Общая схема
Ньютоновская система механики обычно принимается как приближение, пригодное только в том случае, когда скорости материальных точек системы малы по сравнению со скоростью света. Более общее исследование проводится в специальной теории относительности. Поставим себе следующую задачу: показать, как требования теории относительности могут быть приспособлены к описаниям Лагранжа и Гамильтона. Так как основы специальной теории относительности рассматриваются также в двух других работах данной серии 1 ), здесь будет дано только краткое описание этой теории.

В специальной теории относительности постулируется, что законы природы имеют одну и ту же форму во всех системах отсчета при равномерном относительном движении. Это требование удовлетворяется в ньютоновской схеме, если рассматривать лишь чисто механические системы, но если включить электромагнитные явления, то потребуются некоторые изменения.

Следствием вышеуказанного постулата теории относительности является отсутствие единого масштаба времени, общего для всех систем отсчета. Некоторая точка в обычном пространстве в некоторый момент рассматривается как событие и может быть точно определена четырьмя координатами $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ и $t$. То же самое событие может быть определено в другой системе отсчета координатами $x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}$, $x_{3}^{\prime}, t$. Если вторая система $S^{\prime}$ движется относительно первой системы $S$ с постоянной скоростью $V$, то соотношение

между обеими системами отсчета дается линейным преобразованием
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}=x_{1}, \quad x_{2}^{\prime}=x_{2}, \\
x_{3}^{\prime}=\frac{x_{3}-V t}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, t^{\prime}=\frac{t-V x / c^{2}}{\sqrt{1-\overline{\beta^{2}}}},
\end{array}\right\}
\]

где $\beta=V / c$, а $c$-скорость света.
Предполагается, что в исходный момент времени начала координат двух систем совпадают, что их оси имеют одинаковую ориентацию в пространстве и что относительное движение происходит в направлении оси $x_{3}$. Соотношения (10.1) известны как формулы преобразования Лоренца.

При более изящном методе описания, принадлежащем Минковскому, событие определяется четырьмя координатами $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}=i c t$. Четыре величины $x_{\mu}$ образуют компоненты четырехмерного тензора первого ранга в декартовой системе координат или четырехмерного вектора $^{1}$ ), и формулы преобразования Лоренца представляют ортогональное, т. е. сохраняющее длины, преобразование таких компонент. Отсюда следует, что
\[
\sum_{\mu} x_{\mu}^{2}=\sum_{\mu} x_{\mu}^{\prime 2} .
\]

Интервал собственного времени между двумя событиями $x$ и $y$ определяется как
\[
\tau=\frac{1}{c} \sqrt{-\sum_{\mu}\left(x_{\mu}-y_{\mu}\right)^{2}} ;
\]
$\tau$ является инвариантной величиной или скаляром, так как оно представляет длину четырехмерного вектора. Движение материальной точки можно рассматривать как непрерывную последовательность событий, образующую в четырехмерном пространстве Минковского некоторую кривую.

Инвариантный бесконечно малый интервал между соседними событиями на этой кривой равен
\[
\begin{array}{r}
d \tau=\frac{1}{c} \sqrt{-\sum_{\mu}\left(d x_{\mu}\right)^{2}}=d t \sqrt{1-\frac{1}{c^{2}} \sum_{i}{\dot{x_{i}}}^{2}}= \\
=d t \sqrt{1-\bar{\beta}^{2}},
\end{array}
\]

где
\[
\beta c=\sqrt{\sum_{i} \dot{x}_{i}^{2}}=v
\]

обозначает обычную скорость материальной точки.
В противоположность тому, что имеет место в механике Ньютона, величины $\dot{x}_{i}=d x_{i} / d t$ не являются больше компонентами вектора. Это происходит потому, что само $t$ в сущности является компонентой вектора, а не скаляром. (В действительности величины $\dot{x}_{i}$ представляют собой три из шестнадцати компонент тензора второго ранга.) Настоящий четырехмерный вектор может быть определен как
\[
u_{\mu}=\frac{d x_{\mu}}{d \tau} .
\]

