Современная физика установила существование большого числа элементарных частиц различных типов; эти частицы наблюдались и были идентифицированы. Кроме хорошо известных электронов, протонов, нейтронов и фотонов, теперь имеется обширный перечень мезонов и гиперонов ${ }^{1}$ ). Остается провести большое число исследований, прежде чем будут удовлетворительно классифицированы даже уже известные виды частиц; тем не менее в разработке теоретических методов исследования уже достигнут значительный прогресс.

Наиболее замечательным свойством всех до сих пор открытых частиц является то, что в одном отношении они ведут себя как частицы в классическом смысле, а в другом отношении представляются связанными с некоторым видом волнового движения. Исторически они сначала рассматривались как обычные материальные частицы; волновые свойства, описываемые квантовой теорией, были исследованы значительно позже. Для фотонов развитие теории происходило в обратном порядке: сначала была разработана теория электромагнитного поля, а затем выяснилось, что некоторые свойства электромагнитных волн можно объяснить только при постулировании существования дискретных объектов, подобных материальным частицам и называемых фотонами.

Такой корпускулярно-волновой дуализм принят теперь как общее характерное свойство всех типов элементарных частиц. При теоретическом описании оказывается более целесообразным сначала рассматривать процесс как волновой, а затем перейти к корпускулярной точке зрения. Волновая трактовка требует развития теории поля в классическом виде. На некоторой стадии в это описание вводятся правила квантования, и тогда становится возможным интерпретировать некоторые выводы при помощи корпускулярной концепции.

Теория поля строилась как логическое продолжение теории сплошных материальных сред. В этой главе предполагается дать краткое изложение основных черт этих теорий. Квантовая трактовка, разумеется, останется вне нашего поля зрения, хотя метод введения правил квантования в основном совпадает с методом, указанным в гл. IX.

Наиболее известным примером систем рассматриваемого типа является электромагнитное поле. Его можно описать или при помощи напряженностей электрического и магнитного поля или при помощи функций, являющихся векторными и скалярными потенциалами; в обоих случаях рассматриваемые величины являются непрерывными функциями координат и времени. Эта форма описания в конце концов основана на наблюдении за движением обычных материальных частиц, по предположению несущих электрические заряды. Концепция непрерывного поля вводится для того, чтобы избежать понятия о «взаимодействии частиц на расстоянии» (дальнодействии). Источниками поля служат заряды, связанные с частицами. Такое представление совершенствуется и идеализируется настолько, что поле считается существующим в некоторой форме даже при отсутствии частиц. Свойства таких электромагнитных полей выражаются системой дифференциальных соотношений, известных как уравнения Максвелла. Они обычно будут упоминаться как уравнения поля.

Предполагается, что, подобно тому как электромагнитное поле сопоставляется с фотонами, другие поля сопоставляются с другими видами элементарных частиц. Эти поля не всегда столь сложны, как электромагнитные; и действительно, некоторые из них значительно проще. При этом основное допущение состоит в том, что волнообразное поведение любых частиц можно выразить с помощью системы уравнений поля, содержащих одну или несколько переменных поля. Предполагается также, что эти уравнения должны быть инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца ${ }^{1}$ ) и таким образом согласуются

с релятивистским требованием, чтобы все основные законы природы имели одинаковую форму во всех системах отсчета. Это уже имеет место для уравнений Максвелла, хотя развитие теории электромагнитного поля предшествовало возникновению специальной теории относительности.

Переменные по́ля не поддаются непосредственному наблюдению, но их значения могут быть получены из наблюдения над материальными системами, как это имеет место для электромагнитного поля. Это обстоятельство позволяет обойти вопрос о природе этих переменных. Они в такой же мере реальны, как векторы напряженности электрического или магнитного полей или потенциалы в классической механике. Их лучше всего рассматривать как математические объекты, значение которых заключается в возможности их применения для описания и предсказания доступных наблюдению изменений в поведении материальных систем.

Теория поля, описывающая релятивистские волновые свойства обычной материи, содержит сравнительно сложные понятия, известные под названием спиноров. Любое исследование спинорных полей вывело бы нас за рамки данной книги, и для иллюстрации наших рассуждений необходимо использовать значительно более простые системы. Несмотря на опасность оказаться в области нереального, лучше исследовать элементарные, иногда даже гипотетические примеры, которые проще выражают рассматриваемые принципы, чем пытаться провести значительно более сложный анализ, в котором эти принципы могли бы утонуть. Таким образом мы надеемся в общих чертах познакомить читателя с основными направлениями, в которых развивается теория поля. Для детального изучения предмета читатель может обратиться к исследованиям, перечисленным в списке литературы.

