Главная > АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НЕАИНЕИНЫХ КОЛЕБАНИЙ (Н.Н.БОГОМЮБОВ, ЮА.МИТРОПОЛЬСКИЙ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Перейдем теперь к рассмотрению колебательных систем со многими степенями свободы, находящихся под воздействием внепних периодических обобщенных сил, зависящих явно от времени и имеющих следующий вид:
Qr(vt,q1,,qN,q˙1,,q˙N,ε)=εQr(1)(vt,q1,,qN,q˙1,,q˙N)++ε2Qr(2)(vt,q1,,qN,q˙1,,q˙N)+(r=1,2,,N)

Тогда мы приходим к рассмотрению системы N уравнений второго порядка:
s=1N(arsq¨s+crsqs)=εQr(1)(vt,q1,,qN,q˙1,,q˙N)++ε2Qr(2)(vt,q1,,qN,q˙1,,q˙N)+(r=1,2,,N)

в которой, как и в предыдущем параграфе, qr(r=1,2,,N) — обобщенные координаты, ars=asr,crs=csr — постоянные.
Предположим, как и в §13, что функции Qr(vt,q1,,qN,q˙1,
,q˙N,ε)(r=1,2,,N) являются периодическими по отношению к vt с периодом 2π и могут быть представлены в виде конечных сумм Фурье с коэфициентами, являющимися некоторыми полиномами по отношению к qr,q˙r(r=1,2,,N).

Кроме того, предположим, что для невозмущенной системы уравнений:
s=1N(arsq¨s+crsqs)=0(r=1,2,,N)

выполняются условия, шриведенные в § 21, стр. 261.
При этих предположениях будем искать решения системы (22.2), соответствующие одночастотному режиму, близкому к какому-либо нормальному колебанию, для определенности положим к нормальному колебанию с частотой ω1. При этом будем рассматривать как нерезонансные случаи, так и резонансные.

Ввиду того, что исследование одночастотных режимов формально сводится к исследованию некоторого одного эквивалентного уравнения второго порядка вместо системы N уравнений второго порядка, то при построении приближеных решений для системы (22.2) воспользуемся, кроме методики и результатов предыдущих двух параграфов, также результатами главы III.

В нерезонансном случае*), исходя из соображений, приведенных в § 13 (стр. 158), решение системы (22.2) следует искать в виде асимптотических рядов
qs=qs(1)acosψ+εus(1)(a,vt,ψ)+ε2us(2)(a,vt,ψ)+ε3(s=1,2,,N),

в которых us(1)(a,ψ,vt),us(2)(a,ψ,vt),(s=1,2,,N) — периодические по обеим угловым переменным с периодом 2π функции, а амплитуда a и фаза ψ должны быть определены из уравнений:
dadt=εA1(a)+ε2A2(a)+,dψdt=ω1+εB1(a)+ε2B2(a)+}

Для определения функций us(1)(a,vt,ψ),us(2)(a,vt,ψ),(s=1,2,N), A1(a),A2(a),,B1(a),B2(a), можем воспользоваться непосредственно результатами, полученными в § 13 для случая системы с одной степенью свободы.

Вместо системы (22.2), описывающей одночастотный колебательный режим, рассматриваем соответствующее ей одно уравнение второго порядка
m1(d2xdt2+ω12x)=r=1Nφr(1)Qr(vt,φ1(1)x,,φN(1)x,φ1(1)x˙,,φN(1)x˙,ε),

для которого, воспользовавшись непосредственно формулами (13.35),
*) Здесь под нерезонансным случаем мы подразумеваем случай, когда частота внешней силы u не совпадает ни с одной из собственных частот системы и не выполняются соотношения типа pqωk(k=1,2,,N), где p и q — делые взаимно простые числа.

находим:
εA1(a)=14π2m1ω102π02πεr=1Nφr(1)Qr0(1)(a,θ,ψ)sinψdθdψ,εB1(a)=14π2m1ω1a02π02πεr=1Nφr(1)Qr0(1)(a,θ,ψ)cosψdθdψ,}

где введены обозначения:
sQr0(1)(a,θ,ψ)=εQr(1)(θ,φ1(1)acosψ,,φN(1)acosψ,φ1(1)aω1sinψ,,,φN(1)aω1sinψ)(r=1,2,,N).

