Определение
Пусть $F=F\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$ будет некоторой переменной динамической характеристикой системы, зависящей от сопряженных переменных $q_{i}, p_{i}$.
Тогда
\[
\dot{F} \equiv \frac{d F}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \dot{p}_{i}+\frac{\partial F}{\partial t} .
\]

В силу канонических уравнений Гамильтона (5.16) это выражение принимает вид
\[
\dot{F}=\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial F}{\partial t} .
\]

Величина
\[
\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)
\]

играет большую роль в развитии аналитической механики; она называется скобкой Пуассона от двух функций $F$ и $H$. В общем случае скобка Пуассона от любых двух динамических переменных величин $X$ и $Y$ определяется как
\[
[X, Y]_{q, p}=\sum_{i}\left(\frac{\partial X}{\partial q_{i}} \frac{\partial Y}{\partial p_{i}}-\frac{\partial X}{\partial p_{i}} \frac{\partial Y}{\partial q_{i}}\right) .
\]

Скобки Пуассона не облегчают существенным образом решения уравнений движения системы, но, как будет видно, оказываются полезными при рассмотрении интегралов движения. Они приводят к математическому аппарату, который при некоторой несложной интерпретации является удобным путем для введения правил квантования в гейзенберговской формулировке квантовой механики.

Из самого определения скобки Пуассона непосредственно вытекают следующие тождества:
\[
\left.\begin{array}{rl}
{[X, Y]} & =-[Y, X], \\
{[X, X]} & =0 \\
{[X, Y+Z]} & =[X, Y]+[X, Z], \\
{[X, Y Z]} & =Y[X, Z]+[X, Y] Z,
\end{array}\right\}
\]

а также
\[
\left.\begin{array}{l}
{\left[q_{i}, q_{j}\right]_{q, p}=0=\left[p_{i}, p_{j}\right]_{q, p},} \\
{\left[q_{i}, p_{j}\right]_{q, p}=\delta_{i j},}
\end{array}\right\}
\]

где $\delta_{i j}$ является обычным дельта-символом, обладающим следующими свойствами:
\[
\begin{array}{l}
\delta_{i j}=0 \text { при } i
eq j, \\
\delta_{i j}=1 \text { при } i=j .
\end{array}
\]

Величины (8.5) называются фундаментальными, или основными, скобками Пуассона.

Инвариантность относительно канонических преобразований
Очень важным свойством скобок Пуассона является их инвариантность относительно канонических преобразований. Это означает, что
\[
[X, Y]_{q, p}=[X, Y]_{q^{\prime}, p^{\prime}},
\]

где подразумевают, что в двух различных системах координат $X$ и $Y$ имеют одинаковые значения, но не обязательно одинаковую форму.

Доказательство вышеуказанного утверждения можно провести, используя идеи, развитые в предыдущей главе. Там было показано, что каноническое преобразование может быть образовано с помощью функции $F_{1}=F_{1}\left(q_{i}, q_{i}^{\prime}, t\right)$; в таком случае будут иметь место следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
p_{i}=\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}, \\
p_{i}^{\prime}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}^{\prime}} ;
\end{array}
\]

из них следует, что
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}^{\prime}}=\frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial q_{j}^{\prime} \partial p_{i}}=-\frac{\partial p_{j}^{\prime}}{\partial q_{i}} .
\]

Подобным же образом, используя другие типы производящих функций $F_{2}, F_{3}, F_{4}$, получаем
\[
\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}^{\prime}}=\frac{\partial p_{j}^{\prime}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}^{\prime}}=-\frac{\partial q_{j}^{\prime}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}^{\prime}}=\frac{\partial q_{j}^{\prime}}{\partial q_{i}} .
\]

