В этой главе предполагается дать краткое изложение тех положений механики, которые непосредственно вытекают из законов Ньютона и которые будут особенно важны при дальнейшем изложении методов Лагранжа и Гамильтона.

Согласно законам Ньютона движение системы $N$ материальных точек определится решением системы $N$ векторных уравнений движения вида
\[
\mathbf{F}_{s}=\frac{d}{d t} \mathbf{p}_{s}=\frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right) \quad(s=1,2,3, \ldots, \boldsymbol{N}) .
\]

С другой стороны, определяя положение каждой материальной точки тремя декартовыми координатами $x_{i}$, можно записать эти уравнения в виде системы $3 N$ скалярных уравнений
\[
F_{i}=\frac{d}{d t} p_{i}=\frac{d}{d t}\left(m_{i} \dot{x}_{i}\right) \quad(i=1,2,3, \ldots, 3 N),\left(2.1^{\prime}\right)
\]

в которых $\dot{x}_{i} \equiv d x_{i} / d t$. Обозначения выбраны здесь так, что три координаты каждой точки имеют индексы, которые пробегают последовательные значения. Первая материальная точка имеет координаты $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$, и ее масса соответственно равна $m_{1}=m_{2}=m_{3}$. Сначала будет рассматриваться только декартова система координат.

Для определения движения системы необходимо задать компоненты силы и указать начальные значения или граничные условия. В общем случае силы могут зависеть произвольным образом от времени, координат и их производных любого порядка. Однако, как показывают наблюдения, в том случае, когда силы могут быть выражень аналитически, они зависят самое большее от координат и скоростей точек. Тогда уравнения движения являются дифференциальными уравнениями второго порядка и для

их решения требуется указание двух начальных условий для каждого переменного $x_{i}$. Эти условия обычно задаются как значения $x_{i}$ и $\dot{x}_{i}$ в некоторый данный момент времени; таким образом, они также могут быть взяты произвольным образом. Значительно реже они принимают другую форму, такую, как задание значений $x_{i}$ для двух моментов времени $t_{1}$ и $t_{2}$; в этом случае требование совместности с заданными компонентами силы может помешать произвольному заданию таких начальных условий. Во всех случаях требуется, чтобы были заданы все $6 N$ констант.

Законы сохранения
Часто бывает удобно предполагать, что силу, действующую на каждую материальную точку системы, можно рассматривать как сумму двух слагаемых
\[
\mathbf{F}_{s}=\mathbf{F}_{s}^{(i)}+\mathbf{F}_{s}^{(e)},
\]

где $\mathbf{F}_{s}^{(i)}$ — слагаемое, обусловленное другими материальными точками системы, а $\mathbf{F}_{\mathrm{s}}^{(e)}$ — внешняя сила, возникающая помимо системы. Смысл такого разделения состоит в том, что, рассматривая систему как целое и применяя третий закон Ньютона, можно доказать, что внутренние силы попарно уничтожаются, т. е.
\[
\mathbf{F} \equiv \sum_{s=1}^{N} \mathbf{F}_{s}=\sum_{s=1}^{N} \mathbf{F}_{s}^{(e)}
\]

Суммируя уравнения (2.1) и учитывая равенства (2.3), 11о.тучаем уравнение
\[
\sum_{s=1}^{N} \mathbf{F}_{s}^{(e)}=\sum_{s} \frac{d}{d t}\left(\mathbf{p}_{s}\right)=\frac{d}{d t}\left[\sum_{s} \mathbf{p}_{s}\right]=\frac{d}{d t} \mathbf{P},
\]

где $\mathbf{P}$ — общее количество движения системы.
Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то отсюда следует, что $\mathbf{P}=$ const, т. е. общее количество движения системы сохраняет постоянное значение.