Так как
\[
\frac{d x_{\mu}}{d \tau}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \frac{d x_{\mu}}{d t},
\]

то очевидно, что пространственные компоненты этого вектора совпадают с компонентами обычной скорости в нерелятивистском пределе при $\beta \rightarrow 0$. Вектор выбран так для того, чтобы оправдать трактовку $u_{\mu}$ как действительного обобщения вектора скорости. Временна́я компонента такова:
\[
u_{4}=\frac{d x_{4}}{d \tau}=\frac{i c}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

а инвариант – длина четырехмерного вектора скорости равен
\[
\sum_{\mu} u_{\mu}^{2}=-\epsilon^{2} .
\]

В качестве постулата принимается, что с каждой материальной точкой связана некоторая инвариантная величина $m$, называемая ее массой (массой покоя). Если это так, то вполне естественно рассматривать величину
\[
p_{\mu}=m u_{\mu}
\]

как компоненту четырехмерного вектора, являющегося обобщением обычного вектора количества движения (вектора импульса). Это подтверждается аргументами, основанными на предположении, что законы сохранения массы и количества движения в нерелятивистской механике являются частным видом более общих законов сохранения. В более общей форме эти законы устанавливают, что все четыре компоненты обобщенного импульса сохраняются. Три пространственные компоненты соответствуют компонентам обычного импульса, а временну́ю компоненту
\[
p_{4}=\frac{i m c}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
\]

можно отождествить с энергией, как мы увидим далее.

Законы Ньютона
Использование тензорных обозначений должно прежде всего упростить переход от одной системы координат к другой. В какой-либо системе отсчета не имеет смысла полностью заменять используемые до сих пор более привычные обозначения, для того чтобы согласовать факты наблюдений. В частности, по-видимому, нет причин отвергать законы Ньютона как основу динамического поведения материальных точек. О силах до сих пор не говорилось в связи с теорией относительности, но теперь мы предположим, что их можно определить так:
Сила $=$ Производная по времени от количества движения; (10.10)
используя более общее определение импульса, даваемое формулой (10.8), уравнение (10.10) можно записать в следующем виде:
\[
F_{\mu}=\frac{d}{d t}\left(p_{\mu}\right)=\frac{d}{d t}\left(m u_{\mu}\right) .
\]

Как и в случае величин $\dot{x}_{\mu}=d x_{\mu} / d t$, эта новая величина не является истинным четырехмерным вектором. Имеется четыре величины $F_{\mu}$, но в основном будут рассматриваться три пространственные компоненты, определяемые формулами
\[
F_{i}=\frac{d}{d t}\left(p_{i}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{x}_{i}}{V \overline{1-\beta^{2}}}\right) .
\]

Легко видеть, что при малых скоростях эти выражения в пределе сводятся к более привычным компонентам нерелятивистских сил. Кинетическая энергия определяется, как и прежде, соотношением
\[
\frac{d T}{d t}=\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}=\sum_{i} F_{i} \dot{x}_{i} .
\]

Записывая это соотношение в развернутой форме, находим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d T}{d t}=\sum_{i} u_{i} \sqrt{1-\beta^{2}} \frac{d}{d t}\left(m u_{i}\right)= \\
=\sqrt{1-\beta^{2}}\left[\sum_{\mu} u_{\mu} \frac{d}{d t}\left(m u_{\mu}\right)-u_{4} \frac{d}{d t} p_{4}\right]= \\
=\sqrt{1-\beta^{2}} \frac{d}{d t}\left[\sum_{\mu} \frac{1}{2} m u_{\mu}^{2}\right]-i c \frac{d p_{4}}{d t}=-i c \frac{d p_{4}}{d t} .
\end{array}
\]

Отсюда получаем для $p_{4}$ следующее выражение:
\[
p_{4}=\frac{i}{c}(T+\text { cons } \mathrm{t}) .
\]

