В настоящем параграфе остановимся на рассмотрении некоторых колебательных систем, изучение которых сводится к интегрированию дифференциальных уравнений с переменными (зависящими от времени) коэффициентами. Наибольший интерес представляет случай периодических коэффициентов. Как известно, кроме проблем небесной механики, ряд чисто технических задач приводится к рассмотрению дифференциальных уравнений с периодическими коэффициенРис. 102. тами *).

Одной из типичных задач, сводящихся к рассмотрению указанных уравнений, является задача о поперечных колебаниях стержня, находящегося под воздействием продольных периодических сил.

Допустим, что на стержень, длиной $l$, закрепленный шарнирно по концам, с площадью поперечного сечения $A$, с жесткостью $EI$ и плотностью $\gamma$, действует периодическая продольная сила
$$F=F(t)$$
(см. рис. 102).
Тогда дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня может быть представлено в следующем виде:
$$EI\frac{{\partial }^{4}y}{\partial z^4}+\frac{\gamma A}{g}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}+F(t)\frac{{\partial }^{2}y}{\partial z^2}=0,$$

где $g$ — ускорение силы тяжести.
В случае шарнирно закрепленных концов граничные условия для дифференциального уравнения (17.2) будут:
$$\begin{array}{c}{y|}_{z=0}=0,{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial z^2}|}_{z=0}=0,\\ {y|}_{z=l}=0,{\frac{{\partial }^{2}y}{\partial z^2}|}_{z=l}=0.\end{array}\}$$

Очевидно, что уравнение (17.2) вместе с граничными условиями (17.3) путем подстановки
$$y=x\sin \pi \frac{z}{l}$$
*) См., например, работы В. Н. Челомея [46, 47].

может быть сведено к следующему:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^2[1-\frac{l^2}{\pi EI}F(t)]x=0,$$

где введено обозначение
$${\omega }^2=\frac{g{\pi }^{4}EI}{\gamma A{l}^4}.$$

Уравнение (17.5) является известным уравнением Хилла.
К уравнению (17.5) может быть приведена также задача о колебаниях математического маятника, ось вращения которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, задача 0 колебаниях механической системы с периодически пзменяющейся жесткостью, задачи амшлитудной модуляции и многие другие.
В случае, если периодическая функция $F(t)$ имеет следующий вид:
$$F(t)=P_0\cos vt,$$

то вместо (17.5) получаем уравнение
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^2[1-\frac{l^2{P}_0}{\pi EI}\cdot \cos vt]x=0,$$

которое называется уравнением Матье.
Как уравнение Матье, так и уравнение Хилла являются частными случаями дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+p(t)\frac{dx}{dt}+q(t)x=0,$$

где $p(t)$ и $q(t)$ — периодические функции $t$ с периодом $\mathbf{Q}$.
Уравнения типа (17.9) подробно исследовались рядом ученых, однако существующие теории (см., например, А. М. Ляпунов [27]) дают возможность производить только качественный анализ поведения реше ний уравнения (17.9) и не указывают способов построения приближенных решений или способов, позволяющих решить вопрос об устойчивости этих решений.

Для частного случая уравнения (17.9) — для уравнения Матьепостроены решения (функции Матье), которым посвящена обпирная литература.

Во многих случаях дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами могут быть сведены к рассмотренному в § 13 уравнению (13.1), и поэтому приближенные решения можно построить согласно изложенному методу.

Ниже мы построим приближенные решения, а также определим зоны устойчивости в первом и во втором приближении для простейшего случая уравнения с периодическими коэффициентами (17.9) — для уравнения Матье-и сопоставим полученные результаты с решениями, известными в литературе.