Применяя эти результаты к основным скобкам Пуассона, находим
\[
\begin{aligned}
{\left[q_{i}^{\prime}, p_{j}^{\prime}\right]_{q, p} } & \equiv \sum_{k}\left(\frac{\partial q_{i}^{\prime}}{\partial q_{k}} \frac{\partial p_{j}^{\prime}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial q_{i}^{\prime}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{j}^{\prime}}{\partial q_{k}}\right)= \\
& =\sum_{k}\left(\frac{\partial q_{i}^{\prime}}{\partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial q_{j}^{\prime}}+\frac{\partial q_{i}^{\prime}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{k}}{\partial q_{j}^{\prime}}\right)= \\
& \equiv \frac{\partial q_{i}^{\prime}}{\partial q_{j}^{\prime}}=\delta_{i j}=\left[q_{i}^{\prime}, p_{j}^{\prime}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}
\end{aligned}
\]

и аналогично
\[
\left.\begin{array}{l}
{\left[q_{i}^{\prime}, q_{j}^{\prime}\right]_{q, p}=0=\left[q_{i}^{\prime}, q_{j}^{\prime}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}},} \\
{\left[p_{i}^{\prime}, p_{j}^{\prime}\right]_{q, p}=0=\left[p_{i}^{\prime}, p_{j}^{\prime}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}}
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, для основных скобок Пуассона утверждение доказано. Рассмотрим теперь общий случай
\[
\begin{aligned}
{[X, Y]_{q^{\prime}, p^{\prime}} } & \equiv \sum_{k}\left(\frac{\partial X}{\partial q_{k}^{\prime}} \frac{\partial Y}{\partial p_{k}^{\prime}}-\frac{\partial X}{\partial p_{k}^{\prime}} \frac{\partial Y}{\partial q_{k}^{\prime}}\right)= \\
& =\sum_{j, k}\left[\frac{\partial X}{\partial q_{k}^{\prime}}\left(\frac{\partial Y}{\partial q_{j}} \frac{\partial q_{j}}{\partial p_{k}^{\prime}}+\frac{\partial Y}{\partial p_{j}} \frac{\partial p_{j}}{\partial p_{k}^{\prime}}\right)-\right. \\
& \left.-\frac{\partial X}{\partial p_{k}^{\prime}}\left(\frac{\partial Y}{\partial q_{j}} \frac{\partial q_{j}}{\partial q_{k}^{\prime}}+\frac{\partial Y}{\partial p_{j}} \frac{\partial p_{j}}{\partial q_{k}^{\prime}}\right)\right]= \\
& =\sum_{j}\left\{\frac{\partial Y}{\partial q_{j}}\left[X, q_{j}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}+\frac{\partial Y}{\partial p_{j}}\left[X, p_{j}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}\right\} .
\end{aligned}
\]

Выражение $\left[q_{j}, X\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}$ можно рассматривать как частный случай выражения (8.8), полученный подстановкой $q_{j}$ вместо $X$ и $X$ вместо $Y$.

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
{\left[X, q_{j}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}} } & =-\left[q_{j}, X\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}= \\
& =-\sum_{k}\left\{\frac{\partial X}{\partial q_{k}}\left[q_{j}, q_{k}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}+\frac{\partial X}{\partial p_{k}}\left[q_{j}, p_{k}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}\right\} ;
\end{aligned}
\]

отсюда, используя равенства (8.7), имеем
\[
\left[X, q_{j}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}=-\sum_{k} \frac{\partial X}{\partial p_{k}} \delta_{j k}=-\frac{\partial X}{\partial p_{j}} ;
\]

аналогично
\[
\left[X, p_{j}\right]_{q^{\prime}, p^{\prime}}=\frac{\partial X}{\partial q_{j}} .
\]

Подставляя выражения (8.9) и (8.10) в равенство (8.8), получаем
\[
[X, Y]_{q^{\prime}, p^{\prime}}=\sum_{j}\left(-\frac{\partial Y}{\partial q_{j}} \frac{\partial X}{\partial p_{j}}+\frac{\partial Y}{\partial p_{j}} \frac{\partial X}{\partial q_{j}}\right) \equiv[X, Y]_{q, p} .
\]

Это и подтверждает правильность результата в общем случае. Так как величина скобки Пуассона не зависит от системы сопряженных переменных, относительно которых она вычисляется, то индексы у скобок не обязательны и мы будем теперь их опускать.

