В этой главе рассматривается методом Лагранжа несколько отдельных задач. Так как цель этого метода состоит в том, чтобы дать целесообразный путь вывода уравнений движения, то вообще не будет необходимости изучать все детали движения. Рассматриваемые задачи не исчерпывают, разумеется, все возможные случаи. Наша цель состоит в том, чтобы дать хорошее представление о применении метода Лагранжа путем изучения нескольких частных примеров, которые по справедливости можно считать весьма интересными.

Большие трудности при решении любой задачи механики связаны с выбором такой системы координат, в которой уравнения движения имели бы форму, наиболее удобную для дальнейших исследований. Это в равной степени применимо как к методу Лагранжа, так и к любому другому методу. Қак правило, для выбора такой системы координат нет готового пути, и обычным является метод проб и ошибок. Из-за недостатка места мы должны избегать ошибок в выборе системы координат, и поэтому мы будем рассматривать только такие системы координат, которые после предварительного испытания оказались подходящими.

Необходимо отметить одну особенность, а именно существование во многих случаях циклических (или игнорируемых) координат, допускающее простое получение первых интегралов соответствующих уравнений движения. Это вводит важное усовершенствование, котороебудет подробнее рассмотрено в следующей главе в связи с методом Гамильтона.

Сила Кориолиса и центробежная сила
Введение вращающейся системы координат часто скорее усложняет, чем упрощает механическую задачу, хотя иногда, как в случае движения тела в земной атмосфере, оно является необходимым.

Рассмотрим переход от неподвижной системы осей $O x y z$ к системе $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $O z$. Уравнения преобразования имеют следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
x=x^{\prime} \cos \omega t-y^{\prime} \sin \omega t, \\
y=x^{\prime} \sin \omega t+y^{\prime} \cos \omega t, \\
z=z^{\prime} .
\end{array}\right\}
\]

Кинетическая энергия материальной точки записывается так:
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)= \\
=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{\prime 2}+\dot{y}^{\prime 2}+\dot{z}^{\prime 2}\right)+m \omega\left(x^{\prime} \dot{y}^{\prime}-\dot{x}^{\prime} y^{\prime}\right)+\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right) .
\end{array}
\]

Ранее было установлено, что член $\partial T / \partial q_{i}$, входящий в уравнения Лагранжа, можно рассматривать как фиктивную силу, возникающую от особенностей данной системы координат. В настоящем случае он принимает форму
\[
\frac{\partial T}{\partial x^{\prime}}=m \omega \dot{y}^{\prime}+m \omega^{2} x^{\prime}
\]

с соответствующим выражением для $\partial T / \partial y^{\prime}\left(\partial T / \partial z^{\prime}=0\right)$.
Два члена выражения (4.3) соответственно отождествляются с компонентами половины силы Кориолиса и центробежной силы. Оставшаяся половина компоненты силы Кориолиса получается из члена $d(\partial T / \partial \dot{x}) / d t$ уравнений Лагранжа.

Мы не собираемся рассматривать какую-либо частную задачу, касающуюся силы Кориолиса или центробежной силы; наша цель – только показать, как просто они получаются из уравнений Лагранжа. Это резко отличается от результатов применения другого, векторного, метода, который в принципе также пригоден, но который часто приводит к практическим трудностям, особенно при определении знака слагаемых.

Задача двух тел
Движение системы, состоящей из двух материальных точек, положение которых определяется радиусами-векто-

рами $r_{1}$ и $r_{2}$ и на которые действуют только консервативные силы, можно описать с помощью следующей функции Лагранжа:
\[
L=T-V=\frac{1}{2} m_{1} \dot{\mathbf{r}}_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} \dot{\mathbf{r}}_{2}^{2}-V\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right) .
\]

Кинетическая энергия $T$ иначе может быть представлена так:
\[
T=\frac{1}{2} \mu \dot{\mathbf{r}}^{2}+\frac{1}{2} M \dot{\mathbf{R}}^{2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}-\begin{array}{l}
\text { вектор, соединяющий матери- } \\
\text { альные точки, }
\end{array} \\
\mathbf{R}=\frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}-\begin{array}{l}
\text { радиус-вектор центра масс } \\
\text { системы, }
\end{array} \\
\begin{array}{l}
\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}-\text { приведенная масса системы, } \\
M=m_{1}+m_{2} .
\end{array}
\end{array}
\]

