Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Перейдем теперь к рассмотрению колебательных систем со многими степенями свободы, находящихся под воздействием внепних периодических обобщенных сил, зависящих явно от времени и имеющих следующий вид: Тогда мы приходим к рассмотрению системы в которой, как и в предыдущем параграфе, Кроме того, предположим, что для невозмущенной системы уравнений: выполняются условия, шриведенные в § 21, стр. 261. Ввиду того, что исследование одночастотных режимов формально сводится к исследованию некоторого одного эквивалентного уравнения второго порядка вместо системы В нерезонансном случае*), исходя из соображений, приведенных в § 13 (стр. 158), решение системы (22.2) следует искать в виде асимптотических рядов в которых Для определения функций Вместо системы (22.2), описывающей одночастотный колебательный режим, рассматриваем соответствующее ей одно уравнение второго порядка для которого, воспользовавшись непосредственно формулами (13.35), находим: где введены обозначения: Далее, находим где Итак, Здесь в которых коэффициенты Таким образом, для «регуляризации» выражений (22.18) необходимо, чтобы при Для определения функций После элементарных выкладок получаем для где обозначено: Перейдем к рассмотрению резонансного случая. где Как уже нами выше указывалось, при рассмотрении резонансного случая, в зависимости от характера стоящей перед нами задачи, могут возникнуть два подхода к ее репению-исследование непосредственно резонансной области и изучение, помимо резонансной области, также подходов к ней из нерезонансной области. Здесь мы рассмотрим второй, как наиболее общий случай, причем для нахождения соответствующих асимптотических формул опять воспользуемся результатами, полученными для системы с одной степенью свободы, в § 14 . Исходя из рассуждений, приведенных на стр. 176, приближенные решения будем искать в виде рядов где Для построения первого и второго приближения нам необходимо найти выражения для Для определения Для этого в уравнениях (14.34) необходимо заменить В результате получаем систему уравнений из которой не представляет затруднений найти частные периодические по Для построения асимптотических формул во втором приближении определяем Таким образом, \»регуляризированное» выражение для Для составления уравнений, определяющих Остановимся еще на рассмотрении частного случая системы (22.2), часто встречающегося при решении практически важных задач, когда возмущающие обобщенные силы имеют вид: и, следовательно, колебания описываются системой дифференциальных уравнений: Будем рассматривать основной резонанс ( Согласно общему методу, изложенному выше, частным решением системы (22.27), соответствующим одночастотным колебаниям, близким к первому нормальному, в первом приближении будет: где функции времени в которой, как и выше, Упростим несколько систему (22.29). Для этого по анаґогии c § 15 введем обозначения: Тогда уравнения первого приближения (22.29) могут быть записаны в виде где аналогия с которым уже проводилась нами выше. Таким образом, и в этом частном случае уравнения первого приближения (можно показать то же самое и для уравнений высшего приближения), составленные при исследовании резонансного случая в системах с Остановимся на исследодании стационарных режимов колебаний с постоянными амплитудами и фазами. Приравнивая правые части уравнений первого приближения (22.25) нулю, получим для определения стационарных значений амплитуды Исключая из этих уравнений Полученное уравнение совпадает по своей структуре с уравнением (15.10), составленным для нелинейной системы с одной степенью свободы, и потому в нашем случае для составления уравнения (22.33) мы можем воспользоваться правилом, сформулированным в § 15 . В нашем случае это правило будет заключаться в следующем. Пусть колебания некоторой системы, имеющей Для определения стационарных значений фазы колебания из соотношений (22.32) получаем формулу При помощи соотношения (22.33) мы можем построить резонансную кривую, характеризующую резонансные колебания, возникающие в нашей системе со многими степенями свободы в результате воздействия внешней синусоидальной силы, частота которой близка к одной из собственных частот системы. Для определения устойчивых и неустойчивых участков этой резонансной кривой мы получаем правила, аналогичные правилам, приведенным в Так, условиями устойчивости (с точностью до величин первого порядка малости включительно) будут неравенства В качестве примера применения полученных результатов остановимся на исследовании вынужденных колебаний в конкретной механической системе со многими степенями свободы. Рассмотрим приведенную систему коленчатого вала, изображенную на рис. 118, где на участке между первой и второй массами имеется нелинейная связь. Предположим для упрощения, что на среднюю массу действует периодический крутящий момент типа Рис. 118. Обозначим моменты инерцип масс двигателя через Тогда жесткость участка вала между первой и второй массами зависит от характеристики нелинейной муфты. Жесткость участка вала между второй и третьей массами обозначим через где функция Предположим также, что на втором участке вала учитывается внутреннее трение, которое будем считать пропорциональным скорости (с коэффициентом пропорциональности Тогда уравнения крутильных колебаний рассматриваемой системы будут: Вводя обозначения: уравнения (22.36) можно привести к следующей системе двух уравнений второго порядка (одну степень свободы — вращение, мы исключаем из рассмотрения): Допустим, что нелинейность, коэффициент трения и амплитуда внешнего момента малы, а также, что для системы (22.37) выполияются условия, приведенные в § 21 (стр. 261). Предположим также, что частота внепней синусоидальной силы 2 близка к. первой собственной частоте Тогда согласно (22.28) частным репением системы (22.37), соответствующим одночастотному режиму, близкому к первому нормальному колебанию, будет: где а Находим: Подставляя эти влражения в формулы (22.39), получаем зависимость, при помощи которой легко можно построить резонансную кривую.
|
1 |
Оглавление
|