Остановимся теперь на исследовании случая воздействия внешней возмущающей силы на релаксационную колебательную систему, характеризуемую уравнением типа
\[
\frac{d x}{d t}=\Phi(x)+\varepsilon E \cos v t,
\]
где, как и во второй главе, $\Phi(x)$ представляет определепиую на интервале $(a, b)$ двузначную функцию.
Для построения репения уравнения (18.1) целесообразно прежде всего преобразовать уравнение (18.1) с целью исключения из него неоднозначной функции $\Phi(x)$. Для этого будем исходить из некоторого частного периодического решения уравнения свободных релаксационных колебаний:
\[
\frac{d x}{d t}=\Phi(x) .
\]
Для определенности примем то из решений уравнения (18.2), в котором величина $x$ принимает минимальное значение при $t=0$.
Обозначая через (\”) частоту свободных релаксационных колебаний, напишем это периодическое решение в виде
\[
x=z(\omega t),
\]
где $z(\varphi)$ – некоторая периодическая функция $\varphi$ с периодом $2 \pi$.
Принимая во внимание результаты § 10, легко видеть, что производная $z^{\prime}(\varphi)$ в течение одного периода дважды терпит разрыв и что по абсолютной величине она всегда больше некоторой положительной постоянной.
Рис. 107.
Так, например, если двузначная функция $\Phi(x)$ имеет для верхней и нижней ветвей соответственно следующие значения:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\Phi(x)=\Phi_{1}=\text { const }, & a<x<b, \\
\Phi(x)=-\Phi_{0} \text { = const }, & a<x<b,
\end{array}\right\}
\]
то решение уравнения (18.2) (рис. 107) можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
x=a+\Phi_{1} t, \quad 0<t<\frac{b-a}{\Phi_{1}}, \\
x=b+\Phi_{0}\left[\frac{b-a}{\Phi_{1}}-t\right], \quad \frac{b-a}{\Phi_{1}}<t<(b-a)_{\frac{\pi}{} \Phi_{0}+\Phi_{1}}^{\Phi_{0} \Phi_{1}}, \\
T=\frac{2 \pi}{\omega}=(b-a) \frac{\Phi_{0}+\Phi_{1}}{\Phi_{0} \Phi_{1}}
\end{array}
\]
и, следовательно,
\[
(1)=\frac{2 \pi}{b-a} \frac{\Phi_{0} \Phi_{1}}{\Phi_{0}+\Phi_{1}} .
\]
Обозначим:
\[
\varphi_{0}=2 \pi \frac{\Phi_{0}}{\Phi_{0}+\Phi_{1}},
\]
тогда периодическое решение $z(\varphi)$ можно записать следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
z(\varphi)=a+\frac{b-a}{\varphi_{0}} \varphi, \quad 0<\varphi<\varphi_{0}, \\
z(\varphi)=a+\frac{b-a}{\varphi_{0}} \frac{\Phi_{0}}{\Phi_{1}}(2 \pi-\varphi), \varphi_{0}<\varphi<2 \pi .
\end{array}\right\}
\]
Заметим теперь, что, поскольку выражение (18.8) представляет решение уравнения (18.2), функция $z(\varphi)$ должна удовлетворять тождественно следующему соотношению:
\[
\omega z^{\prime}(\varphi)=\Phi[z(\varphi)] .
\]
Сделаем теперь в уравнении, описывающем вынужденные колебания (18.1), замену переменных.
Введем вместо неизвестной $x$ новую неизвестную $\varphi$ посредством формулы
\[
x=z(\varphi) .
\]
дифференцируя (18.10) и подставляя в (18.1), получим:д
\[
z^{\prime}(\varphi) \frac{d \varphi}{d t}=\Phi[z(\varphi)]+\varepsilon E \cos v t
\]
или, учитывая тождество (18.9):
\[
\frac{d \varphi}{d t}=\omega+\frac{\varepsilon E \cos v t}{z^{\prime}(\uparrow)} .
