Колебательные системы со многими степенями свободы, и даже с бесконечным их числом, постоянно встречаются во многих актуальных проблемах современной техники.

Как известно, даже в случае, если колебания в таких системах описываются дифференциальными уравнениями, близкими к линейным, то приложение обычных асимптотических методов нелинейной механики, идея которых изложена нами выше, требует предварительного решения совокупности линейных дифференциальных уравнений с числом неизвестных пропордиональным числу степеней свободы, что создает значительные затруднения при практическом применении этих методов.

В колебательных системах со многими степенями свободы наличие неизбежного внутреннего трения, а также наличие внешних возмущающих сил приводят обычно к быстрому исчезновению высших частот, т. е. к установлению основного тона колебаний (или колебаний с какой-либо одной частотой ${\omega }_k$ ). Поэтому целесообразно при исследовании системы со многими степенями свободы рассматривать одночастотный режим, т. е. колебания системы, при которых все точки нашей системы совершают колебания с одной и той же частотой.

Как будет видно из дальнейшего, построение асимптотических разложений в этом случае может быть произведено так, как если бы мы имели дело с колебательной системой с одной степенью свободы.

Для рассмотрения общего случая предголожим, что одночастотные колебания в системе со многими степенями свободы описываются следующей системой дифференциальных уравнений:
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_k}{dt}-\sum _{q=1}^n{c}_{kq}{x}_q=\epsilon f_k^{(1)}(x_1,\dots ,x_n)+{\epsilon }^2{f}_k^{(2)}(x_1,\dots ,x_n)+\dots \\ (k=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

переходящей при нулевом значении малого параметра $\approx$ в систему линейных дифференциальных уравнений:
$$\frac{d{x}_k}{dt}-\sum _{q=1}^n{c}_{\mathit{k}q}{x}_q=0(k=1,2,\dots ,n)$$

с постоянными коэффициентами. Систему дифференциальных уравнений

(20.2) будем в дальнейшем называть дифференциальными уравнениями невозмущенной системы.

Предположим, что в невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с некоторой частотой $\omega$ :
$$\begin{array}{c}{x}_k=a{\phi }_k{e}^{i(\omega t+i)}+a{\phi }_k^{\ast }{e}^{-i(\omega t+0)}\\ (k=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

зависящие только от двух произвольных постоянных $a,\theta$; здесь ${\phi }_k,{\phi }_k^{\ast }$ собственные функции, характеризующие форму колебания, а значок* указывает на шереход к комплексно-сопряженной величине.

Предположим также, что в невозмущенной системе единственным статическим решением будет тривиальное решение: $x_k=0(k=1,2,\dots ,n)$ и что, кроме того, в ней невозможны незатухающие колебания с частотами кратными $\omega$ (условие отсутствия внутреннего резонанса).

При этих условиях будем искать решение невозмущенных уравнений (20.1), соответствующее одночастотному колебанию нашей системы со многими степенями свободы, с помощью разложений
$$\begin{array}{c}{x}_k=a{\phi }_k{e}^{i\psi }+a{\phi }_k{}^{\ast }{e}^{-i\psi }+\epsilon u_k^{(1)}(a,\psi )+{\epsilon }^2{u}_k^{(2)}(a,\psi )+\dots \\ (k=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

в которых $u^{(1)}(a,\psi ),u_k^{(2)}(a,\psi ),\dots (k=1,2,\dots ,n)$ являются периодическими функциями угла $\psi$ с периодом $2\pi$, а величины $a$ и $\psi$ как функции времени определяются дифференциальными уравнениями:
$$\begin{array}{rl}\frac{da}{dt}& =\epsilon A_1(a)+{\epsilon }^2{A}_2(a)+\dots ,\\ \frac{d\psi }{dt}& =\omega +\epsilon B_1(a)+{\epsilon }^2{B}_2(a)+\dots \end{array}\}$$

Таким образом, как и в предыдущих случаях, мы здесь ставим задачу определения функций
$$u_k^{(1)}(a,\psi )u_k^{(2)}(a,\psi ),\dots (k=1,2,\dots ,n),$$

периодических, с периодом $2\pi$, по отношению к $\varphi$ и функций
$$A_1(a),A_2(a),\dots ;B_1(a),B_2(a),\dots$$

таким образом, чтобы выражения (20.4) удовлетворяли бы уравнениям (20.1) всякий раз, когда $a$ и $\psi$ удовлетворяют уравнениям (20.5).

