В физике были предложены разнообразные вариационные принципы. В некоторых случаях они были окутаны философским мистицизмом, что задержало оценку их значения. Главное значение таких принципов заключается в исключительной экономности их выражения. Здесь мы рассмотрим подробно только принцип Гамильтона и дадим краткое описание принципа наименьшего действия.

Сведения из вариационного исчисления
Предварительно рассмотрим чисто математическую задачу определения условий, при которых интегралы некоторого типа принимают стационарное (экстремальное) значение.
Рассмотрим интеграл
\[
I=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F\left(y, y^{\prime}, x\right) d x,
\]

где $y^{\prime} \equiv d y / d x$ и предполагается; что $x$ является независимой, а $y$ зависимой переменной, хотя вид зависимости $y$ от $x$ первоначально не устанавливается. Значения $x$ и $y$ на границах пути интегрирования заданы, и величина $I$ зависит от точного выбора пути интегрирования между этими конечными точками. Задача состоит в определении условия, при котором I имеет стационарное значение.

Предположим, что кривая $A P B$ на рис. 3 будет путем, для которого $I$ имеет стационарное значение, и рассмотрим соседнюю траекторию $A P^{\prime} B$ с теми же конечными точками $A$ и $B$. Соответствие между точками двух траекторий таково: $P \rightarrow P^{\prime}$, где $P=(x, y)$ и $P^{\prime}=(x, y+\delta y)$; т. е. абсциссы $x$ точек остаются неизменными. Это определяет

так называемую $\delta$-вариацию траектории. Подчиненная единственному ограничению
\[
\delta y_{1}=\delta y_{2}=0,
\]

такая вариация является величиной произвольной, но малой. Она может быть выражена иначе так:
\[
\delta y=\eta \delta \alpha,
\]

где $\alpha$-параметр, общий для всех точек траектории, а $\eta$ –
Рис. 3. Пример $\delta$-вариации.

любая функция от $x$, удовлетворяющая условию
\[
\eta\left(x_{1}\right)=\eta\left(x_{2}\right)=0 .
\]

Соответствующая вариация для $y^{\prime}$ равна
\[
\delta y^{\prime}=\eta^{\prime} \delta \alpha \text {. }
\]

Так как эта вариация по условию мала, то интеграл по измененной траектории можно получить путем рассмотрения членов только первого порядка в разложении функции $F$ в ряд Тейлора:
\[
I^{\prime}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[F\left(y, y^{\prime}, x\right)+\frac{\partial F}{\partial y} \eta \delta \alpha+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}} \eta^{\prime} \delta \alpha\right] d x,
\]

откуда
\[
\delta I=\delta \alpha \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial F}{\partial y} \eta+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}} \eta^{\prime}\right] d x ;
\]

интегрируя по частям и используя условия (6.2′), получаем
\[
\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial F}{\partial y^{\prime}} \eta^{\prime} d x=-\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right) \eta d x .
\]

Следовательно,
\[
\delta I=\delta \alpha \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right)\right] \eta d x .
\]

Условие стационарности $I$ требует, чтобы вариация $\delta I$ равнялась нулю. Так как функция $\eta$ произвольна, то это в свою очередь означает, что подинтегральное выражение (6.6) должно обращаться в нуль, т. е. что
\[
\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right)=0 .
\]

Этот результат можно легко обобщить на случай, когда имеется $n$ зависимых переменных $y_{i}$. При этом получается $n$ условий вида –
\[
\frac{\partial F}{\partial y_{i}}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial y_{i}^{\prime}}\right)=0 .
\]

Если $n$ зависимых переменных $y_{i}$ являются функциями $m$ независимых переменных $x_{r}$, то эти $n$ условий будут таковы:
\[
\frac{\partial F}{\partial y_{i}}-\sum_{r=1}^{m} \frac{d}{d x_{r}}\left(\frac{\partial F}{\partial y_{i}, r}\right)=0,
\]

где $y_{i, r} \equiv d y_{i} / d x_{r}$. Математическая формулировка принципа в этом случае принимает форму
\[
\delta \int \ldots \int F d x_{1} d x_{2} \ldots d x_{m}=0 .
\]

Возможно также дальнейшее обобщение этого результата при предположении, что функция $F$ зависит и от производных высшего порядка функций $y_{i}$, но здесь это не будет рассматриваться.

