Цель настоящей главы будет состоять в том, чтобы дать метод составления уравнений движения, отличный от метода Ньютона. Мы будем руководствоваться следующим принципом: основывать рассуждения на выражениях энергии, насколько это возможно, и сделать все уравнения одинаково применимыми в любой системе обобщенных координат.

Консервативные системы при отсутствии связей
Для системы $N$ материальных точек имеется $3 N$ уравнений движения вида
\[
F_{i}=\frac{d}{d t}\left(m_{i} \dot{x}_{i}\right),
\]

и кинетическая энергия системы определяется как
\[
T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} \dot{x}_{i}^{2} .
\]

Из этих двух уравнений следует, что
\[
F_{i}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{i}}\right) .
\]

По определению, консервативная система – это такая система, для которой компоненты силы $F_{i}$ даются формулой
\[
F_{\mathbf{i}}=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}},
\]

где $V=V\left(x_{i}\right)$ – потенциальная энергия системы. Следовательно, уравнения (3.3) теперь принимают вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{i}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}} .
\]

Эти уравнения уже частично соответствуют установленным выше требованиям, чтобы уравнения движения были выражены с помощью двух скалярных функций $T$ и $V$. Следующий этап состоит в замене декартовой системы координат системой обобщенных координат.

Пусть в такой системе характерная координата обозначается через $q_{i}$, причем в общем случае
\[
q_{i} \equiv q_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{3 N}, t\right) \equiv q_{i}\left(x_{j}, t\right) \quad(i=1,2, \ldots, 3 N) .
\]

Включение зависимости $q_{i}$ от $t$ желательно, так как это может потребоваться при рассмотрении движущихся систем координат.

Форма уравнений (3.5) наводит на мысль об общем методе и о соответствующих производных в новой системе координат. Первым этапом являются формулы
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}=\sum_{j} m_{j} \dot{x}_{j} \frac{\partial \dot{x}_{j}}{\partial \dot{q}_{i}} .
\]

Соотношения, являющиеся обращением ${ }^{\mathbf{1}}$ ) соотношений (3.6), имеют вид
\[
x_{j}=x_{j}\left(q_{i}, t\right) ;
\]

следовательно,
\[
\dot{x}_{j} \equiv \frac{d x_{j}}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial x_{j}}{\partial t},
\]

откуда
\[
\frac{\partial \dot{x}_{j}}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} ;
\]

таким образом, равенства (3.7) принимают вид
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}=\sum_{j} m_{j} \dot{x}_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} .
\]

Дифференцирование по времени этих последних соотношений дает ${ }^{\mathbf{1}}$ )
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right) & =\sum_{j}\left[m_{j} \ddot{x}_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}+m_{j} \dot{x}_{j} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}\right)\right]= \\
& =\sum_{j}\left[F_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\frac{1}{2} m_{j} \dot{x}_{j}^{2}\right)\right]=Q_{i}+\frac{\partial T}{\partial q_{i}},
\end{aligned}
\]

где
\[
Q_{i} \equiv \sum_{j} F_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} .
\]

Величины $Q_{i}$ можно назвать обобщенными компонентами силы. Если, кроме того, система консервативна, то
\[
Q_{i}=-\sum_{j} \frac{\partial V}{\partial x_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}
\]

и уравнения (3.10) принимают вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)=\frac{\partial T}{\partial q_{i}}-\frac{\partial V}{\partial q_{i}} ;
\]

эти соотношения содержат только производные от скалярных величин $T$ и $V$. При обобщении, кроме членов, входивших в уравнения (3.5), появились члены $\partial T / \partial q_{i}$. Это обобщенная форма таких членов, как центробежная сила и сила Кориолиса, обычно называемых фиктивными силами. Можно считать, что они возникают за счет кривизны координатных поверхностей; эти – члены, конечно, тождественно равны нулю для любой декартовой системы координат.

