Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Проблема обоснования асимптотических методов может исследоваться с различных точек зрения. Можно, например, искать условия, при которых разность между точным решением и его асимптотическим приближением для достаточно малых значений параметра становится сколь угодно малой на сколь угодно большом, но все же конечном интервале времени. Можно также поставить и значительно более сложные задачи, пытаясь устанавливать соответствие между такими свойствами точных п приближенных решений, которые зависят от их поведения на бесконечном интервале. В настоящем параграфе мы будем рассматривать первую задачу как болео простую. Поскольку излагавшиеся ранее асимптотические методы допускают приведение к методу усреднения, мы для общности сформулируем ее применительно к системе дифференциальных уравнений в стандартной форме. и приступим к доказательству теоремы, устанавливающей, что при весьма общих условиях разность $x(t)-\xi(t)$ может быть сделана сколь угодно малой для достаточно малого \& на сколь угодно большом интервале $0<t<T$. Так как $\xi(t)$ зависит от $t$ через посредство произведения $\varepsilon t$, то для того, чтобы в течение указанного интервала времени $\xi$ могло успеть значительно отойти от своего начального значения, т. е. чтобы этот ин тервал оказался достаточно длительным с точки зрения изменения $\xi$, за $T \boldsymbol{d}$ следует брать величину порядка $\frac{L}{\varepsilon}$, где $L$ может быть сделано сколь угодно большим при достаточно малом $s$. Сформулируем поэтому утверждение о малости ошибки $x(t)-\xi(t)$ первого приближения следующим образом. Тогда любым, сколь угодно малым положительным $\rho$, $\eta$ и сколь угодно большому $L$ можно сопоставить такое положительное $\varepsilon_{0}$, что если $\xi=\xi(t)$ есть решение уравнения определенное в интервале $0<t<\infty$ и лежащее в области $D$ вместе со всей своей $\rho$-окрестностью $*$ ), то для $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$ в интервале $0<t<\frac{L}{\varepsilon}$ справедливо неравенство в котором $x=x(t)$ представляет решение уравнения совпадающее с $\xi(t)$ при $t=0$. где положительная постоянная $A_{a}$ определяется соотношением в котором интегрирование выполняется по всему рассматриваемому пространству $E_{n} ; d x$ обозначает бесконечно малый элемент обычного $n$-мерного евклидова объема. Очевидно, введенная функция $\Delta_{a}(x)$ ограничена вместе со своими частными производными до второго порядка включительно. Так как эта функция и ее производные тождественно равны нулю для $|x|>a$, нетрудно убедиться, что интеграл оказывается конечным для всякого положительного $a$. Заметив это, рассмотрим функцию В силу условия б) можно построить такую монотонно убывающую функцию $f(t)$, стремящуюся к нулю при $t \rightarrow \infty$, что во всей области $D$ Имеем поэтому Далее имеем: или ввиду (26.7) С другой стороны, благодаря условию а) и потому Заметим теперь из (26.8), что откуда на основании (26.13) убеждаемся, что в области $D$ справедливо неравенство Но по определению функции $\Delta_{a}(x)$ для любой точки $x$, $a$-окрестность которой принадлежит $D$, имеем: и таким образом, соотношение (26.14) для таких точек дает: Фиксируем теперь число $a$ так, чтобы и введем функции Иंмеем, очевидно, Поэтому можем найти столь малое положительное $\varepsilon_{0}$, чтобы для всякого положительного $\varepsilon$, не превосходящего $\varepsilon_{0}$, удовлетворялись неравенства Произведя такой выбор, рассмотрим выражение где $\xi(t)$ есть решение уравнения (26.2), принадлежащее со своей $\rho$-окрестностью к области $D$. Благодаря (26.10), (26.16), (26.17) имеем: в интервале и потому в этом интервале $\bar{x}(t) \in D$. где Отсюда вследствие неравенства, (26.10), (26.11), (26.12), п, таким образом, в рассматриваемом интервале (26.20) найдем: или ввиду (26.16), (26.17) так что Пусть теперь $x=x(t)$ представляет решение уравнения (26.1), для которого $x(0)=\xi(0)$. в котором $x(t) \in D$, можно написать: откуда благодаря (26.21) замечаем, что и так как разность $x-\bar{x}$ аннулируется при $t=0$, то Поэтому на основании (26.22) видим, что в интервале $(26,23$ ) выполняются неравенства из которых вследствие (26.18), (26.19) убеждаемся, что Покажем теперь, что число $t^{*}$ может быть взято равным $\frac{L}{\varepsilon}$, не может выполняться во всем интервале $\left(0, \frac{L}{\varepsilon}\right.$ ), так как в последнем случае мы имели бы $x(t) \in D$ для всякого $t$ из $\left(0, \frac{L}{\varepsilon}\right)$. Но так как неравенство (26.25) заведомо выполняется для достаточно малых $t$, то из соображений непрерывности ясно, что существует такое $t_{1}$, что в интервале $\left(0, t_{1}\right)$ это неравенство выполняется и, кроме того, где ${ }_{-3}$ за может быть взято любое сколь угодно малое число. Возьмем и положим $t^{*}=t_{1}$, что возможно, так как на сегменте $\left[0, t_{1}\right]$ точка $x(t)$ принадлежит к области $D$. Но тогда в силу (26.24) что противоречит (26.26). Заметим теперь, что если область $D$ ограничена (лежит в ограниченной части рассматриваемого евклидова пространства), то в условии б) можно исключить требование равномерности и сформулировать б) как условие существования предела (26.4) в каждой точке этой области. В самом деле, ввиду условия а) функции удовлетворяют перавенству и таким образом, последовательность этих функций при $T \rightarrow \infty$ является равностепенно-непрерывной. Но так как область $D$, будучи ограниченной, компактна, то всякая равностепени-непрерывная последовательность, сходящаяся в каждой точке $D$, оказывается вместе с тем и равномерно сходящейся. Заметим далее, что так как для всякой почти периодической функции $f(t)$ существует предел то в случае ограниченности области $D$ условие б) удовлетворяется, если выражение $X(t, x)$ для каждого $x$ из $D$ оказывается почти периодической функцией переменной $t$. Мы рассматривали здесь вопрос о погрешности первого приближения. Одпако не предетавляет никаких затрудпений получить асимптотические оценки погрепностп и для высших приближений.
|
1 |
Оглавление
|