Приведенные результаты можно применять к широкому кругу физических задач. В большинстве случаев стационарное значение интеграла оказывается минимумом, хотя иногда оно является и максимумом. Самое раннее применение принципа было дано Бернулли при определении траектории, для которой время движения под действием силы тяжести материальной точки между двумя точками, расположенными не на одной вертикали, является минимальным.

При выводе, данном выше, было показано, что условия (6.7)-(6.9) являются следствиями предположения, что соответствующий интеграл имеет нулевую вариацию. Эти условия являются, таким образом, необходимыми; в дальнейшем можно будет показать, что они и достаточны; поэтому если эти условия выполняются, то вариация соответствующего интеграла должна равняться пулю.

Принцип Гамильтона
Выше было показано, что уравнения движения системы, описываемой функцией Лагранжа, имеют вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \rightarrow \frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 .
\]

Как отмечено в конце предыдущего раздела, это значит, что
\[
\delta \int_{i_{1}}^{t_{2}} L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right) d t=0 .
\]

Это – формулировка принципа Гамильтона. В нашем изложении этот результат является в конечном счете следствием законов Ньютона. Другая точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать его как исходный принцип, и в этом случае уравнения движения Лагранжа и остальные законы механики выводятся из него.

Надо было бы особенно подчеркнуть, что принцип Гамильтона не добавляет новых сведений к тем, которыми

мы уже располагаем. Он дает только более изящную и краткую формулировку законов движения, чем другие постулаты. Его преимущество заключается в том, что он может быть применен и к немеханическим системам, к которым, например, законы Ньютона не приложимы. Эта бо́льшая общность принципа Гамильтона, которая является дополнительной причиной для принятия его в качестве основного постулата, будет исследована более подробно в дальнейших главах.
Интеграл
\[
S=\int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t,
\]

где интегрирование происходит по действительной траектории системы, известен как главная функция Гамильтона, или действие по Гамильтону. Для вычисления этой функции нужно знать как траекторию, так и функцию Лагранжа. Вариационный принцип дает возможность найти траекторию, но, конечно, необходимо постулировать аналитическую форму функции $L$. В этом отношении принцип Гамильтона является несколько искусственным. Его польза при новых обстоятельствах обусловлена тем, что функции Лагранжа часто являются совершенно простыми функциями возможных переменных.

Видоизмененный принцип Гамильтона
В гл. V было показано, что уравнения движения Лагранжа можно заменить системой дифференциальных уравнений первого порядка, а именно каноническими уравнениями Гамильтона. Эта эквивалентность подтверждается тем обстоятельством, что последние можно также вывести из принципа Гамильтона посредством небольшого изменения доказательства.
Из равенства (5.10) имеем
\[
L=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H,
\]

где
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{a}_{i}} \text {. }
\]

Таким образом, видоизмененный вариант принципа Гамильтона утверждает, что
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H\right] d t=0 .
\]

В равенстве (6.11) при варьировании траектории принимались во внимание вариации $q_{i}$ при постоянном $t$, причем вариации $\dot{q}_{i}$ зависели от вариаций $q_{i}$. В настоящем случае в соответствии с общим предположением относительно использования функции Гамильтона $\delta$-вариация содержит независимые вариации переменных как $q_{i}$, так и $p_{i}$ при постоянном $t$. Эти вариации можно выразить, как и прежде, через параметр $\alpha$, общий для всех точек пути интегрирования (последний теперь является траекторией в фазовом пространстве, а не в пространстве конфигураций), т. е.
\[
\delta q_{i}=\frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha} \delta \alpha=\eta_{i} \delta \alpha, \quad \delta p_{i}=\frac{\partial p_{i}}{\partial \alpha} \delta \alpha=\zeta_{i} \delta \alpha,
\]

