Обобщенные импульсы
При рассмотрении приложений метода Лагранжа было видно, что существование циклических координат обусловливает постоянство величин, которые иногда, на основании предварительных сведений, можно отождествить с компонентами количества движения (компонентами импульсов). Однако надо особенно подчеркнуть, что выражение количества движения никогда не фигурирует в явном виде в связи с трактовкой Лагранжа. Основная черта метода Лагранжа состоит в том, что независимыми переменными являются время и обобщенные координаты. Производные по времени от обобщенных координат также явно входят в уравнения, но в конечном счете всегда будут зависимыми переменными. Это обстоятельство иллюстрируется использованием для представления движения системы понятия траектории в пространстве конфигураций.

В связи с использованием обобщенных координат можно ввести обобщенные количества движения. Однако их применение заставляет нас оставить теорию Лагранжа и приводит к новому способу описания движения, который связывается обычно с именем Гамильтона.

Компоненты обобщенного количества движения (обобщенные импульсы) определяются так:
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}},
\]

следовательно, имеется один импульс для каждой обобщенной координаты, и говорят, что каждая комбинация $q_{i}, p_{i}$ образует пару сопряженных переменных. Но пока нет оправдания для такого определения, если не считать того замечания, что в случае консервативной системы оно приводит к таким величинам, которые обычно являются компонентами количества движения и момента количества движения. С другой стороны, иное определение, а именно

равенство $p_{i}=\partial T / \partial \dot{q}_{i}$, также привело бы к этому результату. Действительное оправдание выбранного нами определения заключается в общей логичности и плодотворности теории, которая основывается на данном определении.

В случае неконсервативной системы это общее определение может охватывать величины, которые обычно не считаются количествами движения (импульсами). Рассмотрим заряженную материальную точку, движущуюся в электромагнитном поле. Это пример неконсервативной системы, которая может быть описана методом Лагранжа. Как было указано в гл. III, функция Лагранжа имеет вид
\[
L=T-e\left(\varphi-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\right) .
\]

Согласно определению (5.1), компоненты количества движения в декартовой системе координат получаются в виде
\[
p_{i}=m \dot{x}_{i}+e A_{i} / c .
\]

Эта формула содержит, кроме членов $m \dot{x}_{i}$, новый член $e A_{i} / c$, который обычно называют электромагнитным импульсом.

В переменных, определяемых формулами (5.1), уравнения Лагранжа принимают вид
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\frac{d}{d t} p_{i}
\]

они имеют некоторое сходство с первоначальной ньютоновской формой уравнений движения.

Циклические координаты
Определение обобщенных импульсов приводит к следующему результату: если
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0
\]

то
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}=\text { const },
\]

или
\[
p_{i}=\text { const. }
\]

Таким образом, наличие циклических координат всегда обусловливает постоянство соответствующих импульсов. Сохранение количества движения и момента количества движения в консервативной системе является частным случаем этого общего правила. При рассмотрении теоремы Лармора было найдено, что результатом действия магнитного поля на одноатомную систему является общая прецессия системы относительно направления поля. Но можно сказать и иначе, а именно: обобщенный импульс, связанный с угловой координатой $\theta$, сохраняется при наложении поля, причем увеличение электромагнитного импульса компенсируется уменьшением механической части импульса.

Фазовое пространство
Введение обобщенных импульсов полностью изменяет точку зрения. Қак было установлено выше, метод Лагранжа рассматривает координаты системы как независимые величины, определяющие положение системы. Зависимость каждой из этих переменных от времени находится из решения системы дифференциальных уравнений второго порядка, известных. под названием уравнений Лагранжа. Другой подход состоит в том, что в качестве независимых величин рассматриваются как координаты, так и импульсы. Тогда конечной целью любой задачи является нахождение всех этих величин в виде явных функций времени.

Преимущество этого метода не очевидно. Например, при решении какой-либо из задач, рассмотренных в гл. IV, не помогло бы, если бы вместо $\partial L / \partial \dot{q}_{i}$ был подставлен символ $p_{i}$. Но может быть развит метод для решения уравнений движения видоизмененной формы, получающихся при этом новом подходе, и он иногда имеет преимущество перед решением уравнений Лагранжа (см. гл. VII). Однако это, вероятно, встречается не часто, и мы должны допустить, что знания функции Лагранжа достаточно для того, чтобы предпринять решение большинства обычных задач механики.