Этот иной способ рассмотрения приводит нас к системе, состоящей из материальной точки, имеющей массу, равную сумме масс первоначальных материальных точек, и расположенной в центре их масс, и из материальной точки, имеющей приведенную массу системы и лежащей в точке $\mathbf{r}=\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)$. Однако этот прием является искусственным. Его смысл состоит в том, что при обычно осуществляющихся ограничениях член функции Лагранжа, равный потенциальной энергии, разбивается на два слагаемых подобно тому, как это имеет место в равенстве (4.5). Тогда мы имеем
\[
V=V_{1}(\mathbf{r})+V_{2}(\mathbf{R}) .
\]

Предполагая это, можно функцию $L$ записать так:
\[
L=L_{1}+L_{2},
\]

где
\[
\left.\begin{array}{l}
L_{1}=\frac{1}{2} \mu \dot{\mathbf{r}}^{2}-V_{1}(\mathbf{r}), \\
L_{2}=\frac{1}{2} M \dot{\mathbf{R}}^{2}-V_{2}(\mathbf{R}),
\end{array}\right\}
\]

и движение исходной системы из двух взаимодействующих материальных точек практически раскладывается на независимые движения двух независимых систем. Такое разбиение обычно упрощает решение задачи.

Разделение, представляемое соотношением (4.7), происходит как при отсутствии внешней силы, действующей на систему, так и в том случае, когда внешняя сила, отнесенная к единице массы, одинакова для каждой материальной точки. Как отмечалось выше, эти ограничения осуществляются достаточно часто для того, чтобы задачу имело смысл рассматривать в этой форме.

Дальнейшее рассмотрение части движения системы, представляемой посредством функции $L_{2}$, не представляет особого интереса. Однако целесообразно несколько больше сказать о другом слагаемом при следующем дополнительном ограничении:
\[
V_{1}(\mathbf{r})=V_{1}(r) \quad(r=|\mathbf{r}|),
\]
т. е. при предположении, что движение происходит под действием центральной силь.

Используя сферические координаты, определяемые обычным образом, получаем
\[
\dot{\mathbf{r}}^{2}=\left(\dot{r}^{2}+\dot{r}^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right),
\]

откуда
\[
L_{1}=\frac{1}{2} \mu\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right)-V_{1}(r) .
\]

Отсюда видно, что величина $\varphi$ является циклической координатой, т. е. не входит явно в функцию $L_{1}$. Вследствие этого соответствующее уравнение Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=\frac{\partial L}{\partial \varphi}
\]

имеет особенно простую форму
\[
\frac{d}{d t}\left(\mu r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}\right)=0 .
\]

Непосредственное интегрирование дает
\[
\mu r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}=\text { const. }
\]

Левую часть этого интеграла можно отождествить с моментом количества движения относительно полярной оси, и легко видеть, что она является постоянной для любого частного выбора этой оси. Если полярная ось выбрана так, что в начальный момент она располагается вдоль радиуса $r$, то $\theta=0$, т. е. константа в соотношении (4.14) равна нулю. В течение последующего движения $r$ и $\theta$ в общем случае будут принимать ненулевые значения. Отсюда следует, что, для того чтобы равенство (4.14) продолжало удовлетворяться, величина $\dot{\varphi}$ должна быть равна нулю. Это означает, что во все время движения полярная ось и направление движения остаются в одной плоскости. Вследствие этого данную задачу удобно решать в плоской полярной системе координат, причем рассматриваемая плоскость является плоскостью, содержащей векторы $\mathbf{r}$ и $\dot{\mathbf{r}}$. Таким образом, функция Лагранжа принимает вид
\[
L_{1}=\frac{1}{2} \mu\left(\dot{r}^{2}+\dot{r}^{2} \dot{\theta}^{2}\right)-V_{1}(r) .
\]

Отсюда следует, что в этой новой записи $\theta$ является циклической координатой и решение соответствующего уравнения движения имеет вид
\[
\mu r^{2} \dot{\theta}=\text { const }(=l) \text {. }
\]

Это равенство можно истолковать как установление постоянства момента количества движения относительно оси, проходящей через начало координат и перпендикулярной к координатной плоскости. Данный результат по существу представляет собой второй закон Кеплера для движения планет и вытекает как следствие из предположения о том, что силы являются центральными.

Уравнение движения, относящееся к координате $r$, оказывается более сложным:
\[
\begin{aligned}
\mu \ddot{r}=\mu r \dot{\theta}^{2}-\frac{\partial}{\partial r} V_{1}(r)=\frac{l^{2}}{\mu r^{3}} & -\frac{\partial}{\partial r} V_{1}(r)= \\
& =-\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}+V_{1}(r)\right] .
\end{aligned}
\]

Это уравнение удобно истолковать как уравнение движения материальной точки по прямой под влиянием измененного потенциала сил, даваемого формулой
\[
V_{1}^{\prime}(r)=\frac{l^{2}}{2 \mu r^{2}}+V_{1}(r) .
\]

Дальнейшее исследование требует предположений, касающихся конкретного вида функции $V_{1}(r)$.