Заметим, что, поскольку интегрирование уравнений (20.5) вводит только две произвольные постоянные, мы получаем с помощью выражений (20.4) приближенное представление не для общего решения уравнений (20.1), которое должно зависеть от $n$ произвольных постоянных, а лишь для двупараметрического семейства частных решений. Так как в нелинейных системах принцип суперпозиции не имеет места, то, исходя из различных частных решений, мы не можем непосредственно построить общее решение. Однако в ряде важных случаев двупарамөтрическое многообразие решений (20.4) обладает особым свойством сильной устойчивости, заключающимся в тсм, что любое решение уравнений (20.1) при начальных значениях, близких к начальным значениям нашего двупараметрического многообразия интегральных кривых (20.4), при увеличении $t$ стремится к решениям, принадлежащим к семейству (20.4). Рассматриваемое многообразие как бы притягивает к себе все близкие к нему решения.

Собственно говоря, только в этих случаях исследование решений типа (20:4) и может представлять физический интерес. В дальнейшем в главе, посвященной математическому обоснованию, мы более подробно остановимся на указанном вопросе устойчивости многообразий типа (20.4) и на вопросе получения критериев, при выполнении которых представляет интерес рассмотрение двупараметрических семейств типа (20.4).

Прежде чем переходить к решению поставленной задачи — определению функций (20.6) и (20.7), сделаем некоторые предварительные замечания о свойствах колебаний в невозмущенной системе, описываемой уравнениями (20.2), которыми нам придется воспользоваться.

Заметим прежде всего, что для системы однородных алгебраических уравнений
$$\begin{array}{r}\sum _{q=1}^n({\stackrel{`}{o}}_{kq}p-c_{\mathit{k}q})x_q=0\\ (k=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

где
$${\delta }_{kg}=\{\begin{array}{l}1,\text{ если }k=q,\\ 0,\text{ если }keqq;\end{array}$$

разрешающий определитель
$$D(p)=D\Vert {\delta }_{kq}p-c_{kq}\Vert$$

в соответствии со сделанными предположениями о наличии в системе одночастотного колебательного режима имеет два простых сопряженных чисто мнимых корня $p=+i\omega$ и $p=-i\omega$ и, кроме того, значения $p=0$ и $p=\pm im\omega$ (где $m$-любое целое число, отличное от единицы) не являются корнями уравнения $D(p)=0$, т. е.
$$D(\mathrm{im}\omega )eq0,$$

где $-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty },meq\pm 1$.
Обозначим нетривиальные решения системы уравнений (20.8) для значений $p=+i\omega$ и $p=-i\omega$ соответственно через ${\phi }_k$ и ${\phi }_k{}^{\ast }(k=1,2,\dots ,n)$.
Возьмем сопряженную с (20.8) систему алгебраических уравнений
$$\sum _{q=1}^n({\delta }_{kq}p+c_{qk})x_q=0$$

и обозначим ее нетривиальные решения для значений $p=+i\omega$ и $p=-i\omega$ соответственно через ${\chi }_k$ и ${\chi }_k{}^{\ast }(k=1,2,\dots ,n)$.

Введя эти обозначения, рассмотрим вынужденные колебания, вызываемые в невозмущенной системе (20.2) внешними гармоническими силами
$$F_k{e}^{im\omega t}\text{. }$$

Эти колебания описываются системой дифференциальных уравнений
$$\frac{d{x}_k}{dt}-\sum _{q=1}^n{c}_{\mathit{k}}{x}_q=F_k{e}^{im\omega t}.$$

Как известно, в случае, если $m$-любое целое положительное или отрицательное число, отличное от $\pm 1$, решения системы (20.12) представляются формулой
$$\begin{array}{c}{x}_k=e^{im\omega t}\sum _{q=1}^n{Z}_{kq}(im\omega )F_q,\\ Z_{kq}(im\omega )=\frac{D_{kq}(im\omega )}{D(im\omega )},\end{array}$$

где $D_{kq}(p)$ — соответствующие миноры определителя $D(p)$. Если $m=\pm 1$, то уравнения (20.12) не имеют, вообще говоря, периодического решения, поскольку $D(\pm i\omega )=0$. Для того чтобы такое репение все же существовало, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
$$\begin{array}{lll}\sum _{q=1}^n{\chi }_q{F}_q=0& \text{ для }& n=1,\\ \sum _{q=1}^n{\chi }_q^{\ast }{F}_q=0& \text{ для }& n=-1.\end{array}\}$$

При выполнении этих условий вынужденное колебание, определяемое уравнениями (20.12) для $m=1$, представляется формулой
$$x_k=e^{i\omega t}\sum _{q=1}^n{S}_{kq}{F}_q+C{\phi }_k{e}^{i\omega t}(k=1,2,\dots ,n),$$

в которой
$$S_{kq}={\left\{\frac{\frac{\partial D_{kq}(p)}{\partial p}}{\frac{\partial D(p)}{\partial p}}\right\}}_{p=i\omega }(k,q=1,2,\dots ,n)$$

и $C$-произвольная постоянная. Аналогичную формулу получаем и для $n=-1$.