Действительное преимущество нового метода состоит в том, что он дает соответствующую основу для развития квантовой механики и статистической механики. В этой

книге будет идти речь только о квантовой механике, однако в последующем изложении многое будет являться кропотливой предварительной работой, необходимой для понимания методов, применяемых в обеих дисциплинах.

Пространство конфигураций было введено как описательная схема для изображения движения системы при использовании метода Лагранжа. Это понятие уже не будет достаточным, если в качестве независимых величин рассматривать компоненты обобщенных импульсов и пространственные координаты. Вместо этого можно считать, что история движения системы представляется траекторией в фазовом пространстве $6 N$ измерений; каждая пространственная координата и каждая компонента импульса одной материальной точки дает по одному измерению в фазовом пространстве. Как было отмечено в связи с пространством конфигураций, геометрический язык является только иллюстративным; любые затруднения в его понимании можно сразу устранить, заменив слово «измерение» словом «переменное».

Много теоретических затруднений может встретиться при попытке согласовать понятия пространства конфигураций и фазового пространства. В этом вопросе можно достичь некоторой ясности, если учесть то обстоятельство, что траектория в пространстве конфигураций является существенно более произвольной, чем в фазовом пространстве. Определение вида функции Лагранжа (что эквивалентно установлению уравнений движения) является отправным пунктом в обоих случаях, но не устанавливает траекторию. Если, кроме функции Лагранжа, задать одну точку в фазовом пространстве, то вся траектория в нем определяется, так как, выбирая одну точку, в действительности задают шесть начальных значений для координат каждой материальной точки. С другой стороны, отдельная точка в пространстве конфигураций дает только три начальных значения для каждой материальной точки, и нужно указать другие данные, чтобы определить траекторию. Иначе говоря, если уравнения движения определены, то в пространстве конфигураций через любую точку проходит бесчисленное множество траекторий, а в фазовом пространстве возможна только одна траектория.

Функция Гамильтона
Функция Лагранжа в общем случае зависит от $q_{i}$, $\dot{q}_{i}$ и $t$. Поэтому ее полная производная по времени дается формулой
\[
\frac{d L}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}_{i}+\frac{\partial L}{\partial t} .
\]

Отсюда, применяя уравнения движения Лагранжа (3.13), имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{d L}{d t}=\sum_{i} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \dot{q}_{i} & +\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}_{i}+\frac{\partial L}{\partial t}= \\
& =\sum_{i} \frac{d}{d t}\left(\dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)+\frac{\partial L}{\partial t}
\end{aligned}
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left[\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-L\right]=-\frac{\partial L}{\partial t} .
\]

Если $\partial L / \partial t=0$, то
\[
\left[\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-L\right]=\text { const }
\]

или, с учетом определения (5.1),
\[
\left[\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-L\right]=\text { const. }
\]

Введем теперь новую функцию $H$, называемую функцией Гамильтона, с помощью формулы
\[
H=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-L
\]

Эта функция, подобно $L$, имеет размерность энергии. Важность введения функции $H$ частично следует из того обстоятельства, что, как было показано выше, эта функция сохраняет при движении постоянное значение, если $t$ не входит явно в функцию Лагранжа. Далее окажется, что в боль-

шинстве физически интересных случаев $H$ тождественно равняется полной энергии системы.

Возможность иной трактовки функции Гамильтона можно усмотреть из следующих рассуждений. Для некоторых целей лучше строить аналитическую механику, применяя переменные $q_{i}, p_{i}$ и $t_{\text {: а }}$ а не $q_{i}, \dot{q}_{i}$ и $t$. Подобное положение имеет место в термодинамике, где, желая перейти от энтропии $S$ и объема $V$ к температуре $T$ и $V$ в качестве независимых переменных, мы вводим новую энергетическую функцию $F$ (свободную энергию по Гельмгольцу) вместо прежней функции $U$ (внутренней энергии) по формуле
\[
F=U-T S \text {. }
\]

Затем $F$ рассматривается как функция от $T$ и $V$, тогда как $U$ была функцией $S$ и $V$. Это служит примером преобразования Лежандра. Определение (5.10) является другим примером того же преобразования, и, следовательно, функцию Гамильтона нужно в общем случае считать функцией координат, импульсов и времени, т. е.
\[
H=H\left(q_{i}, p_{i}, t\right) .
\]

Из определения (5.10) и определения функции Лагранжа следует, что $H$ является функцией от $q_{i}, \dot{q}_{i}$ и $t$. Однако ясно, что уравнения (5.1) надо разрешить относительно $\dot{q}_{j}$, выразив эти величины через $q_{i}, p_{i}$ и $t$, и результат подставить в выражение (5.10) с тем, чтобы получить искомую функциональную зависимость.

