Колебательные системы со многими степенями свободы, и даже с бесконечным их числом, постоянно встречаются во многих актуальных проблемах современной техники.

Как известно, даже в случае, если колебания в таких системах описываются дифференциальными уравнениями, близкими к линейным, то приложение обычных асимптотических методов нелинейной механики, идея которых изложена нами выше, требует предварительного решения совокупности линейных дифференциальных уравнений с числом неизвестных пропордиональным числу степеней свободы, что создает значительные затруднения при практическом применении этих методов.

В колебательных системах со многими степенями свободы наличие неизбежного внутреннего трения, а также наличие внешних возмущающих сил приводят обычно к быстрому исчезновению высших частот, т. е. к установлению основного тона колебаний (или колебаний с какой-либо одной частотой $\omega_{k}$ ). Поэтому целесообразно при исследовании системы со многими степенями свободы рассматривать одночастотный режим, т. е. колебания системы, при которых все точки нашей системы совершают колебания с одной и той же частотой.

Как будет видно из дальнейшего, построение асимптотических разложений в этом случае может быть произведено так, как если бы мы имели дело с колебательной системой с одной степенью свободы.

Для рассмотрения общего случая предголожим, что одночастотные колебания в системе со многими степенями свободы описываются следующей системой дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{k}}{d t}-\sum_{q=1}^{n} c_{k q} x_{q}=\varepsilon f_{k}^{(1)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\varepsilon^{2} f_{k}^{(2)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\ldots \\
(k=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

переходящей при нулевом значении малого параметра $\approx$ в систему линейных дифференциальных уравнений:
\[
\frac{d x_{k}}{d t}-\sum_{q=1}^{n} c_{\boldsymbol{k} q} x_{q}=0 \quad(k=1,2, \ldots, n)
\]

с постоянными коэффициентами. Систему дифференциальных уравнений

(20.2) будем в дальнейшем называть дифференциальными уравнениями невозмущенной системы.

Предположим, что в невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с некоторой частотой $\omega$ :
\[
\begin{array}{c}
x_{k}=a \varphi_{k} e^{i(\omega t+i)}+a \varphi_{k}^{*} e^{-i(\omega t+0)} \\
(k=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

зависящие только от двух произвольных постоянных $a, \theta$; здесь $\varphi_{k}, \varphi_{k}^{*}$ собственные функции, характеризующие форму колебания, а значок* указывает на шереход к комплексно-сопряженной величине.

Предположим также, что в невозмущенной системе единственным статическим решением будет тривиальное решение: $x_{k}=0(k=1,2, \ldots, n)$ и что, кроме того, в ней невозможны незатухающие колебания с частотами кратными $\omega$ (условие отсутствия внутреннего резонанса).

При этих условиях будем искать решение невозмущенных уравнений (20.1), соответствующее одночастотному колебанию нашей системы со многими степенями свободы, с помощью разложений
\[
\begin{array}{c}
x_{k}=a \varphi_{k} e^{i \psi}+a \varphi_{k}{ }^{*} e^{-i \psi}+\varepsilon u_{k}^{(1)}(a, \psi)+\varepsilon^{2} u_{k}^{(2)}(a, \psi)+\ldots \\
(k=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

в которых $u^{(1)}(a, \psi), \quad u_{k}^{(2)}(a, \psi), \ldots(k=1,2, \ldots, n)$ являются периодическими функциями угла $\psi$ с периодом $2 \pi$, а величины $a$ и $\psi$ как функции времени определяются дифференциальными уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d a}{d t} & =\varepsilon A_{1}(a)+\varepsilon^{2} A_{2}(a)+\ldots, \\
\frac{d \psi}{d t} & =\omega+\varepsilon B_{1}(a)+\varepsilon^{2} B_{2}(a)+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, как и в предыдущих случаях, мы здесь ставим задачу определения функций
\[
u_{k}^{(1)}(a, \psi) \quad u_{k}^{(2)}(a, \psi), \ldots \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

периодических, с периодом $2 \pi$, по отношению к $\phi$ и функций
\[
A_{1}(a), A_{2}(a), \ldots ; B_{1}(a), B_{2}(a), \ldots
\]

таким образом, чтобы выражения (20.4) удовлетворяли бы уравнениям (20.1) всякий раз, когда $a$ и $\psi$ удовлетворяют уравнениям (20.5).