Рассмотрим теперь задачу о нахождении периодического, с периодом $\frac{2\pi }{\omega }$, репения системы дифференциальных уравнений
$$\frac{d{x}_h}{dt}-\sum _{q=1}^n{c}_{kq}{x}_q=\sum _{(-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty })}{F}_k^{(m)}{e}^{im\omega t}(k=1,2,\dots ,n),$$
т. е. задачу о нахождении вынужденного колебания в невозмущенной системе под действием сил
$$\sum _{(-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty })}{F}_k^{(m)}{e}^{im\omega t}(k=1,2,\dots ,n).$$

Поскольку нас интересуют, разумеется, лишь вещественные решения, мы будем предполагать выполненными условия вещественности
$$F_k^{(-m)}=F_k^{\ast (m)}(k=1,2,\dots ,n).$$

Тогда на основании вышесказанного убеждаемся, что поставленная задача имеет решение только в случае, когда выполняются условия
$$\sum _{q=1}^n{\chi }_q{F}_q^{(1)}=0,\sum _{q=1}^n{\chi }_q^{\ast }{F}_q^{(-1)}=0.$$

Заметим, между прочим, что благодаря (20.17) одно из этих условий является следствием другого.

Если условие (20.18) выполняется, то искомое периодическое решение представляется следующей формулой:
$$\begin{array}{l}{x}_k=\sum _{\begin{array}{c}-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty }\\ meq\pm 1\end{array}}{e}^{im\omega t}\{\sum _{q=1}^n{Z}_{kq}(im\omega )F_q^{(m)}\}+e^{i\omega t}\sum _{q=1}^n{S}_{kq}{F}_q^{(1)}+\\ +e^{-i\omega t}\sum _{q=1}^n{S}_{kq}^{\ast }{F}_q^{(-1)}+C{\phi }_k{e}^{i\omega t}+C^{\ast }{\phi }_k^{\ast }{e}^{-i\omega t}(k=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

содержащей две произвольные постоянные-вещественную и мнимую части $C$.

Заменяя в предыдущих выкладках $\omega t$ на $\psi$, легко получить следующий результат, который нам понадобится в дальнейшем при определении функций (20.6).
Для того чтобы система уравнений
$$\omega \frac{\partial u_k}{\partial \psi }-\sum _{q=1}^n{c}_{kq}{u}_q=\sum _{(-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty })}{F}_k^{(m)}{e}^{im\psi },$$

для которой выполняются условия вещественности (20.17), имела вещественное периодическое решение, с периодом $2\pi$, необходимо и достаточно, чтобы
$$\sum _{k=1}^n{F}_k^{(1)}{\chi }_k=0.$$

Если это условие выполнено, искомое решение имеет следующий вид:
$$\begin{array}{r}{u}_k(\psi )=\sum _{\begin{array}{c}-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty }\\ meq\pm 1\end{array}}{e}^{im\psi }\{\sum _{q=1}^n{Z}_{kq}(im())F_q^{(m)}\}+e^{i\psi }\sum _{q=1}^n{S}_{kq}{F}_q^{(1)}+\\ +e^{-i\omega }\sum _{q=1}^n{S}_{kq}^{\ast }{F}_q^{(-1)}+C{\phi }_k{e}^{i\psi }+C^{\ast }{\phi }_k^{\ast }{e}^{-i\psi },\end{array}$$

где $C$-произвольная комплексная постоянная.
После этих предварительных замечаний приступим к репению нашей основной задачи, т. е. к нахождению функций (20.6) и (20.7).
Разложение (20.4) напипем в виде
$$x_k=u_k^{(0)}(a,\psi )+\epsilon u_k^{(1)}(a,\psi )+{\epsilon }^2{u}_k^{(2)}(a,\psi )+\dots (k=1,2,\dots ,n)\text{, }$$

где для сокращения положено
$$u_k^{(0)}(a,\psi )={\phi }_{k}a{e}^{i\psi }+{\phi }_k^{\ast }a{e}^{-i\psi }(k=1,2,\dots ,n).$$

Дифференцируя выражения (20.23) по времени и учитывая при этом уравнения (20.5), находим:
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}_k}{dt}=\{\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial a}+\epsilon \frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial a}+{\epsilon }^2\frac{\partial u_k^{(2)}}{\partial a}+\dots \}\frac{da}{dt}+\\ +\{\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial \psi }+\epsilon \frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial \psi }+{\epsilon }^2\frac{\partial u_k^{(2)}}{\partial \psi }+\dots \}\frac{d\psi }{dt}=\\ =\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial \psi }(1)+\epsilon \{\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial a}{A}_1+\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial \psi }{B}_1+()\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial \psi }\}+\\ +{\epsilon }^2\{\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial a}{A}_2+\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial \psi }{B}_2+\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial a}{A}_1+\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial \psi }{B}_1+\frac{\partial u_k^{(2)}}{\partial \psi }\omega \}+{\epsilon }^3\cdots s\\ (k=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

