Перейдем к рассмотрению резонансных случаев. Предположим, что
\[
\omega \approx \frac{p}{q}
u,
\]

где $p$ и $q$ – некоторые взаимно простые числа.
Тогда в зависимости от характера стоящей перед нами задачи может возникнуть два различных подхода к ее решению: 1) при исследовании резонанса достаточно ограничиться рассмотрением только самой резонансной области; 2) кроме изучения резонансной области, необходимо также изучить подходы к этой области из нерезонансной зоны.

Начнем рассмотрение с первого случая, как более простого. Ввиду того, что в этом случае предполагается рассматривать значения $\frac{p}{q}
u$, достаточно близкие к $\omega$, естественно положить
\[
\omega^{2}=\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2}+\varepsilon \Delta,
\]

где $\varepsilon \Delta$ представляет собой расстройку между квадратом собственной и внешней частоты.
Тогда исходное уравнение (13.1) запишется в виде
\[
\frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}+\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2} x=\varepsilon\left\{f\left(v t, x, \frac{d x}{d t}\right)-\Delta x\right\} .
\]

Таким образом, расстройку $\varepsilon \Delta$ ввиду малости относим к возмущающей силе, после чего решение уравнения (14.2), как и в нерезонансном случае, можем искать в виде
\[
x=a \cos \psi+\varepsilon u_{1}(a, v t, \psi)+\varepsilon^{2} u_{2}(a, v t, \psi)+s s,
\]

где $u_{1}(a, v t, \psi), u_{2}(a, v t, \psi), \ldots$ – периодические функции с периодом $2 \pi$ по обеим угловым переменным $v t$ и $\psi$, а $a$ п $\psi$ – некоторые функции времени, которые мы должны определить из соответствующих дифференциальных уравнений.

Для составления этих уравнений удобно ввести в рассмотрение, кроме угловой переменной $\psi$, представляющей собой полную фазу колебания, еще разность фаз
\[
\vartheta=\psi-\frac{p}{q} v t .
\]

Как уже ранее указывалось, из простых физических соображений следует, что в резонансных случаях разность фаз между собственным колебанием и внешним воздействием может оказывать существенное влияние на изменение амплитуды и частоты колебания. Поэтому в отличие от ранее рассматривавшихся случаев мы будем представлять $\frac{d a}{d t}$ и $\frac{d \psi}{d t}$ как функции не только $a$, но также и $\vartheta$, иначе говоря, мы будем определять $a$ и $\psi$ как решения дифференциальных уравнений вида
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a, \vartheta)+\varepsilon^{2} A_{2}(a, \vartheta)+\ldots, \\
\frac{d \psi}{d t}=\frac{p}{q}
u+\varepsilon B_{1}(a, \vartheta)+\varepsilon^{2} B_{2}(a, \vartheta)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где $A_{1}(a, \vartheta), A_{2}(a, \vartheta), \ldots, B_{1}(a, \vartheta), B_{2}(a, \vartheta), \ldots$ – периодические функции угловой переменной $\vartheta$ с периодом $2 \pi$.

Поскольку в правые части выражений для $\frac{d a}{d t}$ и $\frac{d \psi}{d t}$ входит не полная фаза $\psi$, а фазовый угол $\vartheta$, целесообразно исключить $\psi$ из выражения (14.3) и уравнений (14.4).

Тогда, полагая $\psi=\frac{p}{q} v t+\vartheta$, получим вместо (14.3) следующеө выражение:
\[
x=a \cos \left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)+\varepsilon u_{1}\left(a, \vartheta, \frac{\vee}{q} t\right)+\varepsilon^{2} u_{2}\left(a, \vartheta, \frac{\vee}{q} t\right)+\ldots,
\]

в котором функции времени $a$ и $\vartheta$ должны удовлетворять уравнениям:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a, \vartheta)+\varepsilon^{2} A_{2}(a, \vartheta)+\ldots, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\varepsilon B_{1}(a, \vartheta)+\varepsilon^{2} B_{2}(a, \vartheta)+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, нам нужно определить функции
\[
\begin{array}{l}
A_{1}(a, \vartheta), A_{2}(a, \vartheta), \ldots, B_{1}(a, \vartheta), B_{2}(a, \vartheta), \ldots, u_{1}\left(a, \vartheta, \frac{\vee}{q} t\right), \\
\quad u_{2}\left(a, \vartheta, \frac{\vee}{q} t\right), \ldots
\end{array}
\]

так, чтобы выражение (14.5), в котором вместо $a$ и $\vartheta$ подставлены решения уравнений (14.6), удовлетворяло основному рассматриваемому уравнению (14.2).
Дифференцируя (14.5), находим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\{\cos \psi+\left.\varepsilon \frac{\partial u_{1}}{\partial a}+\varepsilon^{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial a}+\ldots\right\} \frac{d a}{d t}+ \\
+\left\{-a \sin \psi+\varepsilon \frac{\partial u_{1}}{\partial \vartheta}+\varepsilon^{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \vartheta}+\ldots\right\} \frac{d \vartheta}{d t}+ \\
+\left\{-a \frac{p}{q}
u \sin \psi+\varepsilon \frac{\partial u_{1}}{\partial t}+\varepsilon^{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial t}+\ldots\right\}, \quad(14.7) \\
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\left\{\cos \psi+\varepsilon \frac{\partial u_{1}}{\partial a}+\varepsilon^{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial a}+\ldots\right\} \frac{d^{2} a}{d t^{2}}+\left\{\varepsilon \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial a^{2}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial a^{2}}+\ldots\right\}\left(\frac{d a}{d t}\right)^{2}+ \\
+2\left\{-\sin \psi+\varepsilon \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial a \partial \vartheta}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial a \partial}+\ldots\right\} \frac{d a}{d t} \frac{d \vartheta}{d t}+ \\
+2\left\{-\frac{p}{q}
u \sin \psi+\varepsilon \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial a \partial t}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial a \partial t}+\ldots\right\} \frac{d a}{d t}+ \\
+\left\{-a \sin \psi+\varepsilon \frac{\partial u_{1}}{\partial \vartheta}+\varepsilon^{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \vartheta}+\ldots\right\} \frac{d^{2} \vartheta}{d t^{2}}+ \\
+\left\{-a \cos \psi+\varepsilon \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \vartheta^{2}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \vartheta^{2}}+\ldots\right\}\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}+ \\
+2\left\{-a \frac{p}{q}
u \cos \psi+\varepsilon \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \vartheta \partial t}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial \vartheta \partial t}+\ldots\right\} \frac{d \vartheta}{d t}+ \\
+\left\{-a\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2} \cos \psi+\varepsilon \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial t^{2}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial t^{2}}+\ldots\right\} .
\end{array}
\]