Заметим, что, поскольку интегрирование уравнений (20.5) вводит только две произвольные постоянные, мы получаем с помощью выражений (20.4) приближенное представление не для общего решения уравнений (20.1), которое должно зависеть от $n$ произвольных постоянных, а лишь для двупараметрического семейства частных решений. Так как в нелинейных системах принцип суперпозиции не имеет места, то, исходя из различных частных решений, мы не можем непосредственно построить общее решение. Однако в ряде важных случаев двупарамөтрическое многообразие решений (20.4) обладает особым свойством сильной устойчивости, заключающимся в тсм, что любое решение уравнений (20.1) при начальных значениях, близких к начальным значениям нашего двупараметрического многообразия интегральных кривых (20.4), при увеличении $t$ стремится к решениям, принадлежащим к семейству (20.4). Рассматриваемое многообразие как бы притягивает к себе все близкие к нему решения.

Собственно говоря, только в этих случаях исследование решений типа (20:4) и может представлять физический интерес. В дальнейшем в главе, посвященной математическому обоснованию, мы более подробно остановимся на указанном вопросе устойчивости многообразий типа (20.4) и на вопросе получения критериев, при выполнении которых представляет интерес рассмотрение двупараметрических семейств типа (20.4).

Прежде чем переходить к решению поставленной задачи – определению функций (20.6) и (20.7), сделаем некоторые предварительные замечания о свойствах колебаний в невозмущенной системе, описываемой уравнениями (20.2), которыми нам придется воспользоваться.

Заметим прежде всего, что для системы однородных алгебраических уравнений
\[
\begin{array}{r}
\sum_{q=1}^{n}\left(\grave{o}_{k q} p-c_{\boldsymbol{k} q}\right) x_{q}=0 \\
(k=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где
\[
\delta_{k g}=\left\{\begin{array}{l}
1, \text { если } k=q, \\
0, \text { если } k
eq q ;
\end{array}\right.
\]

разрешающий определитель
\[
D(p)=D\left\|\delta_{k q} p-c_{k q}\right\|
\]

в соответствии со сделанными предположениями о наличии в системе одночастотного колебательного режима имеет два простых сопряженных чисто мнимых корня $p=+i \omega$ и $p=-i \omega$ и, кроме того, значения $p=0$ и $p= \pm i m \omega$ (где $m$-любое целое число, отличное от единицы) не являются корнями уравнения $D(p)=0$, т. е.
\[
D(\operatorname{im} \omega)
eq 0,
\]

где $-\infty<m<\infty, \quad m
eq \pm 1$.
Обозначим нетривиальные решения системы уравнений (20.8) для значений $p=+i \omega$ и $p=-i \omega$ соответственно через $\varphi_{k}$ и $\varphi_{k}{ }^{*}(k=1,2, \ldots, n)$.
Возьмем сопряженную с (20.8) систему алгебраических уравнений
\[
\sum_{q=1}^{n}\left(\delta_{k q} p+c_{q k}\right) x_{q}=0
\]

и обозначим ее нетривиальные решения для значений $p=+i \omega$ и $p=-i \omega$ соответственно через $\chi_{k}$ и $\chi_{k}{ }^{*}(k=1,2, \ldots, n)$.

Введя эти обозначения, рассмотрим вынужденные колебания, вызываемые в невозмущенной системе (20.2) внешними гармоническими силами
\[
F_{k} e^{i m \omega t} \text {. }
\]

Эти колебания описываются системой дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{k}}{d t}-\sum_{q=1}^{n} c_{\boldsymbol{k}} x_{q}=F_{k} e^{i m \omega t} .
\]

Как известно, в случае, если $m$-любое целое положительное или отрицательное число, отличное от $\pm 1$, решения системы (20.12) представляются формулой
\[
\begin{array}{c}
x_{k}=e^{i m \omega t} \sum_{q=1}^{n} Z_{k q}(i m \omega) F_{q}, \\
Z_{k q}(i m \omega)=\frac{D_{k q}(i m \omega)}{D(i m \omega)},
\end{array}
\]

где $D_{k q}(p)$ – соответствующие миноры определителя $D(p)$. Если $m= \pm 1$, то уравнения (20.12) не имеют, вообще говоря, периодического решения, поскольку $D( \pm i \omega)=0$. Для того чтобы такое репение все же существовало, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
\[
\left.\begin{array}{lll}
\sum_{q=1}^{n} \chi_{q} F_{q}=0 & \text { для } & n=1, \\
\sum_{q=1}^{n} \chi_{q}^{*} F_{q}=0 & \text { для } & n=-1 .
\end{array}\right\}
\]

При выполнении этих условий вынужденное колебание, определяемое уравнениями (20.12) для $m=1$, представляется формулой
\[
x_{k}=e^{i \omega t} \sum_{q=1}^{n} S_{k q} F_{q}+C \varphi_{k} e^{i \omega t} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

в которой
\[
S_{k q}=\left\{\frac{\frac{\partial D_{k q}(p)}{\partial p}}{\frac{\partial D(p)}{\partial p}}\right\}_{p=i \omega} \quad(k, q=1,2, \ldots, n)
\]

и $C$-произвольная постоянная. Аналогичную формулу получаем и для $n=-1$.

