Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
В этой главе предполагается дать краткое изложение тех положений механики, которые непосредственно вытекают из законов Ньютона и которые будут особенно важны при дальнейшем изложении методов Лагранжа и Гамильтона. Согласно законам Ньютона движение системы С другой стороны, определяя положение каждой материальной точки тремя декартовыми координатами в которых Для определения движения системы необходимо задать компоненты силы и указать начальные значения или граничные условия. В общем случае силы могут зависеть произвольным образом от времени, координат и их производных любого порядка. Однако, как показывают наблюдения, в том случае, когда силы могут быть выражень аналитически, они зависят самое большее от координат и скоростей точек. Тогда уравнения движения являются дифференциальными уравнениями второго порядка и для их решения требуется указание двух начальных условий для каждого переменного Законы сохранения где Суммируя уравнения (2.1) и учитывая равенства (2.3), 11о.тучаем уравнение где Другой интересной величиной является момент количества движения системы. Для Из уравнений (2.1) вытекают уравнения откуда следует, что производная по времени от момента количества движения Суммируя по всем материальным точкам системы, находим Таким образом, производная по времени от момента количества движения системы равна сумме моментов всех сил, действующих на систему, как внутренних, так и внешних. Действие внутренних сил больше не уничтожается на основе только третьего закона Ньютона. Вместо этого требуется более ограничительное условие, состоящее в том, чтобы внутренние силы были центральными, т. е. чтобы они были направлены вдоль линий, соединяющих материальные точки. При этом условии уравнение (2.7) принимает вид Далее, если главный момент внешних сил равен нулю, то отсюда будет следовать, что Отмеченные теоремы сохранения играют важную роль в механике. В некоторых случаях определение величин, сохраняющих постоянное значение, можно рассматривать как решение задачи: Энергия Этот криволинейный интеграл является скалярной величиной и представляет собой работу, совершаемую силой. В соответствии с тем, что вообще желательно описывать движения при помощи величин, сохраняющих постоянное значение, предполагается, что эта работа накапливается в данной материальной точке как кинетическая энергия движения. Поэтому величина где В некоторых случаях сумма Это соотношение устанавливает, что полная энергия Можно указать, что, в то время как в понятии кинетической энергии имеется некоторая «реальность», нельзя утверждать того же относительно потенциальной энергии. Последняя в известном смысле является некоторой фиктивной величиной, определяемой таким образом, что изменения ее значения в точности компенсируют любые изменения кинетической энергии. Поэтому то обстоятельство, что сумма этих двух величин сохраняет постоянное значение, не является неожиданным. Однако подобные возражения могут возникнуть и относительно реальности сил, так как их можно также рассматривать как уравновешивающие члены в математических уравнениях. Затруднение разрешается в обоих случаях благодаря пониманию того, что конечной целью механики является описание движения системы. Введение нового термина для каких-либо хорошо определенных величин, связанных с движением, является допустимым, если это каким-либо образом помогает в достижении указанной цели. В случае когда различные величины именуются энергией, не может быть сомнения в том, что это существенно помогает процессу описания. Практическое значение понятия энергии состоит в том, что все механические свойства сложной системы можно описать при помощи установления математической формы ограниченного числа скалярных функций — энергий. Аналитическая механика дает общее развитие этой идеи. Принцип минимума энергии Если эта система находится в равновесии, то Однако эти минимума энергии» связано с тем обстоятельством, что рассматриваемое состояние равновесия обычно является устойчивым, но, по существу, в этом нет необходимости. Данный результат обычно называется «принципом», но, как было показано, он является непосредственным выводом из определения консервативной системы. Он представляет собой простейшую форму метода аналитической механики, применимую только к довольно ограниченному кругу задач, касающихся равновесия консервативных систем. Связи где Не все связи голономны. Например, диск, катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости и имеющий горизонтальную ось вращения, также является неголономной системой, так как связь выражается посредством неинтегрируемого дифференциального соотношения, содержащего координаты точки соприкосновения диска с плоскостью. (Этот пример будет рассмотрен в гл. VI.) Существуют другие виды неголономных связей, которые совершенно невозможно представить в математической форме. Общие методы определения движения неголономной системы могут быть созданы только в том случае, если имеются дифференциальные уравнения связей. Другие случаи требуют самостоятельной трактовки и не всегда могут быть решены. Если система подчинена В общем случае для того, чтобы связи, наложенные на систему, сохранялись, требуются силы. Эти силы первоначально не известны. Знание их величины часто не является необходимым, и они обычно исключаются из уравнений движения на раннем же этапе, однако, в случае необходимости, должны быть разработаны методы для их определения (см. гл. VI). Если условия, выражающие связи, не зависят от времени, то соответствующие силы не будут производить работы, хотя они и не будут, вообще говоря, постоянными во время движения. В силу этого такие связи обычно называют неработающими. Связи, зависящие от времени, не являются неработающими. Связи представляют собой идеализированные понятия, введенные для того, чтобы помочь решению задач механики. В общем случае они представляют весьма упрощенные формы сложных систем. Таков, например, случай движения материальной точки по горизонтальной плоскости. В реальном случае плоскость была бы поверхностью упругого твердого тела и слегка деформировалась бы под действием sеса предмета. В процессе идеализации рассматривается геометрическая плоскость и непрерывные силы реакций заменяются разрывными силами — реакциями связей. Такие разрывные силы не предусматриваются в законах Ньютона, и необходим новый постулат [представленный неравенством (2.18)], прежде чем можно будет их включить в надлежащую математическую схему. Обобщенные координаты Системы координат, отличные от декартовых, будут рассматриваться в общем виде, так что в дальнейшем их можно будет выбирать любым подходящим образом. Координатами обычно будут являться расстояния или углы, но могут быть и другие величины, особенно при последних обобщениях методов классической механики. Уравнения движения, записанные в обобщенных координатах, имеют такой же общий внешний вид, но содержат вместе с тем члены, относительно которых могут возникнуть некоторые споры: рассматривать ли их с полным правом как «силовые» члены или как члены, характеризующие «быстроту изменения количества движения». Примерами этого являются центробежная «сила» и «сила» Кориолиса; обе они связаны с вращающейся системой координат. Ни одна из них не связана ни с каким внешним воздействием; они представляют собой фиктивные силы, возникающие при данном методе описания как особенности используемой системы координат. При векторном подходе эти фиктивные силовые члены значительно усложняют выражение уравнений движения. При использовании аналитического метода эти силы появляются сами собой как результат систематически проводимых математических операций; в этом и состоит одно из значительных преимуществ аналитического метода. Преимущество обобщенных систем координат состоит в том, что в большинстве случаев связи учитываются самим выбором этих систем. В силу этого устраняется необходимость написания отдельно Пространство конфигураций В общем случае задача о движении Принцип возможных перемещений и принцип Даламбера Затем если система находится в равновесии, то по определению отсюда следует, что и также Результаты (2.14) и (2.15) являются тривиальными математическими выводами из определения равновесия. Однако если силы Этот результат представляет математическую формулировку принципа возможных перемещений, который состоит в следующем: Работа, совершаемая на любом бесконечно малом возможном перемещении системы из положения равновесия, равна нулю. Если в системе имеются связи, то силы могут быть разделены на активные, или действующие силы ( тогда уравнение (2.15) принимает вид Уравнение (2.15′) нельзя рассматривать как утверждение, относящееся к работе на возможных перемещениях, так как разрывная природа реакций связей присуща самому понятию связей. Эта трудность преодолевается путем введения нового постулата, а именно для всех материальной точки, совместимыми со связями, являются перемещения вдоль плоскости или вверх от нее. Теперь единственными