Главная > АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НЕАИНЕИНЫХ КОЛЕБАНИЙ (Н.Н.БОГОМЮБОВ, ЮА.МИТРОПОЛЬСКИЙ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В предыдущих параграфах нами приведен метод построения приближенных решений для уравнений типа (1.1). Построены первые и высшие приближения для различных частных случаев уравнения (1.1), а также произведены расчеты для конкретных примеров. Как мы убедились выше, во всех случаях решение нелинейного дифференциального уравнения типа (1.1) заменяется решением двух уравнений первого порядка, определяющих амплитуду и фазу колебания.

Таким образом, для того чтобы построить приближенное решение с определенной, наперед заданной точностью, нам необходимо составить уравнения типа (1.5) и после этого найти из них выражения для амплитуды и фазы как функций времени.

Для определения приближенных решений, соответствующих установившемуся режиму в колебательной системе (стационарным колебаниям), необходимо приравнять правую часть уравнения (5.1) нулю, так как при стационарном режиме амплитуда постоянна и, следовательно, производная от нее равна нулю. Из полученного алгебраического уравнения находим стационарные значения амплитуды. Однако для построения приближенных решений, соответствующих непосредственно стационарным колебаниям, можно указать более простой способ, чем изложенный выше. Рассмотрим сначала уравнение консервативной колебательной системы (2.1), которое можно записать в виде
d2xdt2+ω2x=sf(x).

Согласно результатам § 2 стационарное решение этого уравнения во втором приближении имеет вид:
x=acos(ωt+φ)εω2n=0neq1fn(a)cosn(ωt+φ)n21,ωII2(a)=ω2εf1(a)a+s2,}

где fn(a)(n=0,1,2,) — коэффициенты Фурье в разложении
f(acosψ)=n=0fn(a)cosnψ,fn(a)=1π02πf(acosψ)cosnψdψ,
a и p-постоянные интегрирования, определяющиеся начальными значениями.

Исходя из выражений (6.2), естественно для получения высших приближений, соответствующих стационарному режиму, воспользоваться следующим приемом.

Представим репение уравнения (6.1) в виде x=z(ω¯t+φ), где z(ωt+φ) — периодическая функция ωt+φ с периодом 2π.

Заметим, что x=z(ω¯t+φ) будет удовлетворять уравнению только тогда, когда z(ωt+φ) удовлетворяет уравнению
ω2d2zdψ2+ω2z=εf(z).

Решение уравнения (6.4) z=z(ψ),ψ=ω¯t+φ, а также выражение для частоты колебания ω¯ естественно искать в виде разложений
z(ψ)=n=0enzn(ψ),ω¯2=n=0snαn,

коэффициенты которых определим, подставив (6.5) и (6.6) в (6.4) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ε, причем потребуем, чтобы zn(ψ) были периодическими функциями ψ с периодом 2π.
Произведя подстановку, иолучаем следующие уравнения:
α0d2z0dψ2+ω2z0=0,α0d2z1dψ2+ω2z1=f(z0)α1d2z0dψ2,α0d2z2dψ2+ω2z2=f(z0)z1α2d2z0dψ2α1d2z1dψ2,α0d2z3dψ2+ω2z3=f(z0)z2+12f(z0)z12α3d2z0dψ2α2d2z1dψ2α1d2z2dψ2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Определяя из первых N+1 уравнений системы (6.7) функции z0,z1,z2,,zN, а также величины α0,α1,α2,,αN, можем составить выражение
x=n=0Nεnzn(ω¯t+φ),

где
ω¯2=n=0Nεnan,

которое будет удовлетворять уравнению (6.1) с точностью до величин порядка малости εN+1 и, следовательно, может рассматриваться как N+1-е приближение решения уравнения (6.1), соответствующее стационарным колебаниям. Определение функций zn(ω¯t+φ) и величин αn(n=0,1,2,) из уравнений (6.7) может быть произведено, вообще говоря, неоднозначно. Для того чтобы эти величины были определены однозначно, необходимо наложить некоторые дополнительные условия.