Момент количества движения
В частных случаях компоненты момента количества движения отождествляются с обобщенными компонентами импульса. В общем случае такое отождествление момента количества движения, связанного с некоторой угловой координатой, можно провести для простой механической системы, где отсутствуют, например, электромагнитные эффекты. Интересно исследовать скобку Пуассона от двух компонент момента количества движения. Для простоты рассмотрим материальную точку и используем декартову систему координат; тогда компоненты момента количества движения будут даваться формулами
\[
l_{1}=x_{2} p_{3}-x_{3} p_{2}, \quad l_{2}=x_{3} p_{1}-x_{1} p_{3}, \quad l_{3}=x_{1} p_{2}-x_{2} p_{1},
\]

где $p_{1}=m \dot{x}_{1}$ и т. д. Вычисление скобки Пуассона от $l_{1}$ и $l_{2}$ дает
\[
\left[l_{1}, l_{2}\right]=p_{2} x_{1}-p_{1} x_{2}=l_{3} .
\]

Подобные же результаты получаются и для других комбинаций, и в общем виде можно написать, что
\[
\left[l_{i}, l_{j}\right]=\sum_{k} \varepsilon_{i j k} l_{k},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\left.\varepsilon_{i j k}=1, \text { если ( } i, j, k\right) \text { есть четная перестановка } \\
\text { чисел }(1,2,3) \text {, } \\
\varepsilon_{i j k}=-1 \text {, если }(i, j, k) \text { есть нечетная перестановка } \\
\text { чисел }(1,2,3) \text {, } \\
\varepsilon_{i j k}=0 \text { во всех других случаях. }
\end{array}
\]

Значение формулы (8.13) состоит в том, что не может быть двух компонент момента количества движения, которые могли бы быть одновременно принятыми за сопряженные переменные, так как все сопряженные переменные должны подчиняться законам, записанным равенствами (8.7) и относящимся к фундаментальным скобкам. Любая компонента момента количества движения, конечно, может быть выбрана как обобщенный импульс, но в любой частной рассматриваемой системе отсчета так можно выбрать не более одной компоненты.

Теперь рассмотрим $\left[l_{i}, l^{2}\right]$, где $l^{2}$-квадрат модуля полного момента количества движения. Используя тождества (8.4) и результат (8.13), имеем
\[
\begin{array}{l}
{\left[l_{i}, l^{2}\right]=\left[l_{i}, \sum_{j} l_{j}^{2}\right]=\sum_{j}\left[l_{i}, l_{j}^{*}\right]=\sum_{j}\left\{2 l_{j}\left[l_{i}, l_{j}\right]\right\}=} \\
= \\
=\sum_{j, k} 2 l_{j} \varepsilon_{i j k} l_{k} \equiv 0,
\end{array}
\]
т. е. $l^{2}$ и любую одну компоненту $l$ можно одновременно рассматривать как сопряженные переменные. Результаты (8.13) и (8.14) очень важны при распространении этого метода на квантовую механику.

Другие, не менее важные результаты таковы:
\[
\left[x_{i}, l_{j}\right]=\sum_{k} \varepsilon_{i j k} x_{k}, \quad\left[p_{i}, l_{j}\right]=\sum_{k} \varepsilon_{i j k} p_{k} ;
\]
$p_{i}$ в этом случае снова обозначают компоненты количества движения в декартовой системе координат.