Применяя функцию Гамильтона, можно вывести новые формы уравнений движения. Из формулы (5.11) следует, что
\[
d H=\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i 1}} d q_{i}+\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i}+\frac{\partial H}{\partial t} d t,
\]

а из формулы (5.10)
\[
d H=\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}+\sum_{i} p_{i} d \dot{q_{i}}-d L .
\]

Однако $L=L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$, поэтому
\[
d L=\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}+\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} d \dot{q}_{i}+\frac{\partial L}{\partial t} d t,
\]

и, учитывая равенства (5.1), имеем
\[
d L=\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}+\sum_{i} p_{i} d \dot{q}_{i}+\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\]

Подставляя в формулу (5.13) выражение (5.14) и учитывая уравнения (5.4), находим
\[
\begin{aligned}
d H & =-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}+\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t= \\
& =-\sum_{i} \dot{p}_{i} d q_{i}+\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\end{aligned}
\]

Сравнение коэффициентов в выражениях (5.12) и (5.15) теперь дает
\[
\begin{array}{c}
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \\
\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial t} .
\end{array}
\]

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое $q_{i}$ или некоторое $p_{i}$ явно не входили в функцию $H$; тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой было бы достаточное число циклических переменных $q_{i}$ и $p_{i}$. Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). K сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных

первого порядка, которое может относиться к типу, представляющему большие трудности. В некоторых случаях это может быть сделано, но главная причина изучения уравнений Гамильтона,-как ранее было указано, состоит в том, что они являются удобной основой для квантовой механики и статистической механики.

Физический смысл функции Гамильтона
У начинающего, впервые встречающегося с приложениями уравнений Гамильтона, часто создается впечатление, что функция Гамильтона является бесполезным синонимом для полной энергии рассматриваемой системы. Как ранее было отмечено, эта функция, подобно функции Лагранжа, имеет размерность энергии и в большинстве практически важных случаев она сводится к полной энергии; тем не менее она не при всех обстоятельствах будет тождественна этой величине. Исследуем теперь условия, которые должны выполняться в случае такого совпадения.

По определению консервативной системы $\partial V / \partial \dot{q}_{i}=0$, следовательно,
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}
\]

далее,
\[
T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} \dot{x}_{i}^{2} .
\]

Так как в общем случае
\[
x_{i}=x_{i}\left(q_{j}, t\right),
\]

то
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{j} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial x_{i}}{\partial t}
\]

и
\[
T=\sum_{j} \sum_{k} a_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}+\sum b_{j} \dot{q}_{j}+c,
\]

где
\[
\left.\begin{array}{rl}
a_{j k} & =\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}, \\
b_{j} & =\sum_{i} m_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial x_{i}}{\partial t}, \\
c & =\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial t}\right)^{2} .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда следует, что $T$ является однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей, если $t$ не входит явно в соотношения (5.20), определяющие преобразование, т. е. при этом условии
\[
T=\sum_{j} \sum_{k} a_{i k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}
\]

и легко можно проверить ${ }^{1}$ ), что
\[
\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}=2 T
\]

в таком случае имеем
\[
H=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-L=T+V=E \text { (= Полная энергия). }
\]

Отметим, что нами были приняты следующие ограничения: а) система является консервативной, б) преобразование координат не зависит от времени, т. е. оси координат неподвижны в пространстве. Эти условия являются достаточными, но не необходимыми для равенства величин $H$ и $E$. Другим случаем, когда это также справедливо, является движение заряженной частицы (материальной точки) в постоянном электромагнитном поле. Для такой системы ранее было найдено, что
\[
\begin{aligned}
L & =T-e\left(\varphi-\frac{1}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}\right), \\
p_{i} & =m \dot{x}_{i}+e A_{i} / c
\end{aligned}
\]

следовательно,
\[
\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}=2 T+\frac{e}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}
\]

и
\[
H=T+e \varphi .
\]