где $\eta_{i}$ и $\zeta_{i}$ являются произвольными величинами, удовлетворяющими условиям
\[
\eta_{i}\left(t_{1}\right)=\eta_{i}\left(t_{2}\right)=\zeta_{i}\left(t_{1}\right)=\zeta_{i}\left(t_{2}\right)=0 .
\]

Таким образом, вариация интеграла дается в виде
\[
\delta S=\delta \alpha \int_{i_{1}}^{t_{2}} \sum_{i}\left[\frac{\partial p_{i}}{\partial \alpha} \dot{q}_{i}+p_{i} \frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial \alpha}-\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial p_{i}}{\partial \alpha}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}\right] d t
\]

интегрируя по частям и используя соотношения (6.14) и (6.14′), получаем
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} p_{i} \frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial \alpha} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} p_{i} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial \alpha}\right) d t=-\int_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{p}_{i} \eta_{i} d t .
\]

Из равенств (6.15) и (6.16) получаем
\[
\delta S=\delta \alpha \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i}\left[\left(\dot{q}_{i}-\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right) \zeta_{i}-\left(\dot{p}_{i}+\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right) \eta_{i}\right] d t .
\]

Все величины $\eta_{i}$ и $\zeta_{i}$ являются независимыми произвольными функциями, поэтому из условия равенства нулю вариации $S$ вытекает, что коэффициенты при этих функциях равны нулю, т. е.
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} .
\]

Эти условия совпадают с уравнениями (5.16), т. е. с каноническими уравнениями движения.

Неголономные системы
В предыдущих выводах допускалось, что все обобщенные координаты $q_{i}$ были независимы. Для этого необходимо предположить, что каждая связь, наложенная на систему, голономна и что координаты были выбраны в соответствии с числом степеней свободы и связи были тем самым учтены.

Уравнения движения для ограниченного класса неголономных систем можно также получить из принципа Гамильтона, используя метод неопределенных множителей Лагражжа. Этот класс включает системы, для которых связи заданы в виде неинтегрируемых дифференциальных соотношений, содержащих пространственные и временну́ю координаты.

Рассмотрим такую систему, в которой связи выражаются $m$ уравнениями вида
\[
\sum_{i=1}^{n} a_{r i} d q_{i}+b_{r t} d t=0 \quad(r=1,2, \ldots, m),
\]

где число обобщенных координат равно $n$, а число степеней свободы $n-m$. В общем случае $a_{r i}$ и $b_{r t}$ являются функциями от $t$ и $q_{i}$.

Предполагается, что существует функция Лагранжа $k$, зависящая от времени $t$, всех $n$ координат $q_{i}$ и их производных по времени и такая, что при движении системы выполняется соотношение
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=0
\]

Это допущение о справедливости принципа Гамильтона может быть, как и прежде, записано в развернутом виде
\[
\delta \alpha \int_{i_{1}}^{t_{2}}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)\right] \eta_{i} d t=0 .
\]

До сих пор мы не обращали внимания на связи. Их влияние заключается в том, что не все $\eta_{i}$ являются независимыми; они в действительности стеснены условиями (6.19). Для того чтобы сделать дальнейшие выводы, необходимо свести число переменных к числу степеней свободы.