\]
Преобразованное уравнение (18.12) уже не содержит в правой части неоднозначных функций.
Для удобства построения приближенных решений дифференциальных уравнений обычно желательно, чтобы правая часть была регулярной функцией. В уравнении (18.12) правая часть ввиду наличия в знаменателе разрывной функции $z^{\prime}(\varphi)$ не удовлетворяет условию регулярности.
Для регуляризации уравнения (18.12) достаточно обратить роли переменных $t$ и $\varphi$ и в дальнейшем считать $\varphi$ независимой переменной; a $t$ неизвестной функцией $\varphi$, определяемой диффференциальным уравнением
\[
\frac{d(v t)}{d \varphi}=\frac{\vartheta}{\omega+\frac{\varepsilon E \cos v t}{z^{\prime}(\varphi)}} .
\]
Если обозначить через $\gamma$ положительную постоянную, такую, что
\[
|\Phi(x)|>\gamma, \quad a<x<b,
\]
то согласно (18.9) и (18.10) имеем:
\[
\omega\left|z^{\prime}(\varphi)\right|>\gamma .
\]
Предположим, что амплитуда $\varepsilon E$ внешней возмущающей силы меньше $\gamma$. Тогда знаменатель в правой части (18.13) положителен и сама правая часть уравнения (18.13) является аналитической функцией неизвестной $t$. Уравнения типа (18.13) исследовались А. Пуанкаре и А. Данжуа. Однако при помощи результатов, полученных ими, можно выяснить только качественный характер решений. Для получения методики, дающей возможность производить количественные расчеты, воспользуемся методом усреднения, кратко изложенным в главе I.
Для приложения результатов § 1 к уравнению (18.13) разложим правую часть уравнения (18.13) в ряд по степеням $\varepsilon$. Имеем:
\[
\frac{d(
u t)}{d \varphi}=\frac{
u}{\omega}-\frac{\varepsilon
u E}{\omega^{2}} \frac{\cos v t}{z^{\prime}(\varphi)}+\frac{\varepsilon^{2}
u E^{2}}{\omega^{3}} \frac{\cos ^{2}
u t}{\left[z^{\prime}(\varphi)\right]^{2}}-\varepsilon^{3} \ldots
\]
Будем исследовать уравнение (18.16) для резонансного случая. Предположим, что отношение $\frac{\mu_{v}}{\omega}$ близко к некоторому рациональному числу $\frac{p}{q}$, где, как и выше, $p$ и $q$, вообще говоря, небольшие взаимно простые числа.
Тогда, полагая
\[
\frac{
u}{\omega}=\frac{p}{q}+\varepsilon \Delta
\]
и вводя новую переменную $\tau$ по формуле
\[
\tau=v t-\frac{p}{q} \varphi,
\]
окончательно уравнение (18.16) можем записать в виде
\[
\begin{aligned}
\frac{d \tau}{d \varphi}=\varepsilon\{\Delta & \left.-\frac{p}{q} \frac{E}{\omega} \frac{\cos \left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\varphi)}\right\}+ \\
& +\varepsilon^{2}\left\{\frac{p E^{2}}{q \omega^{2}} \frac{\cos ^{2}\left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\left[z^{\prime}(\varphi)\right]^{2}}-\frac{\Delta E^{\prime}}{\omega} \frac{\cos \left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\varphi)}\right\}+\varepsilon^{3} \ldots
\end{aligned}
\]
Уравнение типа (18.18) мы условились выше называть уравнением в стандартной форме.
Приближенное решение этого уравнения может быть построено иа основании принципа усреднения.
В шервом приближении согласно результатам § 1 главы I решение уравнения (18.18) будет:
\[
\tau=\xi,
\]
где $\xi$ определяется из усредненного уравнения
\[
\frac{d \xi}{d \varphi}=\varepsilon \Delta-\frac{\varepsilon p E}{q \omega} M_{\varphi}\left\{\frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\varphi)}\right\} .