Интегралы движения
Как было уже отмечено, в некоторых случаях решение задачи можно считать законченным, когда установлены интегралы движения и выяснен их смысл. Равенство (8.2), записанное при помощи скобок Пуассона, показывает, что изменение во времени любой динамической переменной $F$ дается формулой
\[
\dot{F}=[F, H]+\frac{\partial F}{\partial t} .
\]

Это показывает, что если такая переменная не содержит явно времени, то, для того чтобы она была интегралом движения, достаточно обращения в нуль скобки Пуассона от этой переменной и от $H$. Этот результат дает хороший способ определения интегралов движения вне зависимости от того, будет ли само $H$ интегралом уравнений движения или нет.

Частными случаями формулы (8.2′) являются соотношения
\[
\dot{q}_{i}=\left[q_{i}, H\right], \quad \dot{p}_{i}=\left[p_{i}, H\right] ;
\]

эти равенства тождественны каноническим уравнениям Гамильтона, и их можно назвать каноническими уравнениями, записанными в виде скобок Пуассона.
Другой частный случай таков:
\[
\frac{d H}{d t}=[H, H]+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Это соотношение также было выведено ранее.

Тождество Якоби
Рассмотрим выражение
\[
\begin{array}{l}
{[X,[Y, Z]]-[Y,[X, Z]]=} \\
=\left[X, \sum_{i}\left(\frac{\partial Y}{\partial q_{i}} \frac{\partial Z}{\partial p_{i}}-\frac{\partial Y}{\partial p_{i}} \frac{\partial Z}{\partial q_{i}}\right)\right]- \\
– {\left[Y, \sum_{i}\left(\frac{\partial X}{\partial q_{i}} \frac{\partial Z}{\partial p_{i}}-\frac{\partial X}{\partial p_{i}} \frac{\partial Z}{\partial q_{i}}\right)\right] ; }
\end{array}
\]

используя тождества (8.4) и перегруппировывая, получаем
\[
\begin{aligned}
\sum_{i}\left\{-\frac{\partial Z}{\partial q_{i}}\left(\left[\frac{\partial X}{\partial p_{i}}, Y\right]+\left[X, \frac{\partial Y}{\partial p_{i}}\right]\right)+\right. \\
\left.+\frac{\partial Z}{\partial p_{i}}\left(\left[\frac{\partial X}{\partial q_{i}}, Y\right]+\left[X, \frac{\partial Y}{\partial q_{i}}\right]\right)\right\}+ \\
+\sum_{i}\left\{\frac{\partial Y}{\partial q_{i}}\left[X, \frac{\partial Z}{\partial p_{i}}\right]-\frac{\partial Y}{\partial p_{i}}\left[X, \frac{\partial Z}{\partial q_{i}}\right]-\right. \\
\left.\quad-\frac{\partial X}{\partial q_{i}}\left[Y, \frac{\partial Z}{\partial p_{i}}\right]+\frac{\partial X}{\partial p_{i}}\left[Y, \frac{\partial Z}{\partial q_{i}}\right]\right\} .
\end{aligned}
\]

Применяя тождества
\[
\frac{\partial}{\partial x}[X, Y] \equiv\left[\frac{\partial X}{\partial x}, Y\right]+\left[X, \frac{\partial Y}{\partial x}\right],
\]

приводим первое выражение к виду
\[
\sum_{\boldsymbol{i}}\left\{-\frac{\partial Z}{\partial q_{i}} \frac{\partial}{\partial p_{i}}[X, Y]+\frac{\partial Z}{\partial p_{i}} \frac{\partial}{\partial q_{i}}[X, Y]\right\}=-[Z,[X, Y]] ;
\]

второе выражение, как можно показать, обращается в нуль. Отсюда
\[
[X,[Y, Z]]-[Y,[X, Z]]=-[Z,[X, Y]\},
\]

или, в симметричной форме записи,
\[
[X,[Y, Z]]+[Y,[Z, X]]+[Z,[X, Y]]=0 .
\]

