При выводе уравнений Лагранжа и Гамильтона значительное внимание было уделено тому, чтобы сделать одинаковой форму всех общих соотношений для всех систем координат. Любое преобразование координат, представленное уравнениями
\[
q_{i}^{\prime}=q_{i}^{\prime}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, t\right),
\]

приводит к уравнениям того же самого вида, что и первоначальные уравнения, содержащие $q_{i}$. В более строгой формулировке это утверждение гласит, что «данные уравнения ковариантны относительно точечного преобразования». Здесь следует отметить предположение, что особые преобразования исключаются из рассмотрения.

В схеме Гамильтона в дополнение к пространственным координатам в качестве переменных были введены величины импульсов, определяемые формулами
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \text {. }
\]

C первого взгляда кажется, что эти переменные являются понятием, совершенно отличным от координат, определяющих положения точек в пространстве. Однако исследование канонических уравнений Гамильтона показывает, что между этими семействами переменных существует некоторое подобие; в самом деле, если в уравнениях Гамильтона
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}
\]

величины $q_{i}$ и $p_{i}$ заменить на- $p_{i}^{\prime}$ и $q_{i}^{\prime}$ соответственно, то эти уравнения примут вид
\[
\dot{q}_{i}^{\prime}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}^{\prime}}, \quad \dot{p}_{i}^{\prime}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}^{\prime}} .
\]

Уравнения (7.2) по форме не отличаются от уравнений (5.16), и на основе только уравнений (7.2) было бы естественно заключить, что $q_{i}^{\prime}$ представляют собой координаты положения, а $p_{i}^{\prime}$ – компоненты импульсов. На самом деле, в соответствии с первоначальными определениями этих величин известно, что это не так.

Этот результат является кажущимся парадоксом, который можно разрешить, только представив себе, что $q_{i}$ и $p_{i}$ считаются равноправными переменными. Первоначальный постулат теории Гамильтона о том, что все $q_{i}$ и $p_{i}$ должны трактоваться как независимые переменные, нужно дополнить тем требованием, что ни одно из этих семейств переменных нельзя считать более существенным, чем другое.

Естественным следствием этого рассуждения является исследование преобразований вида
\[
\left.\begin{array}{rl}
q_{i}^{\prime} & =q_{i}^{\prime}\left(q_{1}, \ldots q_{n}, p_{1}, \ldots p_{n}, t\right), \\
p_{i}^{\prime} & =p_{i}^{\prime}\left(q_{1}, \ldots q_{n}, p_{1}, \ldots p_{n}, t\right),
\end{array}\right\}
\]

которые можно рассматривать как обобщения преобразований (7.1).

Рассматривая общую инвариантность уравнений, потребуем, чтобы оба семейства новых переменных были связаны соотношениями
\[
\dot{p}_{i}^{\prime}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial q_{i}^{\prime}}, \quad \dot{q}_{i}^{\prime}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{i}^{\prime}},
\]

где $H^{\prime}$ определяется как
\[
H^{\prime}=\sum_{i} p_{i}^{\prime} \dot{q}_{i}^{\prime}-L^{\prime},
\]
a $L^{\prime}$ – функция, которая, если к ней применить принцип Гамильтона
\[
\delta \int L^{\prime} d t=0
\]

дает соответствующие уравнения движения в новых координатах $q_{i}^{\prime}$.

Преобразованиям, удовлетворяющим этим условиям, дано название канонических преобразований, или преобразований прикосновения ${ }^{1}$ ). Можно показать, что существуют преобразования вида (7:3), не удовлетворяющие таким требованиям, но они не представляют практического интереса.

При рассмотрении этого более общего вида преобразований наша точка зрения несколько отличается от той, которой мы придерживались в гл. III. Там при переходе к обобщенным координатам предполагалось, что новая форма функции $L$ была получена из старой путем непосредственной подстановки формул преобразования. Это является частным случаем (называемым точечным преобразованием) преобразования более общего вида, рассматриваемого нами сейчас. Теперь уже нет прямого соотношения между двумя формами функции Лагранжа.

Из всех этих рассуждений следует, что видоизмененная форма принципа Гамильтона сохраняется как в первоначальной, так и в преобразованной системе, т. е.
\[
\left.\begin{array}{c}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H\right] d t=0, \\
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum_{i} p_{i}^{\prime} \dot{q}_{i}^{\prime}-H^{\prime}\right] d t=0 .
\end{array}\right\}
\]

Ранее не отмеченное свойство вариаций состоит в том, что условие $\delta \int f d t=0$ в общем случае удовлетворяется при $f=d F / d t$, где $F$ – некоторая произвольная функция. Это замечание не относится к предыдущим рассуждениям, где подинтегральное выражение было известной функцией. Здесь, однако, имеет место другое положение, так как из рассмотрения уравнений (7.4) мы получаем
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\left(\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H\right)-\left(\sum_{i} p_{i}^{\prime} \dot{q}_{i}^{\prime}-H^{\prime}\right)\right] d t=0,
\]

