значение равно 0,2. Апостериорные ФПВ для этих исследователей имеют математические ожидания 0,704 и 0,581 соответственно. Таким образом, общая информация выборки при объединении с априорными ФПВ исследователей А и В сократила разрыв в их представлениях относительно