Этот результат известен как тождество Якоби. Дадим одно применение этого тождества. Пусть $Z=H$, тогда
\[
[X,[Y, H]]+[Y,[H, X]]+[H,[X, Y]]=0 ;
\]

если величины $X$ и $Y$ являются интегралами уравнений движения, то
\[
[Y, H]=0, \quad[X, H]=0,
\]

откуда
\[
[H,[X, Y]]=0,
\]
т. е. динамическая переменная величина $[X, Y]$ также является интегралом уравнений движения. Польза этого результата заключается в возможности построения новых интегралов движения из известных. Однако не всегда эти новые интегралы имеют нетривиальные значения (например, использование $p_{i}=$ const и $p_{j}=$ const приводит только к равенству $0=$ const).

Скобки Пуассона и коммутаторы
В квантовой механике динамические переменные представляются операторами, которые не подчиняются переместительным законам обычной алгебры. Для этих операторов нельзя определить скобки Пуассона, но универсальный характер и общая польза этих скобок в классической механике наводят на мысль, что могут существовать аналогичные величины, связанные и с операторами.

Равенства (8.4) дают основные свойства скобок Пуассона. Допустим, что эти равенства представляют также и свойства величин, связанных с соответствующими операторами квантовой механики. (Заметим, что это предположение не является необходимым и что в действительности оно не будет верным для всех типов операторов.) Согласно этому предположению, для любых трех операторов $X, Y, Z$ мы имеем
\[
[X, Y Z]=Y[X, Z]+[X, Y] Z
\]

и
\[
[X Y, Z]=X[Y, Z]+[X, Z] Y,
\]

где для удобства мы обозначаем неизвестный квантовый аналог скобки Пуассона тем же символом, что и самое скобку. Здесь было обращено внимание на то, чтобы сохранить порядок операторов ввиду их некоммутативности.

Отсюда следует, что для любых четырех операторов $W, X, Y, Z$ имеем
\[
\begin{aligned}
{[W X, Y Z] } & =W[X, Y Z]+[X, Y Z] W== \\
& =W[X, Y] Z+W Y[X, Z]+Y[X, Z] W+[X, Y] Z W,
\end{aligned}
\]

или
\[
\begin{aligned}
{[W X, Y Z] } & =[W X, Y] Z+Y[W X, Z]= \\
& =W[X, Y] Z+[W, Y] X Z+Y W[X, Z]+Y[W, Z] X .
\end{aligned}
\]

Комбинируя эти результаты, получаем
\[
(W Y-Y W)[X, Z]=[W, Y](X Z-Z X) .
\]

Мы предполагали, что эти четыре оператора произвольны. Отсюда следует, что тождество (8.23) может быть удовлетворено только в том случае, когда для любых двух операторов $A$ и $B$ мы имеем
\[
A B-B A=\alpha[A, B] \text {, }
\]

где $\alpha$-некоторая постоянная, т. е. квантовый аналог скобки Пуассона является кратным коммутатора двух рассматриваемых операторов. Если предположить, что операторы, соответствующие сопряженным переменным $q_{i}, p_{i}$, играют такую же фундаментальную роль, как и эти классические переменные, то
\[
q_{i} p_{j}-p_{j} q_{i}=\alpha \delta_{i j} .
\]

Постулируя далее, что $\alpha=i h / 2 \pi$, мы приходим к правилам квантования в гейзенберговской формулировке квантовой механики.

Бесконечно малые преобразования прикосновения
Эти преобразования были кратко описаны в предыдущей главе, и при этом было показано, что производящая функция
\[
F=\sum_{i} q_{i} p_{i}^{\prime}+\varepsilon G\left(q_{i}, p_{i}^{\prime}\right),
\]

где $G$-произвольная функция, вызывает изменения сопряженных переменных, определяемые формулами
\[
\delta q_{i}=\varepsilon \frac{\partial G}{\partial p_{i}}, \quad \delta p_{i}=-\varepsilon \frac{\partial G}{\partial q_{i}} ;
\]

здесь предположение о том, что преобразование является бесконечно малым, используется при подстановке $p_{i}$ вместо $p_{i}^{\prime}$ в $G$.