Проведенные выше рассуждения показывают важность выбора системы координат для обнаружения тех особенностей задачи, которые можно назвать законами сохранения. Хотя эти законы не составляют полного решения задачи, они образуют тем не менее его существенную часть.

Теорема Лармора
Движение электрона в поле положительно заряженного ядра можно рассматривать как классическую задачу двух тел. Так как внешние силы равны нулю, то выполняются условия предыдущего примера и движение разделяется на две независимые составные части. Введение внешнего магнитного поля изменяет это положение дел, так как внешняя сила, отнесенная к единице массы, не будет уже одинакова для каждой материальной точки и невозможно будет выразить внешние силы как функции только от радиуса-вектора $\mathrm{R}$ центра масс двух материальных точек.

Однако, принимая во внимание значительно бо́льшую величину массы ядра, можно с достаточной точностью считать ядро неподвижным и рассматривать только движение электрона. Тогда задача по существу является задачей о движении одного тела. На основании соображений; изложенных в предыдущей главе, действие магнитного поля на электрон определяется зависящим от скорости членом $-(e / c) \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}$, входящим в функцию Лагранжа, a кулоновское притяжение ядра выражается через функцию $V(r)=Z e^{2} / r$; таким образом,
\[
L=T-V(r)-\frac{e}{c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} .
\]

Предположим, что магнитное поле параллельно оси $z$ и имеет постоянную напряженность $H_{0}$; тогда возможной

системой декартовых компонент вектора А будет
\[
A_{x}=-\frac{1}{2} H_{0} y, \quad A_{y}=\frac{1}{2} H_{0} x, \quad A_{z}=0 .
\]

Для решения этой задачи наиболее удобными оказываются цилиндрические координаты. Переходя к ним, имеем
\[
A_{0}=A_{z}=0, \quad A_{\theta}=\frac{1}{2} H_{0} \varrho,
\]

и выражение (4.19) принимает вид
\[
L=\frac{1}{2} m\left(\dot{\varrho}^{2}+\varrho^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-V(\varrho, z)-\frac{e}{c} \varrho \dot{\theta} \frac{1}{2} H_{0} \varrho .
\]

Отсюда вытекает, что $\theta$ является циклической координатой и интегрирование соответствующего уравнения движения дает
\[
m \varrho^{2}\left(\dot{\theta}-\frac{e H_{0}}{2 m c}\right)=\text { const. }
\]

Қак будет видно из последующих рассуждений, этот результат снова выражает сохранение момента количества движения, хотя здесь только один член $m^{2} \dot{\theta}$ может быть признан за величину такого рода. Для дальнейшего удобно выполнить следующее преобразование координат:
\[
\varrho=\varrho^{\prime}, \quad z=z^{\prime}, \quad \theta=\alpha+\omega_{0} t, \quad \text { где } \quad \omega_{0}=\frac{e H_{0}}{2 m c} .
\]

Функция Лагранжа после преобразования принимает вид
\[
L^{\prime}=\frac{1}{2} m\left(\dot{\varrho}^{\prime 2}+\varrho^{\prime 2} \dot{\alpha}^{2}+\dot{z}^{\prime 2}\right)-V\left(\varrho^{\prime}, z^{\prime}\right)-\frac{1}{2} m \varrho^{\prime 2} \omega_{0}^{2} .
\]

Кроме того, при отсутствии магнитного поля $H_{0}$ первоначальная функция Лагранжа принимает вид
\[
L=\frac{1}{2} m\left(\dot{\varrho}^{2}+\varrho^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-V(\varrho, z) .
\]

Выражения (4.23) и (4.24) имеют одинаковую форму, за исключением члена $-1 / 2 m \varrho^{\prime 2} \omega_{0}^{2}$. Уместно рассмотреть

отношение величины этого члена к величине $1 / 2 m \varrho^{2} \dot{\theta}^{2}$; можно показать, что для $H_{0}$ порядка $10^{4}$ эрстед оно имеет порядок 10-12. Следовательно, с очень высокой точностью можно пренебречь этим членом и считать функции Лагранжа (4.23) и (4.24) тождественными. Отсюда следует, что движения систем, описываемые обеими функциями Лагранжа, одинаковы. Физически это означает, что движение электрона под действием постоянного магнитного поля относительно вращающейся системы координат одинаково с движением, которое было бы в неподвижной системе координат при отсутствии поля. Этот результат обычно выражают следующим утверждением: система под влиянием поля прецессирует с постоянной угловой скоростью $\omega_{0}$.