\]
Раскроем операцию усреднения в правой части полученного уравнения. Для этого необходимо разложить функцию $\frac{1}{\omega z^{\prime}(\varphi)}$ в ряд Фурье.
Имеем:
\[
\frac{1}{\omega z^{\prime}(\varphi)}=\frac{1}{\Phi[z(\varphi)]}=A_{0}+\sum_{n
eq 0} A_{n} \cos \left(n \varphi+\vartheta_{n}\right) .
\]
Заметим теперь, что выражение
\[
M_{\varphi}\left\{\cos \left(n \varphi+\theta_{n}\right) \cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)\right\}
\]
может быть отлично от нуля лишь при $\frac{p}{q}=n$. В этом случае имеем:
\[
\underset{\varphi}{M}\left\{\cos \left(n \varphi+\vartheta_{n}\right) \cos (\xi+n \varphi)\right\}=\frac{1}{2} \cos \left(\xi-\vartheta_{n}\right) .
\]
Таким образом, если $\frac{p}{q}
eq n$, где $n$ – целое число, то уравнение первого приближения (18.20) вырождается в следующее:
\[
\frac{d \xi}{d \varphi}=\varepsilon \Delta,
\]
из которого находим:
\[
\tau=\xi=\varepsilon \Delta \varphi+\text { const },
\]
$\mathbf{T}$, $\boldsymbol{\theta}_{\text {, }}$
\[
u t-\frac{p}{q} \varphi=\left(\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}\right) \varphi+\text { const, }
\]
или
\[
\varphi=\omega t+\varphi_{0},
\]
и, следовательно, в первом приближении
\[
x=z\left(\omega t+\varphi_{0}\right) .
\]
Итак, в случае, если $\frac{p}{q}
eq n$, мы получаем для вынужденных колебаний в первом приближении такое же выражение, как и для свободных колебаний, когда внешняя сила $\varepsilon E \cos v t$ на систему не воздействует.
Таким образом, в первом приближении влияние малой внешней силы на форму и частоту колебаний оказывается пренебрежимым в случае, когда ее частота не является достаточно близкой к одному из обертонов собственной частоты.
Рис. 108.
Рассмотрим теперь случай, когда $\frac{p}{q}$ равно некоторому целому числу $m$, что соответствует субгармоническому резонансу $\omega \approx \frac{v}{m}$.
Из уравнения (18.20) находим:
\[
\frac{d \xi}{d \varphi}=\frac{
u}{\omega}-m-\frac{\varepsilon m A_{m}}{2} \cos \left(\xi-\vartheta_{m}\right) .
\]
Полученное уравнение значительно проще, чем соответствующие уравнения первого приближения (14.39) для системы, рассмотренной в § 14 настоящей главы, где мы получили систему двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных – амплитуды и полной фазы колебания. В рассматриваемом случае релаксационных колебаний имеем лишь одно дифференциальное уравнение относительно фазового угла $\xi$, которое к тому же интегрируется в квадратурах.
Характер решений уравнения (18.25) можно обнаружить и непосредственно, не производя предварительно его интегрирования.
Пусть, например,
\[
\left|\frac{\vee}{\omega}-m\right|<\left|\frac{\varepsilon m A_{m}}{2}\right|
\]
Тогда производная $\frac{d \xi}{d \varphi}$ будет знакопеременной функцией $\xi$ вида, изображенного на рис. 108.
Таким образсм, очевидно, существуют постоянные решения $\xi_{i}$, являющиеся корнями уравнения
\[
F(\xi)=\frac{
u}{\omega}-m-\frac{\varepsilon m A_{m}}{2} \cos \left(\xi-\vartheta_{m}\right)=0 .