Рассмотрим теперь задачу о нахождении периодического, с периодом $\frac{2 \pi}{\omega}$, репения системы дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{h}}{d t}-\sum_{q=1}^{n} c_{k q} x_{q}=\sum_{(-\infty<m<\infty)} F_{k}^{(m)} e^{i m \omega t} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]
т. е. задачу о нахождении вынужденного колебания в невозмущенной системе под действием сил
\[
\sum_{(-\infty<m<\infty)} F_{k}^{(m)} e^{i m \omega t} \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Поскольку нас интересуют, разумеется, лишь вещественные решения, мы будем предполагать выполненными условия вещественности
\[
F_{k}^{(-m)}=F_{k}^{*(m)} \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Тогда на основании вышесказанного убеждаемся, что поставленная задача имеет решение только в случае, когда выполняются условия
\[
\sum_{q=1}^{n} \chi_{q} F_{q}^{(1)}=0, \quad \sum_{q=1}^{n} \chi_{q}^{*} F_{q}^{(-1)}=0 .
\]

Заметим, между прочим, что благодаря (20.17) одно из этих условий является следствием другого.

Если условие (20.18) выполняется, то искомое периодическое решение представляется следующей формулой:
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=\sum_{\substack{-\infty<m<\infty \\
m
eq \pm 1}} e^{i m \omega t}\left\{\sum_{q=1}^{n} Z_{k q}(i m \omega) F_{q}^{(m)}\right\}+e^{i \omega t} \sum_{q=1}^{n} S_{k q} F_{q}^{(1)}+ \\
+e^{-i \omega t} \sum_{q=1}^{n} S_{k q}^{*} F_{q}^{(-1)}+C \varphi_{k} e^{i \omega t}+C^{*} \varphi_{k}^{*} e^{-i \omega t} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

содержащей две произвольные постоянные-вещественную и мнимую части $C$.

Заменяя в предыдущих выкладках $\omega t$ на $\psi$, легко получить следующий результат, который нам понадобится в дальнейшем при определении функций (20.6).
Для того чтобы система уравнений
\[
\omega \frac{\partial u_{k}}{\partial \psi}-\sum_{q=1}^{n} c_{k q} u_{q}=\sum_{(-\infty<m<\infty)} F_{k}^{(m)} e^{i m \psi},
\]

для которой выполняются условия вещественности (20.17), имела вещественное периодическое решение, с периодом $2 \pi$, необходимо и достаточно, чтобы
\[
\sum_{k=1}^{n} F_{k}^{(1)} \chi_{k}=0 .
\]

Если это условие выполнено, искомое решение имеет следующий вид:
\[
\begin{array}{r}
u_{k}(\psi)=\sum_{\substack{-\infty<m<\infty \\
m
eq \pm 1}} e^{i m \psi}\left\{\sum_{q=1}^{n} Z_{k q}(i m()) F_{q}^{(m)}\right\}+e^{i \psi} \sum_{q=1}^{n} S_{k q} F_{q}^{(1)}+ \\
+e^{-i \omega} \sum_{q=1}^{n} S_{k q}^{*} F_{q}^{(-1)}+C \varphi_{k} e^{i \psi}+C^{*} \varphi_{k}^{*} e^{-i \psi},
\end{array}
\]

где $C$-произвольная комплексная постоянная.
После этих предварительных замечаний приступим к репению нашей основной задачи, т. е. к нахождению функций (20.6) и (20.7).
Разложение (20.4) напипем в виде
\[
x_{k}=u_{k}^{(0)}(a, \psi)+\varepsilon u_{k}^{(1)}(a, \psi)+\varepsilon^{2} u_{k}^{(2)}(a, \psi)+\ldots \quad(k=1,2, \ldots, n) \text {, }
\]

где для сокращения положено
\[
u_{k}^{(0)}(a, \psi)=\varphi_{k} a e^{i \psi}+\varphi_{k}^{*} a e^{-i \psi} \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Дифференцируя выражения (20.23) по времени и учитывая при этом уравнения (20.5), находим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{k}}{d t}=\left\{\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial a}+\varepsilon \frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial a}+\varepsilon^{2} \frac{\partial u_{k}^{(2)}}{\partial a}+\ldots\right\} \frac{d a}{d t}+ \\
+\left\{\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial \psi}+\varepsilon \frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial \psi}+\varepsilon^{2} \frac{\partial u_{k}^{(2)}}{\partial \psi}+\ldots\right\} \frac{d \psi}{d t}= \\
=\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial \psi}(1)+\varepsilon\left\{\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial \psi} B_{1}+() \frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial \psi}\right\}+ \\
+ \varepsilon^{2}\left\{\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial a} A_{2}+\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial \psi} B_{2}+\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial \psi} B_{1}+\frac{\partial u_{k}^{(2)}}{\partial \psi} \omega\right\}+\varepsilon^{3} \cdots s \\
\quad(k=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