Следует заметить, что в действительности было показано только, что возможные состояния движения двух систем одинаковы. Однако можно также доказать, что если стационарное магнитное поле создается постепенно, то система сохраняет свое состояние движения относительно системы координат, вращающейся с соответствующей угловой скоростью.

Этот результат может быть распространен на многоэлектронную систему, электроны которой движутся в поле центральных сил, вызванных одним ядром. Это имеет широкое применение в микроскопической теории магнитных свойств материи ${ }^{1}$ ).

Симметричный волчок
Вращение волчка является примером движения твердого тела. Твердое тело представляет собой одну из систем, для которых голономные, не зависящие от времени связи уменьшают число степеней свободы до шести; в рассматриваемом случае это число уменьшается до трех за счет требования, чтобы ножка волчка находилась в соприкосновении с землей в некоторой закрепленной точке. Если пренебречь силами трения, которые могут

действовать на волчок, то систему можно считать консервативной; единственной активной силой является вес волчка, приложенный в его центре тяжести.
Рис. 1. Симметричный волчок,
Связи учитываются автоматически введением в уравнения движения осевых и центробежных моментов инерции волчка. Это – квазигеометрические величины, и если воспользоваться тем преимуществом, что волчок симметричен, то по его оси симметрии следует направить одну из осей декартовой системы координат. Тогда центробежт ные моменты инерции будут равны нулю и таким образом исключатся из рассмотрения. В общем случае ось симметрии будет двигаться в пространстве, и окажется необходимым установить связь подвижной системы с неподвижной. Подходящими параметрами для описания положения системы являются; как известно, углы Эйлера (см. рис. 1). Их три: угол $\theta$ между осью симметрии

волчка $O z^{\prime}$ и неподвижной вертикальной осью $O z$, угол $\psi$ между $O x$ (неподвижной в пространстве) и $O x^{\prime}$, линией пересечения плоскости, перпендикулярной $O z^{\prime}$, и горизонтальной плоскости (линия $O x^{\prime}$ известна под названием линии $у з л о в)$, и угол $\varphi$ между $O x^{\prime}$ и $O x^{\prime \prime}$; эта последняя ось скреплена с волчком и перпендикулярна оси $O z^{\prime}$ ( $O z^{\prime \prime}$ ).

Система координат $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ вращается относительно системы Oxyz с мгновенной угловой скоростью $\boldsymbol{\Omega}^{\prime}$. В системе $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ эта скорость равна
\[
\boldsymbol{\Omega}^{\prime}=(\dot{\theta}, \dot{\psi} \sin \theta, \dot{\psi} \cos \theta) .
\]

Система осей $O x^{\prime \prime} y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}$, относительно которой волчок неподвижен, вращается с угловой скоростью $\boldsymbol{\text { о относи- }}$ тельно $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. И снова измеренная в системе $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ эта скорость равна
\[
\boldsymbol{\omega}=(0,0, \dot{\varphi}) .
\]

Таким образом, волчок вращается относительно неподвижной системы координат $O x y z$ с угловой скоростью $\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}^{\prime}+\boldsymbol{\omega}$. В системе $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ эта угловая скорость равна
\[
\boldsymbol{\Omega}=(\dot{\theta}, \dot{\psi} \sin \theta, \dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta) .
\]

В основной системе декартовых координат кинетическая энергия волчка выражается так:
\[
T=\frac{1}{2}\left(A \Omega_{x}^{2}+B \Omega_{y}^{2}+C \Omega_{z}^{2}-2 D \Omega_{y} \Omega_{z}-2 E \Omega_{z} \Omega_{x}-2 F \Omega_{x} \Omega_{y}\right),
\]

где $A, B, C$ являются осевыми моментами инерции, а $D$, $E, F$-центробежными моментами инерции. Волчок непрерывно меняет свою ориентацию относительно системы осей Oxyz; следовательно, если использовать последнюю систему как систему отсчета, то величины $A, B, C, D$, $E$ и $F$ будут меняться со временем, так же как и компоненты $\boldsymbol{\Omega}$. Это составит большие неудобства при вычислении, которых можно избежать, однако, отнеся движение к системе $O x^{\prime \prime} y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}$. Эти оси не только неподвижны относительно волчка, так что соответствующие величины