Возвращаясь снова к формуле (10.9) и постулируя равенство нулю кинетической энергии материальной точки, находящейся в покое, мы видим, что значение константы, входящей в эту формулу, равно $m c^{2}$. Следовательно, формула (10.14) принимает вид
\[
p_{4}=\frac{i}{c}\left(T+m c^{2}\right)=\frac{i E}{c},
\]

где величина $E$-полная энергия – является суммой кинетической энергии $T$ и энергии покоя $\mathrm{mc}^{2}$.
Отсюда следует соотношение
\[
-m^{2} c^{2}=\sum_{\mu} p_{\mu}^{2}=\sum_{i} p_{i}^{2}+p_{4}^{2}=\mathrm{p}^{2}-E^{2} / c^{2},
\]

или соотношение
\[
\left(T+m c^{2}\right)^{2}=E^{2}=m^{2} c^{4}+\mathrm{p}^{2} c^{2}=\frac{m^{2} c^{4}}{1-\beta^{2}},
\]

устанавливающее общий вид связи между энергией и трехмерным импульсом.

Метод Лагранжа
Если полученные выше результаты должны находиться в соответствии с методом Лагранжа, развитым в нерелятивистском случае, то надо потребовать, чтобы
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}},
\]
т. е. чтобы
\[
\frac{m \dot{x}_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}} .
\]

Так как $c^{2} \beta^{2}=\sum_{i} \dot{x}_{i}{ }^{2}$, то интегрирование дает
\[
L=-m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}-V\left(x_{i}\right),
\]

где в силу очевидных причин постоянная интегрирования записана как $V\left(x_{i}\right)$. Соответствующие уравнения Лагранжа тогда должны принять вид
\[
-\frac{\partial V}{\partial x_{i}}=\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{x}_{i}}{V \dot{1-\beta^{2}}}\right)\left(=\frac{d}{d t} p_{i}\right) .
\]

Сравнение этих уравнений с формулами (10.11) показывает, что уравнения (10.19) действительно являются уравнениями движения, если $F_{i}=-\partial V / \partial x_{i}$. K сожалению, трудно провести какое-либо дальнейшее сопоставление, так как представить какие-либо реальные силы в такой форме нелегко. Подобное отождествление с частными производными, очевидно, можно было бы провести для гравитационных сил, но эти силы требуют описания, выходящего за пределы соображений специальной теории относительности.

Такое отождествление имеет место в частном случае свободной частицы, на которую не действуют силы. В этом случае движение частицы можно описать методом

Лагранжа, взяв функцию Лагранжа в виде (10.18) при $V=0$. Можно также распространить такое описание и на систему свободных частиц, но не на твердое тело. Последнее понятие несовместимо с постулатами специальной теории относительности, так как надо было бы потребовать существования мгновенно распространяющегося взаимодействия между частицами.

Так как специальная теория относительности была сформулирована так, что она включает электромагнитные явления в общую инвариантную схему, то можно надеяться, что описание Лагранжа также можно обобщить, чтобы включить эти явления, как это было в нерелятивистском случае.

Сила, действующая на частицу с зарядом $e$, дается формулой Лоренца
\[
\mathbf{F}=e\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right),
\]

и ранее было показано, что этой формуле можно придать другой вид, а именно
\[
F_{i}=e\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{x}_{i}}-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\left(\varphi-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\right) .
\]

Эти формулы основываются на наблюдениях, сделанных при малых скоростях материальных точек, и нет гарантии, что они будут применимы в общем случае. Если они справедливы при всех скоростях, то релятивистские уравнения движения материальной точки в электромагнитном поле должны иметь вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{x}_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)=e\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{x}_{i}}-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\left(\varphi-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\right) .
\]

Дальнейшие наблюдения частиц, обладающих высокой энергией, показывают хорошее соответствие между действительным движением частицы и предсказаниями, основанными на уравнениях (10.20) при $v_{i}=\dot{x}_{i}$. Таким образом, мы приходим к выводу, что уравнения (10.20) являются правильными уравнениями движения, и на основании пре-

дыдущих соображений нетрудно видеть, что их можно вывести, предполагая справедливым принцип Гамильтона
\[
\delta \int L d t=0
\]

где
\[
L=-m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}-e\left(\varphi-\frac{1}{c} \sum_{i} \dot{x}_{i} A_{i}\right) .
\]

Распространение этого метода на систему заряженных частиц представляет трудности, обусловленные необходимостью учета электромагнитного взаимодействия между такими частицами.