Метод Лагранжа
Этот метод, изложенный в гл. IX, хотя и предназначен специально для непрерывных материальных сред, является таким удобным описанием, какое могло бы быть принято и для успешного исследования полей. На природу переменных поля не накладывается никаких ограничений, и они могут быть как потенциалами электромагнитного

поля, так и перемещениями в упругих телах или потенциалами скоростей течений жидкости. Почти несомненно, что можно найти функции типа плотности, выражающие свойства полей, но нужно выяснить, приведут ли эти функции к сколько-нибудь существенному упрощению.

Общее положение в теории поля несколько отличается от того, какое имеет место в теории непрерывных материальных сред. Обычно поведение систем последнего типа достаточно хорошо понятно в своих основных чертах, и аналитический метод применяется для упрощения способа записи уравнений движения в форме, удобной для решения конкретных задач. В теории поля предварительные сведения об основных свойствах процесса обычно отсутствуют, и аналитический метод применяется как исходный пункт теоретического описания. Рассмотрение различных простейших видов плотности функции Лагранжа позволяет надеяться на успешное объяснение некоторых наблюдаемых явлений. Аналитический метод является эмпирическим в той же степени, что и метод, при котором делаются непосредственные предположения относительно формы уравнений поля, но при его использовании область возможностей значительно сужена.

Было установлено, что свойства непрерывных сред можно суммарно выразить в форме обобщенного принципа Гамильтона
\[
\delta \iint \mathscr{L} d V d t=0
\]

где в общем случае $\mathscr{L}=\mathscr{L}\left(\eta^{(r)}, \dot{\eta}^{(r)}, \eta_{, i}^{(r)}, x_{i}, t\right)$.
Уже было указано, что теории поля должны обладать достаточной общностью, чтобы содержать в себе постулаты специальной теории относительности. В связи с изучением движения материальной точки с аналитической точки зрения в гл. Х было сочтено возможным включить релятивистские закономерности двумя способами. Из них ковариантный способ, несомненно, был проще. Он и принимается как руководящий принцип для представления процесса в случае полей. Нельзя принять ковариантную запись точно в таком же виде, как в гл. X; однако исследование соотношения (9.12) наводит на мысль о новом варианте. Так как

$d V=d x_{1} d x_{2} d x_{3}$ ( $\equiv d^{3} x$ ) и $x_{4}=i c t$, то это соотношение можно представить в виде
\[
\delta \int \mathscr{L} d^{4} x \equiv \delta \iiint \int \mathscr{L} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}=0 ;
\]

здесь постоянный множитель $i c$ включен в $\mathscr{L}$.
Бесконечно малое произведение $d^{4} x \equiv d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$ представляет элементарный объем в четырехмерном пространстве Минковского и как таковой является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца. Следовательно, само выражение принципа (11.1) инвариантно при условии, что $\mathscr{L}$ является скалярной величиной. Эта форма принципа Гамильтона принимается как отправной пункт для описания полей. Так как эта форма является только новым вариантом записи использованного ранее принципа, то все полученные прежде следствия и здесь остаются в силе. В частности, уравнения движения (написанные в новых обозначениях) примут вид
\[
\sum_{\mu} \frac{d}{d x_{\mu}} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, \mu}^{(r)}}-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta^{(r)}}=0 .
\]

Эти уравнения будут теперь называться уравнениями поля. Инвариантность их формы по отношению к преобразованию Лоренца обеспечена инвариантностью принципа Гамильтона в виде (11.1).