и поэтому левые части уравнений (20.1) могут быть представлены в виде:
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_k}{dt}-\sum _{q=1}^n{c}_{kq}{x}_q=\epsilon \{\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial \psi }-\sum _{q=1}^n{c}_{kq}{u}_q^{(1)}+\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial a}{A}_1+\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial \psi }{B}_1\}+\\ +{\epsilon }^2\{\omega \frac{\partial u_k^{(2)}}{\partial \psi }-\sum _{q=1}^n{c}_{kq}{u}_q^{(2)}+\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial a}{A}_2+\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial \psi }{B}_2+\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial a}{A}_1+\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial \psi }{B}_1\}+{\epsilon }^3\dots \\ (k=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Подставляя (20.23) в правые части уравнений (20.1), можем их записать следующим образом:
$$\begin{array}{c}\epsilon f_k^{(1)}(x_1,\dots ,x_n)+{\epsilon }^2{f}_k^{(2)}(x_1,\dots ,x_n)+{\epsilon }^3\dots =\epsilon f_k^{(1)}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})+\\ +{\epsilon }^3\{\sum _{r=1}^n{f}_{k_r}^{(1{)}^{\prime }}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})u_r^{(1)}+f_k^{(2)}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})\}+{\epsilon }^3\dots \\ (k=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях є в последних двух выражениях, получим:
$$\begin{array}{l}\omega \frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial \psi }-\sum _{q=1}^n{c}_{kq}{u}_k^{(1)}=f_k^{(1)}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})-\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial a}{A}_1-\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial \downarrow }{B}_1,\\ \omega \frac{\partial u_k^{(2)}}{\partial \psi }-\sum _{q=1}^n{c}_{kq}{u}_k^{(2)}=\sum _{r=1}^n{f}_{k_{xr}}^{(1{)}^{\prime }}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})u_r^{(1)}+\\ +f_k^{(2)}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})-\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial a}{A}_1-\frac{\partial u_h^{(1)}}{\partial \psi }{B}_1-\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial a}{A}_2-\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial \psi }{B}_2,\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\\ (k=1,2,\dots ,n)\text{. }\end{array}$$

Из полученных систем уравнений (20.25), (20.26) и т. д. мы последовательно можем определить искомые функции $u_k^{(1)}(a,\psi ),u_k^{(2)}(a,\psi ),\dots$ $(k=1,2,\dots ,n)$, а также функции $A_1(a),B_1(a),A_2(a),B_2(a),\dots$, причем последние должны быть определены так, чтобы функции $u_k^{(1)}(a,\varphi )$, $u_k^{(2)}(a,\psi ),\dots ,(k=1,2,\dots ,n)$ были периодическими по $\psi$ с периодом $2\pi$.

Приступая к решению системы уравнений (20.25), рассмотрим разложения Фурье для функций $f_k^{(1)}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})(k=1,2,\dots ,n)$ в комплексной форме:
$$f_k^{(1)}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})=\sum _{(-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty })}{\mathrm{\Phi }}_k^{(0)}(a)e^{im\psi }(k=1,2,\dots ,n),$$

где
$${\mathrm{\Phi }}_k^{(m)}(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{f}_k^{(1)}(u_1^{(0)},.\mathrm{\Omega }\mathbf{x},u_n^{(0)})e^{-im\psi }\psi d\psi$$

Тогда систему уравнений (20.25), учитывая также — обозначения (20.24), можем представить в виде
$$\begin{array}{l}\omega \frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial \psi }-\sum _{q=1}^n{c}_{kq}{u}_q^{(1)}=\sum _{\begin{array}{c}-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty }\\ meq\pm 1\end{array}}{\mathrm{\Phi }}_k^{(m)}(a)e^{im\psi }+\\ +\{{\mathrm{\Phi }}_k^{(1)}(a)-A_1{\phi }_k-i{B}_1{\phi }_{k}a\}{e}^{i\psi }+\{{\mathrm{\Phi }}_k^{(-1)}(a)-A_1{\phi }_k^{\ast }+i{B}_1{\phi }_k^{\ast }a\}{e}^{-i\psi }\\ (k=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Мы получили тем самым уравнения типа (20.20). Поэтому, для того чтобы из системы (20.27) можно было бы определить искомые функции $u_k^{(1)}(a,\varphi )(k=1,2,\dots ,n)$, периодические по $\psi$, должно выполняться условие, аналогичное условию (20.21), т. е.
$$\sum _{q=1}^n{\chi }_q\{{\mathrm{\Phi }}_q^{(1)}(a)-A_1{\phi }_q-i{B}_1{\phi }_{q}a\}=0,$$