Другой интересной величиной является момент количества движения системы. Для $s$-й материальной точки момент количества движения относительно начала координат определяется так:
\[
\boldsymbol{M}_{s}=\mathbf{r}_{s} \times \mathbf{p}_{s}=\mathbf{r}_{s} \times m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s} .
\]

Из уравнений (2.1) вытекают уравнения
\[
\mathbf{r}_{s} \times \mathbf{F}_{s}=\mathbf{r}_{s} \times \frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right)=\frac{d}{d t}\left(\mathbf{r}_{s} \times m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right)=\frac{d}{d t} \mathbf{M}_{s},
\]

откуда следует, что производная по времени от момента количества движения $s$-й материальной точки равна моменту приложенной к ней силы.

Суммируя по всем материальным точкам системы, находим
\[
\sum_{s} \mathbf{r}_{\mathbf{s}} \times \mathbf{F}_{s}=\sum_{s} \frac{d}{d t} \mathbf{M}_{s}=\frac{d}{d t} \sum_{s} \mathbf{M}_{s}=\frac{d}{d t} \mathbf{M} .
\]

Таким образом, производная по времени от момента количества движения системы равна сумме моментов всех сил, действующих на систему, как внутренних, так и внешних. Действие внутренних сил больше не уничтожается на основе только третьего закона Ньютона. Вместо этого требуется более ограничительное условие, состоящее в том, чтобы внутренние силы были центральными, т. е. чтобы они были направлены вдоль линий, соединяющих материальные точки. При этом условии уравнение (2.7) принимает вид
\[
\sum_{s} \mathbf{r}_{s} \times \mathbf{F}_{s}^{(e)}=\frac{d}{d t} \mathbf{M} .
\]

Далее, если главный момент внешних сил равен нулю, то отсюда будет следовать, что $\boldsymbol{M}=\mathrm{const}$, т. е. главный момент количества движения системы сохраняет постоянное значение.

Отмеченные теоремы сохранения играют важную роль в механике. В некоторых случаях определение величин, сохраняющих постоянное значение, можно рассматривать как решение задачи:

Энергия
Для измерения полного действия силы представляется естественным рассмотреть интеграл, взятый от этой силы вдоль пути материальной точки, на которую действует сила. Из уравнений (2.1) мы имеем
\[
\int_{1}^{2} \mathbf{F}_{s} \cdot d \mathbf{r}_{s}=\int_{1}^{2} \frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right) \cdot d \mathbf{r}_{s}=\left[\frac{1}{2} m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}^{2}\right]_{1}^{2} .
\]

Этот криволинейный интеграл является скалярной величиной и представляет собой работу, совершаемую силой. В соответствии с тем, что вообще желательно описывать движения при помощи величин, сохраняющих постоянное значение, предполагается, что эта работа накапливается в данной материальной точке как кинетическая энергия движения. Поэтому величина $1 / 2 m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}^{2}$, появившаяся в правой части уравнений (2.8), определяется как кинетическая энергия $T_{s} \quad s$-й материальной точки.
Суммируя по всем точкам системы, имеем теперь
\[
\int_{1}^{2} \sum_{s=1}^{N} \mathbf{F}_{s} \cdot d \mathbf{r}_{s}=\sum_{s} \int_{1}^{2} \mathbf{F}_{s} \cdot d \mathbf{r}_{s}=\sum_{s}\left[T_{s}\right]_{1}^{2}=T^{(2)}-T^{(1)},
\]

где $T^{(2)}$ и $T^{(1)}$ обозначают конечное и начальное значения полной кинетической энергии системы.

В некоторых случаях сумма $\sum_{s=1}^{N} \mathbf{F}_{s} \cdot d \mathbf{r}_{s}$ может быть выражена как полный дифференциал $-d V$, где $V=V\left(x_{i}\right)$ является функцией координат $x_{i}$. Тогда работа, совершаемая силами, не зависит от вида тех траекторий, по которым следуют материальные точки, а зависит только от начального и конечного положений этих точек. Такие силы и соответствующие системы называются консервативными. При таком ограничении уравнение (2.9) дает
\[
V^{(1)}+T^{(1)}=V^{(2)}+T^{(2)} .
\]

Это соотношение устанавливает, что полная энергия $E=T+V$ системы сохраняется, хотя и возможен обмен между ее кинетической и потенциальной составляющими $T$ и $V$.

