Классическая механика занимается в первую очередь описанием движений объектов, известных под названием материальных точек. Полное описание материальной точки в любой момент времени получается с помощью определения трех пространственных координат и указания скалярной постоянной, называемой массой точки. Понятие материальной точки нельзя строго отождествить с любой реальной частицей материи, однако движения тел макроскопических размеров можно весьма точно описать, рассматривая эти тела как совокупности материальных точек, понимаемых в указанном выше смысле.

Материальные точки движутся в соответствии с законами Ньютона, которые могут быть изложены в следующих словах.
1. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку на него не действует некоторая внешняя сила.
2. Изменение количества движения тела пропорционально величине внешней силы, приложенной к телу, и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
3. Силы, с которыми два тела действуют одно на другое, равны по величине и противоположны по направлению.

Применяемые понятия требуют некоторых дополнительных определений. Окончательную схему можно легко подвергнуть критике как логически недостаточную, так как эти законы содержат термины масса, сила, прямая линия и т. д., которым не было дано удовлетворительного независимого определения. Бриджмен, следуя Маху, предложил опытные определения массы и силы, которые, по-видимому, частично устраняют эти трудности, хотя задача определения прямой линии остается незатронутой. Коснувшись этого важнейшего основного вопроса, мы не собираемся

обсуждать его здесь далее ${}^1$ ). Вместо этого будем предполагать, что термины, о которых идет речь, имеют интуитивно понятный смысл и что законы Ньютона являются логическими формулировками, касающимися взаимоотношений соответствующих понятий.

Наша цель будет состоять в том, чтобы показать, что законы Ньютона можно заменить единым постулатом (вариационным принципом), который будет удобнее во многих отношениях. В механике материальной точки этот постулат равноценен допущению о справедливости законов Ньютона. Его достоинство состоит в той легкости, с какой его можно использовать для формулировки сложных задач.

Схему, основанную на законах Ньютона, можно назвать векторной механикой, так как она имеет дело с такими величинами, как сила, скорость и т. п., являющимися по существу векторными. Другая схема, введенная Лейбницем и связанная с именами Эйлера, Лагранжа и Гамильтона, может быть названа аналитической механикой. Основные величины будут теперь уже скалярными, а не векторными, и динамические соотношения получаются посредством систематического дифференцирования.

Применение этого аналитического метода к простейшим примерам можно сравнить с фрахтованием самолета для перехода улицы. В таких случаях надо понимать, что цель состоит в том, чтобы детально ознакомиться с новым методом. Қак только такое ознакомление будет достигнуто, выясняется большее удобство аналитического метода при формулировке более сложных задач. Следующее достоинство этого метода состоит в том, что его можно распространять на такие области, как классическая теория поля и квантовая механика, в которых законы Ньютона неприменимы.

С эстетической точки зрения правильнее было бы сначала постулировать законы механики в их самой общей (аналитической) форме, а затем показать, как при некоторых ограничениях получаются законы Ньютона. Эта программа применима, если такие общие принципы усвоены, но это будет не лучший подход, если известны лишь законы Ньютона.

Надо подчеркнуть, что если применяются оба метода векторный и аналитический, — то разница между ними состоит в способе представления уравнений движения. Обычно это есть система дифференциальных уравнений, и в каждом случае окончательная стадия решения требует умения обращаться с такими уравнениями. Ввиду этого рассматриваемые нами примеры будут обычно разбираться только до той стадии, на которой появляются уравнения движения.

Такого рода предупреждение необходимо, чтобы избежать критики, которая иногда направлена против изучения векторного анализа. Очень часто создается ошибочное впечатление, что векторные методы можно использовать для разрешения всех вопросов во всех деталях; последующее разочарование может привести к представлению, что значение этого метода преувеличено. Истина, конечно, состоит в том, что использование векторов обычно приводит к значительному сохранению умственных усилий при переводе физических условий задачи на математический язык. Во всех случаях, кроме немногих элементарных, необходимо на некотором этапе раскладывать векторы на их компоненты; существо дела состоит тогда в том, чтобы наиболее удобным образом выбрать систему координат. Подобное положение дела имеет место и в аналитической механике.