Перейдем теперь к приложению лемм, доказанных в предыдущем параграфе.

Эти леммы были нами сформулированы применительно к системе уравнений (27.105), к которой было приведено при соответствующих условиях основное уравнение (27.1).

Сформулируем сейчас и докажем ряд теорем, перенеся формулировку свойств решений системы уравнений (27.105) на репения основного дифференциального уравнения (27.1), помня при этом, что в процессе приведения его к виду (27.105) была сделана замена переменной $t \rightarrow t$. Начнем со случая квазистатического решения, когда выпадает зависимость от угловой переменной. В этом случае можем сформулировать следующую теорему.
Теорема I. Пусть функция $X(t, x)$, входящая в уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=\varepsilon X(t, x),
\]

удовлетворяет следующим условиям:
a) Уравнение первого приближения
\[
\frac{d \xi}{d t}=\varepsilon X_{0}(\xi),
\]

в котором
\[
X_{0}(\xi)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t, x) d t,
\]

имеет квазистатическое решение $\xi=\xi_{0}$.
б) Вещественные части всех $n$ корней характеристического уравнения
\[
\operatorname{Det}\left|p I-X_{0}^{\prime}\left(\xi_{0}\right)\right|=0,
\]

составленного для уравнений в вариациях
\[
\frac{d \delta \hat{\xi}}{d t}=\varepsilon X_{0 x}^{\prime}\left(\xi_{0}\right) \delta \xi,
\]

соответствующих квазистатическому решению $\xi=\xi_{0}$, отличны от нуля.

в) Можно указать такую р-окрестность $D_{p}$ точки $\xi_{0}$, в которой $X(t, x)$ – почти периодические функции $t$, равномерно по отношению к $x \in D_{\rho}$.
г) Функция $X(t, x)$ и ее частные производные первого порядка по $x$ ограничены и равномерно непрерывны по отношению к $x$ в области
\[
-\infty<t<\infty, x \in D_{\rho} .
\]

Тогда можно указать такие положительные постоянные $\varepsilon^{\prime}, \sigma_{0}, \sigma_{1}$ (причем $\sigma_{0} \leqslant \sigma_{1}<\rho$ ), что для всякого положительного $\varepsilon<\varepsilon^{\prime}$ справедливы следующие утверждения:
1. Уравнение (29.1) имеет единственное решение $x=x^{*}(t)$, определенное на всем интервале $(-\infty, \infty$ ), для которого
\[
\left|x^{*}(t)-\xi_{0}\right|<\sigma_{0},-\infty<t<\infty .
\]
2. Это решение $x^{*}(t)$ является почти периодическим с частотным базисом функции $X(t, x)$.
3. Можно найти такую функцию $\delta(\varepsilon)$, стремящуюся к нулю вместе c $\varepsilon$, что будет иметь место
\[
\left|x^{*}(t)-\xi_{0}\right| \leqslant \delta(\varepsilon),-\infty<t<\infty,
\]
4. Пусть $x(t)$ является любым решением уравнения (29.1), отличным от $x^{*}(t)$, удовлетворяющим при некотором $t=t_{0}$ неравенству вида
\[
\left|x(t)-\xi_{0}\right|<\sigma_{0} .
\]

Тогда, если вепественные части всех корней характеристического уравнения (29.4) отрицательны, расстояние $\left|x(t)-x^{*}(t)\right|$ стремится к нулю для $t \rightarrow \infty$, причем
\[
\left|x(t)-x^{*}(t)\right| \leqslant C e^{-\gamma_{\varepsilon}\left(t-t_{0}\right)},
\]

где $C$ и $\gamma$-положительные постоянные.
Если вещественные части всех корней характеристического уравнения (29.4) положительны, то можно найти такое $t_{1}>t_{0}$, что;
\[
\left|x\left(t_{1}\right)-\xi_{0}\right|>\sigma_{1} .
\]