Уравнения (3.10′) можно записать в более компактной форме с помощью введения новой функции $L$, называемой
1) Заметим, что
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}\right) & =\sum_{k} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left(\frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}\right) \dot{q}_{k}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}\right)= \\
& =\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\sum_{k} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial x_{j}}{\partial t}\right)=\frac{\partial \dot{x}_{j}}{\partial q_{i}} .
\end{aligned}
\]

функцией Лагранжа и определяемой формулой
\[
L=T-V .
\]

Уравнения (3.10′) теперь принимают вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_{i}}
\]

так как, по определению, $\partial V / \partial \dot{q}_{i}=0$.
Уравнения (3.13) можно все еще рассматривать как $3 N$ уравнений движения системы, так как они представляют собой уравнения (3.1) в преобразованном виде. В настоящей форме они представляют собой очень изящное сжатое выражение свойств системы. Однако следует заметить, что ограничение консервативности системы еще имеет место. Общий случай представляется формулой (3.10), которая является известным усовершенствованием по отношению к первоначальной формулировке законов Ньютона, так как члены, вызывающие трудности при своем определении и выражающие фиктивные силы, определяются здесь простым вычислением производных $\partial T / \partial q_{i}$. Однако необходимо еще отдельно определить каждую компоненту остающихся сил.

Неконсервативные системы
Предположим, что обобщенные компоненты силы задаются так:
\[
Q_{i}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial M}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial M}{\partial q_{i}},
\]

где $M=M\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$ является некоторой функцией времени, координат и их производных. Тогда уравнения (3.10) снова могут быть записаны в форме
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}_{i}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_{i}}
\]

если
\[
L=T-M \text {. }
\]

Можно было бы предположить, что ограничение, которое накладывает уравнение (3.14) на вид функциональной зависимости компонент $Q_{i}$, является слишком сильным для того, чтобы оно могло служить какой-либо полезной цели. Однако в действительности при этом охватывается чрезвычайно важный случай движения заряженных частиц в электромагнитном поле. В векторном обозначении сила, действующая на частицу с зарядом $e$, дается (при использовании гауссовых единиц) формулой Лоренца
\[
\mathbf{F}=e\left(\mathbf{E}+\frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)
\]

в этой форме выражение силы не имеет вида (3.14), но его можно привести к этому виду введением скалярного и векторного потенциалов $\varphi$ и $\mathbf{A}$, дающих другое изображение поля, если положить
\[
\left.\begin{array}{l}
\mathbf{B}=
abla \times \mathbf{A} \\
\mathbf{E}=-
abla \varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\Lambda}}{\partial t} .
\end{array}\right\}
\]

При помощи потенциалов $\varphi$ и $\mathbf{A}$ компоненты силы Лоренца после некоторых преобразований выразятся так:
\[
F_{i}=\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{x}_{i}}-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right) e\left(\varphi-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\right) ;
\]

эти формулы имеют вид (3.14), но выражаются в декартовых координатах. Остается перейти к обобщенным координатам.

Подстановка $M=e\left(\varphi-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\right)$ в формулу (3.11) дает для обобщенной компоненты силы такое выражение:
\[
\begin{aligned}
Q_{i} & =\sum_{j} F_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}=\sum_{j}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial M}{\partial \dot{x}_{j}}-\frac{\partial M}{\partial x_{j}}\right) \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}= \\
& =\sum\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial M}{\partial \dot{x}_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}\right)-\frac{\partial M}{\partial \dot{x}_{j}} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}\right)-\frac{\partial M}{\partial x_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}\right] ;
\end{aligned}
\]

отсюда, используя равенство (3.8), имеем
\[
\begin{array}{r}
Q_{i}=\sum_{j}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial M}{\partial \dot{x}_{j}} \frac{\partial \dot{x}_{j}}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\left(\frac{\partial M}{\partial \dot{x}_{j}} \frac{\partial \dot{x}_{j}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial M}{\partial x_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}\right)\right]= \\
=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial M}{d \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial M}{\partial q_{i}},
\end{array}
\]