Метод Гамильтона
Пользуясь определением $p_{i}=\partial L / \partial \dot{x}_{i}$, где $L$ дается формулой (10.21), мы можем записать пространственные компоненты импульса заряженной частицы в электромагнитном поле следующим образом:
\[
p_{i}=\frac{m \dot{x}_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+\frac{e}{c} A_{i} .
\]

Однако непосредственно ничего нельзя сказать относительно временно́й компоненты, так как в схеме Лагранжа она не рассматривалась. Функция Гамильтона $H$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-L=\sum_{i} p_{i} \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{m}\left(p_{i}-\frac{e}{c} A_{i}\right)+ \\
+m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}+e\left(\varphi-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\right)= \\
=e \sqrt{m^{2} c^{2}+\left(\mathbf{p}-\frac{e}{c} \mathbf{A}\right)^{2}}+e \varphi
\end{array}
\]

или
\[
H=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e \varphi .
\]

Как и прежде, скорость увеличения кинетической энергии заряженной частицы дается формулой
\[
\frac{d T}{d t}=\sum_{i} \dot{x}_{i} \frac{d}{d t} p_{i}=\sum_{i} \dot{x}_{i} \frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{x}_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right) .
\]

Отсюда, снова полагая, что $T=0$ при $\dot{x}_{i}=0$, получаем
\[
T=m c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-1\right) .
\]

Из уравнений (10.20) и (10.24) имеем
\[
\begin{array}{r}
\frac{d T}{d t}=\sum_{i} e \dot{x}_{i}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{x}_{i}}-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\left(\varphi-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\right)= \\
=e \mathbf{v} \cdot\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)=e \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}
\end{array}
\]

По определению скалярного и векторного потенциалов
\[
\mathbf{E}=-
abla \varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},
\]

следовательно,
\[
\frac{d T}{d t}=-e \mathbf{v} \cdot\left(
abla \varphi+\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)=-\frac{d}{d t}(e \varphi)+e \frac{\partial \varphi}{\partial t}-\frac{e}{c} \mathbf{v} \cdot \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},
\]

или
\[
\frac{d}{d t}(T+e \varphi)=e\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \frac{\partial \mathbf{A}}{d t}\right),
\]

и окончательно
\[
\frac{d}{d t}\left(m c^{2}+T+e \varphi\right)=e\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) .
\]

Величину $m c^{2}+T+e \varphi=E$ можно истолковывать как полную энергию заряженной частицы. Тогда смысл членов, стоящих в правой части уравнения (10.26), состоит в том, что они представляют увеличение полной энергии заряженной частицы, обусловленное действием зарядов и токов, которые являются причиной того, что напряженность поля изменяется со временем. При таком истолковании функция Гамильтона тождественна с полной энергией, что можно усмотреть из выражений

$\left(10.23^{\prime}\right)$ и (10.24′). Однако заметим, что функцию Лагранжа нельзя приравнивать к выражению типа $T+m c^{2}-e \varphi$, что можно было бы предположить по аналогии с нерелятивистским случаем.

Формула (10.23), дающая функцию Гамильтона в ее канонической форме, служит исходным пунктом для релятивистской квантовой механики электрона, предложенной Дираком.

Теперь мы показали, что уравнения, описывающие движение одной заряженной частицы в электромагнитном поле, могут быть выведены как методом Лагранжа, так и методом Гамильтона. Қак ранее упоминалось, применение этих методов к системе заряженных частиц или к случаю движения под влиянием каких-либо других факторов, таких, как гравитационное поле, никоим образом не является простым.