\]
При этом те из решений, для которых
\[
F^{\prime}(\xi)=\frac{\xi m A_{m}}{2} \sin \left(\xi-\vartheta_{m}\right)>0,
\]
неустойчивы, а те решения, для которых
\[
F^{\prime}(\xi)=\frac{\varepsilon m A_{m}}{2} \sin \left(\xi-\vartheta_{m}\right)<0,
\]
устойчивы.
Так как в рассматриваемом случае $\xi=\tau=v t-m \varphi$, имеем:
\[
x=z\left[\frac{v t-\xi}{m}\right],
\]
откуда очевидно, что вынужденные релаксадионные колебания с течением времени приближаются к установившимся периодическим колебаниям, соответствующим различным ксрням уравнения (18.27) и совершающимся с частотой, точно равной субгармонике $\frac{
u}{\boldsymbol{m}}$ частоты у внешней силы.
Таким образом, для значений частоты $
u$, лежащей внутри резонансной полосы, определенной неравенствсм (18.26):
\[
m-\left|\frac{\varepsilon m A_{n}}{2}\right|<\frac{
u}{\omega}<m+\left|\frac{\varepsilon m A_{n}}{2}\right|,
\]
имеет место явление синхронизации.
Ширина резонансной зоны в первом приближении
\[
\left|s m A_{m}\right| \text {, }
\]
как видно, пропорциональна амплитуде внешней силы.
Рассмотрим теперь случай, когда $
u$ лежит вне резонансной зоны и, следовательно:
\[
\left|\frac{{ }_{v}}{\omega}-m\right|>\left|\frac{\varepsilon m A_{m}}{2}\right| .
\]
В этом случае согласно уравнению (18.25) очевидно, что производная $\frac{d \xi}{d \varphi}$ имеет постоянный знак, рі вный знаку разности $\frac{
u}{\omega}-m$.
Интегрируя уравнения (18.25), получаем:
\[
\varphi=\int_{0}^{\xi} \frac{d \xi}{\frac{
u}{\omega}-m-\frac{\varepsilon m A_{m}}{2} \cos \left(\xi-\vartheta_{m}\right)}+\text { const },
\]
откуда находим:
\[
\varphi=\frac{\xi}{\alpha}+\frac{1}{\alpha} f(\xi)+\vartheta_{0},
\]
где
\[
\alpha=\left(\frac{
u}{\omega}-m\right) \sqrt{1-\frac{\varepsilon^{2} m^{2} A^{2}{ }_{2}}{4\left(m-\frac{
u}{\omega}\right)^{2}}},
\]
$\vartheta_{0}$ – произвольная постоянная, $f(\xi)$-периодическая функция $\xi$ с периодом $2 \pi$ :
\[
f(\xi)=\frac{1}{\pi} \operatorname{arctg} \frac{\cos \left(\frac{\xi-9_{m}-\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\xi-\vartheta_{m}+\beta}{2}\right)} .
\]
Здесь
\[
\beta=\arccos \frac{\varepsilon m A_{m}}{2\left(m-\frac{
u}{\omega}\right)}, \quad 0<\beta<\pi .
\]
Обращая (18.31), получим:
\[
\xi=\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)+F\left\{\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)\right\},
\]
где $F(\vartheta)$ – периодическая функция $\vartheta$ с периодом $2 \pi$.
Замечая, что в шринятом приближении
\[
\xi=\tau=
u t-m \varphi,
\]
из (18.34) имеем:
\[
v t=m \varphi+\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)+F\left\{\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)\right\} .
\]
Положим
\[
\alpha\left(\varphi-\vartheta_{0}\right)=\theta ;
\]
тогда
\[
\varphi=\vartheta_{0}+\frac{\theta}{\alpha}
\]
и
\[
(m+\alpha) \theta+\alpha F(\theta)=\alpha\left(v t-m \vartheta_{0}\right),
\]
откуда, решая это уравнение относительно $\theta$, находим:
\[
\theta=\frac{\alpha\left(v t-m \vartheta_{0}\right)}{m+a}+\alpha \sigma\left\{\frac{\alpha\left(v t-m \vartheta_{0}\right)}{m+\alpha}\right\},
\]
где $\sigma(\vartheta)$ – периодическая функция $\vartheta$ с периодом $2 \pi$.
