Часто при исследовании колебательных систем со многими степенями свободы удобнее – рассматривать систему $N$ дифференциальных уравнений второго порядка, где $N$ – число степеней свободы.

Мы рассмотрим частный случай, когда невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колебаний.

Для исследования этого частного случая воспользуемся результатами, установленными в предыдущем параграфе. Как известно, в этом случае невозмущенная система полностью характеризуется кинетической энергией
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \dot{q}_{r} \dot{q}_{s}
\]

и потенциальной энергией
\[
V=\frac{1}{2} \sum_{r, s=1}^{N} c_{r s} q_{r} q_{s}
\]

где $q_{s}(s=1,2, \ldots, N)$ – обобщенные координаты и $a_{r s}, c_{r s}$ – соответственно инерционные и квазиупругие коэффициенты, причем $a_{r s}=a_{s r}$, $c_{r s}=c_{s r}$.

Подставляя значөния кинетической и потенциальной энергии (21.1) и (21.2) в уравнения Лагранжа, мы получаем дифференциальные уравнения невозмущенного движения в виде
\[
\sum_{s=1}^{N}\left\{a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r s} q_{s}\right\}=0 \quad(r=1,2, \ldots, N) .
\]

Предполагая, что возмущение определяется малыми обобщенными силами вида
\[
\begin{array}{l}
Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, s\right)= \\
=\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+s^{3} \ldots \text { (21.4) } \\
(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

приходим к задаче исследования следующих дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{s=1}^{N}\left\{a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r 3} q_{s}\right\}= \\
=\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\varepsilon^{3} \ldots(21.5) \\
\quad(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

которые при $\varepsilon=0$ вырождаются в уравнения (21.3).
Прежде чем переходить к применению результатов предыдущего параграфа к исследованию системы уравнений (21.5), остановимся на некоторых свойствах решений системы невозмущенных уравнений (21.3).

Как известно, частные решения невозмущенной системы (21.3), соответствующие нормальным колебаниям, представляются выражениями:
\[
\begin{array}{c}
q_{\mathrm{s}}=\varphi_{s}^{(j)} a e^{i\left(\omega_{j} t+\theta\right)}+\varphi_{s}^{(j)^{*}} a e^{-i\left(\omega_{j} t+\theta\right)} \\
(s, j=1,2, \ldots, N)
\end{array}
\]

или в вещественной форме
\[
q_{s}=\varphi_{s}^{(j)} a \cos \left(\omega_{j} t+\theta\right) \quad(s, j=1,2, \ldots, N),
\]

где $\omega_{j}(j=1,2, \ldots, N)$-собственные частоты, определяемые характеристическим уравнением
\[
D\left\|-a_{r s} \omega^{2}+c_{r s}\right\|=0,
\]
$\varphi_{s}^{(j)}(s, j=1,2, \ldots, N)$ – нормальные функции, являющиеся нетривиальными решениями системы однородных алгебраических уравнений
\[
\sum_{s=1}^{N}\left\{-a_{r s} \omega_{j}^{2}+c_{r s}\right\} \varphi_{s}^{(j)}=0 \quad(r, j=1,2, \ldots, N),
\]

обладающие свойством ортогональности
\[
\left.\begin{array}{l}
\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \varphi_{r}^{(j)} \varphi_{s}^{(l)}=0, \\
\sum_{r, s=1}^{N} c_{r s} \varphi_{r}^{(j)} \varphi_{s}^{(l)}=0(j
eq l),
\end{array}\right\}
\]

а $a$ и $\theta$-вещественные произвольные постоянные.
Заметим далее, что вынужденные колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе (21.3) гармоническими обобщенными силами
\[
Q_{r}=E_{r} \cos (\alpha t+\vartheta) \quad(r=1,2, \ldots, N),
\]

определяются выражениями:
\[
q_{s}=u_{s} \cos (\alpha t+\vartheta) \quad(s=1,2, \ldots, N) .
\]