Ковариантная запись уравнений движения
Используя тензорное исчисление в большей степени, чем это делалось до сих пор, можно записать полученные результаты в форме, отличной от той, которая была приведена в предыдущем разделе. Исходным пунктом служит здесь то обстоятельство, что скалярную величину $\tau$, т. е. собственное время, можно рассматривать как обобщение переменного $t$, потому что последнее является скаляром в нерелятивистской механике. Тогда обобщенный принцип Гамильтона примет вид
\[
\delta \int L d \tau=0
\]

если $L$ является скаляром, то этот принцип выражается одинаково во всех системах отсчета. Такая форма записи называется ковариантной. 17
Нетрудно видеть, что функция $L$, взятая в виде
\[
L=\sum_{\mu} \frac{1}{2} m u_{\mu}^{2},
\]

имеет требуемую форму и удовлетворяет всем условиям, которым должна удовлетворять функция Лагранжа, применяемая для описания движения свободной с массой $\mathrm{m}$.

Теперь предположим, что существуют четыре переменные $x_{\mu}$, которые при таком подходе равноправны, и потому должны иметь место четыре уравнения движения вида
\[
\frac{d}{d \tau}\left(\frac{\partial L}{\partial x_{\mu}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_{\mu}}=0,
\]

где $x_{\mu}^{\prime} \equiv d x_{\mu} / d \tau$. В силу равенств (10.28) эти уравнения перепишутся так:
\[
\frac{d}{d \tau}\left(m u_{\mu}\right)=0 ;
\]

три уравнения, соответствующие обычным пространственным координатам, сводятся к уравнениям
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m \dot{x}_{i}}{V \dot{1-\beta^{2}}}\right)=0
\]

справедливость которых уже была допущена ранее. Четвертое уравнение принимает вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{i m c}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)=0
\]

и выражает постоянство полной энергии.
Теперь обобщенный импульс имеет четыре компоненты
\[
p_{\mu}=\frac{\partial L}{\partial x_{\mu}^{\prime}}=m u_{\mu} ;
\]

эти соотношения опять-таки тождественны с ранее установленными результатами.

Определим теперь функцию Гамильтона следующим образом:
\[
H=\sum_{\mu} p_{\mu} x_{\mu}^{\prime}-L ;
\]

здесь сумма содержит четыре, а не три члена. Отсюда находим
\[
H=\sum_{\mu} \frac{p_{\mu}^{2}}{2 m}=-\frac{1}{2} m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}} ;
\]

эта величина не совпадает с полной энергией
\[
E=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

однако канонические уравнения
\[
\frac{d}{d \tau}\left(p_{\mu}\right)=-\frac{\partial H}{\partial x_{\mu}} \quad \text { и } \quad \frac{d}{d \tau}\left(x_{\mu}\right)=\frac{\partial H}{\partial p_{\mu}}
\]

приводят к правильным соотношениям.
Можно было бы подумать, что нетождественность функции Гамильтона и полной энергии вызовет серьезные возражения против такой формы записи. Однако это не так, потому что эту запись можно получить также, исходя и из четырехкомпонентного импульса и пользуясь следующим принятым в этой главе определением:
\[
p_{4}=\frac{i E}{c} .
\]

При ковариантной записи уравнений движения в отличие от той, которая была дана в предыдущем разделе, энергия определяется как производная от функции Лагранжа.

Возвращаясь к рассмотрению заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле, надо теперь отметить ограничения, которые нужно наложить на потенциалы А и $\varphi$. При определении этих величин имеется известный произвол, который можно устранить различными путями. При релятивистской трактовке удобно выбрать следующее соотношение:
\[

abla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{i} \frac{\partial \varphi}{\partial t}=0 .
\]

Было бы излишне вводить это соотношение в наши предыдущие рассуждения, но теперь оно дает возможность определить новый четырехмерный вектор. Соотношение (10.36) можно переписать в виде
\[
\sum \frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial(i \varphi)}{\partial x_{4}}=0 ;
\]

отсюда можно вывести, что величины $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}=i \varphi$ являются компонентами четырехмерного вектора. Соотношение (10.36′) устанавливает, что дивергенция такого вектора равна нулю.