и подинтегральное выражение является здесь до некоторой

степени неизвестной величиной. Отсюда следует, что
\[
\left(\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H\right)-\left(\sum_{i} p_{i}^{\prime} \dot{q}_{i}^{\prime}-H^{\prime}\right)=\frac{d F}{d t} .
\]

Величина, стояцая в первой скобке равенства (7.6), рассматривается как функция $q_{i}, p_{i}$ и $t$, а во второй -как функция $q_{i}^{\prime}, p_{i}^{\prime}$ и $t$. Таким образом, функция $F$ в общем случае зависит от $4 n+1$ переменных $q_{i}, p_{i}, q_{i}^{\prime}, p_{i}^{\prime}$ и $t$. Однако эти переменные удовлетворяют уравнениям преобразования (7.3), и число независимых переменных, входящих в функцию $F$, уменьшается до $2 n+1$ переменных, а именно $t$ и какие-либо $2 n$ переменных из $q_{i}, p_{i}, q_{i}^{\prime}$ и $p_{i}^{\prime}$.
Рассмотрим частный случай
\[
F=F_{1}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, t\right) ;
\]

тогда
\[
\frac{d F_{1}}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}^{\prime}} \dot{q}_{i}^{\prime}+\frac{\partial F_{1}}{\partial t} .
\]

Подстановка результата (7.8) в соотношение (7.6) дает
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i}\left(p_{i}-\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}\right) d q_{i}-\sum_{i}\left(p_{i}^{\prime}+\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}^{\prime}}\right) d q_{i}^{\prime}+ \\
+\left(H^{\prime}-H-\frac{\partial F_{1}}{\partial t}\right) d t=0,
\end{array}
\]

и так как $q_{i}, q_{i}^{\prime}$ и $t$ можно рассматривать как независимые переменные, то
\[
\begin{array}{c}
p_{i}=\frac{\partial}{\partial q_{i}} F_{1}\left(q_{i}, q_{i}^{\prime}, t\right), \\
p_{i}^{\prime}=-\frac{\partial}{\partial q_{i}^{\prime}} F_{1}\left(q_{i}, q_{i}^{\prime}, t\right), \\
H^{\prime}-H=\frac{\partial}{\partial i} F_{1}\left(q_{i}, q_{i}^{\prime}, t\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (7.10) можно в принципе решить и найти
\[
q_{i}^{\prime}=q_{i}^{\prime}\left(q_{i}, p_{i}, t\right) .
\]

Тогда подстановка этих выражений в уравнения (7.11) дает
\[
p_{i}^{\prime}=p_{i}^{\prime}\left(q_{i}, p_{i}, t\right)
\]

это, конечно, уравнения преобразования вида (7.3). Отсюда следует, таким образом, что формулы преобразования можно вывести из известной функции $F$. На этом основании $F$ называют производящей функцией такого преобразования.

Отметим как следствие равенства (7.12), что преобразованная функция Гамильтона будет совпадать с первоначальной, если производящая функция не содержит $t$ явно.

Сначала может показаться, что каноническое преобразование устанавливается способом, равносильным выбору произвольной постоянной интегрирования. Более подробное исследование показывает, что это утверждение неверно. Если все $q_{i}, p_{i}, q_{i}^{\prime}$ и $p_{i}^{\prime}$ указаны предварительно, то произвола в выборе $F$ нет; это есть вполне определенная функция, зависящая от уравнений преобразования; то обстоятельство, что эти последние можно вывести из нее, не должно вызывать удивления. Отсюда возникает неверное толкование, так как легче исходить из заданной функции $F$ и вывести уравнения преобразования, чем осуществить обратный процесс.

Еще раз подчеркнем, что производящую функцию можно выразить через $t$ и какие-либо $2 n$ из $4 n$ переменных $q_{i}, p_{i}, q_{i}^{\prime}, p_{i}^{\prime}$. Любой другой случай, отличный от случая, представленного функцией (7.7), можно осуществить, выполняя преобразование Лежандра над данной функцией. Рассмотрим, например,
\[
F_{2}=F_{1}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, t\right)+\sum_{i} p_{i}^{\prime} q_{i}^{\prime} .
\]

Согласно общим свойствам преобразований Лежандра, здесь надо предположить, что система независимых переменных $\left(q_{i}, q_{i}^{\prime}, t\right)$ заменена системой независимых переменных $\left(q_{i}, p_{i}^{\prime}, t\right)$. Это означает, что
\[
F_{2}=F_{2}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}, t\right) .
\]

Рассмотрим такое же преобразование, как и прежде,
\[
\left(\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H\right)-\left(\sum_{i} p_{i}^{\prime} \dot{q}_{i}^{\prime}-H^{\prime}\right)=\frac{d F_{1}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(F_{2}-\sum_{i} q_{i}^{\prime} p_{i}^{\prime}\right) ;
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i}\left(p_{i}-\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}\right) d q_{i}+\sum_{i}\left(q_{i}^{\prime}-\frac{\partial F_{2}}{\partial p_{i}^{\prime}}\right) d p_{i}^{\prime}+ \\
+\left(H^{\prime}-H-\frac{\partial F_{2}}{\partial t}\right) d t=0
\end{array}
\]