Потребуем, чтобы zn(ψ)(n=1,2,3,) не имели в своем составе основной гармоники аргумента ψ. Из первого уравнения (6.7) находим:
z0(ψ)=acosψ,α0=ω2.

Подставляя (6.9) во второе уравнение системы (6.7), имеем:
ω2(d2z1dψ2+z1)=f(acosψ)+α1acosψ

или, учитывая (6.3),
ω2(d2z1dψ2+z1)=n=0neq1fn(a)cosnψ+(α1a+f1(a))cosψ.

Принимая во внимание требование периодичности функции z1(ψ), приравниваем в правой части уравнения (6.11) нулю коэффициент при первой гармонике аргумента ψ. В результате получаем уравнение для определения α1 :
a1a+f1(a)=0,

откуда находим:
α1=f1(a)a.

Подставляя найденное значение α1 в правую часть уравнения (6.11), имеем:
d2z1dψ2+z1=1ω2n=0neq1fn(a)cosnψ

откуда находим для z1(ψ) следующее выражение:
z1(ψ)=1ω2n=0neq1fn(a)cosnψ1n2.

При этом как выражение (6.13), так и выражение для α1 совнадают с выражениями, найденными согласно общему методу.

Продолжая изложенный процесс, можем последовательно определить все функции z1,z2,z3, и величины α1,α2,α3, до сколь угодно большого значения индекса и тем самым построить приближенные решения, удовлетворяющие рассматриваемому уравнению (6.1) с точностью до любой степени є.

В качестве примера определим стационарное решение в третьем улучшенном приближении (с точностью до величин порядка малости ε3 включительно) для колебательной системы, описываемой уравнением вида
d2xdt2+x+εx3=0.

Для определения функций z0,z1,z2,z3 и величин α0,α1,α2,α3 на основании (6.7) получаем уравнения:
α0d2z0dψ2+z0=0α0d2z1dψ2+z1=z3α1d2z0dψ2α0d2z2dψ2+z2=3z02z1α2d2z0dψ2α1d2z1dψ2,α0d2z3dψ2+z3=3z02z23z1z0α3d2z0dψ2α2d2z1dψ2α1d2z2dψ2.

Из первого уравнения находим:
z0(ψ)=acosψ,α0=1.

После этого второе уравнение можно записать в виде
d2z1dψ2+z1=a3cos3ψ+α1acosψ,

или
d2z1dψ2+z1=a34cos3ψ+(α1a34a3)cosψ,

откуда имеем:
α1=34a2,z1(ψ)=a332cos3ψ.}

Подставляя (6.16) и (6.19) в третье уравнение системы (6.15), получаем:
d2z2dψ2+z2=3a532cos2ψcos3ψ+27128a5cos3ψ+α2acosψ,

или
d2z2dψ2+z2=21128a5cos3ψ3a5128cos5ψ+(α2a3a5128)cosψ,

откуда находим:
α2=3a4128,z2(ψ)=211024a5cos3ψ+a51024cos5ϕ.}

После этого последнее уравнение системы (6.15) может быть записано в виде:
d2z3dψ2+z3=3a2cos2ψ(211024a5cos3ψ+a51024cos5ψ)3a61024cos23ϕacosψ+α3acosψ+3a41289a332cos3ψ34a2(211024a59cos3ψa5102425cos5ψ),

или
d2z3dψ2+z3=1059a72048cos3ψ+1772048a7cos5ψ32048a7cos7ψ+(α3a+574096a7)cosψ,

из которого находим:
α3=574096a6,z3(ψ)=105920488a7cos3ψ177204824a7cos5ψ+3204848a7cos7ψ.

Таким образом, принимая во внимание (6.8), (6.19), (6.22) и (6.25), получаем приближенное стационарное решение уравнения (6.14) с точностью до величин порядка малости 3 включительно в виде
x=acos(ω¯t+φ)+εa332[1ε2132a2+ε21059512a4]cos3(ω¯t+φ)++ε2a51024[1ε17748a2]cos5(ω¯t+φ)+ε33a7204848cos7(ω¯t+φ),

где a и φ-произвольные постоянные, а частота колебаний ω¯ определяется выражением
ω2=1+34a2+3128ε2a4574096ε3a6.