силами, входящими в это выражение являются активные силы, которые действуют на систему и которые можно считать непрерывными функциями координат. Таким образом, этот результат снова можно рассматривать как утверждение, касающееся работы, произведенной силами во время перемещения, совместимого со связями, Если теперь ограничиться рассмотрением возможных перемещений, которые в геометрическом смысле являются обратимыми (такие перемещения мы обозначаем символом и Эти соотношения совместны только в том случае, когда Это-обобщенная форма принципа возможных перемещений, которая утверждает: Работа, совершаемая активными силами, приложенными к системе, при обратимых, совместимых со связями, бесконечно малых возможных перемещениях из положения равновесия, равна нулю. Так как на систему наложены связи, то не все учитываются автоматически. Тогда соотношение может быть приведено к следующему: В этом случае число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы системы, т. е. все обобщенные возможные перемещения Изложенные до сих пор соображения относились только к системам, находящимся в равновесии. Движущиеся системы могут быть включены в них путем обобщения доказательства. Ранее установленные уравнения движения имели вид Как и прежде, для произвольного возможного перемещения имеем Силы и, ограничиваясь перемещениями, совместимыми со связями, снова можно постулировать, что отсюда и из уравнения (2.22′) имеем Дальнейшее ограничение, касающееся обратимости возможных перемещений, дает Здесь снова нельзя непосредственно что-либо заключить относительно величин, заключенных в скобки, так как наличие связей не позволяет считать перемещения независимыми. Эту трудность в некоторых случаях можно опять-таки преодолеть, переходя к соответствующей системе обобщенных координат. Общий метод, которым можно это сделать, будет рассмотрен в следующей главе как существенная часть аналитического метода. Первый член формулы (2.24) снова отождествляется с работой, совершенной во время возможного перемещения. Смысл второго члена является более спорным. Обычно вместо Эту сумму активных сил и сил инерционных мы назовем эффективными силами. Пользуясь этими новыми определениями, можно утверждать следующее: Полная работа, совершаемая эффективными силами, при обратимом, совместимом со связями, бесконечно малом возможном перемещении любой динамической системы, равна нулю. Это утверждение известно как принцип Даламбера. Его словесная формулировка была подсказана несколько искусственным рассмотрением некоторых членов как сил инерции, и сомнительно, имеет ли здесь выражение «совершенная работа» какой-либо реальный смысл. Однако это является маловажной игрой слов. Утверждение этого принципа означает справедливость соотношения (2.24). Последнее, вероятно, является наиболее общим утверждением во всей механике материальных систем, и содержание всех последующих принципов. включая принцип Гамильтона, может быть получено из него. Уравнения движения Ньютона также выводятся из уравнения (2:24), но, как видно из изложенного, обратный вывод этого принципа из уравнений движения требует принятия нового постулата, выражаемого формулой (2.18). Это расходится с тем мнением, что вся механика основывается на законах Ньютона. Трудность заключается в самой природе связей. Для вычислительных целей они идеализируются до такой степени, что приводят к существованию разрывных сил. Конечно, такие явления не существуют в природе, хотя реальные условия и могут к ним приближаться. Если такую идеализацию считать желательной, то для ее включения в общее описание Принцип Даламбера часто применяется как средство определения сил — реакций связей. Непосредственно это невозможно, так как содержание принципа специально исключает такие силы. Метод состоит в том, чтобы рассмотреть другую систему, в которой одна или несколько сил реакций связей заменяется приложенной силой. Затем можно вычислить последнюю, совершая возможное перемещение системы. Значение полученной таким образом силы представляет собой величину соответствующей силы реакции связи в первоначальной системе. Следует обратить внимание на частный вид уравнения (2.24). Предноложим, что возможные перемещения совпадают с действительным перемещением системы за время и соотношение (2.24) принимает вид В выражении Это соотношение утверждает, что полная энергия системы остается постоянной во все время движения, т. е. принцип сохранения энергии снова получается как частный случай принципа Даламбера.
|
1 |
Оглавление
|