До сих пор методы Лагранжа и Гамильтона излагались применительно к системам, имеющим конечное число степеней свободы. Целью настоящей главы является распространение этих методов на непрерывные системы, в которых число степеней свободы бесконечно велико. Это нетрудно сделать, если выбрана подходящая функция Лагранжа; однако в отношении формы параметров, от которых зависят различные функции, имеется известный элемент неожиданности.

Метод Лагранжа
Для того чтобы понять необходимые видоизменения метода, следует развить соображения, изложенные в предыдущих разделах. Частным случаем непрерывной среды является непрерывное одномерное упругое тело, которое можно рассматривать как предельный случай линейной цепи взаимодействующих материальных точек. Для удобства будем считать, что взаимодействие осуществляется пружинами, связывающими каждую пару соседних материальных точек (см. рис. 7).
Рис. 7. Цепь точек, заменяющих упругое тело.
Пусть все частицы имеют одну и ту же массу $m$, расположены на расстоянии $a$ одна от другой и связаны посредством пружин с одинаковым коэффициентом упругости $k$. Обозначим, как и прежде, перемещение $i$-й материальной

точки через $\eta_{i}$. Тогда уравнение ее движения запишется в виде
\[
m \ddot{\eta}_{i}=k\left[\left(\eta_{i+1}-\eta_{i}\right)-\left(\eta_{i}-\eta_{i-1}\right)\right] .
\]

Рассматриваемая система консервативна, и силы могут быть выведены из следующего скалярного потенциала ${ }^{1}$ ):
\[
V=\sum_{i} \frac{1}{2} k\left(\eta_{i+1}-\eta_{i}\right)^{2}
\]

Кинетическая энергия системы равна
\[
T=\sum_{i} \frac{1}{2} m \dot{\eta}_{i}^{2}
\]

следовательно, функция Лагранжа имеет вид
\[
L=T-V=\sum_{i}\left[\frac{1}{2} m \dot{\eta}_{i}^{2}-\frac{1}{2} k\left(\eta_{i+1}-\eta_{i}\right)^{2}\right]=\sum_{i} a L_{i} .
\]

Простая проверка показывает, что уравнения Лагранжа, полученные дифференцированием этой функции обычным путем, совпадают с уравнениями (9.1).

От этой системы отдельных точек можно перейти к непрерывной среде с помощью следующего соответствия:
\[
\left.\begin{array}{rl}
a \rightarrow d x, \quad \sum(\quad) & \rightarrow \int(\quad) d x, \\
\frac{m}{a} \rightarrow \varrho \text { (плотность), } \quad k a & \rightarrow E \text { (модуль Юнга), } \\
\frac{\eta_{i+1}-\eta_{i}}{a} & \rightarrow \frac{d \eta}{d x} ;
\end{array}\right\}
\]

отсюда
\[
L \rightarrow \int \mathscr{L} d x
\]

где ${ }^{1}$ )
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2}\left[\varrho \dot{\eta}^{2}-E\left(\frac{d \eta}{d x}\right)^{2}\right] .
\]

Таким образом, оказывается, что функцию Лагранжа, относящуюся ко всей данной системе, можно рассматривать как интеграл от другой функции. Эту последнюю функцию $\mathscr{L}$ называют плотностью функции Лагранжа.

Если применять принцип Гамильтона, то мы должны написать
\[
\delta \int L d t=0 .
\]

В силу соответствия (9.6) это равенство преобразуется так:
\[
\delta \iint \mathscr{L} d x d t=0 .
\]

Конечно, нет гарантии того, что принцип Гамильтона на самом деле будет применим, и единственным критерием его справедливости будет совпадение уравнений движения, выведенных из принятого принципа, с уравнениями, выведенными другим методом.

Принцип Гамильтона в форме (9.9) нам ранее не встречался, но сама эта форма подсказывает, что $x$ и $t$ надо рассматривать как равноправные переменные. Следовательно, вариация этого интеграла осуществляется посред-

ством изменения пути интегрирования таким образом, чтобы сохранять закрепленными конечные точки ( $\eta_{1}, x_{1}, t_{1}$ и $\eta_{2}, x_{2}, t_{2}$ ) траектории, а во всех других точках изменять значения $\eta$, сохраняя значения $x$ и $t$ неизменными. Условия, необходимые и достаточные для того, чтобы при таком варьировании интеграл принимал стационарные значения, были приведены в гл. VI [уравнения (6.9)]; в настоящих обозначениях они принимают следующий вид:
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}}-\frac{d}{d x} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta, x}=0,
\]