Можно указать, что, в то время как в понятии кинетической энергии имеется некоторая «реальность», нельзя утверждать того же относительно потенциальной энергии. Последняя в известном смысле является некоторой фиктивной величиной, определяемой таким образом, что изменения ее значения в точности компенсируют любые изменения кинетической энергии. Поэтому то обстоятельство, что сумма этих двух величин сохраняет постоянное значение, не является неожиданным. Однако подобные возражения могут возникнуть и относительно реальности сил, так как их можно также рассматривать как уравновешивающие члены в математических уравнениях. Затруднение разрешается в обоих случаях благодаря пониманию того, что конечной целью механики является описание движения системы. Введение нового термина для каких-либо хорошо определенных величин, связанных с движением, является допустимым, если это каким-либо образом помогает в достижении указанной цели. В случае когда различные величины именуются энергией, не может быть сомнения в том, что это существенно помогает процессу описания.

Практическое значение понятия энергии состоит в том, что все механические свойства сложной системы можно описать при помощи установления математической формы ограниченного числа скалярных функций — энергий. Аналитическая механика дает общее развитие этой идеи.

Принцип минимума энергии
В предыдущем разделе консервативная система была определена как система, в которой компоненты ситы задаются следующим образом:
\[
F_{i}=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}}, \quad \text { где } V=V\left(x_{i}\right) .
\]

Если эта система находится в равновесии, то
\[
F_{i}=0, \quad \text { т. е. } \frac{\partial V}{\partial x_{i}}=0 \quad(i=1,2,3, \ldots, 3 N) .
\]

Однако эти $3 N$ условия являются требованиями того, чтобы функция $V$ имела стационарное значение. Таким образом, при равновесии консервативной системы ее потенциальная энергия имеет стационарное значение. Выражение «принцип

минимума энергии» связано с тем обстоятельством, что рассматриваемое состояние равновесия обычно является устойчивым, но, по существу, в этом нет необходимости.

Данный результат обычно называется «принципом», но, как было показано, он является непосредственным выводом из определения консервативной системы. Он представляет собой простейшую форму метода аналитической механики, применимую только к довольно ограниченному кругу задач, касающихся равновесия консервативных систем.

Связи
Движение системы может быть некоторым образом ограничено посредством связей, вносящих геометрические ограничения в движение системы. Элементарным примером является простой маятник, в котором движение ограничивается в том смысле, что маятниковая гиря (идеализируемая как материальная точка) остается на одном и том же расстоянии $l$ от неподвижной точки подвеса а. Это является примером голономной связи, которая может быть представлена уравнением связи
\[
(\mathbf{r}-\mathbf{a})^{2}=l^{2},
\]

где $\mathbf{r}$ является радиусом-вектором гири. Основным свойством голономных связей является существование одного или нескольких конечных соотношений, связывающих некоторые (или все) пространственные и временны́е координаты материальных точек системы. Другими примерами являются материальная точка, движущаяся по плоскости (не обязательно неподвижной в пространстве), и машина Атвуда, в которой две материальные точки связаны нитью постоянной длины. Твердое тело представляет собой особенно простой тип системы с голономными связями, в которой расстояние между всеми точками сохраняется постоянным.

Не все связи голономны. Например, диск, катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости и имеющий горизонтальную ось вращения, также является неголономной системой, так как связь выражается посредством неинтегрируемого дифференциального соотношения, содержащего координаты точки соприкосновения диска с плоскостью. (Этот пример будет рассмотрен в гл. VI.) Существуют

другие виды неголономных связей, которые совершенно невозможно представить в математической форме. Общие методы определения движения неголономной системы могут быть созданы только в том случае, если имеются дифференциальные уравнения связей. Другие случаи требуют самостоятельной трактовки и не всегда могут быть решены.