отсюда имеем
\[
\begin{aligned}
p_{i} & =\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}, \\
q_{i}^{\prime} & =\frac{\partial F_{2}}{\partial p_{i}^{\prime}}, \\
H^{\prime}-H & =\frac{\partial F_{2}}{\partial t},
\end{aligned}
\]

Так как $\partial F_{1} / \partial t=\partial F_{2} / \partial t^{\mathbf{1}}$ ), то соотношение (7.17) тождественно соотношению (7.12), как этого и следовало ожидать, потому что они относятся к одному и тому же преобразованию. Равенства (7.15) тождественны равенствам (7.10), так как $\partial F_{1} / \partial q_{i}=\partial F_{2} / \partial q_{i}$. На первый взгляд кажется, что уравнения (7.16) отличаются от уравнений (7.11), но на самом деле они являются результатом некоторого преобразования последних.

Соотношения, относящиеся к двум другим главным видам производящей функции, получаются подобным же образом. Они сводятся к следующим:
\[
F_{3}\left(p_{i}, q_{i}^{\prime}, t\right)=F_{1}\left(q_{i}, q_{i}^{\prime}, t\right)-\sum_{i} q_{i} p_{i},
\]

откуда получаем
\[
q_{i}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial p_{i}}, \quad p_{i}^{\prime}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial q_{i}^{\prime}}, \quad H^{\prime}-H=\frac{\partial F_{3}}{\partial t} ;
\]

и
\[
F_{4}\left(p_{i}, p_{i}^{\prime}, t\right)=F_{1}\left(q_{i}, q_{i}^{\prime}, t\right)+\sum_{i} q_{i}^{\prime} p_{i}^{\prime}-\sum_{i} q_{i} p_{i},
\]

что дает
\[
q_{i}=-\frac{\partial F_{4}}{\partial p_{i}}, \quad q_{i}^{\prime}=\frac{\partial F_{4}}{\partial p_{i}^{\prime}}, \quad H^{\prime}-H=\frac{\partial F_{4}}{\partial t} .
\]

Примеры канонических преобразований
а. $F=\sum_{i} q_{i} p_{i}^{\prime}$.
Эта функция, очевидно, является частным случаем производящей функции $F_{2}$; следовательно, применяя равенства (7.15) – (7.17), имеем
\[
p_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}=p_{i}^{\prime}, \quad q_{i}^{\prime}=\frac{\partial F_{2}}{\partial p_{i}^{\prime}}=q_{i}, \quad H^{\prime}=H+\frac{\partial F_{2}}{\partial t}=H,
\]
т. е. порождаемое этой функцией преобразование является тривиальным тождественным преобразованием.

Функция $F=-\sum_{i} q_{i} p_{i}^{\prime}$ порождает преобразование $q_{i}^{\prime}=$ $=-q_{i}, p_{i}^{\prime}=-p_{i}, \stackrel{i}{H^{\prime}}=H$. Этот результат иллюстрирует то обстоятельство, что пространственная инверсия является частным видом канонического преобразования. Для простой инверсии по времени то же самое утверждение оказывается неверным.
б. $F_{1}=\sum_{i} q_{i} q_{i}^{\prime}$.
Из равенств $(7.10)-(7.12)$ получаем
\[
p_{i}=q_{i}^{\prime}, \quad p_{i}^{\prime}=-q_{i}, \quad H=H^{\prime} ;
\]

такое преобразование было рассмотрено в начале этой главы.
в. $F_{2}=\sum_{j} f_{j}\left(q_{i}\right) p_{j}^{\prime}$ ( $f_{j}-$ произвольная функция $)$.

Следовательно,
\[
p_{i}=\sum_{j} p_{j}^{\prime} \frac{\partial f_{j}}{\partial q_{i}}, \quad q_{i}^{\prime}=f_{i}\left(q_{k}\right), \quad H^{\prime}=H .
\]

Это показывает, какой вид должна иметь производящая функция для того, чтобы порожденное ею преобразование было точечным преобразованием.

Разобранные примеры иллюстрируют только процесс, с помощью которого выводятся уравнения преобразования при задании производящей функции определенной формы. Они не претендуют на то, чтобы быть особо полезными сами по себе. В самом деле, на этом этапе неизбежно возникает вопрос «зачем нужно изучать канонические преобразования?». Цель этой книги состоит в том, чтобы

дать известное представление о некотором классе методов для составления уравнений задач механики. Если задача уже представлена в виде канонических уравнений Гамильтона, то единственной целью канонического преобразования может быть приведение этих уравнений к виду, более удобному для решения. Возможность такого упрощения может быть разъяснена на частном примере.