Виды полей
а. Скалярные поля. Простейшим из всех возможных было бы. поле с одной скалярной действительной переменной поля $\varphi$. Если ограничиться производными от $\varphi$ порядка не выше первого, то скалярными величинами, которые можно образовать из них, являются целые степени от $\varphi$ и от $\sum_{\mu}\left(d \varphi / d x_{\mu}\right)^{2}$. Простейшей формой плотности функции Лагранжа, составленной из этих величин, могла бы быть функция ${ }^{1}$ )
\[
\mathscr{L}=\alpha\left[\sum_{\mu}\left(\frac{d \varphi}{d x_{\mu}}\right)^{2}+k^{2} \varphi^{2}\right] .
\]

Из уравнений (11.2) следует, что соответствующее уравнение поля приняло бы вид
\[
\sum_{\mu} \frac{d^{2} \varphi}{d x_{\mu}^{2}}-k^{2} \varphi=0,
\]

или
\[
\left(\square-k^{2}\right) \varphi=0 \text {, }
\]

где
\[
\square \equiv
abla^{2}-\frac{1}{c^{2}} \frac{d^{2}}{d t^{2}}
\]

является оператором Даламбера.
Исходя из общих положений квантовой теории, можно показать, что такое поле описывает волновые свойства незаряженных материальных частиц, имеющих массу покоя $m=k h / 2 \pi c$. Эксперимент показывает, что такие частицы существуют; они называются $\pi$-мезонами ${ }^{1}$ ).

Были исследованы также другие возможные виды скалярных полей. Например, можно показать, что комплексное скалярное поле $\varphi=\varphi_{1}+i \varphi_{2}$ связано с электрически заряженными частицами.
б. Векторные поля. Более сложный вид поля должен иметь в качестве переменных поля компоненты четырехмерного вектора. Электромагнитное поле и является примером поля такого вида.

Электромагнитное поле при отсутствии материи описывается уравнениями Максвелла для свободного пространства с плотностями зарядов и токов, всюду равными нулю, т. е. уравнениями
\[
\begin{array}{ll}

abla \cdot \mathbf{B}=0, &
abla \times \mathbf{E}=-\frac{1}{c} \frac{d \mathbf{B}}{d t}, \\

abla \cdot \mathbf{E}=0, &
abla \times \mathbf{B}=\frac{1}{c} \frac{d \mathbf{E}}{d t} .
\end{array}
\]

Векторный и скалярный потенциалы определяются соотношениями
\[
\mathbf{B}=
abla \times \mathbf{A}, \quad \mathbf{E}=-
abla \varphi-\frac{1}{c} \frac{d \mathbf{A}}{d t} .
\]

На основании этих определений соотношения (11.5а) являются простыми тождествами и в дальнейшем не будут рас-

сматриваться. Таким образом, собственно уравнениями поля являются уравнения (11.5б).

Как было указано в гл. X, четыре величины $A_{1}, A_{2}$, $A_{3}, A_{4}=i \varphi$ можно отождествить с компонентами четырехмерного вектора при помощи соотношения
\[

abla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c} \frac{d \varphi}{d t}=0 ;
\]

это уменьшает произвол в определениях (11.6) ${ }^{1}$ ) и сосредоточивает внимание на так называемом условии Лоренца. Применяя это условие калибровки, можно представить уравнения (11.5б) в инвариантной релятивистской форме
\[
\sum_{\mu} \frac{d}{d x_{\mu}}\left(\frac{d A_{\mu}}{d x_{
u}}-\frac{d A_{v}}{d x_{\mu}}\right)=0 .
\]

С другой стороны, если ввести антисимметрический тензор второго ранга $F_{\mu v}$, положив
\[
F_{\mu
u}=\frac{d A_{\mu}}{d x_{v}}-\frac{d A_{v}}{d x_{\mu}},
\]

то уравнения поля принимают вид
\[
\sum_{\mu} \frac{d F_{\mu
u}}{d x_{\mu}}=0 .
\]

Нетрудно видеть, что эти уравнения можно вывести, приняв принцип Гамильтона в форме (11.1), где
\[
\mathscr{L}=\alpha \sum_{\mu} \sum_{v}\left(F_{\mu v}\right)^{2}=\alpha \sum_{\mu, v}\left(\frac{d A_{\mu}}{d x_{v}}-\frac{d A_{v}}{d x_{\mu}}\right)^{2} .
\]

Здесь необходимо предупредить читателя, что, хотя эта простая форма функции Лагранжа дает правильные уравнения поля, она неудовлетворительна по другим причинам. Однако ее изменения представляются необходимыми только при выходе за пределы метода Лагранжа и здесь рассматриваться не будут.

