В качестве частного случая колебательной системы, описываемой уравнением (13.1), рассмотрим нелинейный вибратор, находящийся под воздействием гармонической силы. Колебания такой системы, как указывалось выше, ошисываются следующим дифференциальным уравнением:
\[
\left.m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k x=s\left(x, \frac{d x}{d t}\right)+\varepsilon E \sin v t^{*}\right) .
\]

Анализируя во введении это уравнение, мы пришли к заключению, что в первом приближении может быть обнаружен только основной резонанс.

Итак, пользуясь ранее выведенпыми формулами, построим приближенные решения уравнения (15.1) в случае основного резонанса ( $p=1, q=1$ ). Согласно (14.39) и (14.40) в первом приближении имеем:
\[
x=a \cos (v t+\vartheta),
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon}{2 \pi \omega m} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \psi) \sin \psi d \phi-\frac{\varepsilon E}{m(\omega+
u)} \cos \vartheta, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-
u-\frac{\varepsilon}{2 \pi \omega a m} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \psi) \cos \psi d \psi+\frac{\varepsilon E}{m a(\omega+
u)} \sin \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Во втором приближении полагаем
\[
x=a \cos \psi+\varepsilon u_{1}(a, \psi),
\]

где $u_{1}(a, \psi)$ определяется как вынужденное колебание, возбуждаемое в системе выспими гармониками внешней силы в режиме синусоидальных колебаний:
\[
\begin{array}{c}
u_{1}(a, \psi)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{m
eq 1} \frac{e^{i m \psi}}{\omega^{2}\left(1-m^{2}\right)} f_{m}^{(0)}(a), \\
f_{m}^{(0)}(a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \psi) e^{-i m \psi} d \psi,
\end{array}
\]
*) В данном случае предполагается, что амплитуда внешней гармонической силы мала. Если, исходя из физических соображений, такого вывода сделать нельзя, то имеем уравнение
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k x=s f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)+E \sin v t,
\]

которое заменой $x=y+\frac{E}{k-
u^{2} m} \sin v t$ приводится к уравнению типа (13.1).

а $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений второго приближения, для построения которой воспользуемся формулами (14.34) и (14.35).

Сначала находим согласно (14.31) и (14.32) главную гармонику функции $\varepsilon^{2} f_{1}(a, \psi)$ :
главная гармоника $\left\{\varepsilon^{2} f_{1}(a, \psi)\right\}=$
\[
=\frac{\varepsilon^{2} \cos \psi}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \bar{f}_{1}(a, \psi) \cos \psi d \psi+\frac{\varepsilon^{2} \sin \psi}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \bar{f}_{1}(a, \psi) \sin \psi d \psi,
\]

где обозначено:
\[
\begin{array}{l}
\bar{f}_{1}(a, \psi)=f_{x}^{\prime}(a \cos \psi,-a \omega \sin \psi) u_{1}(a, \psi)+ \\
\quad+f_{x^{\prime}}^{\prime}(a \cos \psi,-a \omega \sin \psi)\left[A_{1} \cos \psi-a B_{1} \sin \psi+\frac{\partial u_{1}}{\partial g}(\omega-\psi)\right] .
\end{array}
\]

Далее, согласно (14.35) для определения $A_{2}(a, \vartheta)$ и $B_{2}(a, \vartheta)$ составляем систему
\[
\begin{aligned}
m\left[(\omega-
u) \frac{\partial A_{2}}{\partial \vartheta}-2 a \omega B_{2}\right] & \\
= & m\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}-a B_{1}^{2}\right]+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \bar{f}_{1}(a, \psi) \cos \psi d \psi,
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
m\left[(()-
u) a \frac{\partial B_{2}}{\partial \vartheta}\right. & \left.+2 \omega A_{2}\right]= \\
& =-m\left[a \frac{\partial B_{1}}{\partial a} A_{1}+a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+2 A_{1} B_{1}\right]-\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \bar{f}_{1}(a, \psi) \sin \psi d \psi .
\end{aligned}
\]

После этого, зная $A_{1}(a, \vartheta), A_{2}(a, \vartheta), B_{1}(a, \vartheta), B_{2}(a, \vartheta)$, не представляет труда составить уравнения, определяющие $a$ и $\vartheta$, во втором приближении.
Остановимся подробнее на исследовании первого приближения.
Как и в случае нелинейной системы, находящейся под воздей-. ствием возмущения, не зависящего явно от времени, положим для сокращения (см. (7.4))
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda_{e}(a)=\frac{\varepsilon}{\pi a \omega} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \psi) \sin \psi d \psi, \\
k_{e}(a)=k-\frac{\varepsilon}{\pi a} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \psi) \cos \psi d \psi
\end{array}\right\}
\]