Вводя в рассмотрение этот новый вектор и возвращаясь к нековариантной функции Лагранжа для заряженной частицы в электромагнитном поле, можно предположить, что подходящая для данного случая ковариантная форма функции Лагранжа может иметь вид
\[
L=\sum_{\mu}\left[\frac{1}{2} m u_{\mu}^{2}+\frac{e}{c} A_{\mu} u_{\mu}\right] .
\]

Это – скалярная величина; таким образом, первое требование выполнено. Соответствующими уравнениями движения будут уравнения
\[
\frac{d}{d \tau}\left(m u_{\mu}+\frac{e}{c} A_{\mu}\right)=\sum_{
u} \frac{e}{c} u_{v} \frac{\partial A_{v}}{\partial x_{\mu}} ;
\]

их можно привести к двум следующим:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m \mathbf{v}}{V 1-\beta^{2}}\right)=e\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)
\]

и
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\right)=e \mathbf{V} \cdot \mathbf{E} .
\]

Уравнения (10.39) были уже приведены ранее как правильные уравнения. Уравнение (10.40), соответствующее временно́й координате $x_{4}$, совпадает с уравнением (10.25). Таким образом, предложенная функция Лагранжа дает правильную систему уравнений движения.

Компоненты импульса, получаемые из выражения (10.37), определяются формулами
\[
p_{\mu}=m u_{\mu}+\frac{e}{c} A_{\mu} .
\]

Первые три из этих формул совпадают с формулами (10.22) и поэтому приемлемы; четвертая из них не вводилась ранее и имеет вид
\[
p_{4}=m u_{4}+\frac{e}{c} A_{4}=\frac{i}{c}\left(\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e \varphi\right) .
\]

Выражение, заключенное в скобки, было ранее отождествлено с полной энергией частицы [см. абзац, следующий

за формулой (10.26)]; следовательно, будет справедливо то же равенство, что и в случае свободной частицы, а именно
\[
p_{4}=i E / c .
\]

Функция Гамильтона имеет здесь такой вид:
\[
\begin{aligned}
H \equiv \sum_{\mu} p_{\mu} x_{\mu}^{\prime}-L=\sum_{\mu} \frac{1}{2 m}\left(\dot{p}_{\mu}-\frac{e}{c} A_{\mu}\right)^{2} & = \\
=\sum_{\mu} \frac{1}{2} m u_{\mu}^{2} & =-\frac{1}{2} m c^{2} .
\end{aligned}
\]

Данное выражение опять нельзя отождествить с полной энергией. Однако в силу равенства (10.43) это обстоятельство не имеет большого значения. Таким образом, ковариантная форма записи дает исключительно изящный метод для определения физически интересных величин (импульса и энергии) и равным образом уравнений движения. Если ее принять, то схема Ньютона почти полностью нарушается, так как понятие силы теперь совсем исчезает. Можно, конечно, определить компоненты силы, снова возвращаясь к уравнениям движения в обычных пространственно-временны́х обозначениях, но простых тензорных величин, которым эти компоненты соответствуют, нет.

Результаты, изложенные в этом разделе с помощью методов Лагранжа и Гамильтона, в своей сущности тождественны результатам, приведенным в предыдущих разделах. Следует, однако, отметить, что при такой ковариантной форме записи требуются значительно более простые исходные выражения. Функция Лагранжа, определенная формулой (10.37), является одним из наиболее простых скалярных выражений, которые можно составить; при этом мы предполагаем, что данная функция зависит от таких величин, как $x_{\mu}, u_{\mu}$ и $A_{\mu}$. Такая точка зрения оказалась весьма полезной при изучении более сложных систем. В следующей главе в связи с этим будут рассмотрены элементы теории поля.