Постоянные амплитуды $u_{r}(r=1,2, \ldots, N)$ удовлетворяют системе неоднородных алгебраических уравнений
\[
\sum_{s=1}^{N}\left\{-a_{r s} \alpha^{2}+c_{r s}\right\} u_{s}=E_{r} \quad(r=1,2, \ldots, N),
\]

для решения которой воспользуемєя нормальными координатами. Будем искать выражение для $u_{s}(s=1,2, \ldots, N)$ в виде сумм
\[
u_{s}=\sum_{j=1}^{N} c_{j} \varphi_{s}^{(j)} \quad(s=1,2, \ldots, N),
\]

где $c_{j}$ – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя (21.11) в систему уравнений (21.10) и учитывая, что
\[
\varphi_{s}^{(j)}(s, j=1,2, \ldots, N)
\]

удовлетворяют системам однородных алгебраических уравнений (21.8), получим:
\[
\sum_{j=1}^{N} \sum_{s=1}^{N} a_{r s}\left\{\omega_{j}^{2}-\alpha^{2}\right\} c_{j} \varphi_{s}^{(j)}=E_{r} \quad(r=1,2, \ldots, N) .
\]

Умножая эти уравнения соответственно на $\varphi_{1}^{\left(j_{1}\right)}, \varphi_{2}^{\left(j_{1}\right)}, \ldots, \varphi_{N}^{\left(j_{1}\right)}$ и суммируя результат по $r$, находим:
\[
\sum_{j=1}^{N} c_{j}\left\{\omega^{(2)}-\alpha^{2}\right\} \sum_{s, r=1}^{N} a_{r s} \varphi_{s}^{(j)} \varphi_{r}^{\left(j_{1}\right)}=\sum_{r=1}^{N} E_{r} \varphi_{r}^{\left(j_{1}\right)} .
\]

Принимая во внимание ортогональность нормальных функций (выражения (21.9)) и вводя обозначения
\[
\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \psi_{r}^{(j)} \psi_{s}^{(j)}=m_{j} \quad(j=1,2, \ldots, N),
\]

находим:
\[
u_{s}=\sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N} E_{r} \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-\alpha^{2}\right)} \quad(s=1,2, \ldots, N) .
\]

Таким образом, условие конечности вынужденных колебаний в случае, когда частота внешней силы $\alpha$ равна одной из собственных частот, например $\omega_{1}$, будет иметь вид:
\[
\sum_{r=1}^{N} E_{r} \varphi_{r}^{(1)}=0 .
\]

При выполнении этого условия амплитуды вынужденных колебаний ошределяются формулой
\[
u_{\mathrm{s}}=\sum_{j=2}^{N} \varphi_{\mathrm{s}}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N} E_{r} \Psi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-\alpha^{2}\right)}+C \varphi_{\mathrm{s}}^{(1)} \quad(s=1,2, \ldots, N),
\]

где $C$-произвольная постоянная.
После сделанных кратких замечаний о собственных и вынужденных колебаниях в невозмущенной системе (21.3) перейдем к исследованию системы возмущенных уравнений (21.5).

Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим задачу о построении асимптотических приближенных формул для частных решений, соответствующих одночастотным колебаниям, близким (при малых в) к одному из нормальных невозмущенных колебаний (21.6), например к нормальному колебанию
\[
q_{s}=\varphi_{\mathrm{s}}^{(1)} a \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right) \quad(s=1,2, \ldots, N)
\]

с частотой $\omega_{1}$.
Чтобы удовлетворить условиям применимости метода, изложенного в предыдущем параграфе, необходимо сделать следующие допущения:
1. В невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с частотой $\omega_{1}$, зависящие только от двух произвольных постоянных.
2. Единственным решением, соответствующим равновесию в невозмущенной системе, является тривиальное решение
\[
q_{1}=q_{2}=\ldots=q_{N}=0 .
\]
3. Частота $\omega_{1}$, а также ни один из ее обертонов $2 \omega_{1}, 3 \omega_{1}, \ldots, k \omega_{1}, \ldots$ не равны какой-либо собственной частоте $\omega_{2}, \ldots, \omega_{N}$ невозмущенной системы (отсутствует внутренний резонанс).