Последнюю величину можно также отождествить с полной энергией системы, рассматривая криволинейный интеграл от силы по траектории материальной точки, как это делалось в гл. II. В этом случае равенство величин $H$ и $E$ происходит частично благодаря, по-видимому, случайному сокращению членов, относящихся к векторному потенциалу. Можно далее усмотреть, что входящие в функцию Лагранжа члены потенциала, зависящие от скорости, образуют линейную однородную функцию от компонент скорости. Если эти члены обозначить через $L^{(v)}$, то из теоремы Эйлера следует, что
\[
\sum_{i}^{\prime} \dot{x}_{i} \frac{\partial L^{(v)}}{\partial \dot{x}_{i}}-L^{(v)}=0 .
\]

Если функция $H$ представляет собой полную энергию, то в нее не должна входить величина $L^{(v)}$, так как силы, соответствующие зависящим от скорости слагаемым потенциала, не должны совершать работы при движении системы. Вообще здесь можно допустить, что величины $H$ и $E$ тождественны, хотя система координат движется относительно неподвижной системы отсчета. Нужно, конечно, признать главным достоинством функций Гамильтона то ее свойство, что она дает такой метод для определения энергии, при котором, как и во всей теории Лагранжа и Гамильтона, не требуется отдельного определения компонент силы.

Постоянство величины $H$ во времени является особым вопросом. В силу равенства $H=H\left(p_{i}, q_{i}, t\right)$ и канонических уравнений (5.16) имеем
\[
\frac{d H}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \dot{p}_{i}+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Из совпадения этого результата со вторым уравнением (5.16) вытекает, что $H$ находится в таком же соответствии с $-t$ как $p_{i}$ с $q_{i}$, т. е. что $H$ и $-t$ можно рассматривать как сопряженные переменные. Аналогия между равенством (5.29) и первым уравнением (5.16) приводит к другому соответствию, которое, однако, не подтверждается соображениями теории относительности (см. гл. X).
Соотношения (5.17) и (5.29) дают
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} .
\]

Условием постоянства $H$ при движении является то, что $t$ не входит явно в $L$. Это условие как необходимое, так и достаточное.

Наибольший интерес представляют системы, для которых полная энергия остается постоянной во время движения. Это предположение обычно влечет одновременное удовлетворение условий $E=H$ и $H=$ const. Однако предположение о постоянстве энергии снова не является требованием, необходимым для выполнения этих условий, что показывает следующий пример.

Рассмотрим «спящий волчок». (т. е. волчок, вращающийся вокруг своей вертикальной оси симметрии и не подверженный трению). Это – пример системы, у которой величина $E$ сохраняется. Пользуясь обозначениями из примера, разобранного в гл. IV, имеем
\[
T=\frac{1}{2} \dot{c} \dot{\varphi}^{2}, \quad V=m g h .
\]

Следовательно,
\[
L=T-V=\frac{1}{2} \dot{c} \dot{\varphi}^{2}-m g h .
\]

Переходя к новой координате $\alpha$ по формуле $\alpha=\varphi-\omega_{0} t$, получаем
\[
\dot{\alpha}=\dot{\varphi}-\omega_{0}, \quad L=\frac{1}{2} c\left(\dot{\alpha}+\omega_{0}\right)^{2}-m g h
\]

и
\[
p_{\alpha}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}=c\left(\dot{\alpha}+\omega_{0}\right)
\]

поэтому
\[
H=p_{\alpha} \dot{\alpha}-L=\frac{p_{\alpha}^{2}}{2 c}-\omega_{0} p_{\alpha}+m g h,
\]

тогда как
\[
E=T+V=\frac{p_{a}^{2}}{2 c}+m g h
eq H .
\]

Этот случай несколько тривиален, но он служит для доказательства того, что величины $H$ и $E$ могут сохранять постоянное значение в течение движения, не будучи однако тождественными между собой. Здесь необычный характер величины $H$ происходит из-за принятой системы координат, вращающейся относительно неподвижной системы отсчета, и эту величину нельзя отождествить с энергией ни относительно неподвижной, ни относительно подвижной систем координат.

Интегралы движения и симметрия
В предыдущем изложении были отмечены те условия, при которых функция Гамильтона и обобщенные импульсы остаются постоянными при движении системы. Согласно одной точке зрения, постоянство импульсов является следствием того обстоятельства, что координаты оказываются циклическими; главный результат здесь заключается в том, что соответствующие уравнения движения (Лагранжа или Гамильтона) можно сразу проинтегрировать. Согласно другой точке зрения, такое постоянство само по себе рассматривается как важное свойство системы. Последняя точка зрения широко распространена в наиболее важных приложениях данного метода к современной физике, и приемлемое решение задачи может состоять в определении всех интегралов движения. В общем смысле термин «интеграл движения» применяется к любой динамической переменной

величине, а не только к функции Гамильтона и к импульсам. Метод определения этих интегралов в общем случае представит важную часть дальнейших рассмотрений (см. гл. VIII).