Далее, находим us(1)(a,ψ,vt)(s=1,2,,N) как вынужденные \»регуляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе (22.3) силами (22.8), которые представляем в виде сумм Фурье (т. е. внепними обобщенными силами в первом приближении, взятыми в режиме синусоидальных колебаний: qr=φr(1)acosψ,q˙r=φr(1)aω1sinψ(r=1,2,,N) :
εQr0(1)(a,ut,ψ)=εn,mQr0(1)(a)ei(nvt+mψ)(r=1,2,,N)

где
Qr0(1)(a)=14π202π02πQr0(1)(a,θ,ψ)ei(nθ+mψ)dθdψ(r=1,2,,N).

Итак, us(1)(a,vt,ψ)(s=1,2,,N) должны быть определены как вынужденные колебания из системы линейных дифференциальных уравнений:
s=1N(arsd2us(1)dt2+crsus(1))=εn,mQr0(1)(a)ei(nvt+m2ψ)(r=1,2,,N).

Здесь ψ=ω1t+ϑϑ
Искомые функции us(1)(a,vt,ψ)(s=1,2,,N) ищем в виде рядов
us(1)(a,vt,ψ)=n,mkn,m(s)(a)ei(nvt+mψ)(s=1,2,,N)

в которых коэффициенты kn,m(s)(a) подлежат определению.
Подставляя значения us(1)(a,vt,ψ)(s=1,2,,N)(22.12) в уравнения (22.11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем для определения коэффициентов kn,m(s)(a)(s=1,2,,N) случай, эквивалентно равенству
n2+(m21)2=0, или n=0,m=±1.

Таким образом, для «регуляризации» выражений (22.18) необходимо, чтобы при k=1 отсутствовали члены с гармониками e±iψ, а они как раз и будут отсутствовать благодаря нашему выбору функции (22.7). Итак, для us(1)(a1,vt,ψ)(s=1,2,,N) получаем выражения:
u8(1)(a,ut,ψ)=
=14π2n,m(neq0,meq1meq±1 для k=1)Nφs(k){02π02πr=1Nφr(k)Qr0(1)(a,θ,ψ)ei(nθ+mψ)dθdψ}ei(nvt+mψ)mk[ωk2(nv+mω1)2](s=1,2,,N).

Для определения функций A2(a) и B2(a) можем либо воспользоваться непосредственно формулами § 13 (формулы (13.37)), либо составить уравнения гармонического баланса, выражающие равенство коэффициентов при первой гармонике угла ψ в левой и правой частях уравнения (22.6) после подстановки в него значений x=acosψ, qs=φs(1)acosψ+εus(1)(a,vt,ψ)(s=1,2,,N) с учетом, разумеется, того, что a и ψ определяются уравнениями (22.5), причем все вычисления следует вести с точностью до величин второго порядка малости включительно.

После элементарных выкладок получаем для A2(a) и B2(a) следующие выражения:
A2(a)=12ω1m1[dB1(a)daaA1(a)+2A1(a)B1(a)]14π2ω1m102π02πr=1Nφr(1)Q¯r(2)(a,θ,ψ)sinψdθdψ,B2(a)=12ω1m1a[dA1(a)daA1(a)aB12(a)]14π2ω1m1a02π02πr=1Nφr(1)Q¯r(2)(a,θ,ψ)cosψdθdψ,}

где обозначено:
Q¯r(2)(a,θ,ψ)=Qr(2)(θ,φ1(1)acosψ,,φN(1)acosψ,φ1(1)aω1sinψ,,φN(1)aω1sinψ)+s=1N{Qr(1)qsus(1)(a,θ,ψ)++Qr(1)q˙s[φs(1)A1(a)cosψφs(1)aB1(a)sinψ+us(1)ψω1+us(1)t]}qs=φ(1)q˙s=φs(1)aω1sinψ(r=1,2,,N).

Перейдем к рассмотрению резонансного случая.
Ради простоты изложения вместо общего случая, когда
ω1pqu

где p и q-некоторые взаимно простые числа, рассмотрим случай; называемый главным резонансным, когда p=q=1. При этом заметим, что все рассуждения могут быть перенесены и на общий случай без существенных изменений.

Как уже нами выше указывалось, при рассмотрении резонансного случая, в зависимости от характера стоящей перед нами задачи, могут возникнуть два подхода к ее репению-исследование непосредственно резонансной области и изучение, помимо резонансной области, также подходов к ней из нерезонансной области.

Здесь мы рассмотрим второй, как наиболее общий случай, причем для нахождения соответствующих асимптотических формул опять воспользуемся результатами, полученными для системы с одной степенью свободы, в § 14 .