Вариации $q_{i}$, рассматриваемые в выражении (6.20), т. е. $\delta$-вариации, должны вычисляться при постоянном $t$, поэтому ограничения, наложенные на эти вариации и обусловленные связями, даются $m$ условиями
\[
\sum_{i} a_{r i} \delta q_{i}=\sum_{i}^{1} a_{r i} \eta_{i} \delta \alpha=0 \quad(r=1,2, \ldots, m) .\left(6.19^{\prime}\right)
\]

Эти условия можно сочетать с равенством (6.20), умножая каждое из них на некоторую (пока неопределенную) величину $\lambda_{r}$, интегрируя по $t$ в интервале $t_{1} t_{2}$ и прибавляя результат к равенству (6.20). Допускается, что $\lambda_{r}$ являются функциями от $t$, но не от других переменных. Равенства (6.19′) представляют собой тождества; следовательно, каждый из новых интегралов в отдельности равен нулю и мы получаем
\[
\delta \alpha \int_{i_{1}}^{t_{2}} \sum_{i=1}^{n}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)+\sum_{r=1}^{m} \lambda_{r} a_{r i}\right] \eta_{i} d t=0 .
\]

До сих пор величины $\lambda_{r}$ не определены. Поэтому их можно выбрать так, чтобы
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)+\sum_{r=1}^{m} \lambda_{r} a_{r i}=0
\]

для $i=1,2, \ldots, m$.

Этот выбор приводит равенство (6.21) к виду
\[
\delta \alpha \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i=m+1}^{n}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)+\sum_{r=1}^{m} \lambda_{r} a_{r i}\right] \eta_{i} d t=0,\left(6.21^{\prime}\right)
\]

где теперь все $\eta_{i}$ являются независимыми, так как имеется как раз $n-m$ степеней свободы. Поэтому коэффициенты при $\eta_{i}$ могут быть приравнены к нулю, что дает результат, совпадающий с уравнениями (6.22), но примененный к $i=m+1, m+2, \ldots, n$. Комбинируя эти результаты, получаем, что уравнения (6.22) справедливы для всех $q_{i}$.

В этом методе действие связей учитывается в совершенно симметричной форме, которая не делает различия между координатами. Верно, что $m$ уравнений были получены на основании одного соображения, а остальные – на основании другого, но результаты одинаковы по форме и, таким образом, между разными переменными $q_{i}$ нет практического различия. Окончательное определение движения состоит в нахождении $n+m$ неизвестных величин $q_{i}$ и $\lambda_{r}$ как функций времени. Для этой цели используются $n$ уравнений вида (6.22) и $m$ уравнений связей (6.19). Обычно величины $\lambda_{r}$ не представляют интереса; достаточно только исключить их из уравнений и определить $q_{i}$.

Определение $\lambda_{r}$ полезно в том исключительном случае, когда требуется найти величины реакций связей.

Если убрать связи и заменить их обобщенными компонентами реакций связей $Q_{i}$, то движение системы будет описываться теми же $n$ координатами $q_{i}$, теперь независимыми и удовлетворяющими $n$ уравнениям движения
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)=-Q_{i} .
\]

Если дальше поставить условие, чтобы это движение совпадало с движением при наличии связей, то уравнения (6.23) должны совпадать с уравнениями (6.22), т. е.
\[
Q_{i}=\sum_{r=1}^{m} \lambda_{r} a_{r i} .
\]

Чтобы вызвать заданное движение, силы должны быть одинаковыми, независимо от того, как они называются «активными силами» или «реакциями связей». Отсюда следует, что уравнения (6.24) дают величину реакций связей.

Надо также упомянуть, что метод неопределенных множителей Лагранжа в сочетании с принципом Даламбера может быть использован для вывода видоизмененных уравнений движения в ньютоновской форме.

Пример
Результаты, изложенные в предыдущем разделе, можно проиллюстрировать задачей об определении движения плоского однородного диска, который катится без скольжения по горизонтальной плоскости и плоскость которого остается все время вертикальной. Именно условие качения без скольжения требует наложения неголономных связей.
Рис. 4. Качение диска по плоскости.

Остальные связи (твердое тело, вертикальная плоскость диска и горизонтальная плоскость качения) можно автоматически учесть надлежащим выбором системы координат.