При этих условиях мы можем применить нап метод и построить асимштотические разложения
\[
\begin{array}{c}
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right)+\varepsilon u_{s}^{(1)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right)+\varepsilon^{2} u_{s}^{(2)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right)+\varepsilon^{3} \cdots \\
(s=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

в которых $a$ и $\psi=\omega_{1} t+\theta$ определяются дифференциальными уравнениями вида:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a)+\varepsilon^{2} A_{2}(a)+\varepsilon^{3} \ldots, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}+\varepsilon B_{1}(a)+\varepsilon^{2} B_{2}(a)+\varepsilon^{3} \ldots
\end{array}\right\}
\]

Функции $u_{s}^{(1)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right), \quad u_{s}^{(2)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right), \ldots(s=1,2, \ldots, N)$; $A_{1}(a), A_{2}(a), \ldots ; B_{1}(a), B_{2}(a), \ldots$, стоящие в правых частях выражений (21.19) и уравнений (21.15), могут быть определены совершенно так же, как и в предыдущем параграфе. Однако нетрудно убедиться, что первые члены разложений (21.19) и (21.20), необходимые для построения решений в первом и во втором приближении, могут быть найдены с помощью формального приема, сформулированного в предыдущем параграфе.

Выведем вначале формулы для первого приближения. Как и в предыдущем параграфе, в качестве первого приближения принимаем выражения
\[
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos \psi \quad(s=1,2, \ldots, N),
\]

в которых амплитуда $a$ и полная фаза $\psi$ определяются уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a), \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}+\varepsilon B_{1}(a) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь функции $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$ можем найти, подставляя (21.21) в уравнения гармонического баланса:
\[
\left.\begin{array}{c}
\int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left\{\sum_{s=1}^{N}\left(a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r s} q_{s}\right)-\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)-\right. \\
\left.-\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)-\ldots\right\} \cos \psi d \psi=0, \\
\int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left\{\sum_{s=1}^{N}\left(a_{r s} \ddot{q}_{s}+c_{r s} q_{s}\right)-s Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)-\right. \\
\left.-\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)-\ldots\right\} \sin \psi d \psi=0,
\end{array}\right\}
\]

причем при подстановке ограничиваемся только членами первого порядка малости включительно.

Найдем явные выражения для $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$. Дифференцируя (21.21), учитывая при этом уравнения (21.22), находим с точностью до величин первого порядка малости:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{q}_{s}=\varphi_{s}^{(1)}\left[\varepsilon \cos \psi A_{1}(a)-a \omega_{1} \sin \psi-\varepsilon a \omega_{1} \sin \psi B_{1}(a)\right], \\
\ddot{q_{s}}=\varphi_{s}^{(1)}\left[-\varepsilon 2 \omega_{1} \sin \psi A_{1}(a)-a \omega_{1}^{2} \cos \psi-\varepsilon 2 a \omega_{1} \cos \psi B_{1}(a)\right] \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя (21.21) и (21.24) в выражения (21.23), находим с той же степенью точности:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left\{\sum _ { s = 1 } ^ { N } \varphi _ { s } ^ { ( 1 ) } \left[-a_{r s}\left(a \omega_{1}^{2} \cos \psi+2 a \omega_{1} \varepsilon \cos \psi B_{1}(a)+2 \varepsilon \omega_{1} \sin \psi A_{1}(a)\right)+\right.\right. \\
\left.\left.\quad+c_{r s} a \cos \psi\right]-\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right)\right\} \cos \psi d \psi=0, \\
\int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left\{\sum _ { s = 1 } ^ { N } \varphi _ { s } ^ { ( 1 ) } \left[-a_{r s}\left(a \omega_{1}^{2} \cos \psi+2 a \omega_{1} \varepsilon \cos \psi B_{1}(a)+2 \varepsilon \omega_{1} \sin \psi A_{1}(a)\right)+\right.\right. \\
\left.\left.\quad+c_{r s} a \cos \psi\right]-\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots,\right)\right\} \sin \psi d \psi=0 .
\end{array}
\]