Были исследованы также и другие типы векторных полей. В частности, было показано, как и в случае скалярного поля, что комплексные компоненты поля означают наличие электрического заряда у соответствующих частиц. Дальнейшее обобщение, основанное на неклассических соображениях, состоит в предположении, что частицы, связанные с каким-либо векторным полем, обладают моментом количества движения, по модулю равным $h / 2 \dot{\lambda}$ (спин 1). Это положение противоположно тому, что имеет место для скалярных полей, которые связаны с частицами, имеющими нулевые спины.
в. Спинорные поля. Волновые свойства обычной материи также были описаны в теории поля. Это описание включает в качестве переменных поля особые величины, известные под названием спиноров. Мы не предполагаем рассматривать их далее, но заметим, что соответствующие частицы обладают полуцелыми значениями спинов. Это, конечно, согласуется с данными наблюдения.

В любой теории поля тип переменных поля всегда определяется значениями спина соответствующих частиц. В любом частном случае это снова сужает область возможных форм плотности функции Лагранжа. Некоторое внимание было уделено полям с частицами, имеющими спины, отличные от $0,1 / 2$ и 1 , но наиболее важными являются поля, рассмотренные выше. При построении плотности функции Лагранжа обычно ограничиваются рассмотрением функций, которые содержат различные переменные по́ля не выше чем во второй степени. Это согласуется с тем, что в обычной практике уравнения поля являются дифференциальными уравнениями самое большее второго порядка.

Взаимодействие полей
До сих пор мы рассматривали только отдельные «свободные» поля. Это составляет лишь часть общей задачи, так как поля взаимодействуют между собой. Данное обстоятельство подтверждается появлением в уравнениях Максвелла, взятых в наиболее общем виде, членов, которые содержат плотности токов и зарядов и в конечном итоге описывают взаимодействие между электромагнитным полем

и спинорным полем, соответствующим обычной материи. Действительно, без такого взаимодействия с полем материи нельзя было бы наблюдать никаких свойств других типов полей.

Чтобы описание включало в себя взаимодействие, предположим, что два взаимодействующих поля $A$ и $B$ можно описать с помощью плотности функции Лагранжа вида
\[
\mathscr{L}=\mathscr{L}^{(A)}+\mathscr{L}^{(B)}+\mathscr{L}^{(\mathrm{B} 3)},
\]

где $\mathscr{L}^{(A)}$ и $\mathscr{L}^{(B)}$ относятся к изолированным «свободным» полям, а $\mathscr{L}^{\text {(вз) }}$ описывает взаимодействие полей. Функция $\mathscr{L}^{\text {(вз) }}$ в общем случае является скалярной функцией от обеих систем переменных поля. Такой общий случай можно проиллюстрировать следующим чисто гипотетическим примером.

Пусть $A$ является скалярным полем с одной переменной $\varphi$, свойства которого можно вывести из плотности функции Лагранжа
\[
\mathscr{L}^{(A)}=\sum_{\mu}\left(\frac{d \varphi}{d x_{\mu}}\right)^{2}+k^{2} \varphi^{2},
\]

а $B$-векторным полем с плотностью функции Лагранжа
\[
\mathscr{L}^{(B)}=\sum_{
u, \mu}\left(\frac{d \psi_{v}}{d x_{\mu}}\right)^{2} .
\]

Тогда свойства полной системы можно описать выражением
\[
\mathscr{L}=\sum_{\mu}\left(\frac{d \varphi}{d x_{\mu}}\right)^{2}+k^{2} \varphi^{2}+\sum_{v, \mu}\left(\frac{d \psi_{v}}{d x_{\mu}}\right)^{2}+\mathscr{L}^{(\mathrm{B} 3)} ;
\]

здесь $\mathscr{L}^{(\text {вз) }}$ – скалярная функция от $\varphi$ и $\psi_{v}$. Имеются две простые возможности:
\[
\mathscr{L}^{(\mathrm{B} 3)}=g \sum_{\mu} \psi_{\mu} \frac{d \varphi}{d x_{\mu}}
\]

и
\[
\mathscr{L}^{(\text {B3 })}=g^{\prime} \varphi \sum_{\mu}\left(\psi_{\mu}\right)^{2},
\]

где $g$ и $g^{\prime}$ не зависят от переменных поля и называются константами связи. Говорят, что соотношение (11.11a) дает градиентную связь между полями, а соотношение (11.11б) – прямую связь между полями.