Предположим, что требуется определить движение материальной точки, для которой функция Гамильтона дается в форме
\[
H=\frac{1}{2}\left(\mu q^{2}+\frac{p^{2}}{m}\right) .
\]

Нетрудно, конечно, установить, что эта функция соответствует движению материальной точки, совершающей прямолинейное простое гармоническое колебание; но допустим, что мы этого не знаем.

Постулирование выражения (7.22) эквивалентно следующим уравнениям движения:
\[
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}, \quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}=-\mu q .
\]

Согласно заключению, сделанному в гл. V, решения этих уравнений не являются непосредственно очевидными. Простейший путь состоит в исключении $p$, что дает
\[
m \ddot{q}=-\mu q .
\]

Это соотношение на самом деле является уравнением Лагранжа для системы и обычно получается без введения функции Гамильтона.

В качестве другого метода исследования рассмотрим каноническое преобразование, порождаемое функцией
\[
F_{1}=k q^{2} \operatorname{ctg} q^{\prime} ;
\]

для этого преобразования, $\cdot$согласно равенствам (7.10)(7.12), имеем
\[
\begin{aligned}
p & =\frac{\partial F_{1}}{\partial q}=2 k q \operatorname{ctg} q^{\prime}, \quad H=H^{\prime}, \\
p^{\prime} & =-\frac{\partial F_{1}}{\partial q^{\prime}}=k q^{2} \operatorname{cosec}^{2} q^{\prime},
\end{aligned}
\]

откуда
\[
p=\sqrt{4 k p^{\prime}} \cos q^{\prime}, \quad q=\sqrt{\frac{p^{\prime}}{k}} \sin q^{\prime} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
H^{\prime} & =\frac{1}{2}\left(\mu q^{2}+\frac{p^{2}}{m}\right)=\frac{1}{2}\left(\mu \frac{p^{\prime}}{k} \sin ^{2} q^{\prime}+\frac{4 k p^{\prime}}{m} \cos ^{2} q^{\prime}\right)= \\
& =\frac{\mu p^{\prime}}{2 k}\left(\sin ^{2} q^{\prime}+\frac{4 k^{2}}{m \mu} \cos ^{2} q^{\prime}\right) ;
\end{aligned}
\]

если $k=\frac{1}{2} \sqrt{m \mu}$, то этот результат сводится к выражению
\[
H^{\prime}=\frac{\mu p^{\prime}}{2 k}=p^{\prime} \sqrt{\frac{\mu}{m}},
\]

которое является особенно простым. Так как $q^{\prime}$-циклическая координата, то
\[
\dot{p}^{\prime}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial q^{\prime}}=0
\]

и, следовательно,
\[
p^{\prime}=\text { const }=u,
\]

где $\alpha$ есть постоянная интегрирования; отсюда
\[
\dot{q}^{\prime}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p^{\prime}}=\sqrt{\frac{\mu}{m}}(=\text { const })
\]

и поэтому
\[
q^{\prime}=\sqrt{\frac{\bar{\mu}}{m}} t+\beta
\]

Теперь искомые выражения для $p$ и $q$ получаются подстановкой выражений (7.29) и (7.30) в уравнения (7.26).

В этом случае уравнения Гамильтона становятся разрешимыми после применения канонического преобразования, приводящего к новой системе, в которой пространственная координата является циклической. Так как ответ для этой задачи уже известен, то она может служить только иллюстрацией общего метода, с помощью которого все координаты делаются циклическими за счет надлежащего выбора производящей функции. На данном этапе не очевидно, что определение этой функции представляет собой что-либо иное, кроме догадки. Разработка некоторого рацио-

нального способа для ее определения является предметом исследования, которое будет проведено в следующем разделе.

Равенства $(7.26),(7.29)$ и (7.30) дают в качестве побочного результата проведенного выше исследования частного примера следующую формулу:
\[
J=\oint p d q=\int_{0}^{2 \pi} 2 p^{\prime} \cos ^{2} q^{\prime} d q^{\prime}=2 \pi \alpha(=\text { const }) ;
\]

величины $J$ и $q^{\prime}$ известны под названиями действие и угол. На ранней стадии развития квантовой теории поведение системы, совершающей периодическое движение, описывалось путем постулирования возможных значений $J$, являющихся целыми кратными постоянной Планка $\hbar$.

Метод Гамильтона-Якоби
Здесь предлагается метод для явного определения производящей функции, из которой можно получить преобразование, позволяющее найти решения уравнений Гамильтона. Искомое преобразование должно быть частным видом ранее рассмотренного, ибо при этом будет требоваться, чтобы все пространственные координаты и импульсы были бы постоянными.