и заметим, что введенные параметры $\lambda_{e}(a), k_{e}(a)$ являются соответственно эквивалентным коэффициентом затухания и полным эквивалентным коэффициентом упругости для рассматриваемой колебательной системы в «свободном» состоянии при отсутствии внешнего возбуждения, т. е. для системы, описываемой уравнением вида
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k x=\varepsilon f\left(x, \frac{d x}{d t}\right) .
\]

После этого уравнения (15.3) можно записать следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\delta_{e}(a) a-\frac{\varepsilon E}{m(\omega+
u)} \cos \vartheta, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{e}(a)-
u+\frac{\varepsilon E}{m a(\omega+
u)} \sin \vartheta,
\end{array}\right\}
\]

где $\delta_{e}(a)=\frac{\lambda_{e}(a)}{2 m}, \omega_{e}(a)=\sqrt{\frac{k_{e}(a)}{m}}$ являются соответственно эквивалентным декрементом затухания и эквивалентной частотой нелинейных собственных колебаний, описываемых урәвнением (15.6).

Рассмотрим стационарные режимы колебаний. Для получения в первом приближении стационарных значений амплитуды $a$ и фазы $\vartheta$ необходимо приравнять нулю правые части уравнений (15.7), после чего получим соотношения:
\[
\left.\begin{array}{c}
-\delta_{e}(a) a-\frac{\varepsilon E}{m(\omega+
u)} \cos \vartheta=0, \\
\omega_{e}(a)-
u+\frac{\varepsilon E}{m a(\omega+\gamma)} \sin \vartheta=0,
\end{array}\right\}
\]

или с точностью до всличин второго порядка малости следующие соотнопения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 m v a \delta_{e}(a) & =-\varepsilon E \cos \vartheta \\
m a\left[\omega_{e}^{2}(a)-
u^{2}\right] & =-\varepsilon E \sin \vartheta,
\end{array}\right\}
\]

откуда, исключая фазу $\vartheta$, находим зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы:
\[
m^{2} a^{2}\left[\left(\omega_{e}^{2}(a)-
u^{2}\right)^{2}+4
u^{2} \grave{\delta}_{e}^{2}(a)\right]=\varepsilon^{2} E^{2} .
\]

Полученные нами уравнения (15.9) и (15.10) совпадают с уравнениями, которые в классической линейной теории используются для определения амплитуды и фазы вынужденного колебания
\[
x=a \cos (v t+\vartheta)
\]

в системе с массой $m$, коэффициентом упругости $k_{e}(a)$ и коэффициентом затухания $\lambda_{e}(a)$ (и соответственно с частотой $\omega_{e}(a)=\sqrt{\frac{k_{e}(a)}{m}}$ и декрементом $\left.\delta_{e}(a)=\frac{\lambda_{e}(a)}{2 m}\right)$, находящейся под воздействием внешней синусоидальной силы $E \sin v t$.

Поэтому можем сформулировать следующее правило. Пусть дана некоторая нелинейная система, находящаяся под воздействием внешней синусоидальной силы с частотой, близкой к собственной частоте системы. Требуется найти значения амплитуды и фазы стационарного синхронного колебания (15.2).

Для этого, линеаризируя данную колебательную систему в свободном состоянии (т. е. не принимая во внимание внешней силы $\varepsilon E \sin v t$ ), определяем функции амплитуды – эквивалентный декремент и эквивалентную частоту собственных колебаний.

Подставив найденные значения в классические соотношения линейной теории колебаний (15.9) п (15.10), получим уравнение для определения искомых величин амплитуды и фазы.

Настоящее правило сформулировано для частного случая колебательной системы, ошисываемой дифференциальным уравнением (15.1), однако оно может быть распространено и на более общие случаи колебательных систем.

Выведем условия устойчивости для рассматриваемых синхронных стационарных колебаний.

Для резонансного случая уравнения первого приближения (15.7) с точностью до величин второго порядка малости могут быть представлены в виде
\[
\begin{array}{c}
2
u \frac{\mathrm{p} d a}{d t}=-2 \vee a \delta_{e !}^{\prime}(a)-\frac{\varepsilon E}{m} \cos \vartheta, \\
2 \vee a \frac{d \vartheta}{d t}=\left[\omega_{e}^{2}(a)-
u^{2}\right] a+\frac{\varepsilon E}{m} \sin \vartheta,
\end{array}
\]

а уравнения стационарных синхронных режимов-в виде
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
R(a, \vartheta)=0, \\
\Phi(a, \vartheta)=0,
\end{array}\right\} \\
\text { обозначены соответственно } \\
\text { бо решения уравнений }(15.13) \\
47)) \text {. Применительно к наше } \\
(a, \vartheta)+\Phi_{\vartheta}^{\prime}(a, \vartheta)<0, \\
(a, \vartheta)-R_{\vartheta}^{\prime}(a, \vartheta) \Phi_{a}^{\prime}(a, \vartheta)>0 .
\end{array}
\]

где через $R(a, \vartheta)$ и $\Phi(a, \vartheta)$ обозначены соответственно правые части уравнений (15.12).