так как $M=M\left(\dot{x}_{j}, x_{j}\right)$ и $x_{j}=x_{j}\left(q_{i}, t\right)$.
Последний результат совпадает с требованием (3.14). Теперь сила Лоренца соответствует этому более общему условию, позволяющему включить ее таким образом в схему Лагранжа, и уравнения движения частицы (заряженной материальной точки), движущейся в электромагнитном поле, могут быть записаны в форме
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0
\]

где
\[
L=T-M=T-e\left(\varphi-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\right) .
\]

Связи
До сих пор предполагалось, что все $3 N$ координат, определяющих положение системы $N$ материальных точек, являются независимыми переменными. Однако на систему могут быть наложены связи, так что число степеней свободы системы будет меньше, чем $3 N$. Силы, необходимые для осуществления связей (реакции связей) изменяются при движении системы и не могут быть определены, пока само движение неизвестно. Ввиду этого затруднительно видеть, как можно включить их в потенциальную функцию, из которой, как предполагается в трактовке Лагранжа, выводятся силы.

Если связи голономны, то они могут быть рассмотрены методом Лагранжа. В этом случае следует использовать принцип Даламбера. Исходя из формулы (2.24), этот принцип можно выразить в форме
\[
\sum_{i}\left[F_{i}^{(a)}-\frac{d}{d t}\left(m_{i} \dot{x}_{i}\right)\right] \delta x_{i}=0,
\]

где $F_{i}^{(a)}$-компоненты активной силы (т. е. исключить таким образом реакции связей). Допущение относительно обратимости бесконечно малых перемещений здесь в явном виде не фигурирует, так как оно содержится в условии голономности связей.

Так как значения $\delta x_{i}$ подчинены уравнениям связей, то не все они являются произвольными и нельзя каждый коэффициент равенства (3.21) приравнять нулю. Прежде всего необходимо перейти к таким координатам, которые могли бы все изменяться независимо одна от другой. Это можно осуществить следующим способом.

Пусть уравнениями связей (уже предполагаемых голономными) будут $r$ уравнений вида
\[
f_{l}\left(x_{i}, t\right)=0 \quad(l=1,2,3, \ldots, r) .
\]

Любые $3 N$ функций от $x_{i}$ и $t$ составят систему обобщенных координат при условии, что они могут быть разрешены единственным образом относительно $x_{i}$. Выберем в качестве $r$ первых из них последовательность $r$ функций $f_{l}\left(x_{i}, t\right)$ (3.22), а остальные $n=3 N-r$ возьмем любым подходящим образом, т. е. положим
\[
\begin{array}{ll}
q_{l}\left(x_{i}, t\right)=f_{l}\left(x_{i}, t\right)(=0) & (l=1,2,3, \ldots, r), \quad(3.23 \\
q_{l}\left(x_{i}, t\right)=F_{l}\left(x_{i}, t\right) & (l=r+1, r+2, \ldots, 3 N),
\end{array}
\]

где $F_{l}\left(x_{i}, t\right)$ не равны тождественно нулю.
Если отвлечься от нулевых значений, то уравнения (3.23) определяют общее преобразование координат, устанавливающее соответствие между двумя системами $3 \mathrm{~N}$ переменных. В любом физически интересном случае эти уравнения могут быть разрешены, что дает
\[
x_{i}=x_{i}\left(q_{j}, t\right) \quad(j=1,2, \ldots, 3 N) .
\]

Так как это преобразование координат в общем случае является не особым, то теперь можно использовать общее доказательство, проведенное в первом разделе этой главы, для преобразования уравнения (3.21) к виду
\[
\sum_{i=1}^{3 N}\left[Q_{i}^{(a)}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)+\frac{\partial T}{\partial q_{i}}\right] \delta q_{i}=0,
\]