где
\[
\eta, x \equiv \frac{d \eta}{d x} \text {. }
\]

Применение уравнения (9.10) к рассматриваемому случаю дает
\[
\frac{d}{d t}(\varrho \dot{\eta})-E \frac{d^{2} \eta}{d x^{2}}=0,
\]

или
\[
\ddot{\varrho}=E \frac{d^{2} \eta}{d x^{2}} .
\]

В этом уравнении легко узнать уравнение, описывающее распространение волн в одномерном упругом теле и обычно получаемое как предельная форма уравнения (9.1). Таким образом, предположение, что принцип Гамильтона можно применять к непрерывным средам, в рассматриваемом частном случае приводит к согласованным результатам.

Во всех случаях, которые допускают такую проверку, имеет место подобная согласованность, и мы делаем вывод о том, что уравнения движения непрерывной среды могут быть выражены в следующей математической форме:
\[
\delta \int L d t=\delta \iiint \int \mathscr{L} d t d x_{1} d x_{2} d x_{3} \equiv \delta \iint \mathscr{L} d V d t=0 ;
\]

при этом предполагается, что можно найти плотность функции Лагранжа
\[
\mathscr{L} \equiv \mathscr{L}\left(\eta^{(r)}, \frac{d \eta^{(r)}}{d t}, \frac{d \eta^{(r)}}{d x_{j}}, x_{j}, t\right),
\]

из которой можно вывести уравнения, описывающие движение среды. Здесь были приняты во внимание три пространственные (декартовы) координаты и $n$ переменных величин $\eta^{(r)}$. В общем случае класс этих переменных величин, обычно называемых переменными поля, не ограничивается перемещениями, как в рассмотренной задаче теории упругости. Оказывается, например, что этот метод пригоден для описания электромагнитного поля, в котором имеется не менее четырех переменных поля, соответствующих скалярному потенциалу $\varphi$ и трем компонентам векторного потенциала А. Этот вопрос будет подробнее освещен в гл. XI после рассмотрения в гл. X элементарных основ теории относительности.

Условие (9.12) будет выполняться, если удовлетворяются $n$ уравнений вида
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta^{(r)}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}}-\sum_{j} \frac{d}{d x_{j}} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{,}^{(r)}}=0,
\]

где
\[
\eta_{, j}^{(r)}=\frac{d \eta^{(r)}}{d x_{j}} .
\]

Величину
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta}-\sum_{j} \frac{d}{d x_{j}} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta, j}
\]

часто записывают как $\delta L / \delta \eta$ и называют функциональной производной от $L$. Единственным достоинством этого обозначения является, по-видимому, его краткость.

Так как постулируется, что вторые производные не должны входить в плотность функции Лагранжа, то $\partial \mathscr{L} / \partial \dot{\eta}_{, j} \equiv 0$, откуда
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}}-\sum_{j} \frac{d}{d x_{j}} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}_{, j}} \equiv \frac{\delta L}{\delta \dot{\eta}} ;
\]

таким образом, уравнения (9.13) могут быть записаны так:
\[
\frac{\delta L}{\delta \eta^{(r)}}=\frac{d}{d \bar{i}}-\frac{\delta L}{\delta \dot{\eta}^{(r)}} .
\]

Эти соотношения по своей внешней форме совпадают с соответствующими уравнениями движения системы

отдельных материальных точек, но они не дают ничего нового по сравнению с уравнениями (9.13).

Общий результат этих рассуждений заключается в том, что в случае непрерывных сред переменные поля $\eta^{(r)}$ играют ту же роль, что и пространственные координаты в случае системы отдельных точек. Пространственные координаты также входят в формулы, но они вместе с переменным времени $t$ являются независимыми параметрами. Снова предваряя содержание следующих глав, надо отметить, что это совместное рассмотрение временно́й и пространственных координат подготавливает путь для введения постулатов теории относительности.

Метод Гамильтона
Этот метод развивается почти так же, как и для случая системы отдельных точек; получаются результаты такого же вида, как и ранее, за исключением того, что используется плотность функции Лагранжа и вместо обычных частных производных применяются функциональные производные.

В случае системы отдельных точек переменное $p_{i}$, сопряженное с переменным $\eta_{i}$, определяется формулой
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_{i}} \text {. }
\]

При переходе к непрерывным средам мы имеем
\[
L=\sum_{i} a L_{i} \rightarrow \int \mathscr{L} d x
\]

следовательно,
\[
p_{i} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_{i}}=a \frac{\partial L_{i}}{\partial \dot{\eta}_{i}} \rightarrow \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}} d x
\]
т. е. определение сопряженного импульса для случая непрерывной среды, аналогичное определению для системы отдельных точек, приводит к бесконечно малой величине.

