Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
В предыдущих параграфах нами приведен метод построения приближенных решений для уравнений типа (1.1). Построены первые и высшие приближения для различных частных случаев уравнения (1.1), а также произведены расчеты для конкретных примеров. Как мы убедились выше, во всех случаях решение нелинейного дифференциального уравнения типа (1.1) заменяется решением двух уравнений первого порядка, определяющих амплитуду и фазу колебания. Таким образом, для того чтобы построить приближенное решение с определенной, наперед заданной точностью, нам необходимо составить уравнения типа (1.5) и после этого найти из них выражения для амплитуды и фазы как функций времени. Для определения приближенных решений, соответствующих установившемуся режиму в колебательной системе (стационарным колебаниям), необходимо приравнять правую часть уравнения (5.1) нулю, так как при стационарном режиме амплитуда постоянна и, следовательно, производная от нее равна нулю. Из полученного алгебраического уравнения находим стационарные значения амплитуды. Однако для построения приближенных решений, соответствующих непосредственно стационарным колебаниям, можно указать более простой способ, чем изложенный выше. Рассмотрим сначала уравнение консервативной колебательной системы (2.1), которое можно записать в виде Согласно результатам § 2 стационарное решение этого уравнения во втором приближении имеет вид: где Исходя из выражений (6.2), естественно для получения высших приближений, соответствующих стационарному режиму, воспользоваться следующим приемом. Представим репение уравнения (6.1) в виде Заметим, что Решение уравнения (6.4) коэффициенты которых определим, подставив (6.5) и (6.6) в (6.4) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра Определяя из первых где которое будет удовлетворять уравнению (6.1) с точностью до величин порядка малости Потребуем, чтобы Подставляя (6.9) во второе уравнение системы (6.7), имеем: или, учитывая (6.3), Принимая во внимание требование периодичности функции откуда находим: Подставляя найденное значение откуда находим для При этом как выражение (6.13), так и выражение для Продолжая изложенный процесс, можем последовательно определить все функции В качестве примера определим стационарное решение в третьем улучшенном приближении (с точностью до величин порядка малости Для определения функций Из первого уравнения находим: После этого второе уравнение можно записать в виде или откуда имеем: Подставляя (6.16) и (6.19) в третье уравнение системы (6.15), получаем: или откуда находим: После этого последнее уравнение системы (6.15) может быть записано в виде: или из которого находим: Таким образом, принимая во внимание (6.8), (6.19), (6.22) и (6.25), получаем приближенное стационарное решение уравнения (6.14) с точностью до величин порядка малости где Перейдем теперь к построению приближенных решений для стационарных колебаний в неконсервативных системах. Для этого рассмотрим уравнение вида (1.1) Стационарное решение (улучшенное первое приближение) этого уравнения согласно § 2 может быть записано в виде где Рассмотрим теперь случай, когда Приступая к изложению формальной методики построения стационарных решений уравнения (1.1), воспользуемся в основном способом, примененным выше для консервативных колебательных систем. Решение уравнения (6.28), соответствующее стационарным колебаниям, представим в виде где Будем искать функцию где Решаем первое из этих уравнений, полагая где Чтобы это уравнение имело относительно определяющие Решая өго, находим: где Покажем, как определяется где является известной периодической функцией где Напишем разложение для Кроме того, имеем: и поэтому уравнение (6.41) можно эаписать в виде Для того чтобы Первое из этих уравнений определяет причем После этого уравнение (6.45) можем записать в виде Решением этого уравнения будет: где где а амплитуда должна быть определена из уравнения Сравнивая полученное выражение для
|
1 |
Оглавление
|