Если $s$ вещественных частей рассматриваемых корней отрицательны, а остальные $n-s$ положительны, тогда в $\sigma_{0}$-окрестности точки $\xi_{0}$ существует $s$-мерное точечное многообразие $\mathfrak{M}_{t_{0}}$ такое, что из соотношения
\[
x\left(t_{0}\right) \in \mathfrak{M}_{t_{0}}
\]

вытекает экспоненциальное стремление к нулю (при $t \rightarrow \infty$ ) разности $\left|x(t)-\xi_{0}\right|$, а из соотношения
\[
x\left(t_{0}\right) \bar{\epsilon} \mathfrak{M}_{t_{0}}
\]

следует справедливость неравенства (29.10).
Сделаем теперь некоторые примечания к этой теореме.
Примечание 1. Как видно, в силу свойства 4) репение $x^{*}(t)$ будет устойчивым, и притом асимптотически, когда вещественные части всех корней рассматриваемого характеристического уравнения (29.4) отрицательны.

Если вещественная часть хотя бы одного из корней характеристического уравнения (29.4) является положительной, решение $x^{*}(t)$ оказывается неустойчивым.

Примечание 2. Пусть в дополнение к условиям теоремы I $X(t, x)$ является периодической функцией $t$ с некоторым периодом $\tau$, не зависящим от $x$.
Тогда, в частности, имеем:
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t, x) d t=\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} X(t, x) d t
\]

и поэтому
\[
X_{0}(\xi)=\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} X(t, \xi) d \tau .
\]

Поскольку частотный базис функции $X(t, x)$ состоит в этом случае из одного числа $\frac{2 \pi}{\varepsilon}$, видим на основании свойства 2 ), что в данном случае решение $x^{*}(t)$ будет периодическим с периодом $\tau$.

Доказательство теоремы I. Справедливость теоремы I вытекает непосредственно из доказанных в предыдущем параграфе лемм. Действительно, уравнение (29.1) в рассматриваемом квазистатическом случае путем преобразований
\[
\begin{array}{c}
x=\xi_{0}+b, \\
b=h+\varepsilon v(t, h)
\end{array}
\]

приводится к виду
\[
\frac{d h}{d t}=H h+Q(t, h, \varepsilon),
\]

где $Q(t, h, s)$ при выполнении условий настоящей теоремы удовлетворяет условиям, приведенным на стр. 353 , и, следовательно, решение системы (29.13) $h=h(t)$ будет обладать свойствами, указанными в леммах.
Поэтому, рассматривая разность
\[
\left|x^{*}(t)-\xi_{0}^{\prime}\right|=|h+\varepsilon v(t, h)|,
\]

убеждаемся на основании леммы I в справедливости свойства 1).
В лемме II установлена почти периодичность $h(t)$ по $t$. Из выражений (27.73), где функции $B_{\eta}^{*}\left(t, \varphi^{\prime}, b^{\prime}\right)$ в силу того, что они выражаются через $X(t, x)$, являются почти периодическими относительно $t$ с частотным базисом функции $X(t, x)$, следует, что $v(t, \varphi, b)$ также являются почти периодическими функциями $t$ с тем же частотным базисом. Поэтому из (29.11) и (29.12) следует, что $x(t)$ – почти периодическая функция $t$ с частотным базисом функции $X(t, x)$, что и устанавливает справедливость второго свойства теоремы.