Предполагая, что имеет место изображаемая функцией (11.11a) градиентная связь, представим плотность функции Лагранжа в следующем виде:
\[
\mathscr{L}=\sum_{\mu}\left(\frac{d \varphi}{d x_{\mu}}\right)^{2}+k^{2} \varphi^{2}+\sum_{
u, \mu}\left(\frac{d \psi_{
u}}{d x_{\mu}}\right)^{2}+g \sum_{\mu} \psi_{\mu} \frac{d \varphi}{d x_{\mu}} .
\]

Обычным способом получаем соответствующие уравнения движения, а именно
\[
2 \sum_{\mu} \frac{d^{2} \varphi}{d x_{\mu}^{2}}-2 k^{2} \varphi=-g \sum_{\mu} \frac{d \psi_{\mu}}{d x_{\mu}}, \quad \sum_{\mu} \frac{d^{2} \psi_{
u}}{d x_{\mu}^{2}}=g \frac{d \varphi}{d x_{
u}} .
\]

Таким образом, учет взаимодействия между полями приводит к появлению соответствующих членов, которые представлены правыми частями уравнений (11.12) и которых раньше волновые уравнения не содержали.

Опять нужно подчеркнуть, что рассмотренный пример является чисто гипотетическим, но служит для иллюстрации общего случая. В общем случае точные решения можно найти только для уравнений, относящихся к независимым полям. Более сложные уравнения для взаимодействующих систем обычно рассматриваются с помощью некоторых методов теории возмущений, при применении которых члены взаимодействия предполагаются малыми. Этот метод приемлем для случая взаимодействия между электромагнитным полем и обычной материей, но в некоторых известных случаях константы связи столь велики, что метод становится неприменимым. Разработка новых методов решения таких задач составляет одну из основных проблем современной теоретической физики.

Теоретические исследования взаимодействия между элементарными частицами в значительной степени сводятся к проверке наиболее простых видов функций $\mathscr{L}^{\text {(вз), }}$,

и этот подход в целом оказался плодотворным. К числу более сложных возможностей относится случай взаимодействия между несколькими полями.

В выше проведенных рассуждениях предполагалось, что все переменные, входящие в плотность функции Лагранжа взаимодействия, относятся к одной и той же точке поля, или, иначе говоря, что взаимодействие является локальным. Однако эти соображения можно расширить с тем, чтобы охватить более общий вид уже нелокального взаимодействия. Все эти обобщения требуют внимательного исследования, так как, несмотря на достигнутые теоретические успехи, пока что получено сравнительно мало результатов. Простые теории привлекательны, но нет логических оснований предполагать, что все явления можно описать с помощью простых функций Лагранжа.

Взаимодействие между магнитным полем и материей
Как было подчеркнуто ранее, полное описание спинорных полей, связанных с материей, выходит за пределы нашей книги. Соответственно нецелесообразно рассматривать взаимодействие между электромагнитным и спинорным полями. Тем не менее в этот вопрос можно внести известную ясность, рассматривая такое взаимодействие другим путем.

Было установлено, что уравнения, справедливые для «свободного».электромагнитного поля, могут быть выведены из принципа Гамильтона, записанного в следующем виде:
\[
\delta \iiint \int \sum_{\mu, v} \alpha\left(\frac{d A_{\mu}}{d x_{v}}-\frac{d A_{v}}{d x_{\mu}}\right)^{2} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}=0 .
\]

Кроме того, в гл. Х было найдено, что правильные релятивистские уравнения движения заряженной материальной точки в электромагнитном поле могут быть выведены из такой формы принципа Гамильтона:
\[
\delta \int\left[-m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}+\sum_{\mu} \frac{e}{c} \dot{x}_{\mu} A_{\mu}\right] d t=0 .
\]

Можно соединить оба этих принципа и установить один принцип, описывающий поведение объединенной системы, положив
\[
\begin{array}{l}
\delta \int\left[\frac{1}{i c}\left(-m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}+\sum_{\mu} \frac{e}{c} \dot{x}_{\mu} A_{\mu}\right)+\right. \\
\left.+\int \alpha \sum_{\mu,
u}\left(\frac{d A_{\mu}}{d x_{
u}}-\frac{d A_{v}}{d x_{\mu}}\right)^{2} d^{3} x\right] d x_{4}=0 .
\end{array}
\]