Итак, перейдем к построению приближенных решений для уравнения (17.8), которое можем записать в виде
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^2(1-h\cos vt)x=0,$$

где обозначено
$$h=\frac{P_0{l}^2}{\pi EI}\ll 1.$$

Как уже указывалесь, в первом приближении мы можем рассматривать для уравнения типа (17.10) лишь главный демультипликадионный резонанс $p=1,q=2$. Предполагая, что $\omega \approx \frac{u}{2}$, построим приближенные решения, соответствующие резонансному случаю.
В первом приближении, воспользовавшись формулами (14.25), имеем:
$$x=a\cos (\frac{v}{2}t+\vartheta ),$$

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{ah{\omega }^2}{2u}\sin 2\vartheta ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}=\omega -\frac{u}{2}-\frac{h{\omega }^2}{2u}\cos 2\vartheta .\end{array}\}$$

Чтобы решить полученную систему уравнений первого приближения, введем новые переменные $u$ и $v$ согласно формулам
$$u=a\cos \vartheta ,v=a\sin \vartheta .$$

Дифференцируя выражения (17.13) и принимая во внимание уравнения (17.12), имеем:
$$\begin{array}{l}\frac{du}{dt}=\frac{da}{dt}\cos \vartheta -\frac{d\vartheta }{dt}a\sin \vartheta =[-\frac{h{\omega }^2}{2v}-(\omega -\frac{u}{2})]a\sin \vartheta ,\\ \frac{dv}{dt}=\frac{da}{dt}\sin \vartheta +\frac{d\vartheta }{dt}a\cos \vartheta =[-\frac{h{\omega }^2}{2v}+(\omega -\frac{u}{2})]a\cos \vartheta \end{array}\}$$

или
$$\begin{array}{l}\frac{du}{dt}=[-\frac{h{\omega }^2}{2v}-(\omega -\frac{v}{2})]v\\ \frac{dv}{dt}=[-\frac{h{\omega }^2}{2v}+(\omega -\frac{v}{2})]u.\end{array}\}$$

Таким образом, уравнения первого приближения (17.12) мы привели к системе двух линейных уравнений с постоянными коәффициентами.

Характер решений системы уравнений (17.15) и, следовательно, решений системы (17.12) зависит от корней характеристического уравнения
$$\left|\begin{array}{cc}\lambda & \frac{h{\omega }^2}{2u}+(\omega -\frac{u}{2})\\ \frac{h{\omega }^2}{2u}-(\omega -\frac{u}{2})& \lambda \end{array}\right|=0$$

или
$${\lambda }^2-\frac{h^2{\omega }^4}{4u^2}+{(\omega -\frac{u}{2})}^2=0.$$

Обозначим корюн этого уравнения через
$$+\lambda ,-\lambda ,$$

причем
$$\lambda =\sqrt{\frac{h^2{\omega }^4}{4u^2}-{(\omega -\frac{\gamma }{2})}^2}.$$

Тогда общее решение системы дифферендиальных уравнений (17.15) может быть представлено в следующем виде:
$$\begin{array}{c}u=C_1{e}^{\lambda t}+C_2{e}^{-\lambda t},\\ v=C_1\frac{\frac{-h{\omega }^2}{2v}+(\omega -\frac{u}{2})}{\lambda }{e}^{\lambda t}+C_2\frac{\frac{h{\omega }^2}{2v}-(\omega -\frac{u}{2})}{\lambda }{e}^{-\lambda t},\end{array}$$

где $C_1,C_2$ — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

После этого определяем амплитуду $a$ и фазу колебаний $\vartheta$, входящие в правую часть формулы (17.11). Имеем:
$$\begin{array}{rl}{a}^2& =u^2+v^2,\\ \vartheta & =\mathrm{arctg}\frac{v}{u}.\end{array}\}$$

Согласно формулам (17.17), (17.18) и (17.19) очевидно, что при $\lambda$ мнимом амшлитуда $a$ будет ограниченной функцией времени.

В случае, если $\lambda$ действительное, амплитуда $a$ будет возрастать по экспоненциальному закону. Этот случай соответствует наличию в системе основного демультипликационного резонанса.

Согласно равенству (17.17) условие вещественности 2. будет следующее:
$$\frac{h{\omega }^2}{2v}>|\omega -\frac{u}{2}|,$$

или с точностью до величин первого порядка малости
$$\frac{h\omega }{4}>|\omega -\frac{u}{2}|,$$

так как $u=2\omega +O(h)$.
Таким образом, если частота внешнего возбуждения находится в интервале
$$2\omega (1-\frac{h}{4})<u<2\omega (1+\frac{h}{4}).$$

то в системе возникает главный демультипликационный резонанс, при котором амплитуда колебаний возрастает по экспоненциальному закону. Ввиду того, что этот резонанс возникает в результате периодического изменения одного из параметров колебательной системы, его часто называют параметрическим резонансом.