Меняя порядок суммирования и интегрирования, полагая при интегрировании по $\psi$, что $a$-постоянная и учитывая, что
\[
\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \psi d \psi=\pi, \quad \int_{0}^{2 \pi} \sin \psi \cos \psi d \psi=0, \quad \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} \psi d \psi=\pi,
\]

получим:
\[
\begin{aligned}
2 a \omega_{1} \pi \varepsilon B_{1}(a) & \sum_{r, s=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(1)} a_{r s}-a \pi \sum_{r, s=1}^{N}\left(c_{r s}-a_{r s} \omega_{1}^{2}\right) \varphi_{s}^{\prime} \varphi_{r}^{(1)}= \\
& =-\varepsilon \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \cos \psi d \psi, \\
2 \omega_{1} \pi s A_{1}(a) & \sum_{r, s=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(1)} a_{r s}= \\
= & -\varepsilon \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi_{1}, \ldots\right) \sin \psi d \psi .
\end{aligned}
\]

Учитывая, что
\[
\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(1)}=m_{1}, \quad \sum_{s=1}^{N}\left(c_{r s}-a_{r s} \omega_{1}^{2}\right) \varphi_{s}^{(1)}=0,
\]

окончательно получаем следующие формулы:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon A_{1}(a)=-\frac{\varepsilon}{2 \omega_{1} \pi m_{1}} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots\right. \\
\left.\ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \sin \psi d \psi, \\
\varepsilon B_{1}(a)=-\frac{\varepsilon}{2 \omega_{1} \pi m_{1} a} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots\right. \\
\left.\ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \cos \psi d \psi .
\end{array}
\]

Заметим теперь, что формулы (21.25) можно получить гораздо проще, проведя аналогию с результатами первого параграфа для системы с одной стеденью свободы.

Действительно, на основании (21.7) и (21.14), можем написать:
\[
\sum_{r, s=1}^{N} c_{r s} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(1)}=m_{1}{ }^{\left(\omega_{1}^{2}\right.} .
\]

Полагая $x=a \cos \psi$, вместо (21.23) получаем следующие уравнения гармонического баланса:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi}\left\{m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)-\right. \\
\left.-\varepsilon \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} x, \varphi_{1}^{(1)} \dot{x}, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} \dot{x}\right)\right\} \cos \psi d \psi=0, \\
\int_{0}^{2 \pi}\left\{m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)-\right. \\
\left.-\varepsilon \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} x, \varphi_{1}^{(1)} \dot{x}, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} \dot{x}\right)\right\} \sin \psi d \psi=0 .
\end{array}
\]

Отсюда совершенно очевидно, что уравнения первого приближения (21.22) должны оказаться теми же, что и для системы с одной степенью свободы с массой $m_{1}$, упругостью $m_{1} \omega_{1}^{2}$, находящейся под воздействием возмущающей силы:
\[
\varepsilon \sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} x, \varphi_{1}^{(1)} \dot{x}, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} \dot{x}\right) .
\]

Поэтому, воспользовавшись формулами (1.27), выведенными для случая системы с одной степенью свободы и подставляя в них вместо $f(a \cos \psi,-a \omega \sin \psi)$ выражение (21.27), мы сразу находим формулы (21.25).

Остановимся еще на простой энергетической интерпретации полученных формул (21.25).

Рассмотрим для этого выражение виртуальной работь $\delta W$, которую совершили бы возмущающие обобщенные силы
\[
Q_{r}^{(1)}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)(r=1,2, \ldots, N)
\]

в режиме синусоидальных колебаний
\[
q_{\mathrm{s}}=\varphi_{\mathrm{s}}^{(1)} a \cos \psi, \quad \dot{q}_{s}=-\omega_{1} \varphi_{\mathrm{s}}^{(1)} a \sin \psi,
\]

на виртуальных перемещениях
\[
\delta q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} \cos \psi \grave{\partial} a-\varphi_{s}^{(1)} a \sin \psi \grave{\partial} \psi,
\]