$A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}, C^{\prime \prime}, D^{\prime \prime}, E^{\prime \prime}, F^{\prime \prime}$ постоянны во времени, но и являются вместе с тем главными осями инерции волчка, благодаря чему центробежные моменты инерции $D^{\prime \prime}, E^{\prime \prime}$, $F^{\prime \prime}$ обращаются в нуль. В силу этого кинетическая энергия волчка может быть записана так:
\[
T=\frac{1}{2}\left(A^{\prime \prime} \Omega_{x^{\prime \prime}}^{2}+B^{\prime \prime} \Omega_{y^{n}}^{2}+C^{\prime \prime} \Omega_{z^{\prime \prime}}^{2-}\right) .
\]

Наконец, так как $O z^{\prime \prime}$ является осью симметрии, то система $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ также служит системой главных осей инерции волчка, хотя и движется относительно него. Это дает
\[
T=\frac{1}{2}\left(A^{\prime} \Omega_{x^{\prime}}^{2}+A^{\prime} \Omega_{y^{\prime}}^{2}+C^{\prime} \Omega_{z^{\prime}}^{2}\right),
\]

где $A^{\prime}=A^{\prime \prime}=B^{\prime \prime}, \quad C^{\prime}=C^{\prime \prime}$.
Принимая во внимание равенство (4.27), это выражение можно записать также в следующем виде:
\[
T=\frac{1}{2}\left[A^{\prime} \dot{\theta}^{2}+A^{\prime} \dot{\psi}^{2} \sin ^{2} \theta+C^{\prime}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi})^{2}\right] .
\]

Заметим, что это выражение дает кинетическую энергию движения волчка относительно неподвижной системы отсчета, выраженную через подвижную систему координат. Кинетическая энергия волчка относительно подвижной системы отсчета $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ равняется $1 / 2 C^{\prime} \dot{\varphi}^{2}$.
Потенциальная энергия волчка равна
\[
V=m g h \cos \theta,
\]

где $h$ есть расстояние центра тяжести от точки опоры волчка. Следовательно, движение волчка описывается такой функцией Лагранжа:
\[
\begin{aligned}
L & =T-V= \\
& =\frac{1}{2}\left[A^{\prime} \dot{\theta}^{2}+A^{\prime} \dot{\psi}^{2} \sin ^{2} \theta+C^{\prime}(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi})^{2}\right]-m g h \cos \theta .
\end{aligned}
\]

Это завершает перевод физических условий задачи на математический язык. Теперь остается вывести уравнения движения в соответствии с обычными правилами

составления уравнений Лагранжа. В качестве обобщенных координат выбраны, очевидно, параметры $\theta, \psi, \varphi$, причем $\varphi$ и. $\psi$ являются циклическими. Уравнения движения, соответствующие циклическим координатам, интегрируются немедленно и дают
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}=\mathrm{const}=n, \\
A^{\prime} \dot{\psi} \sin ^{2} \theta+C^{\prime} \cos \theta(\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi})= \\
=A^{\prime} \dot{\psi} \sin ^{2} \theta+C^{\prime} n \cos \theta=\mathrm{const}=k .
\end{array}\right\}
\]

Оставшееся уравнение движения имеет вид
\[
A^{\prime} \ddot{\theta}=A^{\prime} \dot{\psi}^{2} \sin \theta \cos \theta-C^{\prime} n \dot{\psi} \sin \theta+m g h \sin \theta .
\]

Дальнейшее решение требует задания начальных условий, и здесь мы им заниматься не будем. Общее рассмотрение движения известно своей сложностью, но благодаря вышеуказанным соображениям задача была сформулирована с минимальными усилиями. Уравнения (4.33) снова выражают сохранение момента количества движения, хотя рассматриваемые компоненты с физической точки зрения не так важны, как в предыдущих случаях.

Главные колебания
Некоторые физические системы имеют ограниченное движение, состоящее из малых перемещений относительно положения устойчивого равновесия. Примером такого движения является механическое колебание атомной решетки, как это имеет место в кристалле. Это движение сложное, но может быть представлено в виде суммы конечного числа простых гармонических колебаний. В общем случае каждое слагаемое, т. е. простое гармоническое колебание, соответствует движению всей решетки. Эти простейшие слагаемые называются главными или нормальными колебаниями системы.

Рассмотрим систему взаимодействующих линейно колеблющихся материальных точек. Постулируя, что движение системы имеет малую амплитуду и происходит около поло-

жения устойчивого равновесия, можно представить потенциальную энергию системы в виде следующего ряда Тейлора:
\[
\begin{aligned}
V\left(q_{i}\right)=V\left(q_{i}^{(0)}\right)+ & \sum_{i} \delta q_{i}\left(\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right)_{0}+ \\
& +\sum_{i} \sum_{j} \frac{1}{2} \delta q_{i} \delta q_{j}\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{j}}\right)_{0}+\ldots,
\end{aligned}
\]

где $q_{i}$-обобщенные координаты материальных точек, а $q_{i}^{(0)}$ – значения этих координат при равновесии.