и поэтому левые части уравнений (20.1) могут быть представлены в виде:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{k}}{d t}-\sum_{q=1}^{n} c_{k q} x_{q}=\varepsilon\left\{\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial \psi}-\sum_{q=1}^{n} c_{k q} u_{q}^{(1)}+\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial \psi} B_{1}\right\}+ \\
+\varepsilon^{2}\left\{\omega \frac{\partial u_{k}^{(2)}}{\partial \psi}-\sum_{q=1}^{n} c_{k q} u_{q}^{(2)}+\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial a} A_{2}+\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial \psi} B_{2}+\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial \psi} B_{1}\right\}+\varepsilon^{3} \ldots \\
\quad(k=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Подставляя (20.23) в правые части уравнений (20.1), можем их записать следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon f_{k}^{(1)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\varepsilon^{2} f_{k}^{(2)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\varepsilon^{3} \ldots=\varepsilon f_{k}^{(1)}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right)+ \\
+\varepsilon^{3}\left\{\sum_{r=1}^{n} f_{k_{r}}^{(1)^{\prime}}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right) u_{r}^{(1)}+f_{k}^{(2)}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right)\right\}+\varepsilon^{3} \ldots \\
(k=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях є в последних двух выражениях, получим:
\[
\begin{array}{l}
\omega \frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial \psi}-\sum_{q=1}^{n} c_{k q} u_{k}^{(1)}=f_{k}^{(1)}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right)-\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial a} A_{1}-\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial \downarrow} B_{1}, \\
\omega \frac{\partial u_{k}^{(2)}}{\partial \psi}-\sum_{q=1}^{n} c_{k q} u_{k}^{(2)}=\sum_{r=1}^{n} f_{k_{x r}}^{(1)^{\prime}}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right) u_{r}^{(1)}+ \\
+f_{k}^{(2)}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right)-\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial a} A_{1}-\frac{\partial u_{h}^{(1)}}{\partial \psi} B_{1}-\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial a} A_{2}-\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial \psi} B_{2}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
(k=1,2, \ldots, n) \text {. } \\
\end{array}
\]

Из полученных систем уравнений (20.25), (20.26) и т. д. мы последовательно можем определить искомые функции $u_{k}^{(1)}(a, \psi), u_{k}^{(2)}(a, \psi), \ldots$ $(k=1,2, \ldots, n)$, а также функции $A_{1}(a), B_{1}(a), A_{2}(a), B_{2}(a), \ldots$, причем последние должны быть определены так, чтобы функции $u_{k}^{(1)}(a, \phi)$, $u_{k}^{(2)}(a, \psi), \ldots,(k=1,2, \ldots, n)$ были периодическими по $\psi$ с периодом $2 \pi$.

Приступая к решению системы уравнений (20.25), рассмотрим разложения Фурье для функций $f_{k}^{(1)}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right)(k=1,2, \ldots, n)$ в комплексной форме:
\[
f_{k}^{(1)}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right)=\sum_{(-\infty<m<\infty)} \Phi_{k}^{(0)}(a) e^{i m \psi} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
\Phi_{k}^{(m)}(a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{k}^{(1)}\left(u_{1}^{(0)}, . \Omega \mathbf{x}, u_{n}^{(0)}\right) e^{-i m \psi} \psi d \psi
\]

Тогда систему уравнений (20.25), учитывая также – обозначения (20.24), можем представить в виде
\[
\begin{array}{l}
\omega \frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial \psi}-\sum_{q=1}^{n} c_{k q} u_{q}^{(1)}=\sum_{\substack{-\infty<m<\infty \\
m
eq \pm 1}} \Phi_{k}^{(m)}(a) e^{i m \psi}+ \\
+\left\{\Phi_{k}^{(1)}(a)-A_{1} \varphi_{k}-i B_{1} \varphi_{k} a\right\} e^{i \psi}+\left\{\Phi_{k}^{(-1)}(a)-A_{1} \varphi_{k}^{*}+i B_{1} \varphi_{k}^{*} a\right\} e^{-i \psi} \\
(k=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Мы получили тем самым уравнения типа (20.20). Поэтому, для того чтобы из системы (20.27) можно было бы определить искомые функции $u_{k}^{(1)}(a, \phi)(k=1,2, \ldots, n)$, периодические по $\psi$, должно выполняться условие, аналогичное условию (20.21), т. е.
\[
\sum_{q=1}^{n} \chi_{q}\left\{\Phi_{q}^{(1)}(a)-A_{1} \varphi_{q}-i B_{1} \varphi_{q} a\right\}=0,
\]