соответствующих вариациям амплитуды и полной фазы нормального колебания. Имеем с принятой степенью точности, т. е. с точностью до величин первого порядка малости включительно:
\[
\begin{array}{l}
\delta W=\varepsilon \sum_{r=1}^{N} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \times \\
\times\left[\varphi_{r}^{(1)} \cos \psi \dot{\sigma} a-\varphi_{r}^{(1)} a \sin \psi \dot{\delta} \psi\right] . \\
\end{array}
\]

Возьмем среднее значение этой работы за полный цикл колебания:
\[
\overline{\delta W}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \delta W d \psi .
\]

Тогда, сопоставляя (21.28), (21.29) с (21.25), можем написать:
\[
\overline{\delta W}=-m_{1} \omega_{1} a \varepsilon B_{1}(a) \grave{\delta} a+m_{1} \omega_{1} a \approx A_{1}(a) \grave{\delta} \psi .
\]

Обозначим символами
\[
\frac{\widehat{\delta} \bar{W}}{\delta a}, \quad \frac{\bar{\delta} \bar{W}}{\partial \psi}
\]

коэффициенты при вариациях $\delta a$ и $\delta \dot{\psi}$ в выражении для $\bar{\sigma} \bar{W}$.
Тогда будем иметь:
\[
\varepsilon A_{1}(a)=\frac{1}{m_{1} \omega_{1} a} \frac{\bar{\delta} W}{\partial \psi}, \quad \varepsilon B_{1}(a)=-\frac{1}{m \omega_{1} a} \frac{\bar{\delta} W}{\delta a},
\]

и поэтому уравнения первого приближения можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a}{d t}=\frac{1}{m_{1} \omega_{1} a} \frac{\overline{\delta W}}{\delta \psi}, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}-\frac{1}{m_{1} \omega_{1} a} \frac{\overline{\delta W}}{\delta a} .
\end{array}
\]

Итак, чтобы получить уравнения первого приближения, достаточно определить только среднюю величину виртуальной работы за цикл колебания, которую совершили бы возмущающие силы в режиме синусоидальных колебаний на виртуальных перемещениях, соответствующих вариации их амплитуды $a$ и фазы $ф$.

Перейдем теперь к построению решений для уравнений (21.5) во втором приближении.

Для этого рассмотрим вначале, с точностью до величин первого порядка малости, вынужденные колебания, которые возбуждались бы в невозмущенной системе (21.3) обобщенными силами
\[
Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right) \quad(r=1,2, \ldots, N),
\]

если бы в них $q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}$ были бы синусоидальные:
\[
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)} a \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right), \quad \dot{q}_{s}=-\varphi_{s}^{(1)} a \omega_{1} \sin \left(\omega_{1} t+\theta\right) \quad(s=1,2, \ldots, N) .
\]

Заметим, что тогда
\[
\begin{array}{l}
Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, s\right)= \\
\quad=\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \phi, \ldots, s^{2} \ldots \quad(r=1,2, \ldots, N)\right.
\end{array}
\]

Разложим $\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right)$ в ряд Фурье:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right)=\varepsilon f_{r}^{(0)}(a)+ \\
+\varepsilon \sum_{k=1}^{\infty}\left\{f_{r}^{(k)}(a) \cos k\left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(k)}(a) \sin k\left(\omega_{1} t+\theta\right)\right\} \\
(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
f_{r}^{(k)}(a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \omega_{1} \sin \psi, \ldots\right) \cos k \psi d \psi, \\
g_{r}^{(k)}(a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi, \ldots,-\varphi_{1}^{(1)} a \dot{\omega}_{1} \sin \psi, \ldots\right) \sin k \psi d \psi \\
(r=1,2, \ldots, N ; k=0,1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Каждая из компонент этого рода с частотой $k \omega_{1}(k=0,2,3 \ldots)$ в соответствии с (21.15) возбуждает вынужденное колебание
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N}\left\{f_{r}^{(k)}(a) \cos k\left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(k)}(a) \sin k\left(\omega_{1} t+\theta\right)\right\} \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-k^{2} \omega_{1}^{2}\right)} \\
(k=2,3, \ldots), \\
\varepsilon \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N} f_{r}^{(0)}(a) \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j} \omega_{j}^{2}}, k=0 \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

