Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
До сих пор методы Лагранжа и Гамильтона излагались применительно к системам, имеющим конечное число степеней свободы. Целью настоящей главы является распространение этих методов на непрерывные системы, в которых число степеней свободы бесконечно велико. Это нетрудно сделать, если выбрана подходящая функция Лагранжа; однако в отношении формы параметров, от которых зависят различные функции, имеется известный элемент неожиданности. Метод Лагранжа точки через Рассматриваемая система консервативна, и силы могут быть выведены из следующего скалярного потенциала Кинетическая энергия системы равна следовательно, функция Лагранжа имеет вид Простая проверка показывает, что уравнения Лагранжа, полученные дифференцированием этой функции обычным путем, совпадают с уравнениями (9.1). От этой системы отдельных точек можно перейти к непрерывной среде с помощью следующего соответствия: отсюда где Таким образом, оказывается, что функцию Лагранжа, относящуюся ко всей данной системе, можно рассматривать как интеграл от другой функции. Эту последнюю функцию Если применять принцип Гамильтона, то мы должны написать В силу соответствия (9.6) это равенство преобразуется так: Конечно, нет гарантии того, что принцип Гамильтона на самом деле будет применим, и единственным критерием его справедливости будет совпадение уравнений движения, выведенных из принятого принципа, с уравнениями, выведенными другим методом. Принцип Гамильтона в форме (9.9) нам ранее не встречался, но сама эта форма подсказывает, что ством изменения пути интегрирования таким образом, чтобы сохранять закрепленными конечные точки ( где Применение уравнения (9.10) к рассматриваемому случаю дает или В этом уравнении легко узнать уравнение, описывающее распространение волн в одномерном упругом теле и обычно получаемое как предельная форма уравнения (9.1). Таким образом, предположение, что принцип Гамильтона можно применять к непрерывным средам, в рассматриваемом частном случае приводит к согласованным результатам. Во всех случаях, которые допускают такую проверку, имеет место подобная согласованность, и мы делаем вывод о том, что уравнения движения непрерывной среды могут быть выражены в следующей математической форме: при этом предполагается, что можно найти плотность функции Лагранжа из которой можно вывести уравнения, описывающие движение среды. Здесь были приняты во внимание три пространственные (декартовы) координаты и Условие (9.12) будет выполняться, если удовлетворяются где Величину часто записывают как Так как постулируется, что вторые производные не должны входить в плотность функции Лагранжа, то таким образом, уравнения (9.13) могут быть записаны так: Эти соотношения по своей внешней форме совпадают с соответствующими уравнениями движения системы отдельных материальных точек, но они не дают ничего нового по сравнению с уравнениями (9.13). Общий результат этих рассуждений заключается в том, что в случае непрерывных сред переменные поля Метод Гамильтона В случае системы отдельных точек переменное При переходе к непрерывным средам мы имеем следовательно, Чтобы избежать этого, введем новое понятие — плотность импульса — с помощью формулы это, разумеется, конечная величина. а сама функция Гамильтона дается формулой Надо заметить, что так как здесь зависимость от В рассмотренном частном примере в определении этого постоянного множителя так, чтобы один или несколько членов функции Лагранжа можно было бы считать слагаемым, соответствующим некоторому виду энергии. В случае системы отдельных точек это осуществляется само собой, если хотя бы один член в уравнениях движения представляет компоненту истинной силы в ньютоновском смысле. Второе условие состоит в том, что оси координат должны находиться в покое относительно системы отсчета. Это условие не является серьезным ограничением, так как движущиеся оси редко применяются для исследования движения непрерывных сред, однако его следует отметить ввиду примера, указанного при рассмотрении этого вопроса в гл. V. Если выполнены вышеуказанные ограничения и система не диссипативна, то обычно предполагается, что функция Гамильтона и полная энергия тождественны. Случаи, отличные от тех, которые касаются чисто консервативных систем, должны, строго говоря, исследоваться отдельно, как и случай движения материальной точки в электромагнитном поле. Такое отождествление весьма важно, так как значение функции Гамильтона заключается в измерении полной энергии, которая при этом может быть вычислена без определения компонент силы, как в ньютоновской схеме. Канонические уравнения Гамильтона Из формулы (9.17) мы находим Приравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах в выражениях (9.20) и (9.21), получаем первые три из этих соотношений могут быть названы уравнениями Гамильтона, хотя еще и не в классической форме. Из уравнений (9.13), (9.16) и (9.22) находим так как производные от Можно также заметить, что хотя явная зависимость от времени и пространственных координат редко имеет место. Законы сохранения плотности Запишем уравнения движения в форме Лагранжа или Подставляя этот результат в формулу (9.21′), находим где В интересующем нас случае abla \cdot \mathbf{S}+\frac{d \mathscr{H}}{d t}=0 . Отождествляя однако, рассуждения можно упростить, рассматривая частный случай, когда Вид величин плотностей Единственным очевидным свойством таких величин является то, что независимо от природы размерность обычных импульсов. В самом деле, их можно отождествить с особыми величинами такого рода, как можно видеть, снова обращаясь к простому случаю одномерного упругого тела. Рассмотрим внутри этого тела слой толщины Это дает изменение количества