Неравенство (17.21) определяет собой зону неустойчивости, внутри которой положение равновесия $x=0$ оказывается неустойчивым и в системе самовозбуждаются колебания.
Перейдем теперь к построению и анализу второго приближения. Согласно формулам (14.5), (14.21), (14.25) и (14.26) во втором приближении имеем:
$$x=a\cos (\frac{u}{2}t+\vartheta )-\frac{ah\omega }{8(\omega +\frac{u}{2})}\cos (\frac{3}{2}ut+\vartheta ),$$

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из следующей системы уравнений:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{ah{\omega }^2}{2u}\sin 2\vartheta \\ \frac{d\vartheta }{dt}=\omega -\frac{u}{2}+\frac{h^2(\omega +u)\omega }{32(\omega +\frac{u}{2})}-\frac{h{\omega }^2}{2u}\cos 2\vartheta .\end{array}\}$$

Система (17.23) заменой переменных (17.13) тоже сводится ік системе линейных уравнений
$$\begin{array}{l}\frac{du}{dt}=[-\frac{h{\omega }^2}{2u}-(\omega -\frac{u}{2})-\frac{h^2(\omega +u)\omega }{32(\omega +\frac{u}{2})}]v,\\ \frac{dv}{dt}=[-\frac{h{\omega }^2}{2u}+(\omega -\frac{u}{2})+\frac{h^2(\omega +u)\omega }{32(\omega +\frac{u}{2})}]u.\end{array}\}$$

Корни характеристического уравнения в данном случае имеют вид
$$\lambda =\pm \sqrt{\frac{h^2{\omega }^4}{4u^2}-{[\omega -\frac{u}{2}+\frac{h^2(\omega +u)\omega }{32(\omega +\frac{u}{2})}]}^2},$$

и, следовательно, зона неустойчивости во втором приближении определястея с точностьо до величиі второго порядіа малости вклочительно следующим неравенством:
$$2\omega [1-\frac{h}{4}-\frac{h^2}{64}]<u<2\omega [1+\frac{h}{4}-\frac{h^2}{64}].$$

Найдем теперь соотношение между а и $h$, при котором решение уравнения (17.10) будет периодическим с периодом $\frac{4\pi }{v}$. Это возможно в случае, если в формулах (17.11) и (17.22) $a$ =const. Для этого необходимо, чтобы $\lambda$, определяемая выражением (17.17) или (17.25), равнялась нулю.

Таким образом, соотношение, которому должны удовлетворять $\omega$ и $h$ для того, чтобы $x$ являлось функцией периодической, будет в первом приближении:
$$\frac{2\omega }{u}=1\pm \frac{h}{4}$$

во втором нриближении:
$$\frac{2\omega }{v}=1\pm \frac{h}{4}+\frac{5h^2}{64},$$

или соответственно с той же степенью точности в первом приблияении:
$$\frac{4{\omega }^2}{v^2}=1\pm \frac{h}{2}$$

и во втором приближении:
$$\frac{4{\omega }^2}{v^2}=1\pm \frac{h}{2}+\frac{7h^2}{32}.$$

Соотношения (17.29) и (17.30) представляют собой уравнения кривых в плоскости ( $\frac{4{\omega }^2}{v^2},h$ ) (в первом и во втором приближении), на которых решение уравнения (17.10) будет периодическим, т. е. уравнения граничных кривых областей устойчивости решений уравнения (17.10) (рис. 103).

Для периодических решений с периодом $\frac{4\pi }{v}$ из (17.11) и (17.22), принимая во внимание (17.29) и (17.30), находим слодующие выражения:
$$\begin{array}{rl}{x}_1& =a_0\cos (\frac{v}{2}t+{\vartheta }_0),\\ x_{\mathrm{II}}& =a_0\cos (\frac{v}{2}t+{\vartheta }_0)-\frac{a_{0}h}{16}\cos (\frac{3v}{2}t+{\vartheta }_0),\end{array}$$