откуда находим выражения для $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$ :
\[
A_{1}(a)+i a B_{1}(a)=\frac{\sum_{q=1}^{n} \chi_{q} \Phi_{q}^{(1)}(a)}{\sum_{q=1}^{n} \chi_{q} \varphi_{q}} .
\]

Решая тешерь уравнения (20.27), получаем в соответствии с (20.22) следующее выражение для функций $u_{R}^{(1)}(a, \psi)$ :
\[
\begin{array}{c}
u_{k}^{(1)}(a, \psi)=\sum_{\substack{-\infty o m<\infty \\
m
eq \pm 1}} e^{i m \psi}\left\{\sum_{q=1}^{n} Z_{k q}(i m \omega) \Phi_{k}^{(m)}(a)\right\}+ \\
+e^{i \psi} \sum_{q=1}^{n} S_{k q}\left\{\Phi_{q}^{(1)}(a)-\left(A_{1}(a)+i a B_{1}(a)\right) \varphi_{q}\right\}+e^{-i \psi} \sum_{q=1}^{n} S_{k q}^{*}\left\{\Phi_{q}^{(-1)}(a)-\right. \\
\left.\quad-\left(A_{1}(a)-i a B_{1}(a)\right) \varphi_{q}^{*}\right\}+C_{1}(a) \varphi_{k} e^{i \psi}+C_{1}^{*}(a) \varphi_{k}^{*} e^{-i \psi} \\
(k=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

содержащее две произвольные функции – вещественную и мнимую части $C_{1}(a)$, не зависящие от $\psi$.

Чтобы несколько упростить это выражение, заметим, что по определению миноров $D_{k q}(p)$ имеем тождественно:
\[
\left.\begin{array}{l}
p D_{k q}(p)-\sum_{r=1}^{n} c_{k r} D_{r q}(p)=\delta_{k q} D(p), \\
p D_{k q}(p)-\sum_{r=1}^{n} c_{r q} D_{k r}(p)=\delta_{k q} D(p),
\end{array}\right\}
\]

где

Полагая в (20.30) $p=i \omega$, видим, что при любом фиксированном $q$ величины $x_{k}=D_{k q}(i \omega)$ удовлетворяют уравнениям (20.8) и, следовательно, должны быть пропорциональны $\varphi_{k}$. Аналогично при любом фиксированном $k D_{k q}(i \omega)$ должны быть пропорциональны $\chi_{q}$.

Таким образом, имеем:
\[
D_{k q}(i \omega)=\lambda \varphi_{k} \chi_{q} .
\]

Дифференцируя (20.30) по $p$ и затем полагая $p=i \omega$, получим в силу (20.31):
\[
\lambda \varphi_{k} \chi_{q}+i \omega D_{k q}^{\prime}(i \omega)-\sum_{r=1}^{n} c_{k r} D_{r q}^{\prime}(i \omega)=\delta_{k q} D^{\prime}(i \omega),
\]

или, учитывая ранее введенные обозначения,
\[
\frac{\lambda \varphi_{k} \chi_{q}}{D^{\prime}(i \omega)}+i \omega S_{k q}-\sum_{r=1}^{n} c_{k r} S_{r q}=\grave{\delta}_{k q} .
\]

Таким образом, при любом фиксированном $\dot{q}$ величины $y_{k}=S_{k q}$ удовлетворяют уравнениям:
\[
i \omega y_{k}-\sum_{r=1}^{n} c_{k r} y_{r}=\grave{\delta}_{k q}-\frac{\lambda \varphi_{k} \chi_{q}}{D^{\prime}(i \omega)} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Поэтому
\[
\sum_{k=1}^{n} \chi_{k}\left\{i_{k q}-\frac{\lambda \varphi_{k} \chi_{q}}{D^{\prime}(i \omega)}\right\}=0
\]

откуда
\[
\sum_{k=1}^{n} \varphi_{k} \chi_{k}=\frac{D^{\prime}(i \omega)}{\lambda}
eq 0
\]

поскольку корень $p=i \omega$ уравнения $D(p)=0$ является простым.
Следовательно, видим, что знаменатель в формуле (20.28) всегда отличен от нуля.