Для наших целей $\delta q_{i}$ важнее, чем $q_{i}$. Таким образом, мы полагаем
\[
\delta q_{i}=\eta_{i}
\]

и рассматриваем $\eta_{i}$ как обобщенные координаты. Поскольку $\partial / \partial q_{i}=\partial / \partial \eta_{i}$, выражение (4.35) может быть переписано так:
\[
\begin{aligned}
V\left(\eta_{i}\right)=V(0) & +\sum_{i} \eta_{i}\left(\frac{\partial V}{\partial \eta_{i}}\right)_{0}+ \\
& +\sum_{i} \sum_{j} \frac{1}{2} \eta_{i} \eta_{j}\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial \eta_{i} \partial \eta_{j}}\right)_{0}+\ldots ;
\end{aligned}
\]

здесь $V(0)$ является произвольной постоянной, которую можно считать равной нулю; кроме того, $\left(\partial V / \partial \eta_{i}\right)_{0}=0$, так как точка $\eta_{i}=0$, по предположению, является положением равновесия. Таким образом, выражение (4.35′) принимает вид
\[
V\left(\eta_{i}\right)=\sum_{i} \sum_{j} \frac{1}{2} \eta_{i} \eta_{j} V_{i j}+O\left(\eta^{\mathbf{s}}\right),
\]

где $V_{i j} \equiv\left(\partial^{2} V / \partial \eta_{i} \partial \eta_{j}\right)_{0}$ не зависят от $\eta_{i}$.
В декартовой системе координат кинетическая энергия выражается так:
\[
T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} \dot{x}_{i}^{2}
\]

где $m_{i}$ – массы отдельных материальных точек. Переходя к обобщенным координатам посредством соотношений
\[
q_{i}=q_{i}\left(x_{j}\right) \text { или } x_{j}=x_{j}\left(q_{i}\right),
\]

которые не зависят явно от времени, и вспоминая, что $q_{i}=q_{i}^{(0)}+\eta_{i}$, получаем
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{j} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}=\sum_{j} \frac{\partial x_{i}}{\partial \eta_{j}} \dot{\eta}_{j}
\]

откуда
\[
\begin{aligned}
T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i}\left(\sum_{j} \frac{\partial x_{i}}{\partial \eta_{j}} \dot{\eta}_{j}\right)^{2}= & \\
= & \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i}\left(\sum_{j} \sum_{k} \frac{\partial x_{i}}{\partial \eta_{j}} \frac{\partial x_{i}}{\partial \eta_{k}} \dot{\eta}_{j} \dot{\eta}_{k}\right) .
\end{aligned}
\]

Снова считая амплитуды колебаний малыми, мы можем положить
\[
\left.\frac{\partial x_{i}}{\partial \eta_{j}}=\frac{\partial x_{i}}{\partial \eta_{j}}\right)_{0}+\sum_{k} \eta_{k}\left(\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial \eta_{k} \partial \eta_{j}}\right)_{0}+\ldots ;
\]

таким образом,
\[
T=\sum_{j} \sum_{k} \frac{1}{2} M_{j k} \ddot{\eta}_{j} \ddot{\eta}_{k}+O\left(\dot{\eta}^{2}\right)
\]

где
\[
M_{j k} \equiv \sum_{i} m_{i}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial \eta_{j}}\right)_{0}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial \eta_{k}}\right)_{0}
\]

и не зависят от $\eta_{i}$ и $t$.
Пренебрегая членами высшего порядка, можно теперь записать функцию Лагранжа этой системы (предполагаемой консервативной) в виде
\[
L=T-V=\sum_{j} \sum_{k} \frac{1}{2}\left(M_{j k} \dot{\eta}_{j} \dot{\eta}_{k}-V_{j k} \eta_{j} \eta_{k}\right) ;
\]

уравнения движения будут записываться так:
\[
\frac{d}{d t} \sum_{k} M_{j k} \dot{\eta}_{k}=-\sum_{k} V_{j k} \eta_{k},
\]

или
\[
\sum_{k} M_{j k} \ddot{\eta}_{k}=-\sum_{k} V_{j k} \eta_{k} .
\]

Отсюда видно, что имеется связь между движениями материальных точек. Сделаем теперь предположение, что движение системы периодическое, т. е. что
\[
\eta_{k}=\eta_{k}^{(0)} e^{i \omega t} ;
\]