в которых индекс при $x$ указывает на номер приближения.
Сопоставим теперь найденные формулы с результатами, полученными при определении непосредственно периодических решений уравнения (17.10) в случае малых $h$.
Для этого воспользуемся приемом, с помощью которого Матье находил репения уравнения (17.10) и уравнения граничных кривых, предполагая параметр $h$ малым. (Этот прием следует непосредственно из метода A. Пуанкаре [38] нахождения периодических решений.)
Ищем пориодичсское решение уравнения (17.10) с периодом $\frac{4\pi }{v}$ в виде ряда
Рис. 103.
$$x=x_0+h{x}_1+h^2{x}_2+\dots ,(17.33)$$

в котором $x_0,x_1,x_2,\dots$ должны быть периодическими функциями с периодом $\frac{4\pi }{v}$.
Выражение для ${\omega }^2$ тоже представляем в виде ряда
$${\omega }^2=\frac{u^2}{4}+h{\omega }_1+h^2{\omega }_2+\dots$$

Подставляя правые части (17.33) и (17.34) в уравнение (17.10) и приравнивая коәффициенты при одинаковых стешенях $h$, получаем следующую систему уравнений:

из которой необходимо определить функции $x_0,x_1,x_2,\dots$ и величины ${\omega }_1,{\omega }_2,\dots$

Решая первое уравнение системы (17.35), находим:
$$x_0=a_0\cos (\frac{u}{2}t+{\vartheta }_0),$$

где $a_0$ и ${\vartheta }_0$ — произвольные постоянные.
Подставляя значение $x_0$ (17.36) в правую часть второго уравнения системы (17.35), имеем:
$$\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+\frac{u^2}{4}{x}_1=-{\omega }_1{a}_0\cos (\frac{u}{2}t+{\vartheta }_0)+\frac{u^2}{4}{a}_0\cos (\frac{u}{2}t+{\vartheta }_0)\cos ut,$$

или
$$\begin{array}{l}\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+\frac{u^2}{4}{x}_1=-({\omega }_1-\frac{u^2}{8})a_0\cos \frac{u}{2}t\cos {\vartheta }_0+\\ +({\omega }_1+\frac{u^2}{8})a_0\sin \frac{u}{2}t\sin {\vartheta }_0+\frac{u^2}{8}{a}_0\cos (\frac{3}{2}ut+{\vartheta }_0).\end{array}$$

Для того чтобы $x_1$ было периодической функцией с периодом $\frac{4\pi }{v}$, необходимо, чтобы коэффициенты при $\cos \frac{v}{2}t$ и $\sin \frac{u}{2}t$ в правой части (17.38) равнялись нулю. Тогда получим:
$${\omega }_1=\frac{{\gamma }^2}{8},\sin {\vartheta }_0=0,{\vartheta }_0=0$$

или
$${\omega }_1=-\frac{{\gamma }^2}{8},\cos {\vartheta }_0=0,{\vartheta }_0=\frac{\pi }{2}.$$

После этого находим выражение для $x_1$ :
$$x_1=-\frac{a_0}{16}\cos \frac{3v}{2}t+u\cos (\frac{v}{2}t+\phi ),$$

или
$$x_1=\frac{a_0}{16}\sin \frac{3v}{2}t+u\cos (\frac{v}{2}t+\phi ).$$

Подставляя значения $x_0$ и $x_1$ в правую часть третьего уравнения системы (17.35), имеем для случая ${\omega }_1=\frac{u^2}{8},{\vartheta }_0=0$ :
$$\begin{array}{rl}\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+\frac{u^2}{4}{x}_2=& -(\frac{u^2}{4}\cos vt-{\omega }_1)\frac{a}{16}\cos \frac{3v}{2}t-\\ & -(\frac{u^2}{4}\cos vt-{\omega }_1)u\cos (\frac{u}{2}t+\phi )+({\omega }_1\cos vt-{\omega }_2)a\cos \frac{u}{2}t.\end{array}$$

Приравнивая опять коэффициенты прє $\cos \frac{u}{2}t$ и $\sin \frac{u}{2}t$ нулю, получаем:
$$\begin{array}{c}{\dot{\omega }}_2=\frac{v^2}{16}-\frac{v^2}{128}=\frac{7v^2}{128},\\ \frac{v^2}{4}u\sin \phi +\frac{v^2}{8}u\sin \phi =0,\text{ т. e. }\sin \phi =0,\phi =0.\end{array}$$