откуда находим выражения для $A_1(a)$ и $B_1(a)$ :
$$A_1(a)+ia{B}_1(a)=\frac{\sum _{q=1}^n{\chi }_q{\mathrm{\Phi }}_q^{(1)}(a)}{\sum _{q=1}^n{\chi }_q{\phi }_q}.$$

Решая тешерь уравнения (20.27), получаем в соответствии с (20.22) следующее выражение для функций $u_R^{(1)}(a,\psi )$ :
$$\begin{array}{c}{u}_k^{(1)}(a,\psi )=\sum _{\begin{array}{c}-\mathrm{\infty }om<\mathrm{\infty }\\ meq\pm 1\end{array}}{e}^{im\psi }\{\sum _{q=1}^n{Z}_{kq}(im\omega ){\mathrm{\Phi }}_k^{(m)}(a)\}+\\ +e^{i\psi }\sum _{q=1}^n{S}_{kq}\{{\mathrm{\Phi }}_q^{(1)}(a)-(A_1(a)+ia{B}_1(a)){\phi }_q\}+e^{-i\psi }\sum _{q=1}^n{S}_{kq}^{\ast }\{{\mathrm{\Phi }}_q^{(-1)}(a)-\\ -(A_1(a)-ia{B}_1(a)){\phi }_q^{\ast }\}+C_1(a){\phi }_k{e}^{i\psi }+C_1^{\ast }(a){\phi }_k^{\ast }{e}^{-i\psi }\\ (k=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

содержащее две произвольные функции — вещественную и мнимую части $C_1(a)$, не зависящие от $\psi$.

Чтобы несколько упростить это выражение, заметим, что по определению миноров $D_{kq}(p)$ имеем тождественно:
$$\begin{array}{l}p{D}_{kq}(p)-\sum _{r=1}^n{c}_{kr}{D}_{rq}(p)={\delta }_{kq}D(p),\\ p{D}_{kq}(p)-\sum _{r=1}^n{c}_{rq}{D}_{kr}(p)={\delta }_{kq}D(p),\end{array}\}$$

где

Полагая в (20.30) $p=i\omega$, видим, что при любом фиксированном $q$ величины $x_k=D_{kq}(i\omega )$ удовлетворяют уравнениям (20.8) и, следовательно, должны быть пропорциональны ${\phi }_k$. Аналогично при любом фиксированном $k{D}_{kq}(i\omega )$ должны быть пропорциональны ${\chi }_q$.

Таким образом, имеем:
$$D_{kq}(i\omega )=\lambda {\phi }_k{\chi }_q.$$

Дифференцируя (20.30) по $p$ и затем полагая $p=i\omega$, получим в силу (20.31):
$$\lambda {\phi }_k{\chi }_q+i\omega D_{kq}^{\prime }(i\omega )-\sum _{r=1}^n{c}_{kr}{D}_{rq}^{\prime }(i\omega )={\delta }_{kq}{D}^{\prime }(i\omega ),$$

или, учитывая ранее введенные обозначения,
$$\frac{\lambda {\phi }_k{\chi }_q}{D^{\prime }(i\omega )}+i\omega S_{kq}-\sum _{r=1}^n{c}_{kr}{S}_{rq}={\stackrel{`}{\delta }}_{kq}.$$

Таким образом, при любом фиксированном $\dot{q}$ величины $y_k=S_{kq}$ удовлетворяют уравнениям:
$$i\omega y_k-\sum _{r=1}^n{c}_{kr}{y}_r={\stackrel{`}{\delta }}_{kq}-\frac{\lambda {\phi }_k{\chi }_q}{D^{\prime }(i\omega )}(k=1,\dots ,n).$$

Поэтому
$$\sum _{k=1}^n{\chi }_k\{i_{kq}-\frac{\lambda {\phi }_k{\chi }_q}{D^{\prime }(i\omega )}\}=0$$

откуда
$$\sum _{k=1}^n{\phi }_k{\chi }_k=\frac{D^{\prime }(i\omega )}{\lambda }eq0$$

поскольку корень $p=i\omega$ уравнения $D(p)=0$ является простым.
Следовательно, видим, что знаменатель в формуле (20.28) всегда отличен от нуля.