Умножим теперь обе части (20.32) на $\varphi_{q}$ и просуммируем рөзультат по $q$. Так как согласно (20.33)
\[
\varphi_{k}=-\frac{\sum_{q=1}^{n} \lambda \varphi_{k} q_{q} \chi_{q}}{D^{\prime}(i \omega)}
eq 0,
\]

то будем иметь:
\[
i \omega\left(\sum_{q=1}^{n} S_{k q} \varphi_{q}\right)-\sum_{r=1}^{n} c_{k r} \sum_{q=1}^{n} S_{r q} \varphi_{q}=0,
\]

и поэтому
\[
\sum_{q=1}^{n} S_{k q} \varphi_{q}=\alpha \varphi_{k}, \alpha=\mathrm{const} \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Принимая во внимание полученные равенства и вводя вместо $C_{1}(a)$ новую произвольную функцию
\[
K(a)=C_{1}(a)-a\left[A_{1}(a)+i a B_{1}(a)\right],
\]

мы можем представить (20.29) в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
u_{k}^{(1)}(a, \psi)=\sum_{\substack{-\infty<m<\infty \\
m
eq \pm 1}} e^{i m \psi}\left\{\sum_{q=1}^{n} Z_{k q}(i m \omega) \Phi_{q}^{(m)}(a)\right\}+ \\
\left.+e^{i \psi} \sum_{q=1}^{n} S_{k q} \Phi_{q}^{(1)}(a)+K(a) \varphi_{k}\right\}+e^{-i \psi}\left\{\sum_{q=1}^{n} S_{k q}^{*} \Phi_{q}^{(-1)}(a)+K^{*}(a) \varphi_{k}^{*}\right\} \\
(k=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Заметим, далее, что так как значения $p= \pm i \omega$ являются простыми корнями уравнения $D(p)=0$, то они будут простыми полюсами функций
\[
Z_{k q}(p)=\frac{D_{k q}(p)}{D(p)},
\]

и поэтому на основании (20.31) можем написать:
\[
Z_{h q}(p)=\frac{\lambda \varphi_{k} \chi_{q}}{D^{\prime}(i \omega)(p-i \omega)}+\frac{\lambda^{*} \varphi_{k}^{*} \chi_{q}^{*}}{D^{\prime}(-i \omega)(p+i \omega)}+Z_{k q}^{*}(p),
\]

где $Z_{k q}^{*}(p)$ является регулярной функцией в окрестности точек $p= \pm i \omega$. Поскольку по определению
\[
S_{k q}=\frac{D_{k q}^{\prime}(i \omega)}{D^{\prime}(i \omega)},
\]

то мы видим, что $S_{k q}$ будет значением регулярной части $Z_{k q}(p)$ в точке полюса $p=i \omega$ :
\[
S_{k q}=\frac{\lambda^{*} \varphi_{k}^{*} \chi_{q}^{*}}{2 i \omega D^{\prime}(-i \omega)}+Z_{k q}^{*}(i \omega) .
\]

Аналогично $S_{k q}^{*}$ будет значением соответствующей регулярной части $Z_{k q}$ в точке полюса $p=-i \omega$ :
\[
S_{k q}^{*}=-\frac{\lambda \varphi_{k} \chi q}{2 i \omega D^{\prime}(i \omega)}+Z_{k q}^{*}(i \omega) .
\]

В полученном нами выражении для функций $u_{k}^{(1)}(a, \psi)(k=1,2, \ldots, n)$ (20.35) содержатся две произвольные функции – действительная и мнимая части $K(a)$. Для определения этих функций мы можем, как делали это ранее, наложить дополнительное требование, заключающееся в том, чтобы каждая из $n$ функций $u_{k}^{(1)}(a, \psi)$ не содержала основной гармоники, так как подобное требование привело бы к $2 n$ условиям.
В рассматриваемом случае воспользуемся следующим приемом.
Возьмем какие-либо постоянные $g_{1}, \ldots, g_{n}$ п образуем линейную комбинацию:
\[
g_{1} u_{1}^{(1)}(a, \psi)+\ldots+g_{n} u_{n}^{(1)}(a, \psi) .
\]

Потребуем, чтобы в разложении Фурье для функции (20.39) отсутствовал член с $e^{i \psi}$. Для этого необходимо, чтобы имело место следующее соотношение:
\[
\int_{0}^{2 \pi}\left[g_{1} u_{1}^{(1)}(a, \phi)+\ldots+g_{n} u_{n}^{(1)}(a, \psi)\right] e^{-i \psi} d \psi=0 .
\]

Подставляя в $(20.40)$ значения $u_{k}^{(1)}(a, \psi)(k=1,2, \ldots, n)$ (20.35), получаем одно линейное уравнение, из которого можем определить $K(a)$.

В частности, если в качестве $g_{1}, \ldots, g_{n}$ взяты вещественные величины, условие (20.40) будет эквивалентно условию отсутствия основной гармоники у функции (20.39).

Найдя, таким образом, вещественную и мнимую части $K(a)$ и определив тем самым, согласно (20.35), вид функций $u_{k}^{(1)}(a, \psi)(k=1,2, \ldots, n)$, перейдем к решению уравнений (20.26).