Чтобы избежать этого, введем новое понятие — плотность импульса — с помощью формулы
\[
\pi=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}}
\]

это, разумеется, конечная величина.
В общем случае будет $n$ переменных поля $\eta^{(r)}$ и $n$ соответствующих сопряженных переменных (или канонических плотностей импульсов) $\pi^{(r)}=\partial \mathscr{L} / \partial \dot{\eta}^{(r)}$. В соответствии с предыдущими рассуждениями плотность функции Гамильтона определяется так:
\[
\mathscr{E}=\sum_{r} \pi^{(r)} \dot{\eta}^{(r)}-\mathscr{L},
\]

а сама функция Гамильтона дается формулой
\[
H=\int \mathscr{H} d V .
\]

Надо заметить, что
\[
\mathscr{H}=\mathscr{H}\left(\eta^{(r)}, \frac{d \eta^{(r)}}{d x_{j}}, \pi^{(r)}, x_{j}, t\right),
\]

так как здесь зависимость от $\dot{\eta}^{(r)}$ считается исключенной. В теории Гамильтона все величины $\eta^{(r)}$ и $\pi^{(r)}$ рассматриваются как независимо изменяющиеся функции от $x_{i}$ и $t$. Это составляет противоположность теории Лагранжа, где независимыми переменными считаются только $\eta^{(r)}$. Такое положение, конечно, аналогично положению в механике материальной точки. Общей целью является определение обобщенных переменных поля как явных функций пространственных координат и времени таким же путем, как в механике материальной точки обобщенные координаты определяются как функции $t$.

В рассмотренном частном примере $L=T-V$, и $H=T+V$ является полной энергией. Однако трудно формулировать общие условия для отождествления функции Гамильтона с полной энергией системы. Что касается выводимых из нее уравнений движения, то любую функцию Лагранжа можно умножить на произвольную постоянную, не изменив при этом ее свойств; следовательно, первое требование при отождествлении функции Гамильтона с энергией состоит

в определении этого постоянного множителя так, чтобы один или несколько членов функции Лагранжа можно было бы считать слагаемым, соответствующим некоторому виду энергии. В случае системы отдельных точек это осуществляется само собой, если хотя бы один член в уравнениях движения представляет компоненту истинной силы в ньютоновском смысле.

Второе условие состоит в том, что оси координат должны находиться в покое относительно системы отсчета. Это условие не является серьезным ограничением, так как движущиеся оси редко применяются для исследования движения непрерывных сред, однако его следует отметить ввиду примера, указанного при рассмотрении этого вопроса в гл. V.

Если выполнены вышеуказанные ограничения и система не диссипативна, то обычно предполагается, что функция Гамильтона и полная энергия тождественны. Случаи, отличные от тех, которые касаются чисто консервативных систем, должны, строго говоря, исследоваться отдельно, как и случай движения материальной точки в электромагнитном поле. Такое отождествление весьма важно, так как значение функции Гамильтона заключается в измерении полной энергии, которая при этом может быть вычислена без определения компонент силы, как в ньютоновской схеме.

Канонические уравнения Гамильтона
Рассмотрим теперь полный дифференциал от $\mathscr{H}$
\[
\begin{array}{r}
d \mathscr{H}=\sum_{r}\left[\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \eta^{(r)}} d \eta^{(r)}+\sum_{j} \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}} d \eta, \stackrel{(r)}{j}+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \pi^{(r)}} d \pi^{(r)}\right]+ \\
+\sum \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_{j}} d x_{j}+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t} d t
\end{array}
\]

Из формулы (9.17) мы находим
\[
\begin{array}{l}
d \mathscr{H}=\sum_{r}\left[\dot{\eta}^{(r)} d \pi^{(r)}+\pi^{(r)} d \dot{\eta^{(r !}}\right]-d \mathscr{L}= \\
=\sum_{r}\left[\dot{\eta}^{(r)} d \pi^{(r)}+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}} \dot{d} \dot{\eta}^{(r)}\right]-
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
-\sum_{r}\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta^{(r)}} d \eta^{(r)}+\sum_{j} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}} d \eta_{, j}^{(r)}+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}} d \dot{\eta}^{(r)}\right]- \\
-\sum_{j} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{j}} d x_{j}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t} d t=\sum_{r}\left[\dot{\eta^{(r)}} d \pi^{(r)}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta^{(r)}} d \eta^{(r)}-\right. \\
\left.\quad-\sum_{j} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}} d \eta_{, j}^{(r)}\right]-\sum_{j} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{j}} d x_{j}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t} d t .
\end{array}
\]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах в выражениях (9.20) и (9.21), получаем
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \eta^{(r)}}=-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta^{(r)}}, \quad \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}}=-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}}, \quad \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \pi^{(r)}}=\dot{\eta}^{(r)}, \\
\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}=-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t}, \quad \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_{j}}=-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{j}} ;
\end{array}\right\}
\]