Исходя из рассуждений, приведенных на стр. 176, приближенные решения будем искать в виде рядов
qs=φs(1)acos(vt+ϑ)+εus(1)(a,vt,ψ)+ε2us(2)(a,vt,ψ)+(s=1,2,,N),

где ψ=vt+ϑ,us(1)(a,θ,ψ),us(2)(a,θ,ψ),(s=1,2,,N) периодические функции по обеим угловым переменным θ и & с периодом 2π, а a и ϑ должны быть определены как функции времени из системы дифференциальных уравнений
dadt=εA1(a,ϑ)+ε2A2(a,ϑ)+,dϑdt=ω1u+εB1(a,ϑ)+ε2B2(a,ϑ)+}

Для построения первого и второго приближения нам необходимо найти выражения для A1(a,ϑ),B1(a,ϑ),A2(a,ϑ),B2(a,ϑ) и us(1)(a,vt,ψ) (s=1,2,,N).

Для определения A1(a,ϑ) и B1(a,ϑ) сразу же составляет систему, аналогичную уравнениям (14.34).

Для этого в уравнениях (14.34) необходимо заменить ω на ω1, учесть наличие обобщенной массы m1 п вместо f0(a,θ,ψ) подставить r=1Nφr(1)Qr0(1)(a,θ,ψ), где
Qr0(1)(a,θ,ψ)=Qr(1)(θ,φ1(1)acosψ,,φ1(1)aω1sinψ,).

В результате получаем систему уравнений
(ω1u)A1ϑ2aω1B1==12π2m1σeiσqϑ02π02πr=1Nφr(1)Qr0(1)(a,θ,ψ)eiσqθcosψdθdψ,(ω1u)aB1ϑ+2ω1A1==12π2m1σeiσqϑ02π02πr=1Nφr(1)Qr0(1)(a,θ,ψ)eiσqϑsinψdθdψ(ϑ=ψθ),}

из которой не представляет затруднений найти частные периодические по ϑ значения A1(a,ϑ),B1(a,ϑ), как об этом уже упоминалось выше.

Для построения асимптотических формул во втором приближении определяем us(1)(a,vt,vt+ϑ)(s=1,2,,N) как вынужденные \»регуляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе внешними возмущающими силами, взятыми в режиме синусоидальных колебаний, причем при «регуляризации» в отличие от нерезонансного случая в соответствующи суммах должны отсутствовать члены, для которых могут выполняться соотношения между индексами n,m типа nq+ +(m±1)p=0 (для слагаемых, в знаменателе которых присутствует ω1 ).

Таким образом, \»регуляризированное» выражение для us(1)(a, v, vt+ϑ)(s=1,2,,N) будет иметь вид
×ei[nvt+m(ut+ϑ)](s=1,2,,N).

Для составления уравнений, определяющих A2(a,ϑ) и B2(a,ϑ), воспользуемся соответствующими формулами, выведенными в § 14 для системы с одной степенью свободы, либо уравнениями гармонического баланса. Вывод этих уравнений в явном виде предоставляем читателю.

Остановимся еще на рассмотрении частного случая системы (22.2), часто встречающегося при решении практически важных задач, когда возмущающие обобщенные силы имеют вид:
Qr(θ,q1,,qN,q˙1,,q˙N,ε)==εQr(q1,,qN,q˙1,,q˙N,ε)+εErsinθ(r=1,2,,N),

и, следовательно, колебания описываются системой дифференциальных уравнений:
s=1N(arsq¨s+crs˙qr)=εQr(q1,,qN,q˙1,,q˙N,ε)+εErsinθ(r=1,2,,N).

Будем рассматривать основной резонанс ( p=1,q=1 ), причем для упрощения остановимся на исследовании только первого приближения.

Согласно общему методу, изложенному выше, частным решением системы (22.27), соответствующим одночастотным колебаниям, близким к первому нормальному, в первом приближении будет:
qs=φs(1)acos(θ+ϑ)(s=1,2,,N),

где функции времени a и ϑ должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
dadt=12πm1ω102πr=1NεQr0(1)(a,ψ)φr(1)sinψdψr=1NεErφr(1)m1(ω1+v)cosϑ,dϑdt=ω1u12πm1ω1a02πr=1NεQr0(1)(a,ψ)φr(1)cosψdψ++r=1NεErφr(1)m1a(ω1+v)sinϑ,}

в которой, как и выше, ω1 — собственная частота невозмущенной системы, φr(1)(r=1,2,,N) — нетривиальные решения системы однородных алгебраических уравнений (22.15), а
Qr0(1)(a,ψ)=Qr0(1)(φ1(1)acosψ,,φ1(1)aω1sinψ,)(θ+ϑ=ψ)(r=1,2,,N).