Если некоторая декартова координата является циклической, то функции Гамильтона и Лагранжа инвариантны по отношению к перемещению системы вдоль соответствующей оси. Наличие циклической угловой координаты аналогичным образом обусловливает инвариантность относительно вращения. Так как эти циклические координаты приводят к постоянству соответствующего импульса, то, следовательно, наличие интегралов движения связано со свойствами симметрии системы. В силу равенства (5.29) существует аналогичное соотношение симметрии между функцией Гамильтона и временно́й координатой. Вообще свойства сохранения и симметрии так связаны, что эти термины применяются почти как равнозначащие.

Диссипативные системы
В гл. III было показано, что диссипативные системы можно включить в измененную схему Лагранжа путем введения новой функции, диссипативной функции Рэлея, в дополнение к собственно функции Лагранжа.
Эта новая функция была определена так:
\[
R=\frac{1}{2} \sum_{j} k_{j} \dot{x}_{j}^{2}
\]

а измененные уравнения движения в обобщенных координатах имели вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}+\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}}=0 .
\]

Такое описание не приводит в теории Гамильтона к полезным окончательным заключениям, так как энергия системы не постоянна и никак не может быть определена с помощью функции Гамильтона. Есть другой способ, который в известной мере пригоден для преодоления этой трудности. Его основная идея состоит в расширении рассматриваемой диссипативной системы путем включения в рас-

смотрение наряду с основной системой другой, сходной, но гипотетической системы, в которой рассеиваемая энергия поглощается. Это чисто математический прием, но он дает составную систему, в которой полная энергия сохраняется. В качестве примера рассмотрим случай простого линейного гармонического осциллятора, обладающего затуханием; уравнение движения этого осциллятора имеет вид
\[
\ddot{m} \ddot{x}+k \dot{x}+\mu x=0
\]

где $k$ – коэффициент затухания.
Уравнением движения дополнительной системы (или «зеркального изображения») будет следующее:
\[
m \ddot{x^{\prime}}-k \dot{x}^{\prime}+\mu x^{\prime}=0 .
\]

Рассмотрим функцию
\[
L=m\left(\ddot{x} \dot{x}^{\prime}\right)-\frac{1}{2} k\left(x^{\prime} \dot{x}-\dot{x}^{\prime} x\right)-\mu x x^{\prime}-E_{0},
\]

где $E_{0}$ – начальная энергия, вычисленная по начальным условиям.

Функцию $L$ можно рассматривать как функцию Лагранжа для составной системы, описываемой переменными $x$ и $x^{\prime}$, так как уравнения (5.31) и (5.32) могут быть получены из функции Лагранжа (5.33) при помощи известных правил.
Соответствующими обобщенными импульсами будут
\[
\left.\begin{array}{rl}
p & =\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m \dot{x}^{\prime}-\frac{1}{2} k x^{\prime}, \\
p^{\prime} & =\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\prime}}=m \dot{x}+\frac{1}{2} k x,
\end{array}\right\}
\]

и функцией Гамильтона является
\[
H=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-L=m \dot{x} \dot{x}^{\prime}+\mu x x^{\prime}+E_{0},
\]

или
\[
H=\frac{1}{m}\left(p+\frac{1}{2} k x^{\prime}\right)\left(p^{\prime}-\frac{1}{2} k x\right)+\mu x x^{\prime}+E_{0} .
\]

Так как $\partial H / \partial t=0$, то, следовательно, $H=$ const. Это также видно из решений уравнений движения
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =x_{0} e^{i \omega t} e^{-\alpha t}, \\
x^{\prime} & =x_{0}^{\prime} e^{i \omega t} e^{+\alpha t},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\omega=\sqrt{\frac{\mu}{m}-\frac{k^{2}}{4 m^{2}}}, \quad \alpha=\frac{k}{2 m} .
\]

Подстановка этих величин в выражение (5.35а) дает $H=E_{0}$; это подтверждает тождество функции Гамильтона и полной энергии. В случае систем отдельных точек польза этого математического способа не ясна, но его можно применить для рассмотрения непрерывных сред. Отметим, что при этом новом подходе сопряженные переменные $p$ и $p^{\prime}$ потеряли всякий физический смысл.