Умножим теперь обе части (20.32) на ${\phi }_q$ и просуммируем рөзультат по $q$. Так как согласно (20.33)
$${\phi }_k=-\frac{\sum _{q=1}^n\lambda {\phi }_k{q}_q{\chi }_q}{D^{\prime }(i\omega )}eq0,$$

то будем иметь:
$$i\omega \left(\sum _{q=1}^n{S}_{kq}{\phi }_q\right)-\sum _{r=1}^n{c}_{kr}\sum _{q=1}^n{S}_{rq}{\phi }_q=0,$$

и поэтому
$$\sum _{q=1}^n{S}_{kq}{\phi }_q=\alpha {\phi }_k,\alpha =\mathrm{const}(k=1,2,\dots ,n).$$

Принимая во внимание полученные равенства и вводя вместо $C_1(a)$ новую произвольную функцию
$$K(a)=C_1(a)-a[A_1(a)+ia{B}_1(a)],$$

мы можем представить (20.29) в следующем виде:
$$\begin{array}{c}{u}_k^{(1)}(a,\psi )=\sum _{\begin{array}{c}-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty }\\ meq\pm 1\end{array}}{e}^{im\psi }\{\sum _{q=1}^n{Z}_{kq}(im\omega ){\mathrm{\Phi }}_q^{(m)}(a)\}+\\ +e^{i\psi }\sum _{q=1}^n{S}_{kq}{\mathrm{\Phi }}_q^{(1)}(a)+K(a){\phi }_k\}+e^{-i\psi }\{\sum _{q=1}^n{S}_{kq}^{\ast }{\mathrm{\Phi }}_q^{(-1)}(a)+K^{\ast }(a){\phi }_k^{\ast }\}\\ (k=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Заметим, далее, что так как значения $p=\pm i\omega$ являются простыми корнями уравнения $D(p)=0$, то они будут простыми полюсами функций
$$Z_{kq}(p)=\frac{D_{kq}(p)}{D(p)},$$

и поэтому на основании (20.31) можем написать:
$$Z_{hq}(p)=\frac{\lambda {\phi }_k{\chi }_q}{D^{\prime }(i\omega )(p-i\omega )}+\frac{{\lambda }^{\ast }{\phi }_k^{\ast }{\chi }_q^{\ast }}{D^{\prime }(-i\omega )(p+i\omega )}+Z_{kq}^{\ast }(p),$$

где $Z_{kq}^{\ast }(p)$ является регулярной функцией в окрестности точек $p=\pm i\omega$. Поскольку по определению
$$S_{kq}=\frac{D_{kq}^{\prime }(i\omega )}{D^{\prime }(i\omega )},$$

то мы видим, что $S_{kq}$ будет значением регулярной части $Z_{kq}(p)$ в точке полюса $p=i\omega$ :
$$S_{kq}=\frac{{\lambda }^{\ast }{\phi }_k^{\ast }{\chi }_q^{\ast }}{2i\omega D^{\prime }(-i\omega )}+Z_{kq}^{\ast }(i\omega ).$$

Аналогично $S_{kq}^{\ast }$ будет значением соответствующей регулярной части $Z_{kq}$ в точке полюса $p=-i\omega$ :
$$S_{kq}^{\ast }=-\frac{\lambda {\phi }_k\chi q}{2i\omega D^{\prime }(i\omega )}+Z_{kq}^{\ast }(i\omega ).$$

В полученном нами выражении для функций $u_k^{(1)}(a,\psi )(k=1,2,\dots ,n)$ (20.35) содержатся две произвольные функции — действительная и мнимая части $K(a)$. Для определения этих функций мы можем, как делали это ранее, наложить дополнительное требование, заключающееся в том, чтобы каждая из $n$ функций $u_k^{(1)}(a,\psi )$ не содержала основной гармоники, так как подобное требование привело бы к $2n$ условиям.
В рассматриваемом случае воспользуемся следующим приемом.
Возьмем какие-либо постоянные $g_1,\dots ,g_n$ п образуем линейную комбинацию:
$$g_1{u}_1^{(1)}(a,\psi )+\dots +g_n{u}_n^{(1)}(a,\psi ).$$

Потребуем, чтобы в разложении Фурье для функции (20.39) отсутствовал член с $e^{i\psi }$. Для этого необходимо, чтобы имело место следующее соотношение:
$${\int }_0^{2\pi }[g_1{u}_1^{(1)}(a,\varphi )+\dots +g_n{u}_n^{(1)}(a,\psi )]e^{-i\psi }d\psi =0.$$

Подставляя в $(20.40)$ значения $u_k^{(1)}(a,\psi )(k=1,2,\dots ,n)$ (20.35), получаем одно линейное уравнение, из которого можем определить $K(a)$.

В частности, если в качестве $g_1,\dots ,g_n$ взяты вещественные величины, условие (20.40) будет эквивалентно условию отсутствия основной гармоники у функции (20.39).

Найдя, таким образом, вещественную и мнимую части $K(a)$ и определив тем самым, согласно (20.35), вид функций $u_k^{(1)}(a,\psi )(k=1,2,\dots ,n)$, перейдем к решению уравнений (20.26).