Далее, на основании (14.6) имеем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d^{2} a}{d t^{2}} & =\varepsilon^{2}\left\{\frac{\partial A_{1}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}\right\}+\varepsilon^{3} \ldots, \\
\left(\frac{d a}{d t}\right)^{2} & =\varepsilon^{2} A_{1}^{2}+\varepsilon^{3} \ldots,\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}=\varepsilon^{2} B_{1}^{2}+\varepsilon^{3} \ldots, \\
\frac{d^{2} \vartheta}{d t^{2}} & =\varepsilon^{2}\left\{\frac{\partial B_{1}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}\right\}+\varepsilon^{3} \ldots, \\
\frac{d a}{d t} \frac{d \vartheta}{d t} & =\varepsilon^{2} A_{1} B_{1}+\varepsilon^{3} \ldots
\end{array}\right\}
\]

Подставляя (14.5) и (14.8) в левую часть уравнения (14.2), учитывая при этом (14.6), (14.9) и располагая результаты по степеням параметра $\varepsilon$, получим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2} x=\left\{-2 \frac{p}{q}
u \sin \psi A_{1}-2 a \frac{p}{q}
u \cos \psi B_{1}+\right. \\
\left.+\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial t^{2}}+\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2} u_{1}\right\}+\varepsilon^{2}\left\{\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}-a B_{1}^{2}-\right.\right. \\
\left.-2 a \frac{p}{q}
u B_{2}\right\} \cos \psi+\left[-2 A_{1} B_{1}-2 \frac{p}{q}
u A_{2}-\right. \\
\left.-a \frac{\partial B_{1}}{\partial a} A_{1}-a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}\right] \sin \psi+2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial a \partial t} A_{1}+ \\
\left.+2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \vartheta \partial t} B_{1}+\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial t^{2}}+\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2} u_{2}\right\}+\varepsilon^{3} \ldots
\end{array}
\]

Раскладывая правую часть уравнения (14.2) по степеням малого параметра, находим:
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon\left\{f\left(v t, x, \frac{d x}{d t}\right)-\Delta x\right\}=\varepsilon\{-\Delta a \cos \psi+ \\
\left.+f\left(v t, a \cos \psi,-a \frac{p}{q}
u \sin \psi\right)\right\}+ \\
+s^{2}\left\{f_{x}^{\prime}\left(v t, a \cos \psi,-a \frac{p}{q}
u \sin \psi\right) u_{1}+\right. \\
+f_{x^{\prime}}^{\prime}\left(v t, a \cos \psi,-a \frac{p}{q}
u \sin \psi\right)\left(A_{1} \cos \psi-a B_{1} \sin \psi+\right. \\
\left.\left.+\frac{\partial u_{1}}{\partial t}\right)-\Delta u_{1}\right\}+\varepsilon^{3} \ldots
\end{array}
\]

Приравнивая в правых частях (14.10) и (14.11) коэффидиенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим для определения искомых функций следующую систему уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial t^{2}}+\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2} u_{1}=f_{0}(a, v t, \psi)+2 \frac{p}{q}
u A_{1} \sin \psi+ \\
+2 a \frac{p}{q}
u B_{1} \cos \psi-\Delta a \cos \psi \\
\frac{\partial^{2} u_{2}}{\partial t^{2}}+\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2} u_{2}=f_{1}(a,
u t, \psi)+ {\left[2 \frac{p}{q}
u A_{2}+a \frac{\partial B_{1}}{\partial a} A_{1}+a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+\right.} \\
\left.+2 A_{1} B_{1}\right] \sin \psi+\left[2 a \frac{p}{q}
u B_{2}-\frac{\partial A_{1}}{\partial a} A_{1}-\frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+a B_{1}^{2}\right] \cos \psi
\end{array}
\]

где введены обозначения:
\[
\begin{array}{c}
f_{0}(a, v t, \psi)=f\left(v t, a \cos \psi,-a \frac{p}{q}
u \sin \psi\right), \\
f_{1}(a, v t, \psi)=f_{x}^{\prime}\left(v t, a \cos \psi,-a \frac{p}{q}
u \sin \psi\right) u_{1}+ \\
+f_{x^{\prime}}^{\prime}\left(v t, a \cos \psi,-a \frac{p}{q}
u \sin \psi\right)\left(A_{1} \cos \psi-a B_{1} \sin \psi+\frac{\partial u_{1}}{\partial t}\right)- \\
-\Delta u_{1}-2 A_{1} \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial a \partial t}-2 B_{1} \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial v \partial t}
\end{array}
\]

Как и в ранее изложенных случаях, $f_{k}(a, v t, \psi)$ являются периодическими функциями с периодом $2 \pi$ по обеим угловым переменным $v t$, $\left[A_{i}(a, \vartheta)\right.$ и $B_{i}(a, \vartheta)$ – периодические функции по отношению к $\vartheta$ с периодом $2 \pi]$.

Найдем из уравнения (14.12) $u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right), A_{1}(a, \vartheta)$ и $B_{1}(a, \vartheta)$, соблюдая условие отсутствия в выражении для $u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right)$ членов, знаменатели которых могут обратиться в нуль.

