До сих пор мы рассматривали уравнение Ван-дер-Поля в основном при малом ะ и только в § 9 указали на те изменения, которые происходят в рещении при возрастании з.

Рассмотрим теперь уравнение Ван-дер-Поля при больших $\varepsilon$ и, в частности, пошытаемся найти асимптотическую форму решения при $\varepsilon \rightarrow \infty$. Для исследования удобно взять уравнение Ван-дер-Поля в виде
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-\varepsilon\left[\frac{d x}{d t}-\frac{1}{3}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{3}\right]+x=0
\]

и добиться того, чтобы перед второй производной стоял малый параметр. Полагая в уравнении (11.1)
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =\varepsilon \eta \\
t & =\varepsilon t_{1},
\end{array}\right\}
\]

получаем
\[
\frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{d^{2} \eta}{d t_{1}^{2}}-\left[\frac{d \eta}{d t_{1}}-\frac{1}{3}\left(\frac{d \eta}{d t_{1}}\right)^{3}\right]+\eta=0
\]

или
\[
\frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{d \dot{\eta}}{d \eta}=\frac{\dot{\eta}-\frac{1}{3} \dot{r}_{1}^{3}-\eta}{\dot{\eta}} .
\]
*) Р е в с ук и-У с у и, Нелинейная теория электрических генераторов, Report of Radio Research in Japan, vol. V, №2, 1935.

Нри в 1 можем в уравнении (11.4) в первом приближении пренебречь слагаемым $\frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{d \dot{\eta}}{d \eta}$, после чего получим зависимость между $\eta$ и $\dot{\eta}$ :
\[
\dot{\eta}-\frac{1}{3} \dot{\eta}^{3}-\eta
\]

щри номощи которой не представляет затруднений исследовать характер движения на фазовой плоскости.

Построим кривую (11.5) (рис. 70) и заметим, что согласно (11.4) на кривой (11.5) поле направлений горизонтально, так как $\frac{d \dot{\eta}}{d \eta}=0$ для всех i и $\eta$, удовлетворяющих уравнению (11.5). В остальных же точках фазовой плоскости (за исключением точек, очень близких к кривой (11.5)) при $\varepsilon \rightarrow \infty$ поле направлений стремится к вертикальному, так как согласно (11.4) $\frac{d \dot{\eta}}{d \eta} \rightarrow \infty$ при $\varepsilon \longrightarrow \infty$ для всех точек, не удовлетворяющих уравнению (11.5). Исходя из этого, видим, что при больших значениях \& интегральная кривая уравнения (11.4), выходящая из произвольной точки $P$ (см. рис. 70 ), будет очень близка к вертикальной прямой почти до точки $P_{1}$, лежащей на кривой (11.5). Далее интегральная кривая пойдет вдоль кривой (11.5), оставаясь ниже ее, пока не достигнет окрестности точки $P_{2}$, после чего пойдет вертикально вверх до тех пор, пока вновь не достигнет кривой (11.5). Затем интегральная кривая будет следовать вдоль кривой (11.5), оставаясь над ней; Рис. 70. досигнув точки $P_{4}$, интегральная кривая повернется вертикально вниз. В результате мы получаем предельный цикл, который при $\varepsilon \rightarrow \infty$ будет иметь вид, изображенный на рис. 70.

Такую картину мы получаем вследствие того, что участки $P_{3} P_{4}$ и $P_{2} P_{5}$ кривой (11.5) обладают свойством притяжения, причем чем больше $\varepsilon$, тем сильнее будет притяжение. Так как в любой точке поле направлений вертикально, а на кривой (11.5) горизонтально, то любая точка стремится к кривой (11.5), годойдя к ней, отходит, так как на кривой поле направлений горизонтально, после этого точка снова стремится приблизиться к кривой (11.5). Если в достаточно велико, то указанных отклонений мы не заметим и практически получим картину, изображенную на рис. 70.

А́иимтотическое значение для периода колебаний в рассматриваемом приближении находим, подсчитывая интеграл по предельному циклу. Для уравнения (11.4) имеем:
\[
d t_{1}=\frac{d \eta_{i}}{\dot{r}_{i}},
\]

откуда
\[
T_{1}=\oint \frac{d \eta_{\eta}}{\dot{\eta}}
\]

Так как на вертикальных участках цикла $d \eta_{1}=0$, то вместо (11.7) можем написать:
\[
T_{1}=2 \int_{\dot{\eta}_{1}}^{\dot{\eta}_{2}} \frac{d\left(\dot{\eta}-\frac{1}{3} \dot{\eta}^{3}\right)}{\dot{\eta}}=\left.2\left(\ln \dot{\eta}-\frac{1}{2} \dot{\eta}^{2}\right)\right|_{\dot{\eta}_{1}} ^{\dot{\eta}_{2}} .
\]

Согласно (11.5) находим $\dot{\eta}_{1}=1, \dot{\eta}_{2}=2$ и, следовательно, для периода $T_{1}$ при больших значениях \& получаем формулу
\[
T_{1}=1,614
\]

или, переходя к старым переменным, следующую асимптотическую формулу:
\[
T=1,614 \varepsilon .
\]

Итак, для случая $s \gg 1$ при асимнтотической трактовке колебательный продесс будет протекать следующим образом: цри возрастании $\eta$, начиная от значений — ү $_{10}$, скорость $\dot{\eta}$ будет положительна и изображающая точка на фазовой плоскости будет двигаться по кривой $P_{3} P_{4}$ (см. рис. 70). Когда $\eta$ достигнет максимального значєния $+\eta_{0}$, изображкащая точка скачком
Рис. 71.
Рис. 72 .
перейдет из положения $P_{4}{ }_{\text {в }} P_{5}$, что соответствует мгновенному изменению знака скорости $\dot{\eta}$. Далее, при уменьшении $\eta$ скорость $\dot{\eta}$ будет оставаться отрицательной и изображающая точка будет двигаться по кривой $P_{5} P_{2}$. $\mathrm{B}$ точке $P_{2}$ опять произойдет изменение знака скорости, а изображающая точка на фазовой плоскости скачком перейдет в положение $P_{3}$.