Если система подчинена $m$ уравнениям связей, то в силу этого $m$ из первоначальных $3 N$ переменных, описывающих систему, становятся зависимыми. В этом случае говорят, что система имеет только $3 N-m$ степеней свободы. Иногда возникают трудности, состоящие в том, что не очевидно, какие из переменных целесообразно взять в качестве зависимых; как будет видно позже, эти затруднения можно обойти с помощью неопределенных множителей, вносящих симметрию в рассмотрение задачи.

В общем случае для того, чтобы связи, наложенные на систему, сохранялись, требуются силы. Эти силы первоначально не известны. Знание их величины часто не является необходимым, и они обычно исключаются из уравнений движения на раннем же этапе, однако, в случае необходимости, должны быть разработаны методы для их определения (см. гл. VI). Если условия, выражающие связи, не зависят от времени, то соответствующие силы не будут производить работы, хотя они и не будут, вообще говоря, постоянными во время движения. В силу этого такие связи обычно называют неработающими. Связи, зависящие от времени, не являются неработающими.

Связи представляют собой идеализированные понятия, введенные для того, чтобы помочь решению задач механики. В общем случае они представляют весьма упрощенные формы сложных систем. Таков, например, случай движения материальной точки по горизонтальной плоскости. В реальном случае плоскость была бы поверхностью упругого твердого тела и слегка деформировалась бы под действием sеса предмета. В процессе идеализации рассматривается геометрическая плоскость и непрерывные силы реакций заменяются разрывными силами — реакциями связей. Такие разрывные силы не предусматриваются в законах Ньютона, и необходим новый постулат [представленный неравенством (2.18)], прежде чем можно будет их включить в надлежащую математическую схему.

Обобщенные координаты
При решении большинства задач механики нельзя достигнуть успеха без специального выбора системы координат. Ввиду своей простоты декартова система используется наиболее часто, но она не всегда наиболее удобна. Например, при рассмотрении движения материальной точки под действием центральной силы полезнее использовать полярную систему координат.

Системы координат, отличные от декартовых, будут рассматриваться в общем виде, так что в дальнейшем их можно будет выбирать любым подходящим образом. Координатами обычно будут являться расстояния или углы, но могут быть и другие величины, особенно при последних обобщениях методов классической механики. Уравнения движения, записанные в обобщенных координатах, имеют такой же общий внешний вид, но содержат вместе с тем члены, относительно которых могут возникнуть некоторые споры: рассматривать ли их с полным правом как «силовые» члены или как члены, характеризующие «быстроту изменения количества движения». Примерами этого являются центробежная «сила» и «сила» Кориолиса; обе они связаны с вращающейся системой координат. Ни одна из них не связана ни с каким внешним воздействием; они представляют собой фиктивные силы, возникающие при данном методе описания как особенности используемой системы координат. При векторном подходе эти фиктивные силовые члены значительно усложняют выражение уравнений движения. При использовании аналитического метода эти силы появляются сами собой как результат систематически проводимых математических операций; в этом и состоит одно из значительных преимуществ аналитического метода.

Преимущество обобщенных систем координат состоит в том, что в большинстве случаев связи учитываются самим выбором этих систем. В силу этого устраняется необходимость написания отдельно $3 N$ уравнений движения и $m$ уравнений связи. Эти соображения могут быть хорошо пояснены рассмотрением твердого тела, движение которого определяется тремя координатами (возможно, все еще декартовыми) центра масс в совокупности с тремя углами.

Пространство конфигураций
Определение движения одной материальной точки является задачей механики в трех измерениях. Можно рассматривать две материальные точки; положение каждой точки определяется тремя координатами; иначе говоря, задачу о системе, состоящей из двух точек, можно рассматривать как задачу об одной точке, движущейся в шестимерном пространстве. Различие, в известном отношении, заключается только в терминологии; трудности философского характера легко устранить, обращаясь к шести переменным вместо шестимерного пространства. Тем не менее такое геометрическое представление может быть весьма наглядным и полезным, так как для пояснения доказательств можно использовать совершенно простые чертежи.