Пусть $a$ и $\vartheta$-какие-либо решения уравнений (15.13). Для исследования вопроса об их устойчивости воспользуемся выведенными ранее условиями (см. (14.46), (14.47)). Применительно к нашему случаю они будут иметь следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
a R_{a}^{\prime}(a, \vartheta)+\Phi_{\vartheta}^{\prime}(a, \vartheta)<0, \\
R_{a}^{\prime}(a, \vartheta) \Phi_{\vartheta}^{\prime}(a, \vartheta)-R_{\vartheta}^{\prime}(a, \vartheta) \Phi_{a}^{\prime}(a, \vartheta)>0 .
\end{array}
\]

Раскроем смысл этих неравенств.
Из (15.14) имеем:
\[
a R_{a}^{\prime}(a, \vartheta)+\Phi_{\vartheta}^{\prime}(a, \vartheta)=-2 v a \delta_{e}(a)-2 v a \frac{d \delta_{e}(a)}{d a}+\frac{\varepsilon E}{m} \cos \vartheta,
\]

откуда, принимая во внимание первое уравнение системы (15.12), находим:
\[
a R_{a}^{\prime}(a, \vartheta)+\Phi_{\vartheta}^{\prime}(a, \vartheta)=-2 v a \frac{d\left(a \hat{\delta}_{e}(a)\right)}{d a}-2 v a \grave{\delta}_{e}(a)=-2 v \frac{d\left(a^{2} \hat{\delta}_{e}(a)\right)}{d a} .
\]

Имея в виду введенные обозначения (15.15), можем написать:
\[
2 \vee a^{2} \grave{\delta}_{e}(a)=\frac{a^{2} \lambda_{e}(a)}{m}
u=\frac{2 v}{m \omega^{2}} W(a),
\]

где
\[
W(a)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} s f(a \cos (\omega t+\vartheta),-a \omega \sin (\omega t+\vartheta)) a \omega \sin (\omega t+\vartheta) d(\omega t+\vartheta)
\]

представляет среднюю мощность, рассеянную силой $£\left(x, \frac{d x}{d t}\right)$ при колебаниях
\[
x=a \cos (\omega t+\vartheta) .
\]

При обычных законах трения $W(a)$ возрастает вместе с амплитудой, так что
\[
W^{\prime}(a)>0 .
\]

Таким образом, если ограничиться рассмотрением систем с обычным законом трения, то условие (15.14) согласно выражениям (15.16) и (15.17) будет всегда выполняться.

Рассмотрим теперь условие (15.15). Для этого исследуем зависимость а и $\vartheta$-решений уравнений (15.13) – от частоты v.
Дифференцируя (15.13) по v, получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
R_{a}^{\prime} \frac{d a}{d v}+R_{\vartheta}^{\prime} \frac{d \vartheta}{d v}=-R_{
u}^{\prime}, \\
\Phi_{a}^{\prime} \frac{d a}{d v}+\Phi_{\vartheta}^{\prime} \frac{d \vartheta}{d v}=-\Phi_{v}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

откуда находим:
\[
\left(R_{a}^{\prime} \Phi_{\vartheta}^{\prime}-\Phi_{a}^{\prime} R_{\vartheta}^{\prime}\right) \frac{d a}{d
u}=\Phi_{
u}^{\prime} R_{\vartheta}^{\prime}-R_{
u}^{\prime} \Phi_{\vartheta}^{\prime} .
\]

С другой стороны, из (15.13) имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
R_{\vartheta}^{\prime}=\frac{\varepsilon E}{m} \sin \vartheta, R_{
u}^{\prime}=-2 \hat{o}_{e}(a) a, \\
\Phi_{\vartheta}^{\prime}=\frac{\varepsilon E}{m} \cos \vartheta, \quad \Phi_{
u}^{\prime}=-2 v a,
\end{array}\right\}
\]

в связи с чем правую часть (15.20) можем записать следующим образом:
\[
\Phi_{\gamma}^{\prime} R_{\vartheta}^{\prime}-R_{
u}^{\prime} \Phi_{\vartheta}^{\prime}=2 a \varepsilon\left(-
u \frac{E}{m} \sin \vartheta+\delta_{e}(a) \frac{E}{m} \cos \vartheta\right),
\]

пли, учитывая уравнения (15.9), в виде
\[
\Phi_{\gamma}^{\prime} R_{\vartheta}^{\prime}-R_{\gamma}^{\prime} \Phi_{\vartheta}^{\prime}=2
u a^{2}\left[\left(\omega_{e}^{2}(a)-
u^{2}\right)-2 \delta_{e}^{2}(a)\right] .
\]