первые три из этих соотношений могут быть названы уравнениями Гамильтона, хотя еще и не в классической форме. Из уравнений (9.13), (9.16) и (9.22) находим
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{\pi}^{(r)} \equiv \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}}\right) & =\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta^{(r)}}-\sum_{j} \frac{d}{d x_{j}} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}}= \\
& =-\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial \eta^{(r)}}+\sum_{j} \frac{d}{d x_{j}} \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}} \equiv-\frac{\delta H}{\delta \eta^{(r)}}, \\
\dot{\eta}^{(r)}=\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial \pi^{(r)}}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \pi^{(r)}}-\sum_{j} \frac{d}{d x_{j}} \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \pi^{(r)}, j} \equiv \frac{\delta H}{\delta \pi^{(r)}},
\end{array}\right\}
\]

так как производные от $\pi^{(r)}$ не входят в $\mathscr{H}$.
Соотношения, аналогичные первоначальным каноническим уравнениям, таковы:
\[
\frac{\delta H}{\delta \pi^{(r)}}=\dot{\eta}^{(r)}, \frac{\delta H}{\delta \eta^{(r)}}=-\dot{\pi}^{(r)} .
\]

Можно также заметить, что
\[
\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_{i}}=-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{i}}, \quad \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}=-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial t},
\]

хотя явная зависимость от времени и пространственных координат редко имеет место.

Законы сохранения плотности
Интересно исследовать изменение во времени плотности функции Гамильтона. Из уравнений (9.21) и (9.22) мы получаем, имея в виду, что $t$ и $x_{j}$ являются независимыми переменными,
\[
\frac{d \mathscr{H}}{d t}=\sum_{r}\left[\left(\dot{\pi}^{(r)}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta^{(r)}}\right) \dot{\eta}^{(r)}-\sum_{j} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}} \dot{\eta}_{, j}^{(r)}\right]+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t} .
\]

Запишем уравнения движения в форме Лагранжа
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta^{(r)}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}}-\sum_{j} \frac{d}{d x_{j}} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}}=0,
\]

или
\[
\dot{\pi}^{(r)}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}}=-\sum_{j} \frac{d}{d x_{j}} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}} .
\]

Подставляя этот результат в формулу (9.21′), находим
\[
\begin{aligned}
\frac{d \mathscr{H}}{d t} & =-\sum_{j} \sum_{r}\left[\frac{d}{d x_{j}}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}}\right) \dot{\eta}^{(r)}+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}} \dot{\eta}_{, j}^{(r)}\right]+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}= \\
& =-\sum_{j} \frac{d S_{j}}{d x_{j}}+\frac{\partial \mathscr{C}}{\partial t}
\end{aligned}
\]

где
\[
S_{j}=\sum_{r} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, j}^{(r)}} \dot{\eta}^{(r)} .
\]

В интересующем нас случае $\partial \mathscr{H} / \partial t=0$ и формула принимает вид
\[

abla \cdot \mathbf{S}+\frac{d \mathscr{H}}{d t}=0 .
\]

Отождествляя $\mathscr{H}$ с плотностью полной энергии, мы можем рассматривать это уравнение как уравнение непрерывности для энергии, или закон сохранения энергии, причем $\mathbf{S}$ есть вектор, представляющий поток энергии. Вектор $\mathbf{S}$ не является единственным, так как уравнение (9.25′) справедливо для любого вектора $\mathbf{S}^{\prime}=\mathbf{S}_{-}^{+}
abla \times \mathbf{X}$, где $\mathbf{X}-$ произвольный вектор, a S дается формулой (9.26). Обычно,

однако, рассуждения можно упростить, рассматривая частный случай, когда $
abla \times \mathbf{X}=0$.