В общем случае задача о движении $N$ материальных точек может рассматриваться как задача о движении одной материальной точки, перемещающейся вдоль некоторой траектории в $3 N$-мерном пространстве. Это пространство называется пространством конфигураций. Говорят, что связи ограничивают движение подпространством соответственно меньшего числа измерений. Эту терминологию можно использовать при любой обобщенной системе координат.

Принцип возможных перемещений и принцип Даламбера
Возможно и часто желательно бывает представить произвольные мгновенные изменения радиусов-векторов, определяющих положение материальных точек систем. Цель рассмотрения таких изменений, известных как возможные перемещения, заключается в том, чтобы дать нечто вроде математического зонда для исследования свойств системы. Бесконечно малое возможное перемещение какой-нибудь $s$-й точки будет обозначаться через $\delta \mathbf{r}_{s}$.

Затем если система находится в равновесии, то по определению
\[
\mathbf{F}_{s}=0 \quad(s=1,2, \ldots, N) ;
\]

отсюда следует, что
\[
\mathbf{F}_{s} \cdot \delta \mathbf{r}_{s}=0
\]

и также
\[
\sum_{s} \mathrm{~F}_{s} \cdot \delta \mathrm{r}_{\mathrm{s}}=0
\]

Результаты (2.14) и (2.15) являются тривиальными математическими выводами из определения равновесия. Однако если силы $\mathrm{F}_{s}$ являются непрерывными функциями координат, то уравнение (2.15) принимает новый физический смысл, который символически можно выразить так:
\[
\delta W=0 .
\]

Этот результат представляет математическую формулировку принципа возможных перемещений, который состоит в следующем:

Работа, совершаемая на любом бесконечно малом возможном перемещении системы из положения равновесия, равна нулю.

Если в системе имеются связи, то силы могут быть разделены на активные, или действующие силы ( $\left.\mathbf{F}_{s}^{(a)}\right)$, и силы реакций связей $\left(\mathbf{F}_{s}^{(c)}\right)$, так что
\[
\mathbf{F}_{s}=\mathbf{F}_{s}^{(c)}+\mathbf{F}_{s}^{(a)} \text {; }
\]

тогда уравнение (2.15) принимает вид
\[
\sum_{s} \mathbf{F}_{s}^{(c)} \cdot \delta \mathbf{r}_{s}+\sum_{s} \mathbf{F}_{s}^{(a)} \cdot \delta \mathbf{r}_{s}=0 .
\]

Уравнение (2.15′) нельзя рассматривать как утверждение, относящееся к работе на возможных перемещениях, так как разрывная природа реакций связей присуща самому понятию связей. Эта трудность преодолевается путем введения нового постулата, а именно
\[
\mathbf{F}_{s}^{(c)} \cdot \delta \mathbf{r}_{s} \geqslant 0
\]

для всех $\delta \mathbf{r}_{s}$, совместимых со связями.
Это неравенство в действительности является утверждением, касающимся направлений допустимых возможных перемещений относительно сил реакций. Его справедливость может быть проверена путем рассмотрения элементарных примеров систем со связями, таких, как материальная точка, находящаяся в покое на горизонтальной плоскости; в этом случае единственными перемещениями

материальной точки, совместимыми со связями, являются перемещения вдоль плоскости или вверх от нее.
Сопоставляя соотношения (2.15′) и (2.18), получаем
\[
\sum_{s} \mathbf{F}_{s}^{(a)} \cdot \delta \mathrm{r}_{\mathrm{s}} \leqslant 0 .
\]

Теперь единственными силами, входящими в это выражение являются активные силы, которые действуют на систему и которые можно считать непрерывными функциями координат. Таким образом, этот результат снова можно рассматривать как утверждение, касающееся работы, произведенной силами во время перемещения, совместимого со связями,
\[
\delta W \equiv \sum_{s} \mathbf{F}_{s}^{(a)} \cdot \delta \mathbf{r}_{s} \leqslant 0 .
\]