Таким образом, из (15.20) и (15.22) вытекает, что
\[
\left(R_{a}^{\prime} \Phi_{\vartheta}^{\prime}-\Phi_{a}^{\prime} R_{\vartheta}^{\prime}\right) \frac{d a}{d v}=2 v a^{2}\left[\left(\omega_{e}^{2}(a)-v^{2}\right)-2 \delta_{e}^{2}(a)\right] .
\]

После этого очевидно, что условие устойчивости (15.15) может быть представлено в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d v}>0, \text { если } \omega_{e}^{2}(a)>
u^{2}+2 \delta_{e}^{2}(a), \\
\frac{d a}{d v}<0, \text { если } \omega_{e}^{2}(a)<
u^{2}+2 \delta_{e}^{2}(a),
\end{array}\right\}
\]

или с точностью до величин первого порядка малости ( $\dot{\delta}_{e}^{2}(a)$ – величина второго порядка малости):
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d v}>0, \text { если } \omega_{e}(a)>
u, \\
\frac{d a}{d v}<0, \text { если } \omega_{e}(a)<
u_{e}
\end{array}\right\}
\]

Полученные условия устойчивости (15.24) очень удобны при графическом представлении зависимости амплитуды от частоты.

В самом деле, воспользовавшись уравнением (15.10), построим кривую (рис. 79)
\[
a=F(
u)
\]
(резонансную кривую), а также построим кривую
\[
a=F_{0}(
u),
\]

определяемую уравнением точного резонанса
\[
\omega_{e}(a)=
u
\]
(так называемую скелетную кривую).
Тогда на ветви кривой (15.25), лежащей левее кривой (15.26), устойчивыми (т. е. соответствующими устойчивым амплитудам) будут те участки, на которых $a$ возрастает вместе с $
u$; на ветви, лежащей правее кривой (15.26), наоборот, устойчивыми будут те участки, на которых $a$ убывает с возрастанием v. Графическое построение делает наглядной зависимость устойчивой стационарной амплитуды от частоты возбуждающей силы и, в частности, позволяет определить точки срыва и скачка, обусловливающие гистерезисные явления, характерные только для нелинейных систем.
В качестве конкретного примера рассмотрим нелинейный вибратор с жесткой характеристикой нелинейной восстанавливающей силы ( $F=$ $=c x+d x^{3}$ ), находящийся под воздействием внешней синусоидальной силы. Пусть колебания вибратора описываются уравнением вида
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+c x+d x^{3}=E \sin v t,
\]

где $x$ – координата, определяющая положение системы, $t$ – время, $m$ – масса системы, $b$ – коэффициент сопротивления, $F=c x+d x^{3}$ – нелинейная восстанавливающая упругая сила, $E$ и v-соответственно амплитуда и частота внешней синусоидальной силы.
Введем для упрощения безразмерные $x_{1}$ и $t_{1}$ по формулам:
\[
x_{1}=\sqrt{\frac{c}{d}} x, t_{1}=\sqrt{\frac{\bar{c}}{m}} t .
\]

Тогда уравнение (15.27) можно представить в виде
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\delta \frac{d x}{d t}+x+x^{3}=E_{1} \sin v t,
\]

где $\delta=\frac{b}{\sqrt{m c}}, E_{1}=\frac{E}{c} \sqrt{\frac{a}{c}}$ и для упрощения опущены индексы при $x$ и $t$.
Допустим теперь, что в исследуемой системе трение, а также амплитуда внешней силы являются малыми и, кроме того, характеристика нелинейной восстанавливающей силы достаточно близка к линейной.
Тогда, сопоставляя уравнение (15.28) с (15.1), имеем:
\[
\varepsilon f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)=-\delta \frac{d x}{d t}-x^{3}, \varepsilon E=E_{1},
\]

после чего, воспользовавшись формулами (15.2), (15.5) и (15.7), получим в первом приближении решение уравнения (15.18) для случая основного резонанса в виде
\[
x=a \cos (v t+\vartheta),
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\delta a}{2}-\frac{E_{1}}{1+
u} \cos \vartheta, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=1-
u+\frac{3 a^{2}}{8}+\frac{E_{1}}{a(1+
u)} \sin \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Перейдем сразу к рассмотрению стационарного режима синхронных колебаний. При таком режиме в первом приближении согласно (15.30) величина $x$ будет изменяться по косинусоиде с частотой внешнего [возбуждения и с постоянными амплитудой и фазой, определяемыми с точностью до величин второго порядка малости системой уравнений

Согласно (15.5) для уравнения (15.28) имеем:
\[
\delta_{e}(a)=\delta, \quad \omega_{e}(a)=1+\frac{3 a^{2}}{8} .
\]