Как и в предыдущем случае, для того, чтобы эти уравнения обладали периодическим решением по $\psi$ с периодом $2\pi$, необходимо, чтобы выполнялось условие типа (20.21), т. е. чтобы
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n{\chi }_k{\int }_0^{2\pi }\{\sum _{r=1}^n{f}_{k_x}^{(1{)}^{\prime }}(u_1^{(0)}& ,\dots ,u_n^{(0)})u_r^{(1)}+f_k^{(2)}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})-\\ & -\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial a}{A}_1-\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial \psi }{B}_1-\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial a}{A}_2-\frac{\partial u_k^{(0)}}{\partial \psi }{B}_2\}{e}^{-i\psi }d\psi =0.\end{array}$$

Это условие дает нам возможность определить функции $A_2(a)$ и $B_2(a)$ :
$$\begin{array}{l}{A}_2(a)+ia{B}_2(a)=\\ =\sum _{k=1}^n{\chi }_k{\int }_0^{2\pi }\{\sum _{r=1}^n{f}_{k{x}_r}^{(1{)}^{\prime }}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})u_r^{(1)}+f_k^{(2)}(u_1^{(0)},\dots ,u_n^{(0)})-\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial a}{A}_1-\frac{\partial u_k^{(1)}}{\partial \psi }{B}_1\}{e}^{-i\psi }d\psi .\\ 2\pi \sum _{k=1}^n{\chi }_k{\phi }_k\end{array}$$

Приняв это выражение для $A_2(a)$ и $B_2(a)$, мы можем найти из (20.26) периодические функции $u_k^{(2)}(a,\psi )(k=1,2,\dots ,n)$.

Таким образом, мы можем теперь построить приближенные решения системы уравнений (20.1), соответствующие одночастотному колебательному режиму.
В первом приближении имеем:
$$x_k={\phi }_{k}a{e}^{i\psi }+{\phi }_k^{\ast }a{e}^{-i\psi }(k=1,2,\dots ,n),$$

где ${\phi }_k,{\phi }_k^{\ast }(k=1,2,\dots ,n)$ — нетривиальные решения системы однородных алгебраических уравнений (20.8), в которых положено соответственно $p=i\omega$ и $p=-i\omega ;a$ и $\varphi$ — функции времени, определяемые уравнениями
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=\epsilon A_1(a),\\ \frac{d\psi }{dt}=\omega +\epsilon B_1(a),\end{array}\}$$

в которых $A_1(a)$ и $B_1(a)$ находятся из (20.28).
Во втором приближении имеем:
$$x_k={\phi }_{k}a{e}^{i\psi }+{\phi }_k^{\ast }a{e}^{-i\psi }+\epsilon u_k^{(1)}(a,\psi )(k=1,2,\dots ,n),$$

где $u_k^{(1)}(a,\psi )$ определяются согласно формуле $(20,35)$ а $a$ и $\psi$-функции времени, определяемые из уравнений:
$$\begin{array}{rl}\frac{da}{dt}& =\epsilon A_1(a)+{\epsilon }^2{A}_2(a),\\ \frac{d\psi }{dt}& =\omega +\epsilon B_1(a)+{\epsilon }^2{B}_2(a),\end{array}\}$$

в которых $A_1(a)$ и $B_1(a)$ определяются выражением (20.28), а $A_2(a)$ и $B_2(a)$ выражением (20.41).

Резюмируя полученный результат, укажем сейчас формальный прием, с помощью которого можно построить первое и второе приближение для решений системы (20.1), соответствующих одночастотному колебательному процессу, зависящих от двух произвольных постоянных.

Прежде всего необходимо выделить невозмущенную линейную систему и убедиться, что в ней возможны гармонические собственные колебания с некоторой частотой ю. Затем следует проверить, что собственные колебания с этой частотой зависят лишь от двух произвольных постоянных $a$ и $\theta$ :
$$x_k={\phi }_{k}a{e}^{i(\omega t+\theta )}+{\phi }_k^{\ast }a{e}^{-i(\omega t+\theta )}(k=1,2,\dots ,n),$$

и что в невозмущенной системе ( $\epsilon =0$ ) невозможны собственные незатухающие колебания ни на обертонах $\omega$, ни на «нулевой гармонике» (условие отсутствия «статических» решений, отличных от тривиального).
Далее рассматриваем вынужденные колебания
$$x_k=\sum _{r=1}^n{Z}_{kr}(i\alpha )F_r{e}^{i\alpha t},$$

возбуждаемые в невозмущенной системе приложенными силами $F_r{e}^{i\alpha t}$, и находим условие конечности вынужденных колебаний при $\alpha =\omega$ :
$$\sum _{k=1}^n{\chi }_k{F}_k=0$$