Аналогично для второго случая получим:
$$\begin{array}{c}{\omega }_2=\frac{7v^2}{128},\\ \cos \phi =0,\phi =\frac{\pi }{2}.\end{array}\}$$

Подставляя полученные значения $x_0,x_1,{\omega }_1,{\omega }_2$ в правые части формул (17.33) и (17.34), имеем:
$$\begin{array}{rl}x& =a_0\cos \frac{u}{2}t-\frac{a_{0}h}{16}\cos \frac{3v}{2}t,\\ {\omega }^2& =\frac{u^2}{4}+\frac{h{u}^2}{8}+\frac{7h^2{v}^2}{128},\end{array}$$

или
$$\begin{array}{rl}x& =a_0\sin \frac{u}{2}t+\frac{a_{0}h}{16}\sin \frac{3v}{2}t,\\ {\omega }^2& =\frac{u^2}{4}-\frac{h{u}^2}{8}+\frac{7h^2{\gamma }^2}{128}.\end{array}$$
В.этих формулах мы для Уудобства включили $hu$ в полную амплитуду первой гармоники $a_0$.
Полагая $u=2$ и $a_0=1$, находим:
$$\begin{array}{rl}x& =\cos t-\frac{h}{16}\cos 3t,\\ {\omega }^2& =1+\frac{h}{2}+\frac{7h^2}{32};\\ x& =\sin t+\frac{h}{16}\sin 3t,\\ {\omega }^2& =1-\frac{h}{2}+\frac{7h^2}{32}.\end{array}\}$$

Выражения (17.47) и (17.48), как и следовало ожидать, совпадают с первыми двумя членами в разложениях функций Матье $C_n$ и $S_n$ (для $n=1$ ) в ряд Фурье. Действительно, имеем*):
$$\begin{array}{l}{C}_1=\cos t-\frac{h}{16}\cos 3t+O\left(h^2\right),\\ {\omega }_{C_1}^2=1+\frac{h}{2}+\frac{7h^2}{32}+O\left(h^3\right),\end{array}\}$$

а также
$$\begin{array}{l}{S}_1=\sin t+\frac{h}{16}\sin 3t+O\left(h^2\right),\\ {\omega }_{{\mathrm{S}}_1}^2=1-\frac{h}{2}+\frac{7h^2}{32}+O\left(h^3\right).\end{array}\}$$

Остановимся тешерь на построении приближенных решений уравнения (17.10) и определим границы областей неустойчивости в случае $\omega \approx \frac{v}{2}p$, где $p=2,3$.

Для случая $p=2$, т. е. $\omega \approx u$, полагаем в формулах (14.21), (14.23) и (14.26) $p=2,q=2$.
Тогда для второго приближения найдем следующее выражение:
$$x=a\cos (ut+\vartheta )+\frac{ha{\omega }^2}{2u(u+2\omega )}\cos (2vt+\vartheta )+\frac{h{\omega }^{2}a}{2u(u-2\omega )}\cos \vartheta ,$$
*) См., например, М. Д. О. Стретт, Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике, стр. $35-39$.

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из уравнения второго приближения:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=\frac{h^{2}a{\omega }^4}{8u^2(2\omega -u)}\sin 2\vartheta ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}=\omega -u-\frac{h^2{\omega }^4}{4u(4{\omega }^2-u^2)}+\frac{h^2{\omega }^4}{8u^2(2\omega -u)}\cos 2\vartheta .\end{array}\}$$

Из системы (17.52), так же как и в предыдущем случае, находим условие вещественности корней характеристического уравнения
$$|\omega -u-\frac{h^2{\omega }^4}{4u(4{\omega }^2-u^2)}|<\left|\frac{h^2{\omega }^4}{8u^2(2\omega -u)}\right|,$$

и, следовательно, зона неустойчивости определяется с точностью до величин второго порядка малости неравенством
$$4+\frac{2h^2{\omega }^4}{{\gamma }^2(4{\omega }^2-u^2)}-\frac{h^2{\omega }^4}{{\gamma }^3(2\omega -u)}<{\left(\frac{2\omega }{u}\right)}^2<4+\frac{2h^2{\omega }^4}{{\gamma }^2(4{\omega }^2-u^2)}+\frac{h^2{\omega }^4}{{\gamma }^3(2\omega -u)}$$