Представляя функции $u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right)$ п $f_{0}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right)$ в виде конечных сумм Фурье, имеем:
\[
\begin{array}{l}
u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right)=\sum_{n} \sum_{m} u_{n m}^{(1)}(a) e^{i\left\{n v t+m\left(\frac{p}{q} v t+\vartheta\right)\right\}}, \\
f_{0}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right)=\sum_{n} \sum_{m} f_{n m}^{(0)}(a) e^{i\left\{n v t+m\left(\frac{p}{q} v t+\vartheta\right)\right\}},
\end{array}
\]

где
\[
f_{n m}^{(0)}(a)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i\{n \theta+m \psi\}} d \theta d \psi,
\]

причем следует заметить, что фактически в случае, если правая часть уравнения (13.1) $s f\left(v t, x, \frac{d x}{d t}\right)$ является полиномом по отнопению к $x, \frac{d x}{d t}$ и содержит конечное число гармоник по переменной $v t$, то разложения (14.17) могут быть найдены при помощи элементарных тригонометрических преобразований.

Подставим правые части выражений (14.16) и (14.17) в уравнение (14.12). В результате получим:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{n} \sum_{m}\left\{\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2}-\left(n
u+m \frac{p}{q}
u\right)^{2}\right\} e^{i\left\{n v t+m\left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)\right\}} u_{n m}^{(1)}(a)= \\
=\sum_{n} \sum_{m} f_{n m}^{(0)}(a) e^{i\left\{n
u t+m\left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)\right\}}+2 \frac{p}{q}
u A_{1} \sin \left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)+ \\
+2 a \frac{p}{q}
u B_{1} \cos \left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)-\Delta a \cos \left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right),
\end{array}
\]

откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, находим:
\[
u_{n m}^{(1)}(a)=\frac{f_{n m(a)}^{(0)}}{\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2}-\left(n \vee+m \frac{p}{q}
u\right)^{2}}
\]

для всех $n, m$, удовлетворяющих условию
\[
\left(\frac{p}{q}
u\right)^{2}-\left(n
u+m \frac{p}{q}
u\right)^{2}
eq 0
\]

или эквивалентному условию
\[
n q+(m \pm 1) p
eq 0
\]

получаем так же соотношение для определения $A_{1}(a, \vartheta)$ и $B_{1}(a, \vartheta)$ :
\[
\begin{aligned}
2 \frac{p}{q}
u A_{1} \sin \left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right) & +\left(2 a \frac{p}{q}
u B_{1}-\Delta a\right) \cos \left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)+ \\
& +\sum_{\substack{n \\
\sum_{m} \\
\left[n q+\left(m_{ \pm}\right) p=0\right]}} e^{i\left\{n
u t+m\left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)\right\}} f_{n m}^{(0)}(a)=0 .
\end{aligned}
\]

Подставляя значение $u_{n m}^{(1)}(a)$ (14.19) в правую часть формулы (14.16), находим:
\[
u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right)=\sum_{\substack{n \\[n q+(m \pm 1) p
eq 0]}} \frac{f_{n m}^{(0)}(a) e^{i\left\{n v t+m\left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)\right\}}}{\left(\frac{p}{q} v\right)^{2}-\left(n v+m \frac{p}{q} v\right)^{2}} .
\]

Обратимся теперь к уравнению (14.20). Суммирование в нем, как указано, идет по всем целым $n, m$ (положительным, отрицательным и нулевым), для которых
\[
n q+(m \pm 1) p=0 .
\]

Поэтому в данной сумме имеются комплексные экспоненты вида
\[
\begin{aligned}
e^{i\left\{\left(n+m \frac{p}{q}\right)
u t+m \vartheta\right\}} & =e^{i\left\{(n q+m p) \frac{
u}{q} t+m \vartheta\right\}}= \\
& =e^{i\left\{\mp \frac{p}{q}
u t+m \vartheta\right\}}=e^{i\left\{\mp\left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)+(m+1) \vartheta\right\}}= \\
& =\left\{\cos \left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right) \mp i \sin \left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)\right\} e^{i(m \leq 1) \vartheta} .
\end{aligned}
\]

Заметим, кроме того, что в силу (14.22) $m \pm 1$ делится на $q$, так что мы можем записать этот сомножитель в виде $q \sigma(-\infty<\sigma<\infty)$.

Приравнивая коэффициенты при $\cos \left(\frac{p}{q} v t+\vartheta\right)$ и $\sin \left(\frac{p}{q} v t+\vartheta\right)$ в (14.20), имеем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A_{1}(a, \vartheta) & =\frac{q}{4 \pi^{2}
u p} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \vartheta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi, \\
B_{1}(a, \vartheta) & =\frac{\Delta}{2} \frac{q}{p
u}- \\
-\frac{q}{4 \pi^{2} a p v} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \vartheta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi \\
\quad\left(\vartheta^{\prime}=\psi-\frac{p}{q} \theta\right) .
\end{array}\right\}
\]

В формулах (14.23) суммирование производится для всех значений $\sigma$, как положительных, так и отрицательных, для которых интегралы, стоящие под знаком суммы, отличны от нуля. Эти интегралы будут отличны от нуля для тех значений $\sigma$, для которых суммарный показатель соответствующей экспоненты (полученной после разложения в ряд Фурье подынтегрального выражения) равен нулю. Таким образом, если правая часть уравнения (13.1) является полиномом относительно $x$, $\frac{d x}{d t}, \cos v t$ и $\sin v t$, то о будет принимать конечное число целых значений.