подстановка этих выражений для $\eta_{k}$ в уравнения (4.46) дает
\[
\sum_{k}\left(\omega^{2} M_{j k}-V_{j k}\right) \eta_{k}^{(0)}=0 ;
\]

это есть система $3 N$ уравнений, связывающих $3 N$ величин $\eta_{k}^{(0)}$. Условием существования нетривиального решения этой системы является равенство
\[
\left|\omega^{2} M_{j k}-V_{j k}\right|=0,
\]

левая часть которого представляет собой детерминант; $(j, k)$-й элемент этого детерминанта равен $\left(\omega^{2} M_{j k}-V_{j k}\right)$.

Решение этого характеристического уравнения дает $3 N$ значений $\omega^{2}$, соответствующих $3 N$ частотам главных колебаний системы. Эти $3 N$ решений системы являются линейно независимыми, и общее движение системы описывается произвольной линейной комбинацией этих решений. Следует подчеркнуть, что отдельные виды движений, как правило, не связываются с индивидуальными материальными точками. В общем случае движение каждой материальной точки включает слагаемое с каждой из главных частот. Некоторые значения $\omega^{2}$ могут быть отрицательны; тогда соответствующее чисто мнимое $\omega$ отвечает неустойчивому слагаемому движения. Такие апериодические слагаемые иногда рассматривают как виды колебаний в общем смысле, хотя их существование в действительности исключается начальным предположением, состоящим в том, что система движется около положения устойчивого равновесия.

Включение в функцию Лагранжа (4.44) членов более высокого порядка должно, строго говоря, устранить возможность разложения движения на независимые составляющие. Определение такого обобщенного ангармонического движения является сложной задачей. Однако обычно такие члены более высокого порядка рассматриваются как эффекты второго порядка, обусловленные взаимодействием между
\[
4^{*}
\]

нормальными видами колебаний. Таким образом, общее движение системы может быть снова представлено как линейная комбинация $3 N$ гармонических членов с произвольными в начале движения коэффициентами. Благодаря
Рис. 2. Линейная модель трехатомной молекулы.

взаимодействию эти коэффициенты будут теперь изменяться со временем, и эти изменения будут определяться «ангармоническими» членами высшего порядка.

Общие особенности задачи определения главных колебаний хорошо объясняются на простой классической модели, которая дает полное представление о поведении линейной трехатомной молекулы. В этой модели материальная точка массы $M$ упруго связана с двумя другими материальными точками, каждая из которых имеет массу $m$. В каждом случае упругая постоянная равна $\mu$, и в положении равновесия точки находятся на одной прямой на одинаковых расстояниях одна от другой; при этом рассматривается движение только по прямой (см. рис. 2).

Если перемещения материальных точек от положения равновесия обозначить через $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$, то кинетическая энергия будет определяться формулой
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{\eta}_{1}^{2}+\dot{\eta}_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2} M \dot{\eta}_{2}^{2},
\]

кроме того,
\[
V=\frac{1}{2} \mu\left(\eta_{3}-\eta_{2}\right)^{2}+\frac{1}{2} \mu\left(\eta_{2}-\eta_{1}\right)^{2} ;
\]

следовательно,
\[
L=\frac{1}{2} m\left(\dot{\eta}_{1}^{2}+\dot{\eta}_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2} M \dot{\eta}_{2}^{2}-\frac{1}{2} \mu\left(\eta_{3}-\eta_{2}\right)^{2}-\frac{1}{2} \mu\left(\eta_{2}-\eta_{1}\right)^{2} .
\]

Таким образом, уравнения движения имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \ddot{\eta}_{1} & =\mu\left(\eta_{2}-\eta_{1}\right), \\
\ddot{M \eta_{2}} & =\mu\left(\eta_{3}-\eta_{2}\right)-\mu\left(\eta_{2}-\eta_{1}\right)=\mu\left(\eta_{3}+\eta_{1}-2 \eta_{2}\right), \\
\ddot{m} & =-\mu\left(\eta_{3}-\eta_{2}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Предположение о том, что движение является простым гармоническим колебанием, дает
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(m \omega^{2}-\mu\right) \eta_{1}^{0}+\mu \eta_{2}^{0}=0, \\
\left(M \omega^{2}-2 \mu\right) \eta_{2}^{0}+\mu\left(\eta_{3}^{0}+\eta_{1}^{0}\right)=0, \\
\left(m \omega^{2}-\mu\right) \eta_{3}^{0}+\mu \eta_{2}^{0}=0
\end{array}\right\}
\]