Исключая из соотношений (15.32) фазу $\vartheta$ (или непосредственно подставляя значения $\delta_{e}(a)$ п $\omega_{e}(a)$ (15.33) в (15.10)), находим следующую зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внепней силы:
\[
a^{2}\left\{\left[\left(1+\frac{3 a^{2}}{8}\right)^{2}-
u^{2}\right]^{2}+\delta^{2}\right\}=E_{1}^{2}
\]

из которой находим:
\[

u=\sqrt{\omega_{e}^{2}(a) \pm \sqrt{\frac{E_{1}^{2}}{a^{2}}-\delta^{2}}}
\]

При помощи этой зависимости строим резонансную кривую (рис. 80), а также скелетную кривую, определяемую уравнением
\[
1+\frac{3 a^{2}}{8}=
u
\]
(рис. 80, пунктирная линия).
При помощи полученной диаграммы согласно приведенному на стр. 190 правилу легко установить зоны устойчивых и неустойчивых амплитуд.

Так, устойчивым амплитудам будут соответствовать участки резонансной кривой $M A B$ и $D C N$. Точки $B$ и $D$ будут являться точками срыва и скачка амплитуды.

Диаграмма, приведенная на рис. 80 , позволяет полностью проанализировать характер колебаний в исследуемой системе при изменении частоты внешней силы. Так, при увеличении частоты внешней силы, начиная от малых значений, амплитуда вынужденных колебаний парастает сначала по кривой $M A B$. В точке $B$ происходит срыв амплитуды -значение амплитуды скачком переходит в точку $C$ и при дальнейшем увеличении частота изменяется по кривой $C N$. Если теперь начать уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний будет изменяться по кривой $N C D$. Дойдя до точки $D$, значение амплитуды перейдет в точку $A$ и дальше будет изменяться по верхней ветви резонансной кривой $A M$.

Заметим, что, говоря об изменении частоты внешней силы, мы подразумеваем очень медленное ее изменение, такое, что практически в каждый момент систему можно рассматривать как стационарную. Ниже этот вопрос будет более подробно рассмотрен в связи с явлением прохождения через резонанс.

Приведем теперь решение уравнения (15.28), соответствующее второму приближению. Согласно формулам (15.4) п (14.42) во втором приближении имеем:
\[
x=a \cos (v t+\vartheta)+\frac{a^{3}}{32} \cos 3(v t+\vartheta),
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений второго при ближения:
\[
\frac{d a}{d t}=-\frac{\delta a}{2}+\frac{3 a^{3} \delta}{16}-E_{1}\left[\frac{1}{1+
u}-\frac{3 a^{2}(7-
u)}{8 j(3-
u)(1+
u)^{2}}\right] \cos \vartheta-\frac{E_{1} \delta}{2(1+
u)^{2}} \sin \vartheta,
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{d \vartheta}{d t}=1-
u+\frac{3 a^{2}}{8}-\frac{\delta^{2}}{8} & -\frac{15 a^{4}}{256}+ \\
& +\frac{E_{1}}{a}\left[\frac{1}{1+v}-\frac{3 a^{2}(5-3 v)}{8(3-v)(1+v)^{2}}\right] \sin \vartheta-\frac{E_{1} \delta}{2 a(1+v)^{2}} \cos \vartheta .
\end{aligned}
\]

Как следует из выражения (15.37), во втором приближении появляются высшие гармоники, и колебание уже не будет являться чисто синусоидальным.

Приравнивая правые части уравнений (15.38) нулю и исключая угол $\vartheta$, получаем зависимость между амплитудой колебания $a$ и частотой внешней силы $
u$ во втором приближении. При помощи этого соотношения строим резонансную кривую во втором приближении (рис. 81, пунктирная линия).
Как указывалось выпе, в колебательной системе, описываемой уравнением (15.1), в первом приближении возможно обнаружить только один резонанс, а именно главный резонанс $(p=1, q=1)$. Демультипликационные резонансы заметны только при рассмотрении высщих приближений.

Для того чтобы проиллюстрировать это, построим первое и второе приближение для колебательной системы, описываемой уравнением (15.28) в случае $p=1, q=3$.
Согласно формулам (14.38), (14.39) в первом приближении имеем:
\[
x=a \cos \left(\frac{1}{3} v t+\vartheta\right) \text {. }
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\delta a}{2}, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=1-\frac{1}{3}
u+\frac{3 a^{2}}{8} .
\end{array}\right\}
\]

Правые части уравнений (15.40) зависят только от $a$ и характеризуют систему в нерезонансном случае. Интегрируя эти уравнения, получаем для $x$ выражение
\[
x=a_{0} e^{-\frac{\delta}{2} t} \cos \left[t-\frac{3 a_{0}^{2}}{8 \delta} e^{-\delta t}+\vartheta_{0}\right],
\]
$a_{0}$ и $\vartheta_{0}$ – произвольные постоянные. Таким образом, в первом приближении колебания системы описываются затухающей по экспоненциальному закону косинусоидой и частота колебаний зависит от амплитуды.