Перейдем теперь к построению приближенных решений для стационарных колебаний в неконсервативных системах. Для этого рассмотрим уравнение вида (1.1)
d2xdt2+ω2x=εf(x,dxdt).

Стационарное решение (улучшенное первое приближение) этого уравнения согласно § 2 может быть записано в виде
x=acosψ+g0(a)ω21ω2n=2gn(a)cosnψ+hn(a)sinnψn21,

где gn(a) и hn(a)(n=0,2,3,) определяются согласно формулам (1.29), ψ=ω¯(a)t+φ, а a и ω¯(a) должны быть найдены из следующих выражений:
A1(a)=0,ω¯(a)=ω+εB1(a),}
A1(a) и B1(a) определяются согласно формулам (1.27).
Для случая консервативных колебательных систем, как мы уже убедились, A1(a) тождественно равно нулю, и поэтому выражение для приближенного стационарного решения (6.29) зависит от двух произвольных постоянных a и φ.

Рассмотрим теперь случай, когда A1(a) не обращается тождественно в нуль ни в каком интервале значений a. Предположим также, что функция A1(a) имеет лишь простые корни. В этом случае каждому корню A1(a) соответствует некоторое стационарное состояние, причем выражение (6.29) для этого стационарного состояния зависит лишь от одной шроизвольной постоянной, а именно от φ.

Приступая к изложению формальной методики построения стационарных решений уравнения (1.1), воспользуемся в основном способом, примененным выше для консервативных колебательных систем.

Решение уравнения (6.28), соответствующее стационарным колебаниям, представим в виде
x=z(ω¯t+φ)

где φ — произвольная постоянная, ω¯ — частота колебания, z(ψ) — периодическая функция ψ с периодом 2π.
Как и выше, функция z(ψ) должна удовлетворять уравнению
ω¯2d2zdψ2+ω2z=εf(z,ω¯dzdψ).

Будем искать функцию z(ψ) и частоту колебаний ω¯ в виде разложений
z(ψ)=n=0εnzn(ψ),ω¯=n=0εnωn,

где zn(ψ) — периодические функции ψ с периодом 2π.
Подставляя значения z(ϕ) и ω¯ (6.33) в уравнение (6.32) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ぇ, получим следующую систему уравнений:
ω02d2z0dψ2+ω2z0=0,ω02d2z1dψ2+ω2z1=f(z0,ω0dz0dψ)2ω0ω1d2z0dψ2,ω02d2z2dψ2+ω2z2=fz(z0,ω0dz0dψ)z1+fz(z0,ω0dz0dψ)ω0dz1dψ++fz(z0,ω0dz0dψ)ω1dz0dψ2ω0ω2d2z0dψ22ω0ω1d2z1dψ2ω12d2z0dψ2,

Решаем первое из этих уравнений, полагая
z0=acosψ,ω0=ω,

где a-некоторая, пока не определенная постоянная.
Подставив значения z0(ϕ) и ω0(6.35) в правую часть второго уравнения системы (6.34) и учитывая (1.16), имеем
ω2(d2z1dψ2+z1)=n=0[gn(a)cosnψ+hn(a)sinnψ]+2ωω1acosψ˙.

Чтобы это уравнение имело относительно z1(ψ) периодическое решение (т. е. чтобы в выражении для z1(ψ) не появилось секулярных членов), необходимо приравнять нулю коэффициенты при основной гармонике, входящей в правую часть (6.36).
Приравнивая, получаем уравнения
hn(a)=A1(a)=0,ω1=g1(a)2aω,}

определяющие a и ю 1. После этого уравнение (6.36) примет вид
ω2(d2z1dψ2+z1)=g0(a)+n=2[gn(a)cosnψ˙+hn(a)sinnψ].