Если пренебречь неголономными связями, то система может быть описана заданием четырех независимых координат: декартовых координат $x, y$ точки соприкосновения

диска с горизонтальной плоскостью, угла $\psi$ между осью диска и осью $x$ и угла $\theta$, представляющего собой угол между выбранным радиусом диска и вертикальным направлением (см. рис. 4). Функция Лагранжа, описывающая систему, имеет вид
\[
L=\frac{1}{2} M\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\frac{1}{2} A \dot{\theta}^{2}+\frac{1}{2} C \dot{\psi}^{2},
\]

где $M$-масса диска, $A$ и $C$ – его моменты инерции соответственно относительно собственной оси и перпендикулярного к ней направления.

Неголономная связь может быть теперь представлена соотношениями
\[
d x-a \sin \psi d \theta=0, \quad d y+a \cos \psi d \theta=0,
\]

где $a$-радиус диска.
Принцип Гамильтона
\[
\delta \int L d t=0
\]

можно, как и прежде, записать в развернутом виде
\[
\delta \alpha \int \sum_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \eta_{i} d t=0
\]

или
\[
\delta \alpha \int\left[\ddot{M \dot{x}} \eta_{x}+\ddot{M} \eta_{y}+\ddot{A} \eta_{\theta}+C \ddot{\psi} \eta_{\psi}\right] d t=0 ;
\]

учитывая связи путем использования неопределенных множителей, получаем отсюда
\[
\begin{array}{l}
\delta \alpha \int\left[\left(M \ddot{x}+\lambda_{1}\right) \eta_{x}+\left(M \ddot{y}+\lambda_{2}\right) \eta_{y}+\right. \\
\left.\quad+\left(A \ddot{\theta}-\lambda_{1} a \sin \psi+\lambda_{2} a \cos \psi\right) \eta_{\theta}+C \ddot{\psi} \eta_{\psi}\right] d t=0 .
\end{array}
\]

Два члена в подинтегральном выражении обращаются в нуль за счет надлежащего выбора $\lambda_{r}$. Теперь под знаком интеграла остаются только две из произвольных величин $\eta$; их можно рассматривать как независимые переменные, так как имеется как раз две степени свободы. Таким образом, из равенства нулю интеграла следует,

что коэффициенты при этих величинах должны равняться нулю. Окончательный результат может быть записан так:
\[
\left.\begin{array}{l}
M \ddot{x}+\lambda_{1}=0, \\
M \ddot{y}+\lambda_{2}=0, \\
\ddot{A}-\lambda_{1} a \sin \psi+\lambda_{2} a \cos \psi=0, \\
C \ddot{\psi}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Теперь надо определить шесть величин: $x, y, \theta, \psi, \lambda_{1}, \lambda_{2}$, для чего мы имеем шесть уравнений (6.26) и (6.29). Окончательное решение требует задания начальных значений любых двух переменных $x, y, \theta, \psi$ вместе с их производными по времени. Силы трения, обусловленные связями, можно найти из значений $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$.

Этот пример не является вполне общим, так как члены с $d t$ не входят в уравнения (6.26). Но это не вносит существенного изменения в способ решения. Однако надо помнить, что если такие члены имеются, то коэффициенты при них не входят в уравнение (6.28).

Принцип наименьшего действия
Введем теперь новый и более общий тип вариации траектории системы. Назовем ее $\Delta$-вариацией и будем предполагать, что как время, так и пространственные координаты меняются. На концах траектории пространственные координаты оставляются неизменными, но могут рассматриваться, однако, для измененного значения времени. Теперь точка $P$ на неизмененной траектории переходит в точку $P^{\prime}$ на измененной траектории при следующем соответствии координат:
\[
q_{i} \rightarrow q_{i}^{\prime}=q_{i}+\Delta q_{i}=q_{i}+\delta q_{i}+\dot{q}_{i} \Delta t,
\]

где $\delta$-вариация имеет тот же смысл, что прежде, и $\Delta q_{i}=0$ в конечных точках траектории (см. рис. 5).