Этот новый принцип, конечно, приводит к правильным уравнениям движения материальной точки; чтобы получить эти уравнения, надо провести варьирование по координатам точки. Результат варьирования функций $A_{\mu}$ можно получить только после предварительного преобразования равенства (11.15) таким образом, чтобы все члены, содержащие $A_{\mu}$, вошли под один общий знак интеграла. С этой целью полагаем
\[
\frac{e}{c} \dot{x}_{\mu} A_{\mu}=\int \frac{e}{c} \dot{x}_{\mu} A_{\mu} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right) d^{3} x,
\]

где $\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right) \equiv \delta\left(x_{1}-x_{1}^{(0)}\right) \delta\left(x_{2}-x_{2}^{(0)}\right) \delta\left(x_{3}-x_{3}^{(0)}\right)$, причем $\mathrm{r}_{0}=\left(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, x_{3}^{(0)}\right)-$ радиус-вектор материальной точки, а $\delta\left(x-x_{0}\right)$ – дельта-функция Дирака, определяемая так:
$\delta\left(x-x_{0}\right)=0$ при $x
eq x_{0}$ и $\quad \int f(x) \delta\left(x-x_{0}\right) d x=f\left(x_{0}\right)$,
если область интегрирования содержит $x_{0}$.
Далее мы отождествляем $е \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right)$ с плотностью заряда @ (в точном соответствии с предыдущим она бесконечна при $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}$ и равна нулю в других точках); отсюда
\[
\int \varrho d^{3} x=\int e \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right) d^{3} x=e .
\]

Затем ‘полагаем $\varrho \dot{x}_{\mu}=j_{\mu}$, где $j_{i}$-три компоненты нормального вектора тока и $j_{4}=i c \varrho$. После таких изменений равенство (11.15) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\delta \int\left\{-m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}+\right. \\
\left.\quad+\int\left[\frac{1}{c} \sum_{\mu} j_{\mu} A_{\mu}+i c \alpha \sum_{\mu, v}\left(\frac{d A_{\mu}}{d x_{v}}-\frac{d A_{v}}{d x_{\mu}}\right)^{2}\right] d^{3} x\right\} d x_{4}=0 .
\end{array}
\]

Величины $A_{\mu}$ можно теперь варьировать, и это дает
\[
4 i c^{2} \alpha \sum_{
u} \frac{d}{d x_{v}}\left(\frac{d A_{\mu}}{d x_{v}}-\frac{d A_{v}}{d x_{\mu}}\right)=j_{\mu} .
\]

В более привычных обозначениях эти уравнения имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rl}

abla \times \mathbf{B}-\frac{1}{c} \frac{d \mathbf{E}}{d t} & =-\frac{1}{4 \alpha i c^{2}} \mathbf{j}, \\

abla \cdot \mathbf{E} & =-\mathrm{\varrho} / 4 \alpha i c .
\end{array}\right\}
\]

Если $\alpha=-1 / 16 \pi i c$, то эти уравнения можно отождествить с наиболее общей формой уравнений Максвелла, которая справедлива при отличных от нуля плотностях токов и зарядов.

Так как все соответствующие уравнения движения можно вывести из принципа Гамильтона в его объединенной форме (11.15), то, следовательно, могут быть представлены и взаимодействующие системы. В результате установления соответствия между выведенной и принятой формой уравнений было найдено значение постоянной $\alpha$, которое иначе было бы произвольным. Так получилось потому, что все выражение было записано как однородная функция и все члены подинтегральной функции в равенстве (11.15′) соответствовали энергии или плотности энергии. Это можно усмотреть из равенства
\[
i_{c \alpha} \sum_{\mu, v}\left(\frac{d A_{\mu}}{d x_{v}}-\frac{d A_{v}}{d x_{\mu}}\right)^{2}=-\frac{1}{8 \pi}\left(\mathbf{B}^{2}-\mathbf{E}^{2}\right),
\]

где легко узнать известные выражения для плотностей энергии электрического и магнитного полей.

Член $\Sigma(1 / c) j_{\mu} A_{\mu}$ можно отождествить с плотностью функции Лагранжа взаимодействия полей в рассматриваемом случае. Он имеет тот же вид, что и соответствующий член при исследовании более общего случая, в котором взаимодействие осуществляется между электромагнитным и спинорным полями.