Как и в предыдущем случае, для того, чтобы эти уравнения обладали периодическим решением по $\psi$ с периодом $2 \pi$, необходимо, чтобы выполнялось условие типа (20.21), т. е. чтобы
\[
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n} \chi_{k} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\sum _ { r = 1 } ^ { n } f _ { k _ { x } } ^ { ( 1 ) ^ { \prime } } \left(u_{1}^{(0)}\right.\right. & \left., \ldots, u_{n}^{(0)}\right) u_{r}^{(1)}+f_{k}^{(2)}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right)- \\
& \left.-\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial a} A_{1}-\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial \psi} B_{1}-\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial a} A_{2}-\frac{\partial u_{k}^{(0)}}{\partial \psi} B_{2}\right\} e^{-i \psi} d \psi=0 .
\end{aligned}
\]

Это условие дает нам возможность определить функции $A_{2}(a)$ и $B_{2}(a)$ :
\[
\begin{array}{l}
A_{2}(a)+i a B_{2}(a)= \\
=\sum_{k=1}^{n} \chi_{k} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\sum_{r=1}^{n} f_{k x_{r}}^{(1)^{\prime}}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right) u_{r}^{(1)}+f_{k}^{(2)}\left(u_{1}^{(0)}, \ldots, u_{n}^{(0)}\right)-\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial a} A_{1}-\frac{\partial u_{k}^{(1)}}{\partial \psi} B_{1}\right\} e^{-i \psi} d \psi . \\
2 \pi \sum_{k=1}^{n} \chi_{k} \varphi_{k} \\
\end{array}
\]

Приняв это выражение для $A_{2}(a)$ и $B_{2}(a)$, мы можем найти из (20.26) периодические функции $u_{k}^{(2)}(a, \psi)(k=1,2, \ldots, n)$.

Таким образом, мы можем теперь построить приближенные решения системы уравнений (20.1), соответствующие одночастотному колебательному режиму.
В первом приближении имеем:
\[
x_{k}=\varphi_{k} a e^{i \psi}+\varphi_{k}^{*} a e^{-i \psi} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

где $\varphi_{k}, \varphi_{k}^{*}(k=1,2, \ldots, n)$ – нетривиальные решения системы однородных алгебраических уравнений (20.8), в которых положено соответственно $p=i \omega$ и $p=-i \omega ; a$ и $\phi$ – функции времени, определяемые уравнениями
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a), \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega+\varepsilon B_{1}(a),
\end{array}\right\}
\]

в которых $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$ находятся из (20.28).
Во втором приближении имеем:
\[
x_{k}=\varphi_{k} a e^{i \psi}+\varphi_{k}^{*} a e^{-i \psi}+\varepsilon u_{k}^{(1)}(a, \psi) \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

где $u_{k}^{(1)}(a, \psi)$ определяются согласно формуле $(20,35)$ а $a$ и $\psi$-функции времени, определяемые из уравнений:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d a}{d t} & =\varepsilon A_{1}(a)+\varepsilon^{2} A_{2}(a), \\
\frac{d \psi}{d t} & =\omega+\varepsilon B_{1}(a)+\varepsilon^{2} B_{2}(a),
\end{array}\right\}
\]

в которых $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$ определяются выражением (20.28), а $A_{2}(a)$ и $B_{2}(a)$ выражением (20.41).

Резюмируя полученный результат, укажем сейчас формальный прием, с помощью которого можно построить первое и второе приближение для решений системы (20.1), соответствующих одночастотному колебательному процессу, зависящих от двух произвольных постоянных.

Прежде всего необходимо выделить невозмущенную линейную систему и убедиться, что в ней возможны гармонические собственные колебания с некоторой частотой ю. Затем следует проверить, что собственные колебания с этой частотой зависят лишь от двух произвольных постоянных $a$ и $\theta$ :
\[
x_{k}=\varphi_{k} a e^{i(\omega t+\theta)}+\varphi_{k}^{*} a e^{-i(\omega t+\theta)} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

и что в невозмущенной системе ( $\varepsilon=0$ ) невозможны собственные незатухающие колебания ни на обертонах $\omega$, ни на «нулевой гармонике» (условие отсутствия «статических» решений, отличных от тривиального).
Далее рассматриваем вынужденные колебания
\[
x_{k}=\sum_{r=1}^{n} Z_{k r}(i \alpha) F_{r} e^{i \alpha t},
\]

возбуждаемые в невозмущенной системе приложенными силами $F_{r} e^{i \alpha t}$, и находим условие конечности вынужденных колебаний при $\alpha=\omega$ :
\[
\sum_{k=1}^{n} \chi_{k} F_{k}=0
\]