Итак, в первом приближении для резонансного случая решение уравнения (13.1) будет:
\[
x=a \cos \left(\frac{p}{q} v t+\vartheta\right),
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon q}{4 \pi^{2} v p} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \theta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \theta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\frac{\varepsilon \Delta q}{2 p v}-\frac{\varepsilon q}{4 \pi^{2} a \vee p} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \theta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \theta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi .
\end{array}\right\}
\]

Так как в резонансном случае предполагается, что расстройка $\varepsilon \Delta$ является величиной первого порядка малости, можем с той же стешенью точности систему уравнений (14.24) представить в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon q}{4 \pi^{2} v p} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \theta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-\frac{p}{q}
u-\frac{\varepsilon q}{4 \pi^{2} a \vee p} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \theta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi .
\end{array}\right\}
\]

Зная выражения для $u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q}
u t+\vartheta\right), A_{1}(a, \vartheta)$ и $B_{1}(a, \vartheta)$, можно в соответствии с (14.15) найти явное выражение для $f_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right)$, после чего из уравнения (14.13) получим выражения для $A_{2}(a, \vartheta v)$ и $B_{2}(a, \vartheta)$, необходимые для построения второго приближения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A_{2}(a, \vartheta)= & -\frac{q}{2 v p}\left[a \frac{\partial B_{1}}{\partial a} A_{1}+a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+2 A_{1} B_{1}\right]- \\
& -\frac{q}{4 \pi^{2} v p} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{1}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \vartheta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi, \\
B_{2}(a, \vartheta)= & \frac{q}{2 a v p}\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}-a B_{1}^{2}\right]- \\
& -\frac{q}{4 \pi^{2} a v p} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{1}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \vartheta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi .
\end{array}\right\}
\]

Перейдем теперь к рассмотрению самого общего случая.
Пусть требуется исследовать поведение системы как вблизи резонанса, так и для подходов к резонансной области из нерезонансной зоны. Для этого необходимо построить такие приближенные решения, которые давали бы возможность изучить поведение системы для достаточно большого интервала частот и из которых как частные случаи можно было бы получить выведенные выше формулы как для резонансного случая, так и для нерезонансного.

Здесь мы уже не можем считать, что расстройка мала, и поэтому приближенное решение должны искать непосредственно для уравнения (13.1); кроме того, в выражения для мгновенной амплитуды и частоты надо ввести зависимость от угла сдвига фаз.
Таким образом, решение, как и выше, ищем в виде ряда
\[
x=a \cos \left(\frac{p}{q} v t+\vartheta\right)+\varepsilon u_{1}(a, v t, \psi)+\varepsilon^{2} u_{2}(a, v t, \psi)+\ldots,
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть ошределены из следующей системы дифференциальных уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=s A_{1}(a, \vartheta)+s^{2} A_{2}(a, \vartheta)+\ldots, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-\frac{p}{q}
u+\varepsilon B_{1}(a, \vartheta)+\varepsilon^{2} B_{2}(a, \vartheta)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

причем разность $\omega–\frac{p}{q}
u$ не обязательно мала.
Здесь, как и всегда, $u_{1}(a, v t, \psi), u_{2}(a, v t, \psi)$ обладают периодом $2 \pi$ по отношению к обеим угловым переменным $\psi$ и $v t$, а $A_{i}(a, \vartheta)$ и $B_{i}(a, \vartheta)(i=1,2, \ldots)$ периодические, с периодом $2 \pi$, по отношению к угловой переменной $\vartheta$.

Для определения всех этих функций мы могли бы применить неоднократно использованный прием нецосредственного дифференцирования разложений (14.27) и подстановки результата в основное уравнение с последующим приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях. Вместо этого воспользуемся здесь рассуждениями, аналогичными тем, которые были применены при изложении метода гармонического баланса.
Для получения первого приближения рассмотрим главную гармонику
\[
x=a \cos \psi, \psi=\frac{p}{q}
u t+\vartheta .
\]

На основании принципа гармонического баланса при подстановке (14.29) в уравнение (13.1) с учетом системы уравнений (14.28) главные гармоники в левой и правой частях уравнения (13.1) должны быть равны.

Для получения второго приближения мы, естественно, при определении главной гармоники в левой части уравнения (13.1) должны учесть члены при $\varepsilon^{2}$, а в выражении для $f\left(v t, x, \frac{d x}{d t}\right)$ должны учесть члены с $\varepsilon u_{1}(a, v t, \psi)$.

Таким образом, во втором приближении для главной гармоники левой части уравнения (13.1) сразу получаем:

главная гармоника $\left\{\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x\right\}=\left\{\varepsilon\left[\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) \frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta}-2 \omega a B_{1}\right]+\right.$
\[
\begin{array}{l}
\left.+\varepsilon^{2}\left[\left(\omega-
u \frac{p}{q}\right) \frac{\partial A_{2}}{\partial \vartheta}-2 a \omega B_{2}+\frac{\partial A_{1}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}-B_{1}^{2} a\right]\right\} \cos \psi- \\
-\left\{\varepsilon \left[\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta}\right.\right.\left.+2 \omega A_{1}\right]+\varepsilon^{2}\left[\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) a \frac{\partial B_{2}}{\partial \vartheta}+2 \omega A_{2}+\right. \\
\left.\left.+\frac{\partial B_{1}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+2 A_{1} B_{1}\right]\right\} \sin \psi .
\end{array}
\]

Подставляя в правую часть уравнения (13.1) $x=a \cos \psi+\varepsilon u_{1}(a, v t, \psi)$, получаем с точностью до величин второго порядка малости для главной гармоники следующее выражение:

главная гармоника $\left\{\varepsilon f\left(v t, x, \frac{d x}{d t}\right)\right\}=$
\[
\begin{array}{l}
=\varepsilon \sum_{\substack{n, m \\
[n q+(m \pm 1) p=01}} f_{n m}^{(0)}(a) e^{i\left\{n v t+m\left(\frac{p}{q} v t+\vartheta\right)\right\}}+ \\
+\varsigma^{2} \sum_{\substack{n, m \\
[n q+(m \pm 1) p=0]}} f_{n m}^{(1)}(a) e^{i\left\{n v t+m\left(\frac{p}{q} v t+\theta\right)\right\}}= \\
=\varepsilon\left\{\cos \psi \frac{1}{2 \pi^{2}} \sum_{\sigma} e^{i \sigma q \theta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i \sigma q \theta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi+\right. \\
\left.+\sin \psi \frac{1}{2 \pi^{2}} \sum_{\sigma} e^{i \sigma q \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \theta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi\right\}+ \\
+s^{2}\left\{\cos \psi \frac{1}{2 \pi^{2}} \sum_{\sigma} e^{i \sigma q \theta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{1}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \vartheta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi+\right. \\
\left.+\sin \psi \frac{1}{2 \pi^{2}} \sum_{\sigma} e^{i \sigma q \theta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{1}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \theta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi\right\}, \\
\end{array}
\]