У гармоники с частотой $\omega_{1}$ учтем в сумме (21.10) только члены, соответствующие возбуждению высших нормальных координат:
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon \sum_{j=2}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N}\left\{f_{r}^{(1)}(a) \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(1)}(a) \sin \left(\omega_{1} t+\theta\right\} \varphi_{r}^{(j)}\right.}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)} \\
(s=1,2, \ldots, N) \text {. } \\
\end{array}
\]

Таким образом, получаем «регуляризированное» вынужденное колебание, возбуждаемое в невозмущенной системе обобщенными силами $Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)(r=1,2, \ldots, N)$, в которых $q_{s}, \dot{q}_{s}(s=1, \ldots, N)$ синусоидальны, в следующем виде (с точностью до величин первого порядка малости включительно):
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon u_{s}^{(1)}\left(a, \omega_{1} t+\theta\right)=\varepsilon \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N} f_{r}^{(0)}(a) \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j} \omega_{j}^{2}}+ \\
+s \sum_{j=2}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N}\left\{f_{r}^{(1)}(a) \cos \left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(1)}(a) \sin \left(\omega_{1} t+\theta\right)\right\} \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)}+ \\
+\sum_{k=2}^{\infty} \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)} \frac{\sum_{r=1}^{N}\left\{f_{r}^{(k)}(a) \cos k\left(\omega_{1} t+\theta\right)+g_{r}^{(k)}(a) \sin k\left(\omega_{1} t+\theta\right)\right\} \varphi_{r}^{(j)}}{m_{j}\left(\omega_{j}^{2}-k^{2} \omega_{1}^{2}\right)} \\
(s=1,2, \ldots, N) \text {. } \\
\end{array}
\]

Складывая эти выражения с первым приближением, получаем решения уравнений (21.5) во втором приближении:
\[
\begin{aligned}
q_{8}= & \varphi_{s}^{(1)} a \cos \psi+\varepsilon u_{s}^{(1)}(a, \psi) \\
& (s=1,2, \ldots, N) .
\end{aligned}
\]

Как и в предыдущем параграфе можно было бы добавить сюда члены типа $\varepsilon\left\{C_{1}(a) \cos \psi+C_{2}(a) \sin \psi\right\} \varphi_{r}^{(1)}$, содержащие две функции $C_{1}(a)$ и $C_{2}(a)$. Но поскольку их выбор произволен, то для получения более простых формул положим $C_{1}(a)=C_{2}(a)=0$ и будем в дальнейшем оперировать с выражениями (21.33).

Для того чтобы выражения (21.33) давали в действительности второе приближение, в них $a$ и $\psi$ должны быть функциями времени, определяемыми из уравнений второго приближения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d a}{d t} & =\varepsilon A_{1}(a)+\varepsilon^{2} A_{2}(a), \\
\frac{d \psi}{d t} & =\omega_{1}+\varepsilon B_{1}(a)+\varepsilon^{2} B_{2}(a) .
\end{array}\right\}
\]

Входящие сюда функции $A_{2}(a)$ и $B_{2}(a)$ могут быть найдены с помощью подстановки второго приближения (21.33) в уравнения гармонического баланса (21.23). При этом дифференцирование по времени должно быть выполнено с учетом уравнений (21.34) так, чтобы производные по $t$ не фигурировали под знаком интеграла, а интегрирование по $\psi$ должно совершаться, как если бы $a$ было постоянным параметром и все вычисления велись бы с точностью до величин второго порядка малости включительно.