Никакого эффекта резонанса в первом приближении не будет; а ввиду того, что амплитуда внешнего синусоидального возбуждения порядка $\varepsilon$, то в первом приближении не имеют места даже вынужденные колебания с частотой возбуждения (вынужденные колебания будут заметны при рассмотрении улучпенного первого приближения).

Подсчитаем теперь второе приближение. Воспользовавшись формулами (14.40) и (14.41), находим для $x$ следующее выражение:
\[
x=a \cos \left(\frac{1}{3} v t+\vartheta\right)+\frac{a^{3}}{32} \cos 3\left(\frac{1}{3} v t+\vartheta\right)-\frac{E_{1}}{8} \sin v t,
\]

в котором $a$ и $\mathfrak{V}$-репгения уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\delta a}{2}+\frac{3}{16} \cdot \delta a^{3}-\frac{3 a^{2} E_{1}}{32\left(1+\frac{
u}{3}\right)} \cos 3 \vartheta, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=1-\frac{
u}{3}+\frac{3 a^{2}}{8}-\frac{\delta^{2}}{8}-\frac{15 a^{4}}{256}+\frac{3 a E_{1}}{32\left(1+\frac{
u}{3}\right)} \sin 3 \vartheta .
\end{array}
\]

Выражения (15.42) и (15.43) свидетельствуют о влиянии внешнего возбуждения на колебательную систему, которое мы обнаруживаем при рассмотрении второго приближения. Так, согласно (15.42) в выражении для $x$, кроме обертонов собственной частоты, появились также и гармоники с частотой внешней силы. При помощи уравнений (15.43) мы можем обнаружить резонансные зоны и построить резонансные кривые.

Приравнивая правые части уравнений (15.43) нулю, получаем с точностью до величин третьего порядка малости следующие зависимости, определяющие стационарные значения амплитуды $a$ п фазы колебаний $\mathfrak{v}$ :

Здесь введены обозначения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\delta_{e}(a)=\delta-\frac{3}{8} \delta a^{2}, \\
\omega_{e}^{2}(a)=1+\frac{3 a^{2}}{4}-\frac{\delta^{2}}{4}-\frac{15 a^{4}}{128} .
\end{array}\right\}
\]

Исключая из зависимостей (15.44) фазу े, находим соотношение между амшлитудой и частотой возмущающей силы:
\[
\left[\omega_{e}^{2}(a)-\frac{\gamma^{2}}{9}\right]^{2}+\delta_{e}^{2}(a)=\frac{9 a^{2} E_{1}^{2}}{1026},
\]

или
\[

u=3 \sqrt{\omega_{e}^{2}(a) \pm \sqrt{\frac{9 a^{2} E_{1}^{2}}{1026}}-\delta_{e}^{2}(a)},
\]

при помощи которого можно построить резонавсную кривую.
Приведем теперь пример, для которого уже в первом приближении можно обнаружить дробный резонанс.
Рассмотрим линейный колебательный контур с регенерацией при помощи электронной лампы (рис. 82).
Как известно, на этом примере Мандельштамом и Папалекси [29] было изучено явление резонанса $n$-го рода, причем решение получаемого уравнения находилось для установившегося режима методом Пуанкаре, а для исследования процесса установления колебаний применялся метод Ван-дер-Поля.
Для указанной колебательной системы дифРис. 82. ференциальное уравнение, описывающее движение, имеет вид
\[
C L \frac{d^{2} i}{d \tau^{2}}+C R \frac{d i}{d \tau}+i=i_{a}+C \frac{d \mathscr{E}}{d \tau},
\]

где
\[
i_{a}=f_{0}\left(V_{\mathbf{s}}\right)
\]

есть уравнение характеристики лампы, зависящее от управляющего напряжения.

После ряда преобразований уравнение (15.48) может быть сведено к виду*)
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+x=\varepsilon f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)+E \sin n t,
\]

где обозначено:
\[
\left.\begin{array}{c}
f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)=F^{\prime}(x) \frac{d x}{d t}+\frac{\xi}{1+\xi} x, \\
F(x)=\frac{1}{1+\xi} f_{1}(x)-2 \vartheta x,
\end{array}\right\}
\]
*) См. [29], r. II, стр. 21.