Метод Гамильтона
Исходным пунктом изложения метода Гамильтона, как и в гл. X, служит определение сопряженного импульса посредством формулы
\[
\pi^{(r)}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}}=\frac{1}{i c} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{,}^{(r)}} .
\]

Это название здесь еще сохранено, но сами величины потеряли теперь значение импульсов в первоначальном смысле. Некоторое затруднение вызывает то, что так определенные величины не являются релятивистскими, поскольку они выделяют специальным образом временну́ю координату. Путь обхода этой трудности будет указан в последнем разделе. Во многих случаях ею можно пренебречь, и в данный момент мы будем довольствоваться определением (11.22) и переведем формулы; полученные методом Гамильтона в гл. IX, в обозначения, принятые для четырехмерных тензоров.
Плотность функции Гамильтона $\mathscr{H}$ определяется как
\[
\mathscr{H}=\sum_{r} \dot{\eta}^{(r)} \pi^{(r)}-\mathscr{L}=\sum_{r} \eta,\left({ }^{(r)} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta,{ }_{4}^{(r)}}-\mathscr{L} .\right.
\]

Канонические уравнения получаются, как и раньше, т. е.
\[
\dot{\pi}^{(r)}=-\frac{\delta H}{\delta \eta^{(r)}}, \quad \dot{\eta^{(r)}}=\frac{\delta H}{\delta \pi^{(r)}} .
\]

Нет, однако, смысла представлять эти уравнения в новых обозначениях ввиду их существенно неинвариантного характера.

Плотность функции Лагранжа, представляющая все свойства любого данного поля, всегда определяется с точностью до аддитивной дивергенции четырехмерной векторфункции от различных переменных поля.

Это происходит потому, что уравнения поля и интегральные функции, подобные функции $H$ и имеющие определенный физический смысл, не меняются при таких

добавлениях ${ }^{1}$ ). С другой стороны, эти добавления изменяют функциональную зависимость в функции Гамильтона и в других функциях типа плотности. Получающаяся степень свободы используется для того, чтобы обеспечить симметричность тензора натяжений – энергии – импульсов, как это разъясняется в следующем разделе.

Первоначально энергия была определена в связи с изучением систем обычных материальных частиц; поэтому этот термин не имеет смысла, если только его нельзя будет снова отнести к таким системам. С логической точки зрения отсюда следует, что нельзя ссылаться на энергию поля, пока не будет учтено взаимодействие между рассматриваемым полем и полем, связанным с обычной материей. В сущности речь идет о том же соотношении, которое было установлено в предыдущем разделе, где было найдено значение произвольной постоянной, входящей в плотность функции Лагранжа для электромагнитного поля.

Законы сохранения
Можно показать, что одновременно с остальными результатами законы сохранения плотностей, изложенные в гл. IX, применимы при тех же ограничениях и к полям, т. е.
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \mathscr{E}}{d t}+\sum_{j} \frac{d S_{j}}{d x_{j}}=0, \\
\frac{d \mathscr{G}_{j}}{d t}-\sum_{i} \frac{d T_{i j}}{d x_{i}}=0 .
\end{array}
\]

Рассматриваемые величины, однако, можно объединить с помощью одного общего определения, повожив
\[
T_{\mu
u}=\sum_{r} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, \mu}^{(r)}} \eta_{,}^{(r)}-\delta_{\mu
u} \mathscr{L},
\]

так как
\[
\left.\begin{array}{l}
T_{4 j}=i c \sum_{r} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}} \eta_{, j}^{(r)}=-i c \mathscr{Y}_{j}, \\
T_{i 4}=\frac{1}{i c} \sum_{r} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, i}^{(r)}} \dot{\eta}^{(r)}=\frac{1}{i c} S_{i}, \\
T_{44}=\sum_{r} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}} \dot{\eta}^{(r)}-\mathscr{L}=\mathscr{H}
\end{array}\right\}
\]

и компоненты $(i j)$ тождественны с тели, которые имели те же обозначения в гл. IX.