Вид величин плотностей $\mathscr{H}$ и $\mathrm{S}$ наводит на мысль об исследовании величин типа плотности, определяемых формулами
\[
\mathscr{G}_{j}=-\sum_{r} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}} \eta_{, j}^{(r)} .
\]

Единственным очевидным свойством таких величин является то, что независимо от природы $\eta^{(r)}$ они имеют
Рис. 8. Элементарный слой.

размерность обычных импульсов. В самом деле, их можно отождествить с особыми величинами такого рода, как можно видеть, снова обращаясь к простому случаю одномерного упругого тела.

Рассмотрим внутри этого тела слой толщины $\Delta x$ (см. рис. 8); предположим, что плоскости, ограничивающие слой, неподвижны относительно системы отсчета, и, следовательно, перемещения, представляемые переменными поля $\eta$, будут состоять в движении среды через плоскости. Рассмотрим единичные площадки этих плоскостей. Масса среды, выходящая через вторую грань $x+\Delta x$, равна $\varrho[\eta+(d \eta / d x) \Delta x]$. Таким образом, общая масса, вошедшая в слой, равна $-\varrho(d \eta / d x) \Delta x$.

Это дает изменение количества движения слоя, равное по величине $-\varrho(d \eta / d x) \dot{\eta} \Delta x$ на единицу площади, т. е. изменение плотности количества движения слоя равно

$-Q \dot{\eta} d \eta / d x$. Эту величину не надо смешивать с $\varrho \dot{\eta}$, действительной плотностью количества движения среды. Она является новой «дифференциальной» величиной, которую можно назвать плотностью волнового количества движения (плотностью волнового импульса), так как она отлична от нуля только для волнового движения, при котором $d \eta / d x
eq 0$.

Напомним, что плотность функции Лагранжа, удобная для описания свойств одномерного упругого тела, имела вид
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2}\left[\varrho \eta^{2}-E\left(\frac{d \eta}{d x}\right)^{2}\right] .
\]

Легко видеть, что в этом одномерном случае единственной величиной, определяемой формулой (9.27), была бы $\mathscr{G}=-\varrho \dot{\eta} d \eta / d x$, которая совпадает с только что исследованной величиной, названной плотностью волнового импульса. Подобное отождествление можно сделать и в других случаях, когда переменными поля являются перемещения материальной среды. В общем случае формула (9.27) служит для определения плотности волнового импульса (или импульса поля).

Теперь возникает вопрос, существуют ли законы сохранения для волнового импульса (или импульса поля). Рассмотрим производную по времени от $\mathscr{F}_{j}$
\[
\begin{aligned}
\frac{d \mathscr{C}_{j}}{d t} & =-\frac{d}{d t}\left[\sum_{r} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}} \eta_{, j}^{(r)}\right]= \\
& =-\sum_{r}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}}\right) \eta_{, j}^{(r)}+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}} \frac{d}{d t}\left(\eta_{, j}^{(r)}\right)\right]= \\
& =-\sum_{r}\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta^{(r)}} \frac{d \eta^{(r)}}{d x_{j}}-\sum_{i} \frac{d}{d x_{i}}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, i}^{(r)}}\right) \frac{d \eta^{(r)}}{d x_{j}}+\frac{d \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}} \frac{d \dot{\eta}^{(r)}}{d x_{j}}\right]
\end{aligned}
\]

отсюда в силу уравнений (9.13) имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \mathscr{G}_{j}}{d t}=-\frac{d \mathscr{L}}{d x_{j}}+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{j}}+\sum_{r} \sum_{i} \frac{d}{d x_{i}}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, i}^{(r)}} \frac{d \eta^{(r)}}{d x_{j}}\right)= \\
=\sum \frac{d}{d x_{i}} \sum_{r}\left[\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, i}^{(r)}} \frac{d \eta^{(r)}}{d x_{j}}-\delta_{i j} \mathscr{L}\right]+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{j}} .
\end{array}
\]

Если $x_{j}$ явно не входит в $\mathscr{L}$, то $\partial \mathscr{L} / \partial x_{j}=0$. При этом не очень сильном ограничении компоненты плотности волнового импульса подчиняются, как легко видеть, закону сохранения, который записывается в виде
\[
\frac{d \mathscr{G}_{j}}{d t}=\sum_{i} \frac{d T_{i j}}{d x_{i}} .
\]

Величины
\[
T_{i j}=\sum_{r}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, i}^{(r)}} \frac{d \eta^{(r)}}{d x_{j}}-\delta_{i j} \mathscr{L}\right)
\]

являются компонентами тензора второго ранга, отождествляемого с тензором напряжений. Отметим, однако, что система напряжений, о которых идет речь, действует на плоскости, связанные с осями координат и не перемещающиеся вместе со средой. Можно было бы рассматривать эти величины как компоненты вектора, изображающего поток импульса, по аналогии с вектором $\mathbf{S}$ — потоком энергии.