Свойство 3) следует из леммы I, так как мы всегда можем положить
\[
\delta(\varepsilon)=D(\varepsilon)+\varepsilon G(a) \frac{\zeta(\eta)}{\eta},
\]

при этом $a$ и $\eta$ выбраны таким образом, что $\varepsilon G(a) \frac{\zeta(\eta)}{\eta} \rightarrow 0$ при $\varepsilon \rightarrow 0$ (см. (27.75)), и, следовательно, так как $D(\varepsilon)$ также стремится к нулю при $\varepsilon \rightarrow 0$, то $\delta(\varepsilon)$ будет стремиться к нулю при $\varepsilon \longrightarrow 0$.
Для доказательства свойства 4) рассмотрим неравенство
$\left|x(t)-x^{*}(t)\right| \leqslant|h(t)-f(t, \varepsilon)|+\varepsilon|v(t, h)-v(t, f)| \leqslant(1+\varepsilon \lambda)|h(t)-f(t, \varepsilon)|$,

где $h(t)$-любое решение системы (29.13), принадлежащее области $U_{\sigma_{0}}$.
Сопоставляя это неравенство с результатами леммы III, убеждаемся в справедливости четвертого свойства. Таким образом, теорема полностью доказана.

Перейдем теперь к рассмотрению решений в окрестности периодического решения уравнений первого приближения, когда роль угловой переменной является существенной.
В этом случае может быть доказана следующая теорема:
теорема II. Пусть для дифференциального уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=\varepsilon X(t, x)
\]

выполнены следующие условия:
a) Уравнение первого приближения
\[
\frac{d \xi}{d t}=\varepsilon X_{0}(\xi),
\]

где
\[
X_{0}(\xi)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t, \xi) d t,
\]

имеет периодическое решение
\[
\xi=\xi(\approx \omega t) ; \xi(\varphi+2 \pi)=\xi(\varphi) .
\]
б) Вещественные части всех $(n-1) *)$ характеристических показателей для уравнений в вариациях
\[
\frac{d \delta \xi}{d t}=\varepsilon X_{0}^{\prime}(\xi(\varepsilon \omega t)) \delta \xi,
\]

соответствующих периодическому решению (29.18), отличны от нуля, и $D(\varphi, 0)
eq 0$ (см. (27.46)).
в) Можно найти такую $\rho$-окрестность $U_{\rho}$ орбиты этого периодического решения, что функция $X(t, x)$ и ее частные производные по $x$ до $m+1$-го порядка включительно будут ограничены и равномерно непрерывны по отношению к $x$ в области
\[
-\infty<t<\infty, x \in U_{p} .
\]
г) $X(t, x)$ – почти периодическая функция $t$ равномерно по отношению к $x \in U_{p}$.

Тогда можно указать такие положительные числа $\varepsilon^{\prime}, \sigma_{0}, \sigma_{1}\left(\sigma_{0}<\right.$ $<\sigma_{1}<\rho$ ), что при любом положительном $\varepsilon<\varepsilon^{\prime}$ будут справедливы следующие утверждения:
1. Уравнение (29.16) имеет единственное интегральное многообразие $S_{t}$, лежащее для всех вещественных $t$ в области $U_{o}$.
*) Один характеристический показатель, как уже отмечалось, в данном случае всегда равен нулю.

2. Это многообразие $S_{t}$ допускает параметрическое представление вида
\[
x=f(t, \theta) .
\]

Здесь*) $f(t, \theta)$ определена для всех вещественных $t, \theta$, обладает периодом $2 \pi$ по отношению к $\theta$ и является почти периодической функцией $t$ равномерно по отнопению к $\theta$ с частотным базисом функции $X(t, x)$.

Можно найти такую функцию $\delta(\varepsilon)$, стремящуюся к нулю вместе с $\varepsilon$, что
\[
|f(t, \theta)-\xi(\theta)| \leqslant \delta(\varepsilon) .
\]

Функция $f(t, \theta)$ имеет равномерно непрерывные производные по $\theta$ до $m$-го порядка включительно.
3. На многообразии $S_{t}$ уравнение (29.16) эквивалентно уравнению
\[
\frac{d \theta}{d t}=s F(t, \theta),
\]