Заметим теперь, что в формулах (21.32) гармоники первого порядка $\cos \psi$ и $\sin \psi$ входят только в члены, пропорциональные $\varphi_{r}^{(2)}, \varphi_{r}^{(3)}, \ldots$ $\ldots, \varphi_{r}^{(N)}(r=1,2, \ldots, N)$, и что имеют место соотношения:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(j)}=0, \quad \sum_{r, s=1}^{N} c_{r s} \varphi_{r}^{(1)} \varphi_{s}^{(j)}=0 \\
(j=2,3, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Поэтому выражения
\[
\sum_{r, s=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} a_{r_{s}} u_{s}^{(1)}(a, \psi), \quad \sum_{r, s=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} c_{r s} u_{s}^{(1)}(a, \psi)
\]

не содержат гармоник первого порядка.
Учитывая сделанные замечания, мы можем уравнения гармонического баланса (21.23) представить в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{r}
\int_{0}^{2 \pi}\left\{m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)-\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left[\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x+\varepsilon u_{1}^{(1)}, \ldots\right)+\right.\right. \\
\left.\left.+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots\right)\right]\right\} \cos \psi d \psi=0, \\
\int_{0}^{2 \pi}\left\{m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)-\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left[\varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x+\varepsilon u_{1}^{(1)}, \ldots\right)+\right.\right. \\
\left.\left.+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots\right)\right]\right\} \sin \psi d \psi=0,
\end{array}\right\}
\]

где, как и выше, $x=a \cos \psi$.

Поскольку выражение
\[
m_{1}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x\right)
\]

состоит лишь из первой гармоники по отношению к $\psi$, то уравнения (21.35) эквивалентны уравнению, выражающему равенство выражения (21.36) первой гармонике суммы:
\[
\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)}\left(s Q_{r}^{(1)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x+s u_{1}^{(1)}, \ldots\right)+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(\varphi_{1}^{(1)} x, \ldots\right)\right) .
\]

Обозначим первую гармонику какой-либо периодической функции $F(\psi)$ через $H_{1}\{F\}$ :
\[
H_{1}\{F\}=\cos \psi \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F(\psi) \cos \psi d \psi+\sin \psi \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F(\psi) \sin \psi d \psi .
\]

Тогда уравнение, эквивалентное выражениям (21.35), можем написать в следующем виде:

Разумеется, что это уравнение должно удовлетворяться лишь с точностью до величин второго порядка малости включительно, причем в выражениях обобщенных сил $q_{r}$ и $\dot{q}_{r}(r=1,2, \ldots, N)$ должны быть заменены согласно формулам (21.33) с учетом уравнений (21.34).
Заметим теперь, что так как $x=a \cos \psi$, то мы можем написать:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} x=\varepsilon\left\{-2 \omega_{1} A_{1} \sin \psi-2 \omega_{1} a B_{1} \cos \psi\right\}+ \\
+\varepsilon^{2}\left\{\left(A_{1} \frac{d A_{1}}{d a}-a B_{1}^{2}-2 \omega_{1} a B_{2}\right) \cos \psi-\left(2 \omega_{1} A_{2}+2 A_{1} B_{1}+A_{1} \frac{d B_{1}}{d a} a\right) \sin \psi\right\} .
\end{array}
\]

Разлагая правую часть уравнения (21.37) по степеням $\varepsilon$ и удерживая лишь первые два члена, находим:
\[
\begin{array}{l}
H_{1}\left\{\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(\mathrm{t})} Q_{r}\left(q_{1}, \ldots, q_{\mathrm{N}}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{s}, \varepsilon\right)\right\}= \\
=\left\{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)\right\} \cos \psi+\left\{\varepsilon M_{1}(a)+\varepsilon^{2} M_{2}(a)\right\} \sin \psi .
\end{array}
\]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках и одинаковых степенях \& в правых частях выражений (21.38) и (21.39), находим:
\[
A_{1}(a)=-\frac{M_{1}(a)}{2 \omega_{1} m_{1}}, \quad B_{1}(a)=-\frac{L_{1}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a},
\]

а также
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{2}(a)=-\frac{A_{1}(a) B_{1}(a)}{\omega_{1}}-\frac{A_{1}(a)}{2 \omega_{1}} a \frac{d B_{1}(a)}{d a}-\frac{M_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1}}, \\
B_{2}(a)=-\frac{B_{1}^{2}(a)}{2 \omega_{1}}+\frac{A_{1}(a)}{2 \omega_{1} a} \frac{d A_{1}(a)}{d a}-\frac{L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a} .
\end{array}\right\}
\]

Нетрудно убедиться, что формулы (21.40) дают для $A_{1}(a)$ и $B_{1}(a)$ те же выражения, что и ранее полученные формулы (21.25).