Если теперь ограничиться рассмотрением возможных перемещений, которые в геометрическом смысле являются обратимыми (такие перемещения мы обозначаем символом $\delta^{\prime}$ ), то неравенство (2.19) означает, что
\[
\sum_{s} \mathbf{F}_{s}^{(a)} \cdot \delta^{\prime} \mathbf{r}_{s} \leqslant 0
\]

и
\[
\sum_{s} \mathbf{F}_{s}^{(a)} \cdot\left(-\delta^{\prime} \mathbf{r}_{s}\right) \leqslant 0 .
\]

Эти соотношения совместны только в том случае, когда
\[
\sum_{s} \mathbf{F}_{s}^{(a)} \cdot \delta^{\prime} \mathbf{r}_{s}=0 .
\]

Это-обобщенная форма принципа возможных перемещений, которая утверждает:

Работа, совершаемая активными силами, приложенными к системе, при обратимых, совместимых со связями, бесконечно малых возможных перемещениях из положения равновесия, равна нулю.

Так как на систему наложены связи, то не все $\delta^{\prime} \mathbf{r}_{s}$ будут независимы. Отсюда следует, что в отличие от результата, относящегося к уравнению (2.15), из уравнения (2.20) нельзя заключить, что $F_{s}^{(a)}=0$. Однако во многих случаях можно перейти к обобщенной системе координат (обозначаемых $q_{i}$ ), в которой уравнения связей

учитываются автоматически. Тогда соотношение может быть приведено к следующему:
\[
\sum_{i} Q_{i}^{(a)} \delta^{\prime} q_{i}=0 .
\]

В этом случае число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы системы, т. е. все обобщенные возможные перемещения $\delta^{\prime} q_{i}$ могут быть сделаны независимыми. Тогда из соотношения (2.20′) вытекают следующие равенства:
\[
Q_{i}^{(a)}=0 .
\]

Изложенные до сих пор соображения относились только к системам, находящимся в равновесии. Движущиеся системы могут быть включены в них путем обобщения доказательства. Ранее установленные уравнения движения имели вид
\[
\mathbf{F}_{s}=\frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right),
\]
T. e.
\[
\mathbf{F}_{s}-\frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right)=0 .
\]

Как и прежде, для произвольного возможного перемещения имеем
\[
\sum_{\mathrm{s}}\left(\mathbf{F}_{s}-\frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right)\right) \cdot \delta \mathbf{r}_{s}=0 .
\]

Силы $\mathbf{F}_{s}$ можно разделить на реакции связей и активные силы; тогда
\[
\sum_{s} \mathbf{F}_{s}^{(c)} \cdot \delta \mathbf{r}_{s}+\sum_{s}\left(\mathbf{F}_{s}^{(a)}-\frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right)\right) \cdot \delta \mathbf{r}_{s}=0
\]

и, ограничиваясь перемещениями, совместимыми со связями, снова можно постулировать, что
\[
\mathbf{F}_{s}^{(c)} \cdot \delta \mathbf{r}_{s} \geqslant 0 ;
\]

отсюда и из уравнения (2.22′) имеем
\[
\sum_{\varepsilon}\left(\mathbf{F}_{s}^{(a)}-\frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right)\right) \cdot \delta \mathbf{r}_{s} \leqslant 0 .
\]

Дальнейшее ограничение, касающееся обратимости возможных перемещений, дает
\[
\sum_{s}\left(\mathbf{F}_{s}^{(a)}-\frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right)\right) \cdot \delta^{\prime} \mathbf{r}_{s}=0 .
\]

Здесь снова нельзя непосредственно что-либо заключить относительно величин, заключенных в скобки, так как наличие связей не позволяет считать перемещения независимыми. Эту трудность в некоторых случаях можно опять-таки преодолеть, переходя к соответствующей системе обобщенных координат. Общий метод, которым можно это сделать, будет рассмотрен в следующей главе как существенная часть аналитического метода.