где
\[
Q_{i}^{(a)}=\sum_{j} F_{j}^{(a)} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} .
\]

Если теперь принять во внимание уравнения связей (3.22), то первые $r$ членов суммы (3.25) будут тождественно равны нулю, так как соответствующие $\delta q_{i}$ должны обратиться в нуль. Остается
\[
\sum_{i=r+1}^{3 N}\left[Q_{i}^{(a)}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)+\frac{\partial T}{\partial q_{i}}\right] \delta q_{i}=0 .
\]

Хотя это соотношение внешне и похоже на уравнение (3.25), но на самом деле оно глубоко отлично от него, так как теперь все $n=3 N-r$ координат $q_{i}$ являются независимыми переменными. Следовательно, коэффициенты при $\delta q_{i}$ можно теперь приравнять к нулю. Отсюда
\[
Q_{i}^{(a)}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)+\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=r+1, r+2, \ldots, 3 N) .
\]

Эти уравнения по форме тождественны уравнениям (3.10) и при наличии сходных ограничений могут быть записаны так:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \quad(i=r+1, r+2, \ldots, 3 N) .
\]

Таким образом, показано, что и при существовании связей (голономных) уравнения движения можно записать в форме Лагранжа. Дальнейшее обобщение возможно только применительно к таким неголономным системам, для которых связи выражаются как неинтегрируемые дифференциальные соотношения. Рассмотрение этого случая мы отложим до изучения вариационных принципов в гл. VI. Тогда можно будет изложить и способ (метод неопределенных множителей) для определения величин реакций связей.

Диссипативная функция Рэлея
Во многих системах имеются диссипативные силы. Этот термин относится к таким процессам, как трение, при которых энергия системы теряется. В принципе, достаточно подробное рассмотрение позволило бы определить эти силы в виде, доступном описанию посредством развиваемых до сих пор методов. Однако это повлекло бы к нежелательным осложнениям, и более удобно рассматривать эти силы с феноменологической точки зрения.

Экспериментально установлено, что диссипативные силы во многих случаях связаны с компонентами скорости следующим простым соотношением:
\[
F_{i}^{(d)}=-k_{i} \dot{x}_{i},
\]

где $k_{i}$-постоянные. Эти силы могут быть включены в нашу аналитическую схему с помощью определения новой величины, диссипативной функции Рэлея, даваемой формулой
\[
R=\frac{1}{2} \sum_{i} k_{i} \dot{x}_{i}^{2}
\]

откуда
\[
F_{i}^{(d)}=-\frac{\partial R}{\partial \dot{x}_{i}} .
\]

Предполагая, что в остальном система может быть описана методом Лагранжа, уравнения движения в декартовой системе координат можно записать так:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial x_{i}}+\frac{\partial R}{\partial \dot{x}_{i}}=0 .
\]

После перехода к системе обобщенных координат обобщенные компоненты диссипативной силы будут определяться формулой
\[
Q_{i}^{(d)}=\sum_{j} F_{j}^{(d)} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}=-\sum_{j}{ }_{j} \dot{x}_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}} ;
\]

из уравнений преобразования снова имеем
\[
\frac{\partial x_{j}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial \dot{x}_{j}}{\partial \dot{q}_{i}}
\]

следовательно,
\[
Q_{i}^{(d)}=-\sum_{j} k_{j} \dot{x}_{j} \frac{\partial \dot{x}_{j}}{\partial \dot{q}_{i}}=-\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{i}}\left[\frac{1}{2} \sum_{j} k_{j} \dot{x}_{j}^{2}\right]=-\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}} .
\]

Этот результат совместно с результатом преобразования неизмененной формы уравнений движения (т. е. формы, полученной при отсутствии диссипативных сил) дает
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}+\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}}=0 .
\]

Таким образом, видно, что диссипативная система при соответствующих обстоятельствах может быть описана обобщенными уравнениями Лагранжа.