Предположим, что такое искомое преобразование существует и порождается функцией $S=S\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, t\right)$, которая должна быть частным случаем функции $F_{1}$, pacсмотренной в предыдущем разделе. Из постановки задачи следует, что
\[
q_{i}^{\prime}=\mathrm{const}=\alpha_{i}, \quad p_{i}^{\prime}=\mathrm{const}=\beta_{i},
\]

следовательно,
\[
S=S\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, t\right) .
\]

Так как это преобразование каноническое, то
\[
\dot{q}_{i}^{\prime}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{i}^{\prime}}, \quad \dot{p}_{i}^{\prime}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial q_{i}^{\prime}},
\]

откуда, принимая в расчет равенства (7.32), получаем
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{i}^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial H^{\prime}}{\partial q_{i}^{\prime}}=0 .
\]

Можно наложить далее условие $\partial H^{\prime} / \partial t=0$. Тогда $H^{\prime}$ будет постоянной, которую можно считать равной нулю, так как, если преобразование $S_{0}$ приводит к преобразованной функции Гамильтона $H_{0}=$ const $=A$, то $S=S_{0}-A t$ дает $H^{\prime}=0$.
Из равенства (7.12) получаем
\[
H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0,
\]

а из равенств $(7.10)$ –
\[
p_{i}=\frac{\partial S}{\partial q_{i}} ;
\]

отсюда
\[
H\left(q_{i}, \frac{\partial S}{\partial q_{i}}, t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0 .
\]

Уравнение (7.35′) является уравнением в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамильтона-Якоби. Это уравнение может быть записано в явном виде для любой частной задачи, так как соответствуюшая функция Гамильтона будет для этой задачи известной функцией от $q_{i}, p_{i}$ и $t$. Решение уравнения Гамильтона-Якоби представляет известные трудности, но в принципе предполагается возможным. Далее мы ограничим наше исследование лишь разъяснением общего хода решения.

Так как уравнение Гамильтона – Якоби содержит $n+1$ независимых переменных $q_{i}$ и $t$, то в числе его решений будет решение, содержащее $n+1$ произвольную постоянную. Если $S_{0}$ – некоторое возможное решение, то из формы уравнения (7.35′) очевидно, что $S_{1}=S_{0}+$ const также является решением. Таким образом, одна из $n+1$ произвольных постоянных учтена, и ею можно будет пренебречь, так как в уравнение входят только производные от $S$. Общее решение может быть теперь записано в виде
\[
S=S_{0}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n}, t\right),
\]

где произвольные постоянные обозначаются через $c_{i}$.
Однако первоначально было дано, что
\[
S=S\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, t\right)
\]

причем $q_{i}^{\prime}=\alpha_{i}=$ const. Следовательно, постоянные $c_{i}$ связаны с постоянными $\alpha_{i}$ и в действительности могут быть отождествлены с ними. Это отождествление требует, чтобы равенства (7.32) – (7.34) удовлетворялись, если $\alpha_{i}$ заменить на $c_{i}$. Вывод показывает, что это так и будет, за исключением второго соотношения (7.32).

Согласно равенствам (7.11), производящая функция, определяемая формулой (7.37), приводит к следующим компонентам импульса:
\[
p_{i}^{\prime}=-\frac{\partial S_{0}}{\partial c_{i}} .
\]

Следовательно, в силу формулы (7.37)
\[
\frac{d p_{i}^{\prime}}{d t}=-\frac{d}{d t} \frac{\partial S_{0}}{\partial c_{i}}=-\left[\sum_{j} \frac{\partial^{2} S_{0}}{\partial q_{j} \partial c_{i}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial^{2} S_{0}}{\partial t \partial c_{i}}\right] ;
\]

поскольку функция $S_{0}$ является решением уравнения (7.35′), имеем также
\[
\frac{\partial^{2} S_{0}}{\partial t \partial c_{i}}=\frac{\partial}{\partial c_{i}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial}{\partial c_{i}}\left[H\left(q_{i}, \frac{\partial S_{0}}{\partial q_{i}}, t\right)\right] .
\]

Из формулы (7.37) следует, что при частном дифференцировании по $c_{i}$ переменные $q_{i}$ и $t$ должны оставаться постоянными; поэтому, используя равенства (7.36) и канонические уравнения $\dot{q}_{j}=\partial H / \partial p_{j}$, приводим равенство (7.40) к виду
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} S_{0}}{\partial t \partial c_{i}} & =-\sum_{j} \frac{\partial H}{\partial\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{j}}\right)} \frac{\partial}{\partial c_{i}}\left(\frac{\partial S_{0}}{\partial q_{j}}\right)= \\
& =-\sum_{j} \frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial^{2} S_{0}}{\partial c_{i} \partial q_{j}}=-\sum_{j} \dot{q}_{j} \frac{\partial^{2} S_{0}}{\partial c_{i} \partial q_{j}} .
\end{aligned}
\]

Подставляя, наконец, выражения (7.41) в равенства (7.39), получаем
\[
\frac{d p_{i}^{\prime}}{d t}=0, \text { т. е. } p_{i}^{\prime}=\text { const. }
\]

Таким образом, отождествление $c_{i}$ с $\alpha_{i}$ удовлетворяет всем первоначальным требованиям, предъявленным к искомому преобразованию.