поэтому характеристическое уравнение будет иметь вид
\[
\left|\begin{array}{ccc}
m \omega^{2}-\mu & \mu & 0 \\
\mu & M \omega^{2}-2 \mu & \mu \\
0 & \mu & m \omega^{2}-\mu
\end{array}\right|=0 .
\]

Решение этого уравнения дает
\[
\omega^{2}=0, \quad \omega^{2}=\frac{\mu}{m}, \quad \omega^{2}=\frac{\mu(2 m+M)}{m M} ;
\]

таким образом, главные частоты равны
\[
\omega_{1}=0, \quad \omega_{2}= \pm \sqrt{\mu / m}, \quad \omega_{3}= \pm \sqrt{\frac{\mu(2 m+M)}{m M}} .
\]

Здесь, как и в разложении Фурье, нет отрицательных частот. Принятое решение имело экспоненциальную форму. Комбинация пары таких решений с равными и противоположными значениями $\omega$ дает решение, содержащее только синус или косинус, причем две произвольные постоянные входят в него как произвольные значения амплитуды и фазы.

Решение $\omega_{1}=0$ соответствует физически возможному случаю, при котором три материальные точки одновременно совершают одинаковое поступательное движение. Решение $\omega_{2}=\sqrt{\mu / m}$ дает $\eta_{2}^{0}=0$ и $\eta_{1}^{0}=-\eta_{3}^{0}$, соответствуя движению, при котором средняя точка неподвижна, а крайние точки движутся в противофазах. Третье решение

представляет собой движение, при котором крайние точки движутся в одинаковых фазах и в противофазе со средней точкой.

Как и в общем случае, можно будет определить явную форму преобразования $\eta_{i}^{\prime}=\eta_{i}^{\prime}\left(\eta_{j}\right)$ к новой системе координат, в которой каждый вид колебания будет связан только с одной координатой. Предположим пока, что физически важные сведения заключаются в знании главных частот, и не будем пытаться найти требуемое преобразование. Обычно это оказывается достаточным, хотя иногда бывает необходимо решать задачу полностью.

Изложенные соображения иллюстрируют возможности применения метода Лагранжа при рассмотрении в общем виде проблем, касающихся малых колебаний. Решение характеристического уравнения для системы, обладающей бо́льшим числом степеней свободы (как в случае кристаллической решетки), может быть очень трудным, но изложенный выше метод можно всегда использовать как исходный.

Электрические цепи
Интересно отметить, хотя с практической точки зрения это не представляет большой важности, что методом Лагранжа можно провести исследование электрических цепей. Рассмотрим функцию Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{j} L_{i j} \dot{I}_{i} \dot{I}_{j}+\sum_{i} \dot{E}_{i} I_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i} \frac{1}{C_{i}} I_{i}^{2},
\]

где $L_{i j}=L_{j i}=$ const.
Соответствующие уравнения движения будут
\[
\frac{d}{d t}\left(\sum_{j} L_{i j} \dot{I}_{j}\right)=\dot{E}_{i}-I_{i} / C_{i},
\]

или
\[
\dot{E}_{i}=\dot{I}_{i} / C_{i}+\sum_{j} L_{i j} \ddot{I}_{j} .
\]

Если $L_{i j}(i
eq j)$ рассматривать как коэффициенты взаимоиндукции, $L_{i j}(i=j)$ – как коэффициенты самоиндукции, а $C_{i}$ – как емкости, то эти уравнения являются

соотношениями для электрической сети со взаимным реактивным импедансом, по которой течет система токов $I_{i}$, вызванных электродвижущими силами $E_{i}$. Ясно, что такие задачи можно сформулировать аналитически, применяя функцию Лагранжа, данную формулой (4.58), и взяв токи в ветвях сети в качестве обобщенных координат; используя диссипативную функцию Рэлея, можно включить в рассмотрение и омические сопротивления.

Аналогия между механической и электрической системами обычно проявляется в сходстве формы уравнений движения ${ }^{1}$ ). С этой точки зрения она имеет большое значение. Методы, разработанные для решения задач, относящихся специально к электрическим цепям, часто заимствуются и применяются к решению механических задач. Обратный процесс реже встречается на практике благодаря большим усилиям, которые в прошлом были направлены на исследование электрических систем. Сходство этих проблем в трактовке Лагранжа только отражает соответствие между уравнениями движения и само по себе вряд ли может привести к дальнейшим результатам. Польза метода Лагранжа, вообще говоря, состоит в том, что он представляет собой удобный метод составления уравнений движения, а это составление редко оказывается трудным при исследовании электрических цепей.