Упростим несколько систему (22.29). Для этого по анаґогии c § 15 введем обозначения:
λe(1)(a)=1πaω102πr=1NεQr0(1)(a,ψ)φr(1)sinψdψ,ωe(1)(a)=ω112πam1ω102πr=1NεQr0(1)(a,ψ)φr(1)cosψ,dψ,E(1)=r=1NεErφr(1).}

Тогда уравнения первого приближения (22.29) могут быть записаны в виде
dadt=δe(1)(a)aE(1)m1(ω1+u)cosϑdϑdt=ωe(1)(a)u+E(1)m1a(ω1+u)sinϑ}

где δe(1)(a)=λe(1)(a)2m1.
Введенные здесь параметры λe(1)(a) и ωe(1)(a) представляют собой оответственно эквивалентный коәффициент затухания и полную эквивалентную собственную частоту колебательной системы, описывасмой уравнением вида
m1(d2xdt2+ω12x)=r=1NεQr0(1)φr(1),

аналогия с которым уже проводилась нами выше.

Таким образом, и в этом частном случае уравнения первого приближения (можно показать то же самое и для уравнений высшего приближения), составленные при исследовании резонансного случая в системах с N степенями свободы, будут такими же, как и для системы с одной степенью свободы (с массой m1 и собственной частотой (ω1), находящейся под воздействием возмущающей силы r=1NεQr0(1)φr(1) (обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату) и возмущающей синусоидальной силь с амплитудой r=1NεErφr(1) (см. формулу (15.7)).

Остановимся на исследодании стационарных режимов колебаний с постоянными амплитудами и фазами.

Приравнивая правые части уравнений первого приближения (22.25) нулю, получим для определения стационарных значений амплитуды a и фазы ϑ систему
e^e(1)(a)a+E(1)m1(ω1+u)cosϑ=0,ωe(1)(a)u+E(1)m1a(ω1+u)sinϑ=0.}

Исключая из этих уравнений ϑ, находим с точностью до величин второго порядка малости зависимость между амплитудой a и частотой внешних сил v :
m12a2[(ωe(1)2(a)u2)2+4j˙e(1)2(a)u2]=E(1)2.

Полученное уравнение совпадает по своей структуре с уравнением (15.10), составленным для нелинейной системы с одной степенью свободы, и потому в нашем случае для составления уравнения (22.33) мы можем воспользоваться правилом, сформулированным в § 15 . В нашем случае это правило будет заключаться в следующем.

Пусть колебания некоторой системы, имеющей N степеней свободы, описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений типа (22.27), и пусть частота внешних сил у близка к основной собственной частоте невозмущенной системы ω1. Требуется найти значения амплитуды и фазы стационарных одночастотных колебаний. Для этого рассматриваем колебательную систему с одной степенью свободы, с массой m1 и собственной частотой ω1, находящуюся под воздействием силы r=1NεQr(1)φr(1) (обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату). Линеаризируя эту систему, определяем эквивалентный декремент затухания i˙e(1)(a) и әквивалентную частоту собственных колебаний ωe(1)(a) как функции амплитуды и найденные значения подставляем в классические соотнопения линейной теории вынужденных колебаний (22.32) и (22.33), причем амплитуда вынуждающей синусоидальной силы находится по формуле E(1)=r=1NεEr(1)φr(1), т. е. опять-таки она является обобщенной силой, действующей на первую нормальную координату.

Для определения стационарных значений фазы колебания из соотношений (22.32) получаем формулу
ϑ=arctgωe(1)(a)u2vδ^e(1)(a).

При помощи соотношения (22.33) мы можем построить резонансную кривую, характеризующую резонансные колебания, возникающие в нашей системе со многими степенями свободы в результате воздействия внешней синусоидальной силы, частота которой близка к одной из собственных частот системы.

Для определения устойчивых и неустойчивых участков этой резонансной кривой мы получаем правила, аналогичные правилам, приведенным в §15.