Рис. 5. Пример $\Delta$-вариации.
Для любой функции $f=f\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right) \quad \Delta$-вариация дается формулой
\[
\begin{array}{l}
\Delta f=\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \Delta q_{i}+\frac{\partial f}{\partial \dot{q}_{i}} \Delta \dot{q}_{i}\right)+\frac{\partial f}{\partial t} \Delta t=\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial q_{i}}\left(\delta q_{i}+\dot{q}_{i} \Delta t\right)+ \\
+\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial \dot{q}_{i}}\left(\delta \dot{q}_{i}+\ddot{q}_{i} \Delta t\right)+\frac{\partial f}{\partial t} \Delta t=\delta f+\frac{d f}{d t} \Delta t ; \\
\end{array}
\]

гаким образом,
\[
\Delta \equiv \delta+\Delta t \frac{d}{d t} .
\]

Рассмотрим $\Delta$-вариацию главной функции Гамильтона
\[
\begin{aligned}
\Delta S=\Delta \int_{i}^{2} L d t & =\delta \int_{1}^{2} L d t+[L \Delta t]_{1}^{2}= \\
& =\int_{1}^{2} \sum_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \delta \dot{q}_{i}\right) d t+[L \Delta t]_{1}^{2} .
\end{aligned}
\]

Здесь $\delta \int_{1}^{2} L d t$ не обращается в нуль, так как $\delta q_{i}
eq 0$ в конечных точках траектории. Из уравнений движения

Лагранжа и из соотношения $\delta \dot{q}_{i}=d\left(\delta q_{i}\right) / d t$ имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \delta \dot{q}_{i} & =\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \delta q_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{d}{d t}\left(\delta q_{i}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \delta q_{i}\right)= \\
& =\frac{d}{d t}\left(p_{i} \delta q_{i}\right)=\frac{d}{d t}\left(p_{i} \Delta q_{i}\right)-\frac{d}{d t}\left(p_{i} \dot{q}_{i} \Delta t\right) .
\end{aligned}
\]

Подставляя результат (6.33) в выражение (6.32) и учитывая обращение в нуль $\Delta q_{i}$ в конечных точках, получаем
\[
\Delta \int_{1}^{2} L d t=\left[\left(L-\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}\right) \Delta t\right]_{1}^{2}=-[H \Delta t]_{1}^{2} .
\]

Если ограничиться рассмотрением системы, для которой $\partial H / \partial t=0$, и брать только такие вариации, для которых $H$ остается постоянной, то
\[
[H \Delta t]_{1}^{2}=\Delta \int_{1}^{2} H d t .
\]

Подстановка этого результата в формулу (6.34) окончательно дает
\[
\Delta \int_{1}^{2} \sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} d t=0 .
\]

Это есть принцип наименьшего действия. Величина
\[
W=\int \sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} d t
\]

обычно известна под названием характеристической функции Гамильтона. Вариации, входящие в выражение принципа, представляются формулами (6.30) с дополнительным ограничением, состоящим в том, чтобы функция Гамильтона не менялась во время движения и принимала одинаковое значение как на неизмененной, так и на измененной траектории. Этот принцип не используется в механике столь непосредственно, как принцип Гамильтона, хотя к нему и обращаются при гамильтоновском выводе уравнения Гамильтона – Якоби (см. гл. VII). Он интересен тем, что по существу является тождественным с исходным

вариационным принципом Мопертюи, а также с более ранним принципом Лейбница, в котором рассматривается интеграл от «живой силы» системы. Следует указать, что существует известная путаница в терминологии, так как некоторые авторы применяют термин «принцип наименьшего действия» к тому, что в этой книге было названо «принципом Гамильтона».

Подробное исследование многих других вариационных принципов, высказанных в различное время, читатель может найти, например, в книге Ланцоша, указанной в списке литературы.