Первый член формулы (2.24) снова отождествляется с работой, совершенной во время возможного перемещения. Смысл второго члена является более спорным. Обычно вместо $-d\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right) / d t$ пишется величина $\mathbf{I}_{s}$, которая рассматривается как сила инерции. Тогда уравнение (2.24) принимает вид
\[
\sum_{s}\left(\mathbf{F}_{s}^{(a)}+\mathbf{I}_{s}\right) \cdot \delta^{\prime} \mathbf{r}_{s}=0 .
\]

Эту сумму активных сил и сил инерционных мы назовем эффективными силами. Пользуясь этими новыми определениями, можно утверждать следующее:

Полная работа, совершаемая эффективными силами, при обратимом, совместимом со связями, бесконечно малом возможном перемещении любой динамической системы, равна нулю.

Это утверждение известно как принцип Даламбера. Его словесная формулировка была подсказана несколько искусственным рассмотрением некоторых членов как сил инерции, и сомнительно, имеет ли здесь выражение «совершенная работа» какой-либо реальный смысл. Однако это является маловажной игрой слов. Утверждение этого принципа означает справедливость соотношения (2.24). Последнее, вероятно, является наиболее общим утверждением во всей механике материальных систем, и содержание всех последующих принципов. включая принцип Гамильтона, может быть получено из него.

Уравнения движения Ньютона также выводятся из уравнения (2:24), но, как видно из изложенного, обратный вывод

этого принципа из уравнений движения требует принятия нового постулата, выражаемого формулой (2.18). Это расходится с тем мнением, что вся механика основывается на законах Ньютона. Трудность заключается в самой природе связей. Для вычислительных целей они идеализируются до такой степени, что приводят к существованию разрывных сил. Конечно, такие явления не существуют в природе, хотя реальные условия и могут к ним приближаться. Если такую идеализацию считать желательной, то для ее включения в общее описание ${ }^{1}$ ) необходим дополнительный постулат, лежащий вне ньютоновской схемы. Однако термин «ньютоновская механика» будет часто использоваться в широком смысле, чтобы включить принцип Даламбера так же, как и законы Ньютона.

Принцип Даламбера часто применяется как средство определения сил — реакций связей. Непосредственно это невозможно, так как содержание принципа специально исключает такие силы. Метод состоит в том, чтобы рассмотреть другую систему, в которой одна или несколько сил реакций связей заменяется приложенной силой. Затем можно вычислить последнюю, совершая возможное перемещение системы. Значение полученной таким образом силы представляет собой величину соответствующей силы реакции связи в первоначальной системе.

Следует обратить внимание на частный вид уравнения (2.24). Предноложим, что возможные перемещения совпадают с действительным перемещением системы за время $d t$. Тогда
\[
\delta^{\prime} \mathrm{r}_{s}=\dot{\mathrm{r}}_{\mathrm{s}} d t \text {, }
\]

и соотношение (2.24) принимает вид
\[
\sum_{s}\left(\mathbf{F}_{s}^{(a)}-\frac{d}{d t}\left(m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}\right)\right) \cdot \dot{\mathbf{r}}_{s} d t=0,
\]
T. e.
\[
\sum_{s} \mathbf{F}_{s}^{(a)} \cdot d \mathbf{r}_{s}-\frac{d}{d t}\left(\sum_{s} \frac{1}{2} m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{s}^{2}\right) d t=0 .
\]

В выражении $\sum_{s} 1 / 2 m_{s} \dot{\mathbf{r}}_{8}^{2}$ можно узнать кинетическую энергию $T$ системы; ограничиваясь, кроме того, случаем консервативной системы (т. е. полагая $\mathrm{F}_{s}^{(a)}=-
abla_{s} V$ ), соотношение (2.27) можно переписать так:
\[
d(V+T)=0 .
\]

Это соотношение утверждает, что полная энергия системы остается постоянной во все время движения, т. е. принцип сохранения энергии снова получается как частный случай принципа Даламбера.