где введены обозначения:
\[
\begin{array}{c}
f_{0}(a, \theta, \psi)=f(\theta, a \cos \psi,-\alpha \omega \sin \psi), \\
f_{1}(a, \theta, \psi)=f_{x}^{\prime}(\theta, a \cos \psi,-a \omega \sin \psi) u_{1}+f_{x^{\prime}}^{\prime}(\theta, a \cos \psi,-a \omega \sin \psi) \times \\
\times\left[A_{1} \cos \psi-a B_{1} \sin \psi+\frac{\partial u_{1}}{\partial \vartheta}\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right)\right]-\frac{\partial u_{1}}{\partial a}\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) \frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta}- \\
-\frac{\partial u_{1}}{\partial \vartheta}\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta}-2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \vartheta^{2}} B_{1}\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right)-2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial a \partial t} A_{1}- \\
-2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial \vartheta \partial t} B_{1}-2 \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial a \partial \vartheta}\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) A_{1} .
\end{array}
\]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в выражениях (14.30) и (14.31), получаем в первом приближении:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) \frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta}-2 a \omega B_{1}=\frac{1}{2 \pi^{2}} \sum_{\sigma} e^{i \sigma q \theta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \vartheta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi, \\
\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta}+2 \omega A_{1}=-\frac{1}{2 \pi^{2}} \sum_{\sigma} e^{i \sigma q \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \vartheta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi ;
\end{array}\right\}
\]

во втором приближении:
\[
\begin{array}{c}
\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) \frac{\partial A_{2}}{\partial \vartheta}-2 a \omega B_{2}=-\left\{\frac{\partial A_{1}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}-a B_{1}^{2}\right\}+ \\
+\frac{1}{2 \pi^{2}} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{1}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \theta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi, \\
\left(\omega-\frac{p}{q}
u\right) a \frac{\partial B_{2}}{\partial \vartheta}+2 \omega A_{2}=-\left\{a \frac{\partial B_{1}}{\partial a} A_{1}+a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+\right. \\
\left.+2 A_{1} B_{1}\right\}-\frac{1}{2 \pi^{2}} \sum_{\sigma} e^{i q \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{1}(a, \theta, \psi) e^{-i q \sigma \vartheta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi .
\end{array}
\]

Выражение для $\varepsilon u_{1}(a, v t, \psi)$ определяем как вынужденные колебания, возбуждаемые в $x$ действием высших гармоник внешней силы $\varepsilon f\left(\vartheta t, x, \frac{d x}{d t}\right)$ в режиме гармонических колебаний ( $x=a \cos \psi$, $\left.\frac{d x}{d t}=-a \omega \sin \psi\right)$ :
\[
\varepsilon u_{1}(a, v t, \psi)=\sum_{\substack{n, m \\ \llbracket n q+(m \pm 1) p
eq 0]}} \frac{e^{i(n \vee t+m \psi)}}{\omega^{2}-(n
u+m \omega)^{2}} f_{n m}^{(0)}(a),
\]

где
\[
f_{n m}^{(0)}(a)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f_{0}(a, \theta, \psi) e^{-i(n \theta+m \psi)} d \theta d \psi
\]

Заметим, что в предыдущих случаях, «резонансном» и «нерезонансном», мы могли бы первое и второе приближения построить также, применяя изложенный метод гармонического баланса.

Скажем еще несколько слов по поводу определения $A_{i}(a, \vartheta)$ $B_{i}(a, \vartheta)(i=1,2)$ из систем уравнений (14.34) и (14.35).

Правые части этих уравнений периодические по $\vartheta$ и представляют собой суммы типа $\sum k_{n}(a) e^{i n \vartheta}$, поэтому и решение для $A_{i}(a, \vartheta)$, $B_{i}(a, \vartheta)(i=1,2)$ мы должны искать в виде аналогичных сумм. В результате все выкладки при определении $A_{i}(a, \theta), B_{i}(a, \vartheta)(i=1,2)$ сводятся к чисто тригонометрическим операциям.

Нетрудно заметить, что из выведенных нами формул для исследования как резонансной области, так и подходов к ней можно получить все ранее найденные формулы. Так, полагая в уравнениях (14.34) $\omega-\frac{p}{q}
u=s \Delta$, находим с точностью до величины первого порядка малости выражения для $A_{1}(a, \vartheta)$ и $B_{1}(a, \vartheta)(14.23)$, полученные в случае резонанса.

Резюмируя, приведем схему построения решения уравнения (13.1) в первом и во втором приближениях для самого общего случая. В качестве первого приближения принимаем:
\[
x=a \cos \left(\frac{p}{q} v t+\vartheta\right),
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a, \vartheta), \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-\frac{p}{q}
u+\varepsilon B_{1}(a, \vartheta),
\end{array}\right\}
\]

в которых $A_{1}(a, \vartheta)$ и $B_{1}(a, \vartheta)$ – частные, периодические решения системы (14.34). Во втором приближении полагаем:
\[
x=a \cos \left(\frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)+\varepsilon u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q}
u t+\vartheta\right),
\]

где $a$ и $\vartheta$ определяются уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a, \vartheta)+\varepsilon^{2} A_{2}(a, \vartheta), \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-\frac{p}{q} \vee+\varepsilon B_{1}(a, \vartheta)+\varepsilon^{2} B_{2}(a, \vartheta),
\end{array}\right\}
\]

в которых $A_{1}(a, \vartheta \vartheta), B_{1}(a, \vartheta), A_{2}(a, \vartheta), B_{2}(a, \vartheta)$ должны быть найдены из систем (14.34) и (14.35), а $u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right)$ по формуле (14.36).