Тогда в качестве первого приближения может быть использовано выражение (20.46), в котором $a$ и $\psi =\omega t+\theta$ являются функциями времени, определяемыми уравнениями первого приближения (20.43). Функции $A_1(a)$ и $B_1(a)$, входящие в эти уравнения, находим, подставляя (20.46) в «уравнение гармонического баланса»:
$$\begin{array}{l}{\int }_0^{2\pi }\sum _{k=1}^n{\chi }_k\{\frac{d{x}_k}{dt}-\sum _{r=1}^n{c}_{kr}{x}_r-s{f}_k^{(1)}(x_1,\epsilon \cdots ,x_n)-\\ {-{\epsilon }^2{f}_k^{(2)}(x_1,\dots ,x_n)-\dots \}}_{x_i=u_i^{(0)}(a,\psi )}{e}^{-i\psi }d\psi =0.\end{array}$$

При такой подстановке дифференцирование совершаем с учетом уравнений (20.43) и отбрасываем члены порядка малости выше первого.

Нетрудно проверить, что мы получим для $A_1(a)$ и $B_1(a)$ выражения, аналогичные тем, которые получаем согласно формуле (20.28).

Для построения второго приближения рассмотрим главные члены возмущающих сил
$$\epsilon f_k^{(1)}(x_1,\dots ,x_n)(k=1,2,\dots ,n),$$

подставим в них значения $x_1,\dots ,x_n$ согласно формулам первого приближения (20.46) и разложим результат в ряд Фурье:
$$\sum _{(-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty })}\epsilon {\mathrm{\Phi }}_k^{(m)}(a)e^{im(\omega t+\theta )}.$$

Считая здесь $a$ и $\theta$ постоянными, рассмотрим регуляризированное вынужденное колебание
$$\begin{array}{c}\epsilon u_k^{(1)}(a,\omega t+\theta )=\sum _{\begin{array}{c}-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty }\\ meq\pm 1\end{array}}{e}^{im(\omega t+\theta )}\{\sum _{r=1}^n\epsilon {\mathrm{\Phi }}_r^{(m)}(a)Z_{kr}(im\omega )\}+\\ +e^{i(\omega t+\vartheta )}\{\sum _{r=1}^n{S}_{kr}\epsilon {\mathrm{\Phi }}_r^{(1)}(a)\}+e^{-i(\omega t+\theta )}\{\sum _{r=1}^n{S}_{kr}^{\ast }\epsilon {\mathrm{\Phi }}_r^{(-1)}(a)\}\\ (k=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

возбуждаемое в невозмущенной системе приложенными силами (20.48). Мы говорим о «регуляризированном» вынужденном колебании, подразумевая, что в гармонических компонентах вынужденного колебания, возбужденных «резонирующими членами»,
$$\begin{array}{l}\epsilon {\mathrm{\Phi }}_k^{(1)}{e}^{i(\omega t+\theta )},\\ \epsilon {\mathrm{\Phi }}_k^{(-1)}{e}^{-i(\omega t+\theta )}\end{array}$$

из множителей $Z_{kr}(p)$ удалены их особенности
$$\frac{\lambda {\phi }_k{\chi }_r}{D^{\prime }(i\omega )(p-i\omega )}$$

для $p=i\omega$ и
$$\frac{{\lambda }^{\ast }{\phi }_R^{\ast }{\chi }_r^{\ast }}{D^{\prime }(-i\omega )(p+i\omega )}$$

для $p=-i\omega$.
Введем, далее, две произвольные вещественные функции $K_1(a)$ и $K_2(a)(K(a)=K_1(a)+i{K}_2(a))$, после чего в качестве второго приближения берем выражения вида
$$\begin{array}{c}{x}_k={\phi }_{k}a{e}^{i(\omega t+\theta )}+{\phi }_k^{\ast }a{e}^{-i(\omega t+\theta )}+\epsilon {\phi }_{k}K(a)e^{i(\omega t+\theta )}+\\ +\epsilon {\phi }_k^{\ast }{K}^{\ast }(a)e^{-i(\omega t+\theta )}+\epsilon u_k^{(1)}(a,\omega t+\theta )\\ (k=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

в которых
$$K(a)=K_1(a)+i{K}_2(a),K^{\ast }(a)=K_1(a)-i{K}_2(a).$$

Выражения (20.50), очевидно, могут быть интерпретированы как сумма собственных колебаний и регуляризированных вынужденных колебаний.

Чтобы определить функции $\epsilon A_1(a)+{\epsilon }^2{A}_2(a)$ и $\epsilon B_1(a)+{\epsilon }^2{B}_2(a)$, стоящие в правых частях уравнений второго приближения (20.45), подставляем значения $x_k(k=1,2,\dots ,n)$ согласно формулам (20.50) в «уравнение гармонического баланса\» (20.47), причем при дифференцировании учитываем уравнения второго приближения (20.45) и вычисления ведем с точностью до величин второго порядка малости включительно.

Простая проверка убеждает нас в том, что изложенный формальный прием приводит к тем же результатам, что и разработанная выше теория асимптотических разложений.