Величину $T_{\mu
u}$ можно определить как четырехмерный тензор второго ранга, который обычно называют тензором натяжений-энергии – импульсов. Легко видеть, что четыре закона сохранения можно теперь выразить с помощью одного общего соотношения для дивергенции
\[
\sum_{\mu} \frac{d T_{\mu v}}{d x_{\mu}}=0 .
\]

Дивергенция тензора второго ранга является вектором. Соотношение (11.25) утверждает, что в данном частном случае этот вектор равен нулю.
Так как $T_{\mu
u}$ есть тензор, то четыре интеграла
\[
\int T_{4 \mu} d^{3} x \equiv \iiint T_{4 \mu} d x_{1} d x_{2} d x_{3}
\]

являются компонентами четырехмерного вектора. Из р2венств (11.24’) имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\int T_{4 j} d^{3} x=-i c \int \mathscr{G}_{j} d^{3} x=-i c G_{j}, \\
\int T_{44} d^{3} x=\int \mathscr{H} d^{3} x=H ;
\end{array}\right\}
\]

эти величины можно отождествить с компонентами вектора
\[
P_{\mu}=\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, \frac{i H}{c}\right) .
\]

Это аналогично результату для релятивистской материальной точки и связанного с ней вектора, называемого

обобщенным четырехмерным импульсом поля. Его можно рассматривать как полный обобщенный четырехмерный импульс материальных точек, связанных с полем.

Следует отметить, что условия, установленные в гл. IX для постоянства величины $P_{\mu}$ во времени, еще применимы, т. е. независимые переменные $x_{\mu}$ не должны явно входить в функцию $\mathscr{L}$, каждая система должна иметь конечную протяженность и ее физические границы должны лежать. в пределах области интегрирования или должно существовать некоторое периодическое граничное условие.

Мы предполагаем, что, кроме сохранения количества движения, имеет место и сохранение обобщенного волнового момента количества движения. Можно показать, что для этого требуется симметричность тензора $T_{\mu
u}$. Это является обобщением результата, полученного в гл. IX, и обычно считается, что поле удовлетворяет данному условию. Во многих случаях сама форма, в которой берется плотность функции Лагранжа, приводит к тензору, который уже симметричен. В других случаях тензор оказывается несимметричным, но это всегда можно исправить путем дополнительного определения, состоящего в прибавлении к первоначальному тензору $T_{\mu
u}$ другого тензора $T_{\mu
u}^{\prime}$, удовлетворяющего соотношениям
\[
\begin{array}{l}
T_{\mu
u}+T_{\mu
u}^{\prime}=T_{
u \mu}+T_{
u \mu}^{\prime}, \quad \sum_{\mu} \frac{d T_{\mu
u}^{\prime}}{d x_{\mu}}=0, \\
\int T_{4 \mu}^{\prime} d^{3} x=0 . \\
\end{array}
\]

Эти условия согласуются с той степенью неопределенности в задании функции $\mathscr{L}$, о которой говорилось в предыдущем разделе.

Можно определить интегралы движения и более удобным приемом, чем указанный здесь прием, а именно получить их систематическим путем из принципа Гамильтона.

Ковариантная формулировка
Желательность ковариантной формулировки была уже отмечена ранее, и метод Лагранжа, развитый в этой главе, умышленно излагался в соответствующем виде. Это оказы-

вается неверным для метода Гамильтона, который основан на определении канонического импульса в виде
\[
\pi^{(r)}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\eta}^{(r)}}=\frac{1}{i c} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{r_{4}}^{(r)}} .
\]

Так определенные величины, очевидно, не являются инвариантами преобразования Лоренца. Это создает принципиальную трудность в связи с переходом к квантовой теории. Как уже было указано в связи с механикой сплошных сред, правила квантования обычно вводятся определением значений коммутаторов для операторов, изображающих сопряженные переменные ${ }^{1}$ ). Если квантовое поведение нужно описать в релятивистских понятиях, то эти коммутаторы должны быть инвариантными; в понятиях же, связанных с выбранным нами определением, они не будут таковыми.

Чтобы разрешить это затруднение, надо принять более общее определение величины $\pi^{(r)}$, а именно
\[
\pi^{(r)}=\sum_{\mu} n_{\mu} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \eta_{, \mu}^{(r)}},
\]

где $n_{\mu}$ изображает произвольное времени-подобное направление в четырехмерном пространстве Минковского, т. е.
\[
\sum_{\mu} n_{\mu}^{2}=-1 .
\]

Ограничение, обязывающее рассматривать лишь времени-подобные направления, связано с тем требованием, чтобы допускалось распространение возмущений поля только между событиями, разделенными во времени.

Этот способ может дать при своем развитии соответствующий ковариантный метод; но здесь мы ограничиваемся тем, что указываем возникающую при этом трудность и общий путь ее преодоления.