Для полного определения производящей функции $S$ необходимо знать значения постоянных $\alpha_{i}=c_{i}$. Они могут быть найдены подстановкой заданных начальных значений (т. е. значений $q_{i}$ и $p_{i}$ при $t=t_{0}$ ) в уравнения (7.36) и решением их относительно $\alpha_{i}$. Далее, если требуются значения (постоянные) преобразованных импульсов $p_{i}^{\prime}=\beta_{i}$, то они найдутся из уравнений (7.38).

Этим завершается решение задачи постольку, поскольку речь идет о преобразовании, но основной нашей целью является решение первоначальных уравнений Гамильтона, т. е. определение $p_{i}$ и $q_{i}$ как функций времени. Для этого $\alpha_{i}$ и $\beta_{i}$ подставляются в уравнения общего вида (7.38), которые затем решаются относительно $q_{i}$ в форме $q_{i}=q_{i}\left(\alpha_{j}, \beta_{j}, t\right)$; наконец, $p_{i}$ находятся подстановкой $\alpha_{i}$ и $q_{i}$ в уравнения (7.36), что дает $p_{i}=p_{i}\left(\alpha_{j}, \beta_{j}, t\right)$.

Хотя это и не помогает в процессе решения, тем не менее отметим одно важное свойство функции $S$, которое может быть установлено на основании следующих соображений.
Из равенства (7.6) имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{d S}{d t} & =\left(\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H\right)-\left(\sum_{i} p_{i}^{\prime} \dot{q}_{i}^{\prime}-H^{\prime}\right)= \\
& =\left(\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H\right)=L,
\end{aligned}
\]

следовательно,
\[
S=\int L d t
\]
т. е. функцию $S$ можно отождествить с главной функцией Гамильтона (отсюда используемый символ). K сожалению, интегрирование не может быть осуществлено до тех пор, пока $q_{i}$ и $p_{i}$ являются неизвестными функциями времени, т. е. до тех пор, пока задача еще не решена. Тогда такое отождествление не принесет, конечно, никакой практической пользы.

Пример
Для иллюстрации метода Гамильтона-Якоби рассмотрим снова задачу о простом гармоническом осцилляторе. Для этой задачи
\[
H=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{m} p^{2}+\mu q^{2}\right),
\]

и соответствующее уравнение Гамильтона – Якоби имеет вид
\[
\frac{1}{2}\left[\frac{1}{m}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}+\mu q^{2}\right]+\frac{\partial S}{\partial t}=0 .
\]

Во всех случаях, когда функция Гамильтона явно не содержит времени, решение уравнения Гамильтона-Якоби имеет вид
\[
S(q, \alpha, t)=S^{\prime}(q, \alpha)-c(\alpha) t .
\]

В соответствии с общим случаем постоянная $c(\alpha)$ может быть отождествлена с самой постоянной $\alpha$. Таким образом,
\[
S(q, \alpha, t)=S^{\prime}(q, \alpha)-\alpha t,
\]

и уравнение (7.44) принимает вид
\[
\frac{1}{2}\left[\frac{1}{m}\left(\frac{\partial S^{\prime}}{\partial q}\right)^{2}+\mu q^{2}\right]-\alpha=0,
\]

или
\[
\frac{\partial S^{\prime}}{\partial q}(=p)=\sqrt{m \mu}\left(\frac{2 \alpha}{\mu}-q^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

Следовательно,
\[
S=S^{\prime}-\alpha t=\sqrt{m \mu} \int\left(\frac{2 \alpha}{\mu}-q^{2}\right)^{1 / 2} d q+D(\alpha)-\alpha t,
\]

где $D$-некоторая постоянная интегрирования, которой, как было указано ранее, можно без потери общности пренебречь.

В этом случае нет необходимости получать явную форму $S$ путем интегрирования. Из равенства (7.47) имеем
\[
\begin{aligned}
\beta=-\frac{\partial S}{\partial \alpha}=t-\sqrt{m \mu} \int & \frac{1}{\mu}\left(\frac{2 \alpha}{\mu}-q^{2}\right)^{-1 / 2} d q= \\
= & t-\sqrt{\frac{m}{\mu}} \operatorname{arc} \cos \left(q \sqrt{\frac{\mu}{2 \alpha}}\right) .
\end{aligned}
\]

Взяв в качестве начальных условий $q=0, p=\sqrt{2 m E_{0}}$ при $t=0$ и подставив их в уравнение (7.46), получим
\[
\alpha=E_{0} \text {, }
\]
т. е. преобразованная обобщенная координата отождествляется с полной энергией.
Итак, из уравнения (7.48) мы имеем
\[
\beta=-\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m}{\mu}} .
\]

Теперь из уравнения (7.48) явное выражение $q$ получается в виде
\[
q=\sqrt{\frac{2 E_{0}}{\mu}} \cos \left(t \sqrt{\frac{\mu}{m}}+\frac{\pi}{2}\right),
\]

а из уравнения (7.46)
\[
p=\sqrt{2 m E_{0}} \sin \left(t \sqrt{\frac{\mu}{m}}+\frac{\pi}{2}\right) .
\]

Это, конечно, является обычным решением данной задачи.
Когда имеется более одной пары канонических переменных и $t$ явно не входит в $H$, то решение уравнения Гамильтона – Якоби всегда имеет вид
\[
S\left(q_{i}, \alpha_{i}, t\right)=S^{\prime}\left(q_{i}, \alpha_{i}\right)-\alpha t,
\]

где во всех интересующих нас случаях $\alpha$ можно отождествить с полной энергией ${ }^{1}$ ). Однако полное определение $S$ возможно только в том случае, когда в уравнении Гамильтона – Якоби переменные $q_{i}$ разделяются.