Заметим еще раз, что уравнения второго приближения (14.41) с учетом выражений для $A_{2}(a, \vartheta)$ и $B_{2}(a, \vartheta)$ (14.35) кажутся достаточно сложными только потому, что они записаны в самом общем виде. Для конкретных примеров даже во втором приближении мы получаем сравнительно простые уравнения, определяющие амплитуду и фазу колебания (см., например, уравнения (13.56) и (15.38)).
Остановимся на рассмотрении первого приближения.
В отличие от нерезонансного случая здесь в уравнениях первого приближения (14.39) переменные не разделены, и мы имеем систему двух взаимно связанных уравнений для определения двух неизвестных $a$ и $\vartheta$.

Заметим сначала, что для достаточно больших $p$ и $q$ ввиду сделанного ранее предположения о полиномиальном характере функций $f_{n}\left(x, \frac{d x}{d t}\right)$ первое приближение в резонансном случае не отличается от нерезонансного случая. Действительно, для достаточно больших $p$ и $q$ в суммах, стоящих в правых частях уравнений (14.39), останутся только члены, соответствующие $\sigma=0$, которые совпадают с выражениями (13.35), полученными в нерезонансном случае.

Таким образом, эффект резонанса сказывается, вообще говоря, при небольших значениях чисел $p$ и $q$.
Возвратимся к рассмотрению уравнений первого приближения (14.39).
Так как правые части этих уравнений зависят от $a$ и от $\vartheta$, то проинтегрировать их в замкнутом виде в общем случае не удается. Качественный характер решений может быть, однако, исследован и в общем случае с помощью теории Пуанкаре, потому что здесь мы имеем дело с двумя уравнениями первого порядка.

Согласно основным результатам этой теории (см. гл. III) можно утверждать, что всякое решение*) уравнений (14.39) приближается
*) Следует иметь в виду, что для всякого решения величина а должна оставаться конечной. С физической точки зрения это ограничение всегда выполняется, так как амплитуда колебаний не может неограниченно возрастать.

с возрастанием времени или к постоянным решениям
\[
a=a_{i}, \vartheta=\vartheta_{i}(i=1,2, \ldots),
\]

определяемым из уравнений
\[
A_{1}(a, \vartheta)=0, \omega-\frac{p}{q}
u+\varepsilon B_{1}(a, \vartheta)=0,
\]

или к периодическим.
Таким образом, получаем два основных типа стационарных колебаний: колебания, соответствующие постоянному решению или, как говорят, «точке равновесия» уравнений (14.39), и колебания, соответствующие периодическому решению.

В первом случае колебания в первом приближении соверіаются с частотой, точно равной $\frac{p}{q}
u$ и находящейся, следовательно, в простом рациональном соотношении с частотой возбуждения. Поэтому такой режим колебаний называется синхронным.

В высших приближениях (см., например, формулу (14.21)) в выражении для $u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q} v t+\vartheta\right)$, кроме основной частоты $\frac{p v}{q}$, присутствуют, вообще .говоря, и другие обертоны разделенной частоты $\frac{
u}{q}$.

В случае, если в системе существует постоянное решение типа $a=0$, соответствующее отсутствию собственных колебаний, выражение для $u_{1}\left(a, v t, \frac{p}{q}
u t+\vartheta\right)$ (14.21) будет то же самое, что и в нерезонансном случае (13.34), и представляет собой гетеропериодический режим колебаний.

Исследуем вопрос устойчивости стационарного синхронного режима. Для определения устойчивости постоянных решений $a_{0}$ и $\vartheta_{0}$, определяемых уравнениями (14.42), необходимо образовать соответствующие им уравнения в вариациях.
На основании (14.39) уравнения в вариациях можем записать в виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \delta a}{d t}=\varepsilon A_{1 a}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right) \delta a+\varepsilon A_{1 \vartheta}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right) \delta \vartheta, \\
\frac{d \delta \vartheta}{d t}=\varepsilon B_{1 a}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right) \delta a+\varepsilon B_{1 \vartheta}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right) \delta \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Характеристическое уравнение для системы (14.43) будет:
\[
\left|\begin{array}{cc}
\varepsilon A_{1 a}^{\prime}-\lambda & \varepsilon A_{1 \vartheta}^{\prime} \\
\varepsilon B_{1 a}^{\prime} & \varepsilon B_{1 \vartheta}^{\prime}-\lambda
\end{array}\right|=0,
\]

или
\[
\lambda^{2}-\left(s A_{1 a}^{\prime}+\varepsilon B_{1 \vartheta}^{\prime}\right) \lambda+\varepsilon^{2}\left(A_{1 a}^{\prime} B_{1 \vartheta}^{\prime}-B_{1 a}^{\prime} A_{1 \vartheta}^{\prime}\right)=0 .
\]

Из (14.45) получаем следующие условия устойчивости для рассматриваемых синхронных стационарных колебаний:
\[
\begin{array}{c}
A_{1 a}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right)+B_{1 \vartheta}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right)<0, \\
A_{1 a}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right) B_{1 \vartheta}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right)-A_{1 \vartheta}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right) B_{1 a}^{\prime}\left(a_{0}, \vartheta_{0}\right)>0 .
\end{array}
\]

Во втором случае, соответствующем периодическому рещению уравнений (14.39), в первом приближении колебание будет соверіпаться с двумя основными частотами – с частотой $\omega$ или $\frac{p}{q}
u+\Delta \omega$ и частотой биений $\Delta \omega$, где $\Delta \omega=\frac{2 \pi}{T}$ ( $T$ – период данного периодического решения). Эти колебания называются асинхронными.