в котором $F(t, \theta)$ определена для всех вещественных $t, \theta$, является периодической функцией $\theta$ с периодом $2 \pi$ и почти периодической функцией $t$ равномерно по отношению к $\theta$ с частотным базиеом функции $X(t, x) ; F(t, \theta)$ обладает ограниченными и равномерно непрерывными производными по $\theta$ до $m$-го порядка включительно.
Кроме того, имеют место неравенства:
\[
\begin{array}{c}
|F(t, \theta)-Q(\varepsilon)| \leqslant \delta^{*}(\varepsilon) ; \\
\left|F\left(t, \theta^{\prime}\right)-F\left(t, \theta^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \eta^{*}(\varepsilon)\left|\theta^{\prime}-\theta^{\prime \prime}\right|,
\end{array}
\]

в которых $\delta^{*}(\varepsilon), \eta^{*}(\varepsilon)$ стремятся к нулю вместе с $\varepsilon$. Таким образом, всякое репение уравнения (29.16), принадлежащее к многообразию $S_{t}$, представимо в виде
\[
x=f(t, \theta(t)),
\]

где $\theta=\theta(t)$ есть некоторое решение уравнения (29.24), и, наоборот, выражение (29.24), в котором $\theta=\theta(t)$ есть решение уравнения (29.21), всегда является решением уравнения (29.16), принадлежащим многообразию $S_{t}$.
4. Если вещественные части всех $n-1$ рассматриваемых характеристических показателей отридательны, многообразие $S_{t}$ обладает свойством притяжения всех близких к нему решений.

Так, пусть $x=x(t)$ есть любое решение уравнения (29.16), проходящее при некотором $t=t_{0}$ через какую-либо точку области $U_{\sigma_{0}}$ :
\[
x\left(t_{0}\right) \in U_{\sigma_{0}} .
\]

Тогда для него при $t>t_{0}$ будут выполняться неравенства вида:
\[
\begin{array}{c}
|x(t)-f(t, \theta(t))| \leqslant C_{1}(\varepsilon) e^{-\varepsilon \gamma\left(t-t_{0}\right)}, \\
\left|\frac{d \theta(t)}{d t}-\varepsilon F(t, \theta(t))\right| \leqslant C_{2}(\varepsilon) e^{-\varepsilon \gamma\left(t-t_{0}\right)} .
\end{array}
\]
*) Для сокращения записи мы не будем отмечать у функции $f(t, \theta)$ и других аналогичных ей функций их явной зависимости от в.

5. Если все эти вещественные части положительны, то можно найти такое $t_{1}>t_{0}$, что
\[
x\left(t_{1}\right) \bar{\epsilon} U_{\sigma_{1}} \quad\left(\sigma_{1}>\sigma_{0}\right) .
\]
6. Если $s$ рассматриваемых вещественных частей отрицательны, а остальные $n-1-s$ положительны, в области $U_{\sigma_{0}}$ существует $s$-мерное точечное многообразие $\mathfrak{M}_{t_{0}}$ такое, что из соотношения
\[
x\left(t_{0}\right) \in \mathfrak{M}_{l_{0}}
\]

вытекает экспоненциальное стремление к нулю выражения (29.25) при $t \rightarrow \infty$, а из соотношения
\[
x\left(t_{0}\right) \in U_{\sigma_{0}}, \text { но } x\left(t_{0}\right) \bar{\epsilon} \mathfrak{M}_{t_{0}},
\]

вытекает справедливость соотношения (29.27) при некотором $t_{1}>t_{0}$.
Таким образом, если хотя бы одна из вещественных частей рассматриваемых характеристических показателей положительна, многообразие $S_{t}$ неустойчиво. Јюбое не принадлежащее к нему решение $x(t)$, для которого $x\left(t_{0}\right)$ лежит в области $U_{\sigma_{0}}$ и не находится на ос $о-$ бом точечном многообразии $\mathfrak{M}_{t_{0}}$ низшей размерности, с течением времени покинет область $U_{\sigma_{1}}\left(\sigma_{1}>\sigma_{0}\right)$.