Подставляя значения $\theta$ (18.37) в правую часть (18.31), получаем:
\[
\varphi=Q_{p} t+\varphi_{1}+\sigma\left[m\left(Q_{s}-Q_{p}\right) t-m \varphi_{1}\right],
\]
где обозначено:
\[
\begin{array}{l}
Q_{p}=\frac{
u}{m+\alpha}, Q_{s}=\frac{
u}{m} . \\
\varphi_{1}=\frac{\vartheta_{0} \alpha}{m+\alpha}=\text { const. }
\end{array}
\]
Подставляя (18.38) в (18.28), находим окончательно приближенное выражение для вынужденных релаксационных колебаний в виде
\[
x=z\left\{Q_{p} t+\varphi_{1}+\sigma\left[m\left(\Omega_{8}-\Omega_{p}\right) t-m \varphi_{1}\right]\right\} .
\]
Таким образом, в рассматриваемом случае колебания являются кратно периодическими и совершаются с двумя основными частотами с частотой $Q_{p}$, которую можно было бы назеать измененной собстьенной частотой, так как $\mathrm{Q}_{p}=\omega$ при $\varepsilon=0$, и с частотой биений
\[
\left|m\left(Q_{s}-Q_{p}\right)\right|=\left|\frac{a
u}{m+\alpha}\right| \approx \sqrt{(
u-m \omega)^{2}-\frac{\varepsilon^{2} m^{2} A_{n}^{2}}{4}},
\]
представляющей разностный тон между частотой внешней силы $
u=m Q$, и $m$-м обертоном измененной собственной частоты.
Заметим, что при приближении у к границе резонансной зоны $\alpha \rightarrow 0$ а потому стремится к нулю и частота биений.
Кроме того, нетрудно показать, что при удалении от резопанса интенсивность биений, определяемых функцией $\sigma$, уменьшается и измененная собственная частота $Q_{p}$ приближается $\kappa$ своему значению (, соответствующему свободным колебаниям.
Перейдем теперь к построению второго приближения. Для этого прежде всего найдем выражение улучшенного первого приближения.
Рассмотрим сначала общий случай произвольного рационального значения отношения $\frac{p}{q}$.
Воспользовавшись разложением Фурье (18.21), получаем для коэффициента при первой степени в в правой части уравнения (18.20) выражение
\[
\begin{array}{l}
\Delta-\frac{p}{q \omega} \frac{\cos \left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\psi)}=\Delta-\frac{p}{q} A_{0} \cos \left(\tau+\frac{p}{q} \varphi\right)- \\
\left.-\frac{p}{q} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}}{2}\left\{\cos \left[\left(n+\frac{p}{q}\right)\right\} \varphi+\tau+\vartheta_{n}\right]+\cos \left[\left(n-\frac{p}{q}\right) \varphi-\tau+\vartheta_{n}\right]\right\} .
\end{array}
\]
Поэтому улучшенное шервое приближение будет иметь следующий вид:
\[
\tau=\xi+s u(\varphi, \xi),
\]
где
\[
\begin{array}{c}
u(\varphi, \xi)=-A_{0} \sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)-\frac{p}{q} \sum_{n+0} \frac{A_{n}}{2} \frac{\sin \left\{\left(n+\frac{p}{q}\right) \varphi+\xi+\vartheta_{n}\right\}}{n+\frac{p}{q}}- \\
-\frac{p}{q} \sum_{\left(\begin{array}{l}
\left.n
eq \frac{p}{q}\right) \\
n
eq 0,
\end{array}\right.} \frac{A_{n}}{\frac{\sin \left\{\left(n-\frac{p}{q}\right) \varphi-\xi+\vartheta_{n}\right\}}{n-\frac{p}{q}}} .