Остановимся на исследовании резонансного случая. Для того чтобы можно было применить для построения приближенного решения формулы $\S 14$, необходимо в уравнении (15.50) сделать замену переменных:
\[
x=y+\frac{E}{1-n^{2}} \sin n t,
\]

после чего получаем следующее уравнение:
\[
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+y=\varepsilon f\left[y+\frac{E}{1-n^{2}} \sin n t, \frac{d y}{d t}+\frac{E n}{1-n^{2}} \operatorname{con} n t\right] .
\]

Допустим, что регенерация в контуре осуществляется при помощи электронной лампы с характеристикой:
\[
i_{a}=a+b x+c x^{2}-d x^{3},
\]

где $V_{0}=12 \varepsilon, I_{0}=142$ ма, $a, b, c, d$ – постоянные. Тогда для правой части (15.50) получаем выражение
\[
f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)=\left(k+2 x+\gamma x^{2}\right) \frac{d x}{d t}+\frac{\xi}{0,016} x,
\]

в котором приняты обозначения:
\[
\left.\begin{array}{c}
\varepsilon=\frac{0,016}{1+\xi}, k=k_{0}+2 \bar{\vartheta} \frac{\xi}{\beta}, \beta=0,016, \\
\bar{\vartheta}=0,013, \gamma=-2, k_{0}=-0,05 \\
(a=0,95, b=3,35, c=2,25, d=1,5) .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя значение $f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)$ (15.56) в уравненис (15.54), находим для правой части рассматриваемого уравнения следующее выражение:
\[
\begin{aligned}
f\left[y+\frac{E}{1-n^{2}} \sin n t, \frac{d y}{d t}+\frac{E n}{1-n^{2}} \cos n t\right] & \\
= & {\left[k+2 y+\frac{2 E}{1-n^{2}} \sin n t+\gamma\left(y^{2}+\frac{2 y E}{1-n^{2}} \sin n t+\right.\right.} \\
& \left.\left.+\frac{E^{2}}{\left(1-n^{2}\right)^{2}} \sin ^{2} n t\right)\right]\left(\frac{d y}{d t}+\frac{E n}{1-n^{2}} \cos n t\right)+ \\
& +\frac{\xi}{0,016}\left(y+\frac{E}{1-n^{2}} \sin n t\right) .
\end{aligned}
\]

Построим теперь решение уравнения (15.54) в первом приближении дәя случая $n=2$, т. е. для случая, когда в колебательной системе может возникнуть резонанс деления на два.

Воспользовавшись формулами (14.39) и (14.25) и полагая $p=1$, $q=2$, после ряда выкладок получаем:
\[
y=a \cos (t+\vartheta),
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений первого приближения
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon\left\{\frac{1}{2} a\left(k+\frac{\gamma a^{2}}{4}\right)+\frac{\gamma E^{2} a}{36}+\frac{a E}{6} \sin 2 \vartheta\right\}, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\varepsilon\left\{-\frac{\xi}{23}+\frac{E}{6} \cos 2 \vartheta\right\} .
\end{array}\right\}
\]

Система уравнений первого приближения (15.60) дает возможность исследовать как стационарный режим, так и процесс установления колебаний при резонансе второго рода.

Для исследования процесса установления колебаний необходимо проинтегрировать систему (15.60) и найти $a$ и 9 как функции времени. В данном случае интегрирование системы (15.60) может быть произведено до конца. Для этого сделаем в уравнениях (15.60) замену переменных согласно формулам:
\[
u=a \cos \vartheta, \quad v=a \sin \vartheta .
\]

После ряда выкладок вместо уравнений (15.60) получаем для новых переменных $u$ и $v$ следующую систему:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=\varepsilon\left\{\frac{1}{2} u\left[k+\frac{\gamma}{4}\left(u^{2}+v^{2}\right)\right]+\frac{\gamma E^{2}}{36} u+\frac{E}{6} v+\frac{\xi}{2 \beta} v\right\}, \\
\frac{d v}{d t}=\varepsilon\left\{\frac{1}{2} v\left[k+\frac{\gamma}{4}\left(u^{2}+v^{2}\right)\right]+\frac{\gamma E^{2}}{36} v+\frac{E}{6} u-\frac{\xi}{2 \beta} u\right\} .
\end{array}\right\}
\]

Система (15.62), как это показано в работе [29], может быть приведена к уравнению типа Бернулли.

Действительно, умножая уравнения (15.62) соответственно на $v$ и $u$ и вычитая из первого второе, находим:
\[
v \frac{d u}{d t}-u \frac{d v}{d t}=v^{2} \frac{d}{d t}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{\varepsilon}{2}\left[-\left(u^{2}-v^{2}\right) \frac{E}{3}-\left(u^{2}+v^{2}\right) \frac{\xi}{\beta}\right] .
\]

Умножая первое уравнение системы (15.62) на $u$ и складывая полученный результат со вторым уравнением, умноженным на $v$, получим:
\[
\frac{d a}{d t}=\varepsilon a\left[k+\frac{\gamma}{4}\left(a+\frac{2 E^{2}}{9}\right)\right]+\frac{2 \varepsilon u v}{3} E .
\]

Обозначая
\[
\frac{u}{v}=\chi,
\]