В качестве примера, иллюстрирующего характер синхронного и асинхронного режимов, рассмотрим ламшовый генератор, находящийся под воздействием внешней периодической силы с частотой v.

В случае, если генератор составлен по схеме, приведенной на рис. 78 , дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс, будет:
\[
\frac{d^{2} e}{d t^{2}}+\omega^{2} e=-\omega^{2}\left[\frac{L}{R} \frac{d e}{d t}-(M-D L) \frac{d i_{a}}{d t}\right],
\]

где $L$-симоиндукция, $M$ – коэффициент взаимной индукции, $R$ – сопротивление, $D$-проницаемость лампы, $\omega=\frac{1}{\sqrt{L C}}$ – собственная частота линейного контура, $C$ – емкость, $i_{a}=f\left(E_{0}+F \cos v t+e\right)$ – характеристика лампы ( $i_{a}$ – анодный ток), $E=E_{0}+F \cos v t+e$ – полное управляющее напряжение, $E_{0}$ – постоянная слагающая полного управляющего напряжения, $F \cos v t$-слагающая нелинейного управляющего напряжения, вызываемая внешним возбуждением, $e-$ слагающая управляющего напряжения, происходящая от колебаний в контуре.

Рассмотрим случай, когда $f\left(E_{0}+u\right)$, где $u=e+F \cos v t, \quad$ является кубическим полиномом:
\[
f\left(E_{0}+u\right)=f\left(E_{0}\right)+S_{0} u+S_{1} u^{2}-S_{2} u^{3},
\]

в котором $S_{2}>0$.
Предположим, что члены, стоящие в правой части уравнения (14.48), малы; тогда колебания будут близки $к$ гармоническим, и мы можем построить приближенное репение уравнения (14.48), воспользовавшись приведенными выше формулами.

Будем рассматривать \”резонансный» случай, когда $p=1, q=2$, т. e. $\omega \approx \frac{v}{2}$.
Уравнение (14.48) перепипем в форме
\[
\frac{d^{2} e}{d t^{2}}+\frac{
u^{2}}{4} e=-\omega^{2}\left[\frac{L}{R} \frac{d e}{d t}-(M-D L) \frac{d i_{a}}{d t}\right]-\left(\omega^{2}-\frac{
u^{2}}{4}\right) e .
\]

Решение в первом приближении ищем в виде
\[
e=a \cos \psi, \phi=\frac{\vee}{2} t+\vartheta,
\]

где $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений
\[
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(a, \vartheta), \frac{d \vartheta}{d t}=\varepsilon B_{1}(a, \vartheta),
\]

для составления которой воспользуемся методом гармонического баланса.

Подсчитаем главные гармоники в левой и правой частях уравнения (14.50); имеем (см., например, (14.10)):
главная гармоника $\left\{\frac{d^{2} e}{d t^{2}}+\frac{
u^{2}}{4} e\right\}=\varepsilon A_{1}(a, \vartheta \vartheta)
u \sin \psi-\varepsilon B_{1}(a, \vartheta \vartheta) a \vee \cos \psi$; главная гармоника $\left\{-\omega^{2}\left[\frac{L}{R} \frac{d e}{d t}-(M-D L) f_{t}^{\prime}\left(E_{0}+F \cos v t+e\right)\right]-\right.$
\[
\begin{array}{l}
\left.-\left(\omega^{2}-\frac{
u^{2}}{4}\right) e\right\}=-\left\{\grave{o}_{0}
u\left[-\frac{3 S_{2}}{4 S_{c r}} a^{3}+\frac{S_{0}-S_{c r}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2}}{S_{c r}} a\right]+\right. \\
\left.\quad+\frac{a v S_{1} F \hat{\delta}_{0}}{2 S_{c r}} \cos 2 \vartheta\right\} \sin \psi-\left\{a\left(\omega^{2}-\frac{v^{2}}{4}\right)-\frac{a v S_{1} F \hat{\delta}_{0}}{2 S_{c r}} \sin 2 \vartheta\right\} \cos \psi,
\end{array}
\]

где обозначено: $\delta_{0}=\frac{1}{2 R C}, S_{c r}=\frac{L}{R(M-D L)}$.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках и .учитывая, что $\omega+\frac{
u}{2} \approx
u$, получим для определения $a$ и $\vartheta$ следующую систему уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\delta_{0}\left[-\frac{3 S_{2}}{4 S_{c r}} a^{3}+\frac{S_{0}-S_{c r}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2}}{S_{c r}} a\right]+\frac{a \dot{S}_{1} F \hat{\delta}_{0}}{2 S_{c r}} \cos 2 \vartheta \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega-\frac{v}{2}-\frac{S_{1} F \hat{\delta}_{0}}{2 S_{c r}} \sin 2 \vartheta .
\end{array}\right\}
\]

Ввиду того, тто во второе уравнение системы (14.51) входит только одна неизвестная функция $\vartheta$, оно может быть проинтегрировано с помощью квадратуры.
Однако, мы остановимся на другом вопросе.
Исследуем, при каких соотношениях между частотами $\omega$ и у, а также коэффициентами полинома (14.49) в генераторе будут существовать стационарные колебания.
Допустим сначала, что
\[
\left|\omega-\frac{
u}{2}\right|<\left|\frac{\delta_{0} S_{1} F}{2 S_{c r}}\right| .
\]

Тогда, интегрируя второе уравнение системы (14.51), получим:
\[
\underset{t \rightarrow \infty}{\vartheta}(t) \rightarrow \vartheta_{0},
\]

где
\[
\vartheta_{0}=\frac{1}{2} \arcsin 2 \frac{\omega-\frac{
u}{2}}{\delta_{0} S_{1} F} S_{c r} .
\]

Из первого уравнения системы (14.51) при выполнении (14.53) находим:
\[
\underset{t \rightarrow \infty}{a(t)} \rightarrow a_{0},
\]

где $a_{0}$ определяется из уравнения
\[
\left(S_{0}-S_{c r}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2}+\frac{1}{2} S_{1} F \cos 2 \vartheta_{0}\right) a_{0}-\frac{3}{4} S_{2} a_{0}^{3}=0 .
\]