Бесконечно малые преобразования прикосновения
При рассмотрении примеров канонических преобразований было показано, что функция $F_{2}=\sum_{i} q_{i} p_{i}^{\prime}$ дает тождественное преобразование. Если $\varepsilon$-некоторый бесконечно малый параметр, не зависящий от $q_{i}$ и $p_{i}$, то отсюда

следует, что бесконечно малое изменение переменных будет порождаться функцией
\[
F=\sum_{i} q_{i} p_{i}^{\prime}+\varepsilon G\left(q_{i}, p_{i}^{\prime}\right),
\]

где $G$-произвольная функция. В силу уравнений (7.15) и (7.16) новые переменные даются формулами
\[
q_{i}^{\prime}=\frac{\partial F}{\partial p_{i}^{\prime}}=q_{i}+\varepsilon \frac{\partial G}{\partial p_{i}^{\prime}}, \quad p_{i}=\frac{\partial F}{\partial q_{i}}=p_{i}^{\prime}+\varepsilon \frac{\partial G}{\partial q_{i}},
\]

откуда
\[
\delta q_{i}=\varepsilon \frac{\partial G}{\partial p_{i}^{\prime}}, \quad \delta p_{i}=-\varepsilon \frac{\partial G}{\partial q_{i}},
\]

и так как разности $p_{i}^{\prime}-p_{i}$ бесконечно малы, то в выра: жении функции $G$ можно заменить $p_{i}^{\prime}$ на $p_{i}$; это дает
\[
\delta q_{i}=\varepsilon \frac{\partial}{\partial p_{i}} G\left(q_{i}, p_{i}\right), \quad \delta p_{i}=-\varepsilon \frac{\partial}{\partial q_{i}} G\left(q_{i}, p_{i}\right) .
\]

Первоначально производящей функцией была названа функция $F$, но в случае бесконечно малого преобразования прикосновения обычно это наименование присваивается функции $G$. Таким образом, уравнения (7.56′) определяют бесконечно малые изменения сопряженных переменных, которые порождаются произвольной производящей функцией $G$.
Как частный случай рассмотрим
\[
\varepsilon=d t, \quad G=H ;
\]

в этом случае, используя канонические уравнения, имеем
\[
\delta q_{i}=d t \frac{\partial H}{\partial p_{i}}=d t \cdot \dot{q}_{i}, \quad \delta p_{i}=-d t \frac{\partial H}{\partial q_{i}}=d t \cdot \dot{p}_{i} ;
\]
т. е. изменения сопряженных переменных, вызванные использованием функции Гамильтона как производящей функции, являются такими, какие на самом деле происходят в системе во время движения. Изменения за конечный промежуток времени от $t_{0}$ до $t$ можно рассматривать как результат последовательности таких бесконечно малых изменений, которые все порождены функцией $H$. Поэтому движение системы можно рассматривать как непрерывное выполнение преобразования прикосновения, порожденного функцией Гамильтона,

Геометрическая механика и волновая механика
В свете результатов, изложенных в предыдущем разделе, теперь можно несколько иначе описать метод Гамильтона – Якоби. Ранее этот метод рассматривался как средство для решения задач с помощью перехода к новым каноническим уравнениям, в которых все переменные являются интегралами движения. Такая интерпретация была дана Якоби. Другая точка зрения, которую впервые предложил Гамильтон, состоит в том, чтобы рассматривать $S$ как функцию, которая преобразует начальные значения пространственных координат $q_{i}^{\prime}$ при $t=0$ в их значения $q_{i}$ для момента $t$. Таким образом, она описывает изменение системы во времени.
По определению
\[
L=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H
\]

следовательно,
\[
S=\int L d t=\int \sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} d t-\int H d t=W-\int H d t .
\]

Согласно первоначальному предположению, $S=S\left(q_{i}, q_{i}^{\prime}, t\right)$. Отсюда, ограничиваясь системами, для которых $\partial H / \partial t=0$ и $H=E$, и опуская величины $q_{i}^{\prime}$, так как они рассматриваются теперь как постоянные начальные значения, имеем
\[
S\left(q_{i}, t\right)=W-E t .
\]

Принцип наименьшего действия (6.36) утверждает, что $\Delta W=0$. Из определения $\Delta$-вариации, данного в гл. VI, ясно, что $W$ может зависеть только от пространственных координат конечных точек траектории. Следовательно,
\[
S\left(q_{i}, t\right)=W\left(q_{i}\right)-E t,
\]

как было указано ранее [см. формулу (7.53)].
Можно дать общую интерпретацию выражения (7.60′) в понятиях, связанных с волновым движением. Мы ограничимся простым частным случаем, который дает более ясное представление об используемых здесь соображениях.