или, принимая во внимание, что $\omega \approx u$, с той же степенью точности неравенством
$$4+\frac{2h^2}{3}-h^2<{\left(\frac{2\omega }{u}\right)}^2<4+\frac{2h^2}{3}+h^2.$$

Для случая $p=3$, т. е. $\omega \approx \frac{3}{2}u$, необходимо подсчитать третье приближение, так как во втором приближении мы получаем только поправку, уточняющую значение собственной частоты . После ряда выкладок находим:
$$\begin{array}{rl}x=a\cos (\frac{3}{2}ut+\vartheta )& -\frac{{\omega }^{2}ha}{2}\{\frac{\cos (\frac{5}{2}ut+\vartheta )}{u(2\omega +u)}-\frac{\cos (\frac{1}{2}ut+\vartheta )}{u(2\omega -u)}\}+\\ & +\frac{h^2{\omega }^{4}a}{16u^2}\{\frac{\cos (\frac{7}{2}ut+\vartheta )}{(2\omega +u)(u+\omega )}+\frac{\cos (\frac{u}{2}t-\vartheta )}{(2\omega -u)(\omega -u)}\},\end{array}$$

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений третьего приближения:
$$\begin{array}{rl}\frac{da}{dt}& =-\frac{h^3{\omega }^{6}a}{3\cdot 2^5{\gamma }^3(2\omega -u)(\omega -u)}\sin 2\vartheta ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}& =\omega -\frac{3}{2}u-\frac{{\omega }^4{h}^2}{3\cdot 2\vee (4{\omega }^2-u^2)}-\frac{h^3{\omega }^6}{3\cdot 2^5{u}^3(2\omega -u)(\omega -u)}\cos 2\vartheta .\end{array}\}$$

Попутно заметим, что в общем случае из-за громоздкости не выписывались выражения для третьего приближения. Структура же уравнений (17.57) свидетельствует лишний раз о том, что в конкретных случаях даже уравнения третьего приближения весьма просты.

Из системы уравнений (17.57) находим для зоны неустойчивости неравенство
$$\begin{array}{l}9+\frac{2{\omega }^4{h}^2}{u^2(4{\omega }^2-u^2)}-\frac{{\omega }^6{h}^3}{2^3{u}^4(2\omega -u)(\omega -u)}<{\left(\frac{2\omega }{u}\right)}^2<9+\\ +\frac{2{\omega }^4{h}^2}{u^2(4{\omega }^2-u^2)}+\frac{{\omega }^6{h}^3}{2^3{u}^4(2\omega -u)(\omega -u)},\end{array}$$

или с той же степенью точности
$$9+\frac{81h^2}{64}-\frac{3^6{h}^3}{2^9}<{\left(\frac{2\omega }{u}\right)}^2<9+\frac{81h^2}{64}+\frac{3^6{h}^3}{2^9}.$$

Приведем здесь также неравенство определяющее зону неустойчивости в случае $\omega \approx \frac{u}{2}$. Согласно (17.20) имеем:
$$1-\frac{h}{2}<{\left(\frac{2\omega }{u}\right)}^2<1+\frac{h}{2}\text{. }$$

Из анализа неравенств (17.55), (17.59) и (17.60) очевидно, что величина (ширина) области неустойчивости уменьшается с ее порядком $p$, как $h^p$.

Таким образом, высшие резонансы $p=2,3,\dots$ можем наблюдать, рассматривая соответственно второе, третье и т. д. приближения, а при рассмотрении точного решения уравнения (17.10) получим бесконечный спектр резонансов.