движения слоя, равное по величине Напомним, что плотность функции Лагранжа, удобная для описания свойств одномерного упругого тела, имела вид Легко видеть, что в этом одномерном случае единственной величиной, определяемой формулой (9.27), была бы Теперь возникает вопрос, существуют ли законы сохранения для волнового импульса (или импульса поля). Рассмотрим производную по времени от отсюда в силу уравнений (9.13) имеем Если Величины являются компонентами тензора второго ранга, отождествляемого с тензором напряжений. Отметим, однако, что система напряжений, о которых идет речь, действует на плоскости, связанные с осями координат и не перемещающиеся вместе со средой. Можно было бы рассматривать эти величины как компоненты вектора, изображающего поток импульса, по аналогии с вектором Интегральные законы сохранения и скобки Пуассона где последний интеграл вычисляется по поверхности, ограничивающей область интегрирования. Этот интеграл обращается в нуль, если система имеет конечные размеры и расположена внутри области интегрирования. Можно также показать, что он обращается в нуль для системы бесконечных размеров при периодических граничных условиях. Таким образом, в каждом из этих случаев полная энергия является интегралом движения. Подобные рассуждения справедливы и для полного волнового импульса, или полного импульса поля Во всех практически интересных случаях интеграл от дивергенции обращается в нуль при тех же условиях, как и раньше. Следовательно, величина Плотность Это определение согласуется с предыдущим применением термина момента количества движения. Полная производная по времени от компонент полного момента волнового импульса дается формулой отсюда в силу равенств (9.29) имеем Член, содержащий дивергенцию, обращается в нуль при тех же предположениях, что и прежде, и остается Обычно постулируется, что полный момент количества движения системы является интегралом движения. Как видно из равенств (9.32′), это означает, что тензор напряжений Как и в механике материальной точки, определение интегралов движения играет важную роль; представляет интерес вычисление производной по времени от общей интегральной динамической переменной величины, даваемой формулой где Искомая производная выражается так: Здесь второй член проинтегрирован по частям, и предполагается, как прежде, что или Воспользовавшись обозначением функциональных производных и каноническими уравнениями (9.23), представляем равенство (9.35) в виде В этой форме результат имеет некоторое сходство с соответствующим результатом, полученным для системы отдельных точек. Это можно подчеркнуть, введя определение обобщенных скобок Пуассона с помощью формулы тогда равенство (9.36) примет вид данное выражение формально совпадает с соответствующим результатом для системы отдельных точек. Это новое определение не дает чего-либо нового в смысле интеграции, но вместе с тем можно показать, что рассматриваемые выражения совершенно аналогичны скобкам Пуассона, рассмотренным в гл. VIII, и имеют такое же универсальное значение, как и эти скобки. Данное определение касается лишь интегральных величин; в нем, в частности, нет величин, соответствующих основным скобкам, которые имелись в случае системы отдельных точек. Переход к квантовой механике Здесь применимо первоначальное определение скобок Пуассона, и мы имеем или При переходе к квантовой механике это приводит, как было указано в гл. VII, к соответствующему соотношению для коммутаторов от операторов Предположим, что при переходе к континууму имеет место соответствие операторов такое же, как и для классических динамических переменных, т. е. что Тогда равенство (9.40) принимает вид Это соотношение можно интерпретировать так: здесь причем предполагается, что значение Этот результат можно, кроме того, обобщить на случай где Постулируя Приложения труда обобщить многие характерные черты системы отдельных точек. Можно продолжить эти рассуждения и показать существование прежнего соответствия между интегралами движения и свойствами симметрии системы Данный метод был изложен применительно к простой материальной системе, однако оказывается, что его можно применить и к целому классу более сложных систем где В случае этой упрощенной системы единственное переменное поля, функция Для сплошных материальных систем польза данного аналитического метода заключается главным образом в той легкости, с какой можно сделать переход к системе координат, отличной от декартовой и удобной для решения конкретных задач. Это, конечно, привлекает внимание к методу Лагранжа. Известное применение получил и метод Гамильтона в связи, главным образом, с исследованием квантовых свойств непрерывных материальных сред. Примечательным является пример из гидродинамики, когда удалось добиться некоторого успеха при описании движения невязкой жид- кости путем квантования колебательных движений (введения фононов) и квантования вращательных движений (введения ротонов). Процессы диссипации, такие, как диффузия и трение, играют важную роль при изучении непрерывных сред. Қак и для систем отдельных точек, такие процессы нелегко включить в аналитическое описание, но метод введения дополнительных систем «зеркальных изображений», кратко описанный в гл. V, может быть принят и для непрерывных сред и, по-видимому, открывает интересные возможности Наиболее замечательные результаты применения методов Лагранжа и Гамильтона к непрерывным средам получаются при изучении идеализированных сред, называемых полями. Еще одной особенностью, которая должна быть здесь отмечена, является релятивистская инвариантность. Оказалось, однако, что изложенную здесь теорию можно принять в сущности без изменений. Этому вопросу будет посвящена гл. XI.
|
1 |
Оглавление
|