Интегральные законы сохранения и скобки Пуассона
Предположим снова, что $\mathscr{L}$ и $\mathscr{H}$ не зависят явно от времени; -тогда из формулы (9.25) имеем
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{d}{d t} \int \mathscr{H} d V=\int \frac{d \mathscr{H}}{d t} d V=-\int
abla \cdot \mathbf{S} d V=-\int \mathbf{S} \cdot d \boldsymbol{\sigma},
\]

где последний интеграл вычисляется по поверхности, ограничивающей область интегрирования. Этот интеграл обращается в нуль, если система имеет конечные размеры и расположена внутри области интегрирования. Можно также показать, что он обращается в нуль для системы бесконечных размеров при периодических граничных условиях. Таким образом, в каждом из этих случаев полная энергия является интегралом движения.

Подобные рассуждения справедливы и для полного волнового импульса, или полного импульса поля

\[
\begin{array}{r}
\mathbf{G}=\int \mathscr{G} d V, \text { так как из формулы (9.28) мы получаем } \\
\frac{d G_{j}}{d t}=\int \frac{d \mathscr{Y}_{j}}{d t} d V=\int \sum_{i} \frac{d T_{i j}}{d x_{i}} d V+\int \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{j}} d V
\end{array}
\]

Во всех практически интересных случаях
\[
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x_{j}}\left(=-\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial x_{j}}\right)=0 ;
\]

интеграл от дивергенции обращается в нуль при тех же условиях, как и раньше. Следовательно, величина $\mathbf{G}$ является интегралом движения при тех же по существу ограничениях, которые были приняты для функции $H$.

Плотность $\mathscr{N}_{i j}$ момента волнового импульса можно определить формулой
\[
\mathscr{M}_{i j}=x_{i} \mathscr{G}_{j}-x_{j} \varphi_{i} .
\]

Это определение согласуется с предыдущим применением термина момента количества движения. Полная производная по времени от компонент полного момента волнового импульса дается формулой
\[
\frac{d M_{i j}}{d t}=\frac{d}{d t} \int \mathscr{M}_{i j} d V=\int\left(x_{i} \frac{d \mathscr{Y}_{j}}{d t}-x_{j} \frac{d \mathscr{\varphi}_{i}}{d t}\right) d V ;
\]

отсюда в силу равенств (9.29) имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{d M_{i j}}{d t} & =\int \sum_{k}\left(x_{i} \frac{d T_{k j}}{d x_{k}}-x_{j} \frac{d T_{k i}}{d x_{k}}\right) d V= \\
& =\int \sum_{k} \frac{d}{d x_{k}}\left(x_{i} T_{k j}-x_{j} T_{k i}\right) d V-\int\left(T_{i j}-T_{j i}\right) d V .
\end{aligned}
\]

Член, содержащий дивергенцию, обращается в нуль при тех же предположениях, что и прежде, и остается
\[
\frac{d M_{i j}}{d t}=\int\left(T_{i i}-T_{i j}\right) d V .
\]

Обычно постулируется, что полный момент количества движения системы является интегралом движения. Как видно из равенств (9.32′), это означает, что тензор напряжений $T_{i j}$ является симметричным. Для механических систем такое требование обычно удовлетворяется автоматически. В исключительных случаях можно произвести симметризацию этого тензора, добавив соответствующие члены к плотности функции Лагранжа. Такая возможность связана с известной степенью произвола, уже отмеченной при рассмотрении вектора $\mathbf{S}$ — потока энергии. Этот вопрос при более общих условиях будет снова рассмотрен в гл. XI.

Как и в механике материальной точки, определение интегралов движения играет важную роль; представляет интерес вычисление производной по времени от общей интегральной динамической переменной величины, даваемой формулой
\[
Y=\int \mathscr{Y} d V
\]

где
\[
\mathscr{Y}=\mathscr{Y}\left(\eta^{(r)}, \eta_{, i}^{(r)}, \pi^{(r)}, x_{i}, t\right) .
\]