\end{array}
\]
Подставляя значение $\tau$ (18.41) в уравнение (18.20) и усредняя по $\psi$, получим уравнение второго приближения:
\[
\begin{array}{r}
\left.\frac{d \xi}{d \varphi}=z-\frac{p}{q} M_{\varphi}\left[\frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)}\right]\right\}+\varepsilon^{2} M_{\varphi}\left[\frac{p}{q} \frac{\sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)} u(\varphi, \xi)+\right. \\
\left.+\frac{p}{q} \frac{\cos ^{2}\left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\left[\omega z^{\prime}(\varphi)\right]^{2}}-\frac{\Delta}{\omega} \frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{z^{\prime}(\varphi)}\right] .
\end{array}
\]
Рассмотрим сначала нерезонансный случай, когда отношение $\frac{p}{q}$ не равно ни целому, ни половине целого числа, и следовательно, когда частота внешней силы не лежит вблизи обертонов собственной частоты – $n \omega$ и ее половины – $\frac{n \omega}{2}$.
Заметим, что в принятом нерезонансном случае для любых целых $n$ и $m$ имеем неравенства
\[
n
eq \frac{p}{q}, \quad n+\frac{p}{q}
eq m-\frac{p}{q} .
\]
Далее, на основании (18.21) имеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)}=A_{0} \cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)+ \\
+\frac{1}{2} \sum_{n
eq 0} A_{n}\left\{\cos \left[\left(n+\frac{p}{q}\right) \varphi+\xi+\vartheta_{n}\right]+\right. \\
\left.+\cos \left[\left(n-\frac{p}{q}\right) \varphi-\xi+\vartheta_{n}\right]\right\}, \\
\frac{\sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)}=A_{0} \sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)+ \\
+\frac{1}{2} \sum_{n
eq 0} A_{n}\left\{\sin \left[\left(n+\frac{p}{q}\right) \varphi+\xi+\vartheta_{n}\right]-\right. \\
\left.-\sin \left[\left(n-\frac{p}{q}\right) \varphi-\xi+\vartheta_{n}\right]\right\} . \\
\end{array}
\]
Поэтому, учитывая (18.42) и (18.44), можем написать:
\[
\begin{array}{c}
M\left\{\frac{\cos \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)}\right\}=0, \\
\underset{\varphi}{M}\left\{\frac{\cos ^{2}\left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\left[\omega z^{\prime}(\varphi)\right]^{2}}\right\}=\frac{1}{2} A_{0}^{2}+\frac{1}{4} \sum_{n
eq 0} A_{n}^{2}, \\
\underset{\varphi}{M}\left\{\frac{\sin \left(\xi+\frac{p}{q} \varphi\right)}{\omega z^{\prime}(\varphi)} u(\varphi, \xi)\right\}=-\frac{A_{0}^{2}}{2}+\frac{p}{q} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}^{2}}{8}\left[\frac{1}{n-\frac{p}{q}}-\frac{1}{n+\frac{p}{q}}\right] .
\end{array}
\]
После этого уравнение второго приближения (18.43) принимает следующий вид:
\[
\frac{d \xi}{d \varphi}=\varepsilon \Delta+\varepsilon^{2} \gamma=\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}+\varepsilon^{2} \gamma,
\]
где обозначено
\[
\gamma=\frac{p}{q} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}^{2}}{4} \frac{n^{2}}{n^{2}-\frac{p^{2}}{q^{2}}} .