можем вместо (15.63) и (15.64) написать следующую систему:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \gamma}{d t}=\frac{\varepsilon}{2}\left[\left(-\frac{E}{3}-\frac{\xi}{\beta}\right) \chi^{2}-\left(-\frac{E}{3}+\frac{\xi}{\beta}\right)\right], \\
\frac{d a}{d t}=\varepsilon a\left[k+\frac{\gamma}{4}\left(a+\frac{2 E^{2}}{9}\right)\right]-\frac{2 \varepsilon E a}{3} \frac{\chi}{1+\chi^{2}} .
\end{array}
\]

Уравнение (15.66) легко интегрируется.
После того как мы определим из него $\chi(t)$, (15.67) может быть приведено к виду
\[
\frac{d a}{d t}=\frac{\varepsilon \gamma}{4} a^{2}+\varphi(t) a,
\]

где $\varphi(t)$ – известная функция времени.
Подстановкой $W=\frac{1}{a}$ (15.68) приводится к линейному уравнению
\[
\frac{d W}{d t}=-\varphi(t) W-\frac{\varepsilon \gamma}{4} .
\]

В результате получаем следующую известную формулу, выражающую закон изменения амцлитуды колебания со временем:
\[
a=\frac{e^{0} \varphi(t) d t}{C_{1}-\frac{\varepsilon \gamma}{4} \int_{0}^{t} \int^{t} \varphi(t) d t} d t
\]

где $C_{1}$ – постоянная интегрирования.
Перейдем теперь к определению установившихся колебаний, совершающихся с постоянной амплитудой и фазой.

Приравнивая правые части системы (15.60) нулю, получаем соотнопения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
k+\frac{\gamma a^{2}}{4}+\frac{\gamma E^{2}}{18}+\frac{E}{3} \sin 2 \vartheta & =0, \\
-\frac{\xi}{\beta}+\frac{E}{3} \cos 2 \vartheta & =0,
\end{array}\right\}
\]

определяющие стационарные значения амплитуды и фазы колебаний. Исключая из (15.71) фазу $\vartheta$, находим известную зависимость
\[
a^{2}=-\frac{2 E^{2}}{9}-\frac{4}{\gamma}\left[k \pm \sqrt{\frac{E^{2}}{9}-\frac{\xi^{2}}{\beta^{2}}}\right],
\]

при помопи которой можно построить резонансиые кривые, характеризующие зависимость амплитуды $a$ от расстройки है (рис. 83). Стационарные значения фазы $\vartheta$ находим с помощью формулы
\[
\operatorname{tg} 2 \theta=-\frac{k+\frac{\gamma a^{2}}{4}+\frac{\gamma E^{2}}{18}}{\frac{\xi}{\beta}},
\]

Рис. 83.
где $a$ определяется из (15.72).
Для определения устойчивых значений стационарной амплитуды поступаем согласно общим правилам.
Находим сначала величины:
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{a}^{\prime}(a, \vartheta)=\frac{1}{2}\left(k+\frac{3 \gamma a^{2}}{4}\right)+\frac{\gamma E^{2}}{36}+\frac{E}{6} \sin 2 \vartheta, \\
A_{\vartheta}^{\prime}(a, \vartheta)=\frac{E a}{3} \cos 2 \vartheta, \\
B_{a}^{\prime}(a, \vartheta)=0, \\
B_{\vartheta}^{\prime}(a, \vartheta)=-\frac{E}{3} \sin 2 \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

После этого составляем уравнения в вариациях:
\[
\begin{array}{l}
+\frac{E a}{3} \cos 2 \theta \partial \theta, \\
\frac{d \widehat{\delta} \vartheta}{d t}=-\frac{E}{3} \sin 2 \vartheta \partial \vartheta \\
\end{array}
\]

из которых находим условия устойчивости стационарных значений $a$ и $\mathfrak{\text { : }}$
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{1}{2}\left(k+\frac{3 \gamma a^{2}}{4}\right)+\frac{\gamma E^{2}}{36}+\frac{E}{6} \sin 2 \vartheta-\frac{E}{3} \sin 2 \vartheta<0, \\
\left\{\frac{1}{2}\left(k+\frac{3 \gamma a^{2}}{4}\right)+\frac{\gamma E^{2}}{36}+\frac{E}{6} \sin 2 \vartheta\right\}\left(-\frac{E}{3} \sin 2 \vartheta\right)>0 .
\end{array}\right\}
\]

Эти условия после ряда преобразований можно представить в виде следующих известных неравенств:
\[
\begin{array}{c}
k+\frac{1}{2} \gamma a^{2}+\frac{\gamma E^{2}}{18}<0, \\
\gamma\left[k+\frac{\gamma a^{2}}{4}+\frac{\gamma E^{2}}{18}\right]>0,
\end{array}
\]

анализ которых совместно с зависимостью (15.72) дает возможность определить величину и границы областей устойчивости периодического решения с периодом $2 \pi^{*}$ ).