Если
\[
S_{0}-S_{c r}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2}+\frac{1}{2} S_{1} F \cos 2 \vartheta_{0}<0,
\]

то, очевидно,
\[
a_{0}=0 .
\]

Таким образом, при выполнении условий (14.52) и (14.57) в генераторе устанавливается гетеропериодический режим – единственный возможный в данном случае стационарный режим.
Пусть теперь
\[
S_{0}-S_{c r}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2}+\frac{1}{2} S_{1} F \cos 2 \vartheta_{0}>0 ;
\]

тогда решение $a_{0}=0$ неустойчиво и система будет самовозбуждающаяся. Из уравнения (14.56) находим значение $a_{0}$ :
\[
a_{0}=\sqrt{\frac{4}{3 S_{0}}\left[S_{0}-S_{c r}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2}+\frac{1}{2} S_{1} F \cos 2 \theta_{0}\right]} .
\]

Таким образом, при выполнении условий (14.52) и (14.58) в рассматриваемой колебательной системе устанавливается синхронный режим и в первом приближении
\[
e=a_{0} \cos \left(\frac{v}{2} t+\vartheta_{0}\right),
\]

где $a_{0}$ и $\vartheta_{0}$ определяются выражениями (14.59) и (14.54), т. е. в генераторе устанавливаются стационарные колебания с постоянными амплитудой и фазой и с частотой; равной половине частоты возбуждения.

Согласно условию (14.52) расстройка резонанса $\left|\omega-\frac{
u}{2}\right|$ не должна при этом превосходить некоторой величины. Иначе говоря, синхронный режим возможен при достаточно малых значениях расстройки.

Рассмотрим теперь случай, когда $\omega$, оставаясь достаточно близкой к $\frac{v}{2}$, так что условия применимости уравнений (14.51) выполняются, удовлетворяет неравенству
\[
\left|\omega-\frac{
u}{2}\right|>\left|\frac{\delta_{0} S_{1} F}{2 S_{c r}}\right| .
\]

Тогда, проинтегрировав второе уравнение системы (14.62), можно представить $\vartheta$ в виде
\[
\vartheta=\Delta \omega t+\Phi(\Delta \omega t+\theta),
\]

где $\theta$-произвольная постоянная, $\Phi(\theta)$-периодическая функция $\theta$ с периодом $2 \pi$,
\[
\Delta \omega=\frac{2 \pi}{T}, \quad T=\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \vartheta}{\omega-\frac{
u}{2}-\left|\frac{S_{1} F \delta_{0}}{2 S_{c r}}\right| \sin 2 \vartheta} .
\]

Подставляя значение $\vartheta$ (14.62) в первое уравнение системы (14.51), получаем для определения стационарных значений амплитуды уравнение первого порядка с периодическим коэффициентом.

Это уравнение допускает репение $a=0$, соответствующее гетеропериодическому режиму. Boпрос об устойчивости решения $a=0$ зависит от знака выражения
\[
S_{0}-S_{c r}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2}+\frac{1}{2} S_{1} F \overline{\cos 2 \vartheta},
\]

где $\overline{\cos 2 \vartheta}$ обозначает усредненное значение $\cos 2 \vartheta$ по периоду $T$ :
\[
\overline{\cos 2 \vartheta}=\frac{1}{T} \int_{0}^{\boldsymbol{T}} \cos 2 \vartheta d t .
\]

Благодаря (14.63) имеем $\overline{\cos 2 \vartheta}=0$, и поэтому выражение (14.64) принимает вид
\[
S^{0}-S_{c r}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2} .
\]

Если выражение (14.66) отрицательно, то самовозбуждение отсутствует и гетеропериодический режим $a=0$ устойчив; если же выражение (14.66) положительно, то в системе имеют место самовозбуждение и, следовательно, неустойчивость гетеропериодического режима.
Итак, при выполнении условия (14.61) и условия
\[
S_{0}-S_{c r}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2}>0
\]

можно показать, что
\[
\underset{t \rightarrow \infty}{a(t)} \rightarrow A(\Delta \omega t+\theta),
\]

где $A(\Delta \omega t+\theta)$-соответствующее периодическое решение с периодом $T=\frac{2 \pi}{\Delta \omega}$ первого уравнения системы (14.51) после подстановки в него значения $\vartheta$ из (14.62).

В частности, при достаточно больших значениях расстройки $\left|\omega-\frac{v}{2}\right|$ получаем приближенно:
\[
A(\theta) \approx a_{0}
\]

где
\[
a_{0}^{2}=\frac{4}{3 S_{0}}\left(S_{0}-S_{\text {or }}-\frac{3}{2} S_{2} F^{2}\right),
\]
т. е. значение стационарной амплитуды в нерезонансном случае.

Итак, при выполнении условий (14.61) и (14.67) в генераторе устанавливается стационарный двухчастотный режим – асинхронные колебания. В первом приближении для стационарных колебаний получаем выражение
\[
e=A(\Delta \omega t+\theta) \cos \left[\left(\frac{
u}{2}+\Delta \omega\right) t+\theta+\Phi(\Delta \omega t+\theta)\right],
\]

в котором $\frac{
u}{2}+\Delta \omega$-основная частота, а амплитуда $A(\Delta \omega t+\theta)$ п фаза $\theta+\Phi(\Delta \omega t+\theta)$ колеблются с частотой биений $\Delta \omega$.

Анализируя выражение (14.70), нетрудно заметить, что в этом случае при удалении от резонанса колебания приближаются к нерезонансным колебаниям вида
\[
e=a \cos (\omega t+\theta) .
\]

Этот факт, очевидно, имеет место и в самом общем случае. Исследуя общие уравнения первого приближения (14.39), можно показать, что при увеличении расстройки $\left|\omega-\frac{
u}{2}\right|$ «резонансное» первое приближение непрерывно переходит в «нерезонансное».