Рассмотрим систему, состоящую из одной материальной точки, на которую действуют консервативные силы,

и используем декартову систему координат. В общем случае уравнение Гамильтона – Якоби имеет вид
\[
H\left(q_{i}, \frac{\partial S}{\partial q_{i}}, t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0 .
\]

Для нашего частного случая мы имеем из уравнений (7.36) и формулы (7.60′)
\[
p_{i}=\frac{\partial S}{\partial q_{i}}=\frac{\partial W}{\partial q_{i}}, \quad \text { т. е. } \mathbf{p}=
abla W,
\]
a также
\[
\frac{\partial S}{\partial t}=-E,
\]

поэтому уравнение Гамильтона – Якоби имеет вид
\[
\frac{1}{2 m}(
abla W)^{2}+V=E,
\]

или
\[
|
abla W|=\sqrt{2 m(E-V)} .
\]

Ранее мы уже указывали, что движение системы можно представить некоторой непрерывной кривой в пространстве конфигураций. В настоящем случае эта кривая будет действительной траекторией материальной точки в обычном пространстве. Уравнение $W=$ const представляет семейство поверхностей в этом пространстве, а условие (7.61a) означает, что траектория материальной точки всюду нормальна к таким поверхностям. Это напоминает соотношения между волновыми поверхностями и лучами в оптике. Предположим, что движение материальной точки на самом деле связано таким образом с некоторой формой волнового движения. Если этот волновой режим характеризуется волновой функцией $\psi$, удовлетворяющей уравнению, подобному скалярному волновому уравнению в оптике, то
\[

abla^{2} \psi-\frac{\mu^{2}}{v_{0}^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=0
\]

здесь предусмотрено изменение волновой скорости от точки к точке с помощью введения «показателя преломления» $\mu$, являющегося непрерывной функцией координат. Ограничиваясь рассмотрением лишь одной частоты $\omega$, имеем
\[
\Gamma^{2} \psi-\frac{\mu^{2} \omega^{2}}{v_{0}^{2}} \psi=0 .
\]

Представим общее решение этого уравнения в следующем виде:
\[
\psi=\psi_{0}\left(q_{i}\right) e^{i\left[k_{0} !\left(q_{i}\right)-\omega t\right]},
\]

где $k_{0}=2 \pi / \lambda_{0}=\omega / v_{0}$ и $\psi_{0}$ действительно.
Если ограничиться случаями, когда изменение показателя преломления при перемещении, равном одной длине волны, мало, то, как можно показать, должно удовлетворяться уравнение
\[
(
abla f)^{2}=\mu^{2} .
\]

Поверхности постоянной фазы даются уравнением
\[
k_{0} f\left(q_{i}\right)-\omega t=\varphi\left(q_{i}, t\right)=\text { const. }
\]

Это уравнение аналогично уравнению (7.60′), и, таким образом, можно отождествить поверхности постоянных значений $S$ (которые также можно изобразить в пространстве конфигураций и которые в каждый момент будут совпадать с различными поверхностями $W=$ const, как показано на рис. 6) с волновыми поверхностями постоянной фазы. Из этого отождествления имеем
\[
S=a \varphi, \quad W=a k_{0} f, \quad E=a \omega,
\]

где $a$ – некоторая постоянная. Выражения (7.65), (7.67) и (7.62′) дают теперь следующие значения для «показателя преломления»:
\[
\mu=|
abla f|=\frac{1}{a k_{0}}|
abla W|=\frac{v_{0}}{\omega a} \sqrt{2 m(E-V)} ;
\]

таким образом, волновое уравнение (7.63′) примет вид
\[

abla^{2} \psi-\frac{2 m(E-V)}{a^{2}} \psi=0 .
\]

Если здесь положить $a=h / 2 \pi$, то это будет волновое уравнение Шредингера для одной материальной точки в консервативном поле. Таким образом, видно, что шредингеровская волновая механика находится в таком же отношении к обыч-

Рис. 6. Поверхности $S=$ const и поверхности $W=$ const.
ной механике материальной точки, как физическая оптика к геометрической (или лучевой) оптике ${ }^{1}$ ). По этой причине механику материальной точки часто называют геометрической механикой.

Принцип Ферма
Аналогию, указанную в предыдущем разделе, можно провести и в обратном направлении. В случае материальной точки подстановка выражений (7.61a) и (7.68) в принцип наименьшего действия (6.36) дает
\[
\Delta \int \mu d s=0 .
\]

В применении к оптике этот результат выражает принцип наикратчайшего оптического пути (принцип Ферма).