Решая өго, находим:
z1(ψ)=a1cosψ+g0(a)ω2+1ω2n=2gn(a)cosnψ+hn(a)sinnψ1n2,

где a1 — произвольная пэстоянная, которая должна быть определена из условия периодичности z2(ϕ).

Покажем, как определяется a1. Для этого выражение для z1(ψ) представим в виде
z1(ψ)=a1cosψ+u(a,ψ),

где
u(a,ψ)=g0(a)ω2+1ω2n=2gn(a)cosnψ+hn(a)sinnψ1n2

является известной периодической функцией ψ.
Подставляя значение z1(ψ)(6.40) в третье уравнение системы (6.34), получим:
ω2(d2z2dψ2+z2)=fz(acosψ,aωsinψ)a1cosψfz(acosψ,aωsinψ)a1ωsinψ+2ωω1a1cosψ++2ωω2acosψ+v(ψ),

где
v(ψ)=fz(acosψ,aωsinψ)u+fz(acosψ,aωsinψ)ωdudψ++fz(acosψ,aωsinψ)ω1asinψ+ω12acosψ.

Напишем разложение для v(ψ) в ряд Фурье:
v(ψ)=n=0[vn(a)cosnψ+wn(a)sinnψ].

Кроме того, имеем:
fz(acosψ,aωsinψ)cosψfz(acosψ,aωsinψ)ωsinψ=
=n=0[gn(a)cosnψ+hn(a)sinnψ]

и поэтому уравнение (6.41) можно эаписать в виде
ω2(d2z2dψ2+z2)=a1n=0[gn(a)cosnψ+hn(a)sinnψ]++2ω(ω1a1+ω2a)cosψ+n=0[vn(a)cosnψ+wn(a)sinnψ].

Для того чтобы z2(ψ) являлось периодической функцией, необходимо в правой части уравнения (6.45) приравнять нулю коэффидиенты шри sinψ и cosψ. Получаем:
a1hn(a)=w1(a),a1g1(a)+2ω(ω1a1+ω2a)=v1(a).}

Первое из этих уравнений определяет a1 :
a1=w1(a)h1(a),

причем h1(a)=A1(a)eq0, так как мы предположили, что функция A1(a) имеет только простые корни.
Из второго уравнения находим ω2 :
ω2=1a[v1(a)+a1g1(a)2ω+ω1a1].

После этого уравнение (6.45) можем записать в виде
w2(d2z2dψ2+z2)=(v0(a)+a1g0(a))+n=2{(vn(a)+a1gn(a))cosnψ++(wn(a)+a1hn(a))sinnψ}.

Решением этого уравнения будет:
z2(ψ)=a2cosψ+1ω2(v0(a)+a1g0(a))+1ω2n=2{(vn(a)+a1gn(a))cosnψ++(wn(a)+a1hn(a))sinnψ}11n2,

где a2-неопределенная постоянная, которую определяем из условия периодичности функции z3(ϕ) и т. д. Продолжая изложенный процесс, можем построить приближенные решения для стациопарного режима с любой наперед заданной степенью точности. Например, во втором приближении согласно (6.31), (6.39) и (6.37) имеем:
x=(a+εa1)cos(ω¯t+φ)+εω2g0(a)++εω2n=2gn(a)cosn(ω¯t+φ)+hn(a)sinn(ω¯t+φ)1n2,

где
ω¯=ω+εg1(a)2ωa,

а амплитуда должна быть определена из уравнения
hn(a)=0

Сравнивая полученное выражение для x (6.51) с ранее найденным выражением для стационарного режима (6.29), замечаем, что единственное отличие этих двух репений состоит в том, что амплитуда первой гармоники в (6.29) равна a, где a-корень первого уравнения (6.30), а в формуле (6.51) амплитуда первой гармоники равна a+εa1. Однако такое расхождение полностыю совпадает с нашим замечапием по этому поводу, приведенным в 1 .

1
Оглавление
email@scask.ru