Так, условиями устойчивости (с точностью до величин первого порядка малости включительно) будут неравенства
dadt>0, если ωe(1)(a)>u,dadt<0, если ωe(1)(a)<u.}

В качестве примера применения полученных результатов остановимся на исследовании вынужденных колебаний в конкретной механической системе со многими степенями свободы.

Рассмотрим приведенную систему коленчатого вала, изображенную на рис. 118, где на участке между первой и второй массами имеется нелинейная связь. Предположим для упрощения, что на среднюю массу действует периодический крутящий момент типа
M=Esinθ,

Рис. 118.
где E= const, dθdt=u — частота момента, пропорџиональная числу оборотов двигателя, а моменты, действующие на массы, расположенные на концах приведенного вала, равны нулю.

Обозначим моменты инерцип масс двигателя через I1,I2,I3, а углы отклонения от равномерного вращения через φ1,φ2,φ3.

Тогда жесткость участка вала между первой и второй массами зависит от характеристики нелинейной муфты. Жесткость участка вала между второй и третьей массами обозначим через c2. Упругий момент, зависящий от разности углов поворота прилегающих масс, для первого участка будет:
F(φ2φ1)=c1(φ2φ1)+εf(φ2φ1),

где функция £f(φ2φ1) определяется конкретно заданной характеристикой нелинейной муфты, а c1 — некоторая постоянная; для второго участка упругий момент будет:
c2(φ3φ2).

Предположим также, что на втором участке вала учитывается внутреннее трение, которое будем считать пропорциональным скорости (с коэффициентом пропорциональности α ).

Тогда уравнения крутильных колебаний рассматриваемой системы будут:
I1φ¨1F(φ2φ1)=0,I2φ¨2+F(φ2φ1)c2(φ3φ1)=M+α(φ˙3φ˙2),I3φ¨3+c2(φ3φ2)=α(φ˙3φ˙2).

Вводя обозначения:
φ2φ1=q1,φ3φ2=q2,

уравнения (22.36) можно привести к следующей системе двух уравнений второго порядка (одну степень свободы — вращение, мы исключаем из рассмотрения):
I2q¨1+c1(1+I2I1)q1c2q2=(1+I2I1)εf(q1)+αq˙2+Esinθ,I2q¨2c1q1+c2(1+I2I3)q2=εf(q1)α(1+I2I3)q˙2Esinθ.}

Допустим, что нелинейность, коэффициент трения и амплитуда внешнего момента малы, а также, что для системы (22.37) выполияются условия, приведенные в § 21 (стр. 261).

Предположим также, что частота внепней синусоидальной силы 2 близка к. первой собственной частоте ω1; в этом случае, естественно, в системе будут возбуждаться колебания, соответствующие первому нормальному колебанию с частотой, близкой к ω1, в то время как колебания с частотой ω2, находясь вне резонанса, из-за наличия трения будут затухать.

Тогда согласно (22.28) частным репением системы (22.37), соответствующим одночастотному режиму, близкому к первому нормальному колебанию, будет:
q1=φ1(1)acos(θ+ϑ)q2=φ2(1)acos(θ+ϑ)}

где φ1(1) п φ2(1) — фундаментальные функции, являющиеся нетривиальными решениями системы однородных алгебраических уравнений:
[c1(1+I2I1)ω12I2]φ1(1)c2φ˙2(1)=0c1φ1(1)+[c2(1+I2I3)ω12I2]φ2(1)=0}
(\») 11 корень частотного уравнения «невозмущенной» системы:
|c1(1+I2I1)ω2I2c2c1c2(1+I2I3)ω2I2|=0

а a и ϑ должны быть определены или из уравнений первого приближения, цли для стапионарного режима по формулам типа (22.33) и (22.34), которые мы сейчас и составим, воспользовавшись схемой, приведенной на стр. 278.

Находим:
m1=I2(φ1(1)2+φ2(1)2),δ`e(1)(a)=αm1[(I2I3+1)φ2(1)2φ1(1)φ2(1)],ωe(1)(a)=ω1ε[φ2(1)(1I2I1)φ1(1)]2πm1ω1a02πf(φ1(1)acosψ)cosψdψ,E(1)=E(φ1(1)φ2(1)).

Подставляя эти влражения в формулы (22.39), получаем зависимость, при помощи которой легко можно построить резонансную кривую.
Рис. 119.
Рис. 120.
Так, например, в случае, если характеристика нелинейной упругой муфты имеет вид, представленный на рис. 119 , то резонансная кривая будет такая, как на рис. 120.

1
Оглавление
email@scask.ru