Искомая производная выражается так:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d Y}{d t}=\int \frac{d \mathscr{Y}}{d t} d V=\int\left[\sum _ { r } \left(\frac{\partial \mathcal{Y}}{\partial \eta^{(r)}} \dot{\eta}^{(r)}+\sum_{i} \frac{\partial \mathcal{Y}}{\partial \eta_{, i}^{(r)}} \frac{d}{d t} \eta_{, i}^{(r)}+\right.\right. \\
\left.\left.+\frac{\partial \mathcal{Y}}{\partial \pi^{(r)}} \dot{\pi}^{(r)}\right)+\frac{\partial \mathcal{Y}}{\partial t}\right] d V= \\
=\int\left[\sum_{r}\left(\frac{\partial^{\mathscr{Y}}}{\partial \eta^{(r)}}-\sum_{i} \frac{d}{d x_{i}} \frac{\partial \mathcal{Y}}{\partial \eta_{, i}^{(r)}}\right) \dot{\eta}^{(r)}+\frac{\partial \mathcal{Y}}{\partial \pi^{(r)}} \dot{\pi}^{(r)}\right] d V+ \\
+\int \frac{\partial \mathcal{Y}}{\partial t} d V .
\end{array}
\]

Здесь второй член проинтегрирован по частям, и предполагается, как прежде, что или $\dot{\eta}^{(r)}$ равно нулю на границах, или имеются периодические граничные условия.

Воспользовавшись обозначением функциональных производных и каноническими уравнениями (9.23), представляем равенство (9.35) в виде
\[
\frac{d Y}{d t}=\int \sum_{r}\left(\frac{\delta Y}{\delta \eta^{(r)}} \frac{\delta H}{\delta \pi^{(r)}}-\frac{\delta Y}{\delta \pi^{(i)}} \frac{\delta H}{\delta \eta^{(r)}}\right) d V+\int \frac{\partial \mathscr{Y}}{\partial t} d V .
\]

В этой форме результат имеет некоторое сходство с соответствующим результатом, полученным для системы

отдельных точек. Это можно подчеркнуть, введя определение обобщенных скобок Пуассона с помощью формулы
\[
[X, Y] \equiv \int \sum_{r}\left(\frac{\delta X}{\delta \eta^{(r)}} \frac{\delta Y}{\delta \pi^{(r)}}-\frac{\delta X}{\delta \pi^{(r)}} \frac{\delta Y}{\delta \eta^{(r)}}\right) d V ;
\]

тогда равенство (9.36) примет вид
\[
\frac{d Y}{d t}=[Y, H]+\frac{\partial Y}{\partial t} ;
\]

данное выражение формально совпадает с соответствующим результатом для системы отдельных точек.

Это новое определение не дает чего-либо нового в смысле интеграции, но вместе с тем можно показать, что рассматриваемые выражения совершенно аналогичны скобкам Пуассона, рассмотренным в гл. VIII, и имеют такое же универсальное значение, как и эти скобки. Данное определение касается лишь интегральных величин; в нем, в частности, нет величин, соответствующих основным скобкам, которые имелись в случае системы отдельных точек.

Переход к квантовой механике
Отсутствие основных скобок Пуассона для непрерывных сред означает, что переход к квантовой механике нельзя провести в точности так, как это было сделано в случае системы отдельных точек. Метод преодоления этой трудности указывается здесь снова на нашем элементарном примере. В случае отдельных материальных точек, упруго связанных между собой, импульсы даются формулами
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_{i}}=a \frac{\partial L_{i}}{\partial \dot{\eta}_{i}} .
\]

Здесь применимо первоначальное определение скобок Пуассона, и мы имеем
\[
\left[\eta_{i}, p_{j}\right]=\delta_{i j},
\]

или
\[
\sum_{j}\left[\eta_{i}, p_{j}\right]=\sum_{j} \delta_{i j}=1 .
\]

При переходе к квантовой механике это приводит, как

было указано в гл. VII, к соответствующему соотношению для коммутаторов от операторов $\eta_{i}$ и $p_{j}$
\[
\sum_{j}\left(\eta_{i} p_{j}-p_{j} \eta_{i}\right)=\alpha(=i h / 2 \pi) .
\]

Предположим, что при переходе к континууму имеет место соответствие операторов такое же, как и для классических динамических переменных, т. е. что
\[
\eta_{i} \rightarrow \eta(x), \quad p_{j} \rightarrow \pi\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime} .
\]

Тогда равенство (9.40) принимает вид
\[
\int\left[\eta(x) \pi\left(x^{\prime}\right)-\pi\left(x^{\prime}\right) \eta(x)\right] d x^{\prime}=\alpha .
\]

Это соотношение можно интерпретировать так:
\[
\eta(x) \pi\left(x^{\prime}\right)-\pi\left(x^{\prime}\right) \eta(x)=\alpha \cdot \delta\left(x-x^{\prime}\right) ;
\]

здесь $\delta\left(x-x^{\prime}\right)$ является дельта-функцией Дирака, определенной равенствами
\[
\left.\begin{array}{c}
\delta\left(x-x^{\prime}\right)=0 \quad x
eq x^{\prime}, \\
\int f(x) \delta\left(x-x^{\prime}\right) d x=f\left(x^{\prime}\right),
\end{array}\right\}
\]

причем предполагается, что значение $x^{\prime}$ находится внутри интервала интегрирования.