Тогда в качестве первого приближения может быть использовано выражение (20.46), в котором $a$ и $\psi=\omega t+\theta$ являются функциями времени, определяемыми уравнениями первого приближения (20.43). Функции $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$, входящие в эти уравнения, находим, подставляя (20.46) в «уравнение гармонического баланса»:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi} \sum_{k=1}^{n} \chi_{k}\left\{\frac{d x_{k}}{d t}-\sum_{r=1}^{n} c_{k r} x_{r}-s f_{k}^{(1)}\left(x_{1}, \varepsilon \cdots, x_{n}\right)-\right. \\
\left.-\varepsilon^{2} f_{k}^{(2)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-\ldots\right\}_{x_{i}=u_{i}^{(0)}(a, \psi)} e^{-i \psi} d \psi=0 .
\end{array}
\]

При такой подстановке дифференцирование совершаем с учетом уравнений (20.43) и отбрасываем члены порядка малости выше первого.

Нетрудно проверить, что мы получим для $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$ выражения, аналогичные тем, которые получаем согласно формуле (20.28).

Для построения второго приближения рассмотрим главные члены возмущающих сил
\[
\varepsilon f_{k}^{(1)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

подставим в них значения $x_{1}, \ldots, x_{n}$ согласно формулам первого приближения (20.46) и разложим результат в ряд Фурье:
\[
\sum_{(-\infty<m<\infty)} \varepsilon \Phi_{k}^{(m)}(a) e^{i m(\omega t+\theta)} .
\]

Считая здесь $a$ и $\theta$ постоянными, рассмотрим регуляризированное вынужденное колебание
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon u_{k}^{(1)}(a, \omega t+\theta)=\sum_{\substack{-\infty<m<\infty \\
m
eq \pm 1}} e^{i m(\omega t+\theta)}\left\{\sum_{r=1}^{n} \varepsilon \Phi_{r}^{(m)}(a) Z_{k r}(i m \omega)\right\}+ \\
+e^{i(\omega t+\vartheta)}\left\{\sum_{r=1}^{n} S_{k r} \varepsilon \Phi_{r}^{(1)}(a)\right\}+e^{-i(\omega t+\theta)}\left\{\sum_{r=1}^{n} S_{k r}^{*} \varepsilon \Phi_{r}^{(-1)}(a)\right\} \\
(k=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

возбуждаемое в невозмущенной системе приложенными силами (20.48). Мы говорим о «регуляризированном» вынужденном колебании, подразумевая, что в гармонических компонентах вынужденного колебания, возбужденных «резонирующими членами»,
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon \Phi_{k}^{(1)} e^{i(\omega t+\theta)}, \\
\varepsilon \Phi_{k}^{(-1)} e^{-i(\omega t+\theta)}
\end{array}
\]

из множителей $Z_{k r}(p)$ удалены их особенности
\[
\frac{\lambda \varphi_{k} \chi_{r}}{D^{\prime}(i \omega)(p-i \omega)}
\]

для $p=i \omega$ и
\[
\frac{\lambda^{*} \varphi_{R}^{*} \chi_{r}^{*}}{D^{\prime}(-i \omega)(p+i \omega)}
\]

для $p=-i \omega$.
Введем, далее, две произвольные вещественные функции $K_{1}(a)$ и $K_{2}(a) \quad\left(K(a)=K_{1}(a)+i K_{2}(a)\right)$, после чего в качестве второго приближения берем выражения вида
\[
\begin{array}{c}
x_{k}=\varphi_{k} a e^{i(\omega t+\theta)}+\varphi_{k}^{*} a e^{-i(\omega t+\theta)}+\varepsilon \varphi_{k} K(a) e^{i(\omega t+\theta)}+ \\
+\varepsilon \varphi_{k}^{*} K^{*}(a) e^{-i(\omega t+\theta)}+\varepsilon u_{k}^{(1)}(a, \omega t+\theta) \\
(k=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

в которых
\[
K(a)=K_{1}(a)+i K_{2}(a), \quad K^{*}(a)=K_{1}(a)-i K_{2}(a) .
\]

Выражения (20.50), очевидно, могут быть интерпретированы как сумма собственных колебаний и регуляризированных вынужденных колебаний.

Чтобы определить функции $\varepsilon A_{1}(a)+\varepsilon^{2} A_{2}(a)$ и $\varepsilon B_{1}(a)+\varepsilon^{2} B_{2}(a)$, стоящие в правых частях уравнений второго приближения (20.45), подставляем значения $x_{k}(k=1,2, \ldots, n)$ согласно формулам (20.50) в «уравнение гармонического баланса\” (20.47), причем при дифференцировании учитываем уравнения второго приближения (20.45) и вычисления ведем с точностью до величин второго порядка малости включительно.

Простая проверка убеждает нас в том, что изложенный формальный прием приводит к тем же результатам, что и разработанная выше теория асимптотических разложений.