По поводу этой теоремы заметим, что нас особо будет интересовать важный частный случай, когда $f(t, \theta)$ и $F(t, \theta)$ являются периодическими функциями $t \mathrm{c}$ некоторым периодом $T$ (не зависящим от $\theta$ ) и число производных $m$ взято равным двум. Этот случай будет нами спедиально рассмотрен в следующем параграфе.

Доказательство теоремы II. Существование и единственность интегрального многообразия $S_{t}$, параметрическое представление которого, учитывая формулы перехода от $x$ к $g, h$ :
\[
\begin{array}{r}
x=\xi(\varphi)+\frac{1}{2}\left\{A(\varphi) b+A^{*}(\varphi) b^{*}\right\}, \\
\varphi=g+\varepsilon u(t, g, h), \quad b=h+\varepsilon v(t, g, h),
\end{array}
\]

можно представить в виде
\[
x=\xi(\theta+\varepsilon u)+\frac{1}{2}\left\{A(\theta+\varepsilon u)(h+\varepsilon v)+A^{*}(\theta+\varepsilon u)\left(h^{*}+\varepsilon v^{*}\right)\right\}=f(t, \theta),
\]

вытекает из того, что в леммах I, III нами установлено существование и единственность $g, h$ (а следовательно, и $\theta$, определяемого уравнением (29.21)). В силу того, что є и $\delta$ нами выбраны так, что
\[
\frac{1}{2}\left|A(\varphi) b+A^{*}(\varphi) b^{*}\right|<\rho, \quad b=h+\varepsilon v, \quad \text { где }|h+\varepsilon v|<\boldsymbol{\delta},
\]

следует:
\[
\frac{1}{2}\left|A(\theta+\varepsilon u)(h+\varepsilon v)+A^{*}(\theta+\varepsilon u)\left(h^{*}+\varepsilon v^{*}\right)\right|<\rho,
\]

и поэтому
\[
x \in U_{\rho} .
\]

Согласно (29.31) многообразие $S_{t}$ допускает параметрическое представление
\[
x=f(t, \theta),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
f(t, \theta)=\xi(\theta+\varepsilon u(t, \theta, f(t, \theta, \varepsilon)))+ \\
+\frac{1}{2}\{A(\theta+\varepsilon u(t, \theta, f(t, \theta, \varepsilon)))(f(t, \theta, \varepsilon)+\varepsilon v(t, \theta, f(t, \theta, \varepsilon)))+ \\
\left.+A^{*}(\theta+\varepsilon u(t, \theta, f(t, \theta, \varepsilon)))\left(f^{*}(t, \theta, \varepsilon)+\varepsilon v^{*}(t, \theta, f(t, \theta, \varepsilon,))\right)\right\} .
\end{array}
\]

В силу того, что $\xi(\varphi), A(\varphi)$ являются периодическими функциями $\varphi$ с периодом $2 \pi$, а также в силу того, что $h(t)=f(t, \theta(t))$, а также $u(t, \theta, f(t, \theta, \varepsilon)), v(t, \theta, f(t, \theta, \varepsilon))$, в силу их определения (см. стр. 345), являются периодическими по $\theta$ с периодом $2 \pi$, следует, что функции
\[
x=f(t, \theta)
\]

будут периодическими по $\theta$ с тем же периодом $2 \pi$.
В лемме I доказано, что $h=f(t, g$, ) имеют ограниченные и равномерно непрерывные производные до $m$-го порядка включительно. Так как $\xi(\varphi)$ и $A(\varphi)$ также обладают ограниченными и равномерно непрерывными производными $m$-го порядка, то из (29.31) видим, что $f(t, \theta)$ будут обладать ограниченными и равномерно непрерывными производными до $m$-го порядка включительно.