Итак, уравнения второго приближения могут быть написаны в следующей форме:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon M_{1}(a)+\varepsilon^{2} M_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1}}-\frac{\varepsilon^{2} A_{1}(a) B_{1}(a)}{\omega_{1}}-\frac{\varepsilon^{2} A_{1}(a)}{2 \omega_{1}} \frac{d B_{1}(a)}{d a} a, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}-\frac{\varepsilon^{2} B_{1}^{2}(a)}{2 \omega_{1}}+\varepsilon^{2} \frac{A_{1}(a)}{2 \omega_{1} a} \frac{d A_{1}(a)}{d a} .
\end{array}\right\}
\]

Заметим теперь, что с точки зрения обычной теории малых колебаний, сумма
\[
\sum_{r=1}^{N} \varphi_{r}^{(1)} Q_{r}
\]

представляет собой обобщенную силу, действующую на первую нормальную координату.

Таким образом, чтобы написать уравнения второго приближения в явной форме, достаточно уметь подсчитать первую гармонику этой обобщенной силы с учетом членов не выше второго порядка малости.

Рассмотрим частный случай стационарных одночастотных колебаний с постоянной амплитудой. В этом случае фаза \& вращается равномерно с некоторой угловой скоростью $\omega_{1}(a)$ :
\[
\psi=\omega_{1}(a) t+\theta, \quad \forall=\text { const. }
\]

Из (21.42) имеем:
\[
\left.{ }^{\omega}\right)_{1}(a)=\omega_{1}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}-\varepsilon^{2} \frac{B_{1}^{2}(a)}{2 \omega_{1}}+\varepsilon^{2} \frac{A_{1}(a)}{2 \omega_{1} a} \frac{d A_{1}(a)}{d a},
\]

а также
\[
M_{1}(a)+\varepsilon M_{2}(a)+\varepsilon 2 m_{1} A_{1}(a) B_{1}(a)+\varepsilon 2 m_{1} A_{1}(a) \frac{d B_{1}(a)}{d a} a=0,
\]

или $A_{1}(a)+\varepsilon A_{2}(a)=0$.
Последнее равенство показывает, что $M_{1}(a)$ и $A_{1}(a)$ будут величинами первого порядка малости, и потому с той же степенью точности можем написать:

и
\[
{ }^{(1)}(a)=\omega_{1}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}-\frac{\varepsilon^{2} B_{1}^{2}(a)}{2 \omega_{1}},
\]

или, учитывая (21.40),
\[
\omega_{1}(a)=\omega_{1}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}-\frac{\varepsilon^{2}}{2 \omega_{1}}\left(\frac{L_{1}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a}\right)^{2}-\frac{\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{2 \omega_{1} m_{1} a} .
\]

Возводя в квадрат и отбрасывая члены порядка малости выше второго, для квадрата чаетоты стационарных колебаний получаем окончательно

следующее выражение:
\[
\omega_{1}^{2}(a)=\omega_{1}^{2}-\frac{\varepsilon L_{1}(a)+\varepsilon^{2} L_{2}(a)}{m_{1} a} .
\]

Итак, расчет стационарных одночастотных колебаний в системах со многими степенями свободы может производиться по следующей простой схеме.

Прежде всего определяем обобщенную силу, действующую на первую нормальную координату; заменяем в ней $q_{r}, \dot{q}_{r}(r=1,2, \ldots, N)$ согласно формулам $(21.33)$, где $u_{r}^{(1)}(a, \psi)(r=1,2, \ldots, N)$ определены как вынужденные «регуляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе внешними силами, в режиме синусоидальных колебаний; раскладываем полученное выражение обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату, в ряд Фурье. После этого коэффициент при синусе, взятый с точностью до величин второго порядка малости включительно, приравниваем нулю и получаем уравнение (21.43), из которого определяем стационарную амплитуду колебаний. Коэффициент при косинусе подставляем в правую часть формулы (21.44), определяющей частоту стационарных колебаний.