На рис. 103 приведены первые три зоны неустойчивости, построенные согласно неравенствам (17.55), (17.59) и (17.60).
Заметим, что при наличии затухания, т. е. для уравнения
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\delta \frac{dx}{dt}+{\omega }^2(1-h\cos vt)x=0,$$

эти зоны уменьшаются (см. на рис. 103 заштрихованные области). Нетрудно показать, что вместо рассматриваемых неравенств при наличии трения мы получим следующие:
$$\begin{array}{c}1-\sqrt{\frac{h^2}{4}-\frac{4{\delta }^2}{v^2}}<{\left(\frac{2\omega }{u}\right)}^2<1+\sqrt{\frac{h^2}{4}-\frac{4{\delta }^2}{v^2}},\\ 4+\frac{2h^2}{3}-\sqrt{h^4-64\frac{{\delta }^2}{v^2}}<{\left(\frac{2\omega }{u}\right)}^2<4+\frac{2h^2}{3}+\sqrt{h^4-64\frac{{\delta }^2}{v^2}},\\ 9+\frac{81h^2}{64}-\sqrt{\frac{3^{12}{h}^6}{2^{18}}-3^{4}4\frac{{\delta }^2}{v^2}}<{\left(\frac{2\omega }{u}\right)}^2<9+\frac{81h^2}{64}+\sqrt{\frac{3^{12}{h}^6}{2^{18}}-3^{4}4\frac{{\delta }^2}{v^2}}.\end{array}$$

Неравенства (17.62), (17.63) и (17.64) содержат еще дополнительные условия:
для первой области
$$h>4\frac{\delta }{v}\text{, }$$

для второй
$$h>2\sqrt{2\frac{\delta }{v}},$$

для третьей
$$h>\frac{8}{3}\sqrt[6]{\frac{\overline{4{\delta }^2}}{9v^2}}.$$

Как нетрудно видеть, при наличии затухания, для того чтобы был заметен резонанс $\omega \approx u$, требуется гораздо большая глубина модуляци и параметра $h{\omega }^2$, чем в случае резонанса $\omega \approx \frac{v}{2}$. Еще тяжелее осуществить резонанс $\omega \approx \frac{3}{2}$ v.

Поэтому обычно наибольпий практический интерес представляет резонанс $\omega \approx \frac{u}{2}$.

Рассмотрим теперь параметрическое возбуждение в нелинейной колебательной системе.

Заметим, что приведенный выше случай показывает, что в линейной колебательной системе при параметрическом изменении массы или жесткости системы при определенных условиях ноложение равновесия становится неустойчивым. Даже при очень малых значениях ${\omega }^{2}h$ (глубины модуляции) в системе при определенном соотношении частот возникают колебания, амплитуда которых неограниченно возрастает.

При наличии в линейной системе диссипативных сил влияние последних сказывается только на условии возбуждения колебаний — при наличии диссипации глубина модуляции, при которой наступает резонанс, имеет некоторый нижний предел, отличный от нуля и зависящий от величины декремента затухания. Стадионарных колебаний при наличии трения в линейной системе не будет.

В нелинейной колебательной системе дело обстоит иначе. Как будет показано ниже, при изменении рассматриваемых параметров колебательной системы по гармоническому закону с частотой, для определенности, например, равной или близкой к удвоенной собственной частоте системы, настушает резонанс. В данном случае возможны устойчивые режимы стационарных колебаний.

В качестве простейшего примера рассмотрим колебательную систему, описываемую следующим дифференциальным уравнением:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^2(1-h\cos ut)x+2\delta \frac{dx}{dt}+\gamma x^3=0.$$

Предположим, что колебания, ошисываемые уравнением (17.68), близки к гармоническим. Тогда решение уравнения (17.68), соответствующее наличию в системе основного демультишликационного резонанса, ищем в виде
$$x=a\cos (\frac{u}{2}t+\vartheta ),$$

где согласно (14.25) a и э должны удовлетворять следующей системе уравнений:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\delta a-\frac{ah{\omega }^2}{2v}\sin 2\vartheta \\ \frac{d\vartheta }{dt}=\omega -\frac{u}{2}+\frac{3\gamma a^2}{4u}-\frac{h{\omega }^2}{2u}\cos 2\vartheta .\end{array}\}$$

Для получения стационарных значений амплитуды и фазы колебания приравняем правые части системы (17.70) нулю.
Получаем соотнопения:
$$\begin{array}{r}-\delta a-\frac{ah{\omega }^2}{2v}\sin 2\vartheta =0,\\ \omega -\frac{u}{2}+\frac{3\gamma a^2}{4u}-\frac{h{\omega }^2}{2u}\cos 2\vartheta =0.\end{array}\}$$