В соответствии с этими изменениями значений $q_{i}$ и $p_{i}$ любая динамическая переменная $X=X\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$ претерпевает изменение, определяемое формулой
\[
\delta X=\sum_{i} \frac{\partial X}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\sum_{i} \frac{\partial X}{\partial p_{i}} \delta p_{i} ;
\]

отсюда в силу равенств $\left(7.56^{\prime}\right.$ ) имеем
\[
\delta X=\varepsilon \sum_{i}\left(\frac{\partial X}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}-\frac{\partial X}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}\right)=\varepsilon[X, G] .
\]

Если $G=H$ и $\varepsilon=d t$, то равенство (8.27) принимает вид
\[
\delta X=d t[X, H] \text {. }
\]

В случае $X=q_{i}$ это дает
\[
\delta q_{i}=d t\left[q_{i}, H\right]=\dot{q}_{i} d t .
\]

Полученную формулу можно истолковать в том смысле, что бесконечно малое преобразование, порожденное функцией $H$, соответствует действительному движению системы. То же самое рассуждение применимо и в том случае, когда $X$ отождествляется с любой сопряженной переменной $p_{i}$. Однако нужно проявить осторожность при рассмотрении общего случая, так как, согласно равенству $\left(8.2^{\prime}\right)$,
\[
[X, H]=\frac{d X}{d t}-\frac{\partial X}{\partial t}
\]

и равенство (8.28) принимает вид
\[
\delta X=\left(\frac{d X}{d t}-\frac{\partial X}{\partial t}\right) d t
\]

отсюда следует, что если $\partial X / \partial t
eq 0$, то изменение $\delta X$, вызванное этим преобразованием, не является действительным изменением $X$, происходящим в процессе движения.

Общий смысл формулы (8.28) таков: если речь идет о любых динамических переменных величинах, явно не зависящих от $t$, то движение системы эквивалентно некоторой последовательности бесконечно малых преобразований прикосновения, порожденных функцией Гамильтона.

Другое следствие формулы (8.27) получается после подстановки в нее вместо $X$ функции $H$ :
\[
\delta H=\varepsilon[H, G] .
\]

Отсюда следует, что интеграл уравнений движения $G$ (для которого $[H, G]=0$ ) порождает бесконечно малое преобразование, относительно которого $H$ является инвариантом. В том частном случае, когда $G=p_{x}=$ const, pacсматриваемое преобразование является бесконечно малым переносом вдоль оси $x$. Это можно видеть, используя формулы (7.56′), которые дают
\[
\delta x=\varepsilon, \quad \delta y=\delta z=0, \quad \delta p_{x}=\delta p_{y}=\delta p_{z}=0 .
\]

Следовательно, функция Гамильтона является инвариантом переноса в том направлении, для которого соответствующая компонента импульса не изменяется. Это просто другой способ выражения того обстоятельства, что некоторой циклической координате соответствует постоянная компонента импульса. Подобный результат получается и при рассмотрении бесконечно малых вращений, порожденных функцией $G$, и соответствующих им компонент момента количества движения.

Эти последние соображения возвращают нас к рассуждениям, , проведенным в гл. V, где рассматривалась связь между симметрией и интегралами движения. Введение аргументации, основанной на свойствах скобок Пуассона, позволило расширить область применения этих соображений и включить в нее все интегралы движения, а не только интегралы количества движения, как это имело место ранее. Теперь показано, что функция Гамильтона является инвариантом (а следовательно, система симметрична) относительно любого бесконечно малого преобразования, порожденного некоторым интегралом движения. Обратное утверждение также верно, и оно дает возможность находить интегралы движения при внимательном рассмотрении любой симметрии, которая обнаружизается в функции Гамильтона.