Этот результат можно, кроме того, обобщить на случай $n$ операторов поля $\eta^{(r)}$ вместе со связанными с ними сопряженными операторами количества движения $\pi^{(r)}$, а также для трехмерного пространства, полагая, что
\[
\eta^{(r)}(\mathbf{r}) \pi^{(s)}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)-\pi^{(s)}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \eta^{(r)}(\mathbf{r})=\alpha \delta_{r s} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right),
\]

где
\[
\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)=\delta\left(x_{1}-x_{1}^{\prime}\right) \delta\left(x_{2}-x_{2}^{\prime}\right) \delta\left(x_{3}-x_{3}^{\prime}\right) .
\]

Постулируя $\alpha=i h / 2 \pi$, получим обычный способ квантового описания поведения непрерывной среды.

Приложения
В этой главе был разработан несколько устрашающий аппарат для распространения методов Лагранжа и Гамильтона на непрерывные среды. Оказалось, что мокно без

труда обобщить многие характерные черты системы отдельных точек. Можно продолжить эти рассуждения и показать существование прежнего соответствия между интегралами движения и свойствами симметрии системы ${ }^{1}$ ).

Данный метод был изложен применительно к простой материальной системе, однако оказывается, что его можно применить и к целому классу более сложных систем ${ }^{2}$ ). Таким путем можно вывести общие уравнения распространения упругих волн в изотропном твердом теле, взяв плотность функции Лагранжа в виде
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2} \sum_{i}\left[(\lambda+\mu) \sum_{j} \frac{d \eta_{i}}{d x_{j}} \frac{d \eta_{j}}{d x_{i}}+\mu \sum_{j}\left(\frac{d \eta_{j}}{d x_{j}}\right)^{2}-\varrho\left(\frac{d \eta_{i}}{d t}\right)^{2}\right],
\]

где $\boldsymbol{\eta}$-вектор перемещения любой точки, $\boldsymbol{\mu}$-модуль сдвига среды, а $(\lambda+2 \mu / 3)$ — ее объемный модуль. Переменными поля не являются обязательно перемещения. Безвихревое движение сжимаемой невязкой жидкости в так называемом акустическом приближении получается из плотности функции Лагранжа вида
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2} \varrho\left[(
abla \psi)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{d \psi}{d t}\right)^{2}\right] .
\]

В случае этой упрощенной системы единственное переменное поля, функция $\psi$, является потенциалом скорости, определяемым формулой $\mathbf{v}=
abla \psi$.

Для сплошных материальных систем польза данного аналитического метода заключается главным образом в той легкости, с какой можно сделать переход к системе координат, отличной от декартовой и удобной для решения конкретных задач. Это, конечно, привлекает внимание к методу Лагранжа. Известное применение получил и метод Гамильтона в связи, главным образом, с исследованием квантовых свойств непрерывных материальных сред. Примечательным является пример из гидродинамики, когда удалось добиться некоторого успеха при описании движения невязкой жид-

кости путем квантования колебательных движений (введения фононов) и квантования вращательных движений (введения ротонов).

Процессы диссипации, такие, как диффузия и трение, играют важную роль при изучении непрерывных сред. Қак и для систем отдельных точек, такие процессы нелегко включить в аналитическое описание, но метод введения дополнительных систем «зеркальных изображений», кратко описанный в гл. V, может быть принят и для непрерывных сред и, по-видимому, открывает интересные возможности ${ }^{1}$ ). В том случае когда нужно только облегчить переход к обобщенным координатам в уравнениях движения, может быть использована и диссипативная функция Рэлея.

Наиболее замечательные результаты применения методов Лагранжа и Гамильтона к непрерывным средам получаются при изучении идеализированных сред, называемых полями. Еще одной особенностью, которая должна быть здесь отмечена, является релятивистская инвариантность. Оказалось, однако, что изложенную здесь теорию можно принять в сущности без изменений. Этому вопросу будет посвящена гл. XI.