Исключая из них фазу ๆ, находим с точностью до величин первого порядка малости включительно следующее соотногиение между амплитудой $a$ и частотой модуляции v:
$$a^2=\frac{4}{3\gamma }[{\left(\frac{u}{2}\right)}^2-{\omega }^2\mp \frac{1}{2}\sqrt{h^2{\omega }^4-4u^2{\delta }^2}].$$

При помощи этой зависимости строим резонансную кривую.
В случае, если $\gamma >0$, получим резонансную кривую, приведенную на рис. 104. Анализируя эту кривую, видим, что при увеличении $u$, начиная с малых значений, колебания в системе будут отсутствовать, пока $u$ не достигнет значения, соответствующего точке $A$. При достижении $у$ точки $A$ в системе возникнут колебания, и при дальнейшем увеличении $u$ амплитуда этих колебаний будет изменяться вдоль верхней ветви резонансной кривой $AB$. В точке $B$ колебания потеряют свою устойчивость и сорвутся.

При уменьшении v, начиная с больших значений, колебания скачком возбудятся в точке $C$ (жесткое возбуждение), и при последующем уменьпении у амплитуда колебаний будет изменяться вдоль кривой $AB$.
Рис. 104.
Pис. 105.
В случае, если $\gamma <0$, получим аналогичную картину, только резонансная кривая будет наклонена в сторону малых значений $v$ (рис. 105).

Для определения границ зоны синхронизации необходимо приравнять правую часть выражения для $a$ нулю.
В первом приближении зона резонанса будет:
$${\omega }^2-\frac{1}{2}\sqrt{h^2{\omega }^4-16{\omega }^2{\delta }^2}<{\left(\frac{u}{2}\right)}^2<{\omega }^2+\frac{1}{2}\sqrt{h^2{\omega }^4-16{\omega }^2{\delta }^2},$$

и потому ширина резонансной зоны
$$\mathrm{\Delta }=\sqrt{h^2{\omega }^4-16{\omega }^2{\delta }^2}.$$

Заметим, что наличие затухания уменьшает интервал $AC$, внутри которого возникает параметрический резонанс.

Очевидно, что $\mathrm{\Delta }$ будет действительным, если выполняется неравенство
$$h>\frac{4\hat{\delta }}{\omega },$$

которое, как указывалось, определяет минимальную глубину модуляции, необходимую для параметрического резонанса при данном затухании.

Рассмотрим еще случай параметрического резонанса в колебательной системе с нелинейным трением.

В случае параметрического возбуждения контура с электронной лампой (рис. 23) уравнение колебаний будет:
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2({\lambda }_0+{\lambda }_2{x}^2)\frac{dx}{dt}+{\omega }^2(1-h\cos vt)x=0.$$

Допустим, что при отсутствии параметрического возбуждения, т. е. при $h=0,$ система несамовозбужденная. Для этого необходимо, чтобы ${\lambda }_0>0$.

Составим уравнения первого приближения. Имеем:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-{\lambda }_0-\frac{{\lambda }_2{a}^3}{4}-\frac{ah{\omega }^2}{2u}\sin 2\vartheta \\ \frac{d\vartheta }{dt}=\omega -\frac{u}{2}-\frac{h{\omega }^2}{2v}\cos 2\vartheta .\end{array}$$
(17.77) Рис. 106.

Для определения стационарных значений $a$ и $\vartheta$ приравниваем правые части уравнений (17.77) нулю:
$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{0}a+\frac{{\lambda }_2{a}^3}{4}+\frac{ah{\omega }^2}{2v}\sin 2\vartheta & =0,\\ \omega -\frac{u}{2}-\frac{h{\omega }^2}{2v}\cos 2\theta & =0.\end{array}\}$$

Исключая из полученных соотношений ๆ, находим с принятой нами степенью точности следующую зависимость между амплитудой колебания $a$ и частотой изменения параметра $v$ :
$$a^2=\frac{2}{{\lambda }_{2}u}\sqrt{h^2{\omega }^4-4{({\omega }^2-{\left(\frac{u}{2}\right)}^2)}^2}-4\frac{{\lambda }_0}{{\lambda }_2}.$$

При помощи этой зависимости можем построить резонансную кривую (рис. 106), а также найти условия параметрического возбуждения, максимальную амплитуду возбуждения, границы резонансной области ит. д.