\]
Интегрируя уравнение (18.45), находим:
где $\xi_{0}$ – произвольная постоянная. Принимая во внимание (18.41), получаем следующую формулу второго приближения:
\[
\tau=
u t-\frac{p}{q} \varphi=\left[\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}+s^{2} \gamma\right] \varphi+\xi_{0}+s u\left[\varphi,\left(\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}+\varepsilon^{2} \gamma\right) \varphi+\xi_{0}\right] \text {, }
\]
из которой с точностью до величин второго порядка малости включительно получаем:
\[
\varphi=\frac{
u t-\xi_{0}}{\frac{
u}{\omega}+\varepsilon^{2} \gamma}-\frac{\omega}{
u} \varepsilon u\left\{\frac{
u t-\xi_{0}}{\frac{
u}{\omega}+\varepsilon^{2} \gamma},\left[\frac{
u}{\omega}-\frac{p}{q}+\varepsilon^{2} \gamma\right] \frac{
u t-\xi_{0}}{\frac{
u}{\omega}+\varepsilon^{2} \gamma}+\xi_{0}\right\} .
\]
Полагая здесь:
\[
Q_{p}=\frac{\omega}{1+s^{2} \gamma \frac{\omega}{
u}}, \varphi_{0}=-Q_{p} \frac{\xi_{0}}{
u},
\]
имеем:
\[
\varphi=\Omega_{p} t+\varphi_{0}-\varepsilon u\left\{Q_{p} t+\varphi_{0},\left(
u-\frac{p}{q} Q_{p}\right) t-\frac{p}{q} \varphi_{0}\right\} \frac{\omega}{
u} .
\]
Итак, в нерезонансном случае получаем следующие выражения второго приближения для вынужденных релаксационных колебаний:
\[
\begin{array}{c}
x=z(\varphi), \\
\varphi=Q_{p} t+\varphi_{0}+\frac{p \omega}{q
u} \sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon A_{n}}{2\left(n+\frac{p}{q}\right)} \sin \left[n\left(Q_{p} t+\varphi_{0}\right)+
u t+\vartheta_{n}\right]+ \\
+\frac{p \omega}{q
u} \sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon A_{n}}{2\left(n-\frac{p}{q}\right)} \sin \left[n\left(Q_{p} t+\varphi_{0}\right)-
u t+\vartheta_{n}\right]+\varepsilon A_{0} \sin v t,
\end{array}
\]
где согласно (18.48) с принятой нами степенью точности
\[
Q_{p}=\omega-\sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon^{2} A_{n}^{2}}{4} \frac{n^{2} \omega}{n^{2}-\frac{p^{2}}{q^{2}}} .
\]
Из полученных формул второго приближения нетрудно исключить вспомогательную величину – отношение $\frac{p}{q}$. Так как разность $\frac{v}{\omega}-\frac{p}{q}$ первого порядка малости, то формулы (18.50) верны с точностью до величин второго, а формула (18.51) до величин третьего порядка малости. С такой же степенью точности можем написать: :
\[
\left.\begin{array}{c}
x=z(\varphi), \\
\varphi=Q_{p} t+\varphi_{0}+\sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon A_{n} \omega}{2(n \omega+
u)} \sin \left\{n\left(Q_{p} t+\varphi_{0}\right)+
u t+\vartheta_{n}\right\}+\cdots \\
+\sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon A_{n} \omega}{2(n \omega-
u)} \sin \left\{n\left(Q_{p} t+\varphi_{0}\right)-
u t+\vartheta_{n}\right\}+\varepsilon A_{0} \sin v t, \\
\mathrm{Q}_{p}=\omega-\sum_{n
eq 0} \frac{\varepsilon^{2} A_{n}^{2}}{8}\left[\frac{n \omega}{n \omega-
u}+\frac{n \omega}{n \omega+
u}\right] .
\end{array}\right\}
\]
Найденное решение соответствует асинхронному режиму колебаний. Здесь колебания будут квазипериодическими с двумя основными частотами $
u$ и $Q_{p}$.
Изменение фазового угла $\varphi$ представляется здесь как вращение с постоянной угловой скоростью, равной $Q_{p}$, на которое налагаются колебания с малой амплитудой, с частотами $у, n \mathrm{Q}_{p}-v, n Q_{p} H \cdot$.