Таким образом, в течение одного периода колебания скорость $\dot{\eta}$ тершит разрыв дважды — в моменты достижения величиной $\eta$ максимального и минимального значения. Разумеется, на самом деле скорость непрерывна, хотя и меняется весьма быстро, так как з хотя и велико, но конечно, и, говоря о разрыве, мы допускаем определенное упрощение, соответствующее принятому нами асимптотическому приближению.

После того как нами получена зависимость скорости от смещения на фазовой плоскости и найден период колебания, не представляет затруднений построить кривые, представляющие $\eta_{1}$ и ๆ $_{\text {как }}$ функции $t$ (рис. 71 и 72 ).

Рассмотренные нами колебания называются релаксационными и имеют пирокое распространение в природе.

Приведенная здесь идеализированная разрывная трактовка уравнения Ван-дер-Поля при больших в может быть применена и в общем случае при исследовании нелинейных колебательных систем при $£ \gg 1$. При такой трактовке мы пренебрегаем в уравнении инерционным членом, в результате чего релаксационные колебания характеризуются дифферснциальным уравнением первого порядка
\[
F\left(\frac{d x}{d t}\right)+x=0,
\]

причем последнее удобно обратить относительно $\frac{d x}{d t}$ и написать в виде
\[
\frac{d x}{d t}=\Phi(x),
\]

где $\Phi(x)$ представляет определенную многозначную функцию типа, схематически изображенного на рис. 74.

Приведем еще пример конкретной релаксационной колебательной системы, описываемой уравнением типа (11.12).

Рассмотрим схему (рис. 73), представляющую последовательное соединение самоиндукции $L$, сопротивления $R$ и нелинейного элемента с вольтамперной характеристикой типа «S», замкнутое на источнике постоянного напряжения $E_{a}$. Здесь для элемента «S» вольтамперная характеристика
Рис. 73.
Рис. 74.

имеет форму, примерно изображенную на рис. 74. В качестве конкретной модели такого нелинейного элемента можно взять, например, электронную лампу в динатронном режиме.

Составляя для рассматриваемой схемы баланс напряжений, приходим к дифференциальному уравнению вида
\[
L \frac{d i}{d t}+R i+v=E_{a} .
\]

Заметим теперь, что поскольку единственным резервуаром, способным запасать энергию колебаний, является в нашей системе самоиндукция, то запасенная в ней энергия будет равна $\frac{1}{2} L i^{2}$. Так как в течение колебательного процесса энергия должна изменяться непрерывно, то очевидно, что и величина тока $i$ должна также изменяться непрерывно, плавно увеличиваясь и уменьшаясь.

С другой стороны, в соответствии с рис. 74 нетрудно убедиться, что при плавном увеличении и соответственно при плавном уменьшении тока $i$ напряжение $v$ будет изменяться, как указано на рис. 75 . Обозначим зависимссть между напряжением и током, представленную графически на этом рисунке (причем учитываем только отрезки сплошной линии), функциональным соотношением
\[
v=f^{\prime}(i),
\]

в котором $f(i)$ имеет два значения для $i$, изменяющегося в интервале $\left(i_{0}, i_{1}\right)$.

Пусть параметры генератора подобраны так, что в интервале ( $i_{0}, i_{1}$ ) значения функции
\[
\Phi(i)=\frac{E_{a}-R i-f(i)}{L},
\]

соответствующие нижней ветви $f(i)$, положительны, а для верхней ветви отрицательны. Тогда в напей схеме возбуждается релаксационный колебательный процесс, при котором ток $i$ будет изменяться в пределах от $i_{0}$ до $i_{1}$. Дифференциальное уравнение, описывающее колобательный процесс, будет принадлежать к типу (11.12).

Как видно, в данном примере мы не доводили дело до построения
Pис. 75
Рис. 76 .

дифференциального уравнения второго порядка, а сразу приняли схему, которая привела к разрывному уравнению вида (11.12), в котором не принимается во внимание инерционный член.

До сих пор рассматривался случай наличия одного замкнутого цикла. Если кривая, характеризующая зависимость (11.12), будет иметь вид, изображенный на рис. 76 , то получим два замкнутых цикла.

Заметим, что рассмотренные релаксационные колебательные процессы протекают без внешних периодических сил, и потому естественно уравнение (11.12) называть уравнением свободных релаксационных колсбаний. $\therefore$ Ивложенная здесь разрывная трактовка релаксационных колебательных процессов интуитивно убедительна.

Однако если мы хотим ее строго обосновать или вычислить соответствующие поправки для формы колебаний и их периода $T$, то необходимо обратиться к строгому методу асимптотического приближения, разработанному А. А. Дородницыным.