Кроме того, всегда можно найти такое $\delta(s)$, стремящееся к нулю вместе с $\varepsilon$, что будет выполняться неравенство
\[
|f(t, \theta)-\xi(\theta)| \leqslant \delta(\varepsilon) .
\]

Утверждение 3) теоремы непосредственно следует из следствия к лемме I, где вместо уравнения (28.51)
\[
\frac{d g}{d t}=G(\varepsilon)+F(t, g, \star)
\]

рассматриваем уравнение
\[
\frac{d \theta}{d t}=s F(t, \theta)
\]

относительно переменной $\theta$.
Покажем теперь, что многообразие $S_{t}$ обладает свойством притяжения всех близких рещений в случае, если вещественные части всех $n-1$ рассматриваемых характеристических показателей отрицательны, т. е. покажем, что имеет место неравенство
\[
|x(t)-f(t, \theta(t))| \leqslant C_{1}(\varepsilon) e^{-\varepsilon \gamma\left(t-t_{0}\right)},
\]

где $x(t)$ – любое решение уравнения (29.16), проходящее при некотором $t=t_{0}$ через какую-либо точку области $U_{\mathrm{c}_{0}}$. В силу формулы перехода от $x$ к $g, h$ (29.31) имеем, учитывая при этом соотношение (28.107):
\[
\begin{array}{l}
x(t)-f(t, \theta(t))|=| \xi\left(\theta+\varepsilon u\left(t, \theta, h_{t}\right)\right)+\frac{1}{2}\left\{A ( \theta + \varepsilon u ( t , \theta , h _ { t } ) ) \left(h_{t}+\right.\right. \\
\left.\left.+\varepsilon v\left(t, \theta, h_{t}\right)\right)+A^{*}\left(\theta+s u\left(t, \theta, h_{t}\right)\right)\left(h_{t}^{*}+\varepsilon v^{*}\left(t, \theta, h_{t}\right)\right)\right\}- \\
-\xi(\theta+\varepsilon u(t, \theta, f))-\frac{1}{2}\{A(\theta+\varepsilon u(t, \theta, f))(f(t, \theta, \varepsilon)+\varepsilon v(t, \theta, f))+ \\
\left.+A^{*}(\theta+\varepsilon u(t, \theta, f))\left(f^{*}(t, \theta, \varepsilon)+\varepsilon v^{*}(t, \theta, f)\right)\right\} \mid \leqslant \\
\leqslant \lambda\left(s, \sigma_{0}\right)\left|h_{t}-f(t, \theta(t))\right| \leqslant C\left|h_{t_{0}}-f\left(t_{0}, \theta\left(t_{0}\right)\right)\right| e^{-\gamma\left(t-t_{0}\right)} . \\
\end{array}
\]

Принимая теперь во внимание, что $h_{t_{0}}$ и $f\left(t_{0}, \theta\left(t_{0}\right)\right)$ принадлежат области $U_{\sigma_{0}}$, окончательно получаем:
\[
|x(t)-f(t, \theta(t))| \leqslant C_{1}(\varepsilon) e^{-\varepsilon \gamma\left(t-t_{0}\right)} .
\]

Неравенство (28.96) непосредственно следует из установленного в следствии 2 к лемме III неравенства (28.108), где вместо переменной $g$ положено $\theta$.

Утверждения 5 и 6 теоремы непосредственно следуют из леммы III и ее следствия 2.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Заметим, что все сформулированные выше результаты непосредственно переносятся на тот случай, когда основное уравнение имеет несколько более общую форму
\[
\frac{d x}{d t}=\varepsilon X(t, x, \varepsilon),
\]

а в уравнении первого приближения, соответствующем рассматриваемому уравнению (29.34), положено
\[
X_{0}(\xi)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t, x, 0) d t .
\]

При әтом достаточно, чтобы условия, наложенные на $X(t, x)$, вышолнялись для функции $X(t, x$, ) равномерно по отношению к в в некотором интервале $0<\varepsilon<\varepsilon^{\prime}$.

Действительно, в таком случае уравнение (29.34) теми же заменами переменных приводится к системе вида (27.105) со всеми указанными свойствами.