Перейдем теперь к построению второго приближения в резонансном случае.
Для исследования резонансного случая следует взять отношение $\frac{p}{q}$ равным целому или половине целого числа. Если положим $\frac{p}{q}=m$, то в качестве уравнения второго приближения получим уравнение, отличающееся от (18.25) на члены второго порядка малости. С помощью этого уравнения мы можем уточнить положение и щирину резонансной зоны, уточнить значение измененной собственной частоты асинхронных колебаний и т. д.
Не останавливаясь на этом, рассмотрим случай, когда отношение $\frac{p}{q}$ является половиной целого числа:
\[
\frac{p}{q}=\frac{2 m+1}{2} .
\]
Для раскрытия операции усреднения в уравнении второго приближения (18.43) заметим, что согласно (18.42) имеем:
\[
\begin{array}{l}
u(\varphi, \xi)=-A_{0} \sin \left(\xi+\frac{2 m+1}{2} \varphi\right)- \\
-\frac{2 m+1}{2} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}}{2} \frac{\sin \left[\left(n+\frac{2 m+1}{2}\right) \varphi+\xi+\vartheta_{n}\right]}{n+\frac{2 m+1}{2}}- \\
-\frac{2 m+1}{2} \sum_{n
eq 0} \frac{A_{n}}{2} \frac{\sin \left[\left(n-\frac{2 m+1}{2}\right) \varphi-\xi+\vartheta_{n}\right]}{n-\frac{2 m+1}{2}} ;
\end{array}
\]
подставляя значение (18.53) в правую часть уравнения (18.43), после ряда выкладок находим:
\[
\frac{d \xi}{d t}=\frac{
u}{\omega}-\frac{2 m+1}{2}+s^{2} \gamma-\varepsilon^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m} \cos \left(2 \xi+\psi_{m}\right),
\]
где обозначено
\[
\left.\begin{array}{l}
S_{m} \sin \psi_{m}=\underset{\varphi}{M}\left\{\frac{\sin (2 m+1) \varphi}{\left[\omega z^{\prime}(\zeta)\right]^{2}}\right\}, \\
S_{m} \cos \psi_{m}=-M\left\{\frac{\cos (2 m+1) \varphi}{\left[\omega z^{\prime}(\tau)\right]^{2}}\right\} \cdot
\end{array}\right\}
\]
Полученное уравнение (18.54) отличается от уравнения (18.45) для нерезонансного случая наличием слагаемого
\[
\text { 8. } \frac{2 m+1}{4} S_{m} \cos \left(2 \xi-\psi_{m}\right) .
\]
Так же как и в случае первого приближения, нетрудно видеть, что резонансная зона определяется неравенством
\[
-\varepsilon^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m}<\frac{
u}{\omega}-\frac{2 m+1}{2}+\varepsilon^{2} \gamma<\varepsilon^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m}
\]
или, вводя измененную собственную частоту $Q_{p}$ с той же степенью точности, неравенством
\[
-\mathrm{s}^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m}<\frac{
u}{\Omega_{p}}-\frac{2 m+1}{2}<\varepsilon^{2} \frac{2 m+1}{4} S_{m} .
\]
Итак, рассматривая первое приближение, мы нашли резонансные зоны только для $
u$, лежащих в окрестности $m \omega$, причем ширина их оказалась пропорциональной первой степени з; во втором приближении обнаруживаются дополнительные резонансные зоны для $
u$, лежащих в окрестности $\frac{2 m+1}{2} \omega$, и ширина этих «вторичных» зон пропорциональна \”квадрату ะ.
Анализ высших приближений указал бы также на наличие резонансных зон для $
u \approx \frac{p}{q} \omega, q=3,4, \ldots$ с шириной порядка $\varepsilon^{q}$.
