Как уже указывалось выше, во многих актуальных проблемах вибротехники мы встречаемся с колеб̈ательными системами со многимит степенями свободы, в которых ряд параметров (эффективные собственные и внешние частоты, амплитуды вынуждающих сил и т. д.) медленно изменяются, причем медленно в указанном выше смысле-по сравнению с периодом собственных колебаний.

В настоящем параграфе мы остановимся на построении асимптотических разложений для дифференциальных уравнений, описывающих колебания в таких системах, в предноложении, что в системе совершается одночастотный колебательный процесс.

Как и в предыдущих параграфах, систему дифференциальных уравнений будем рассматривать в таком виде, когда невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колебаний.

Итак, рассмотрим колебательную систему с $N$ степенями свободы, кинетическая и потенциальная энергия которой могут быть представлены в виде
$$T=\frac{1}{2}\sum _{r,s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\dot{q}}_r{\dot{q}}_s,V=\frac{1}{2}\sum _{r,s=1}^N{c}_{rs}(\tau )q_r{q}_s,$$

где $q_1,q_2,\dots ,q_N$-обобщенные координаты, $\tau =st$ — «медленное» время, $\epsilon$, как и всегда, — малый положительный параметр, $a_{rs}(\tau )=a_{\mathrm{s}r}(\tau )$, $c_{rs}(\tau )=c_{sr}{}^f(\tau )(s,r=1,2,\dots ,N)$ — некоторые функции «медленного» времени $\tau$, обладающие производными любого порядка при всех конечных значениях $\tau$.

Предположим также, что на конечном интервале $0⩽t⩽T$, где $T=\frac{L}{\epsilon }$, причем $L$ может быть сделано сколь угодно большим для сколь угодно малых $\approx$, квадратичные формулы $T$ и $V$ определенно положительны.

Пусть исследуемая колебательная система находится под воздействием малого возмущения, определяемого обобщенными силами
$$\begin{array}{c}{Q}_r(\tau ,\theta ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,\epsilon )=\epsilon Q_{r^{\prime }}^{(1)}(\tau ,\theta ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)+\\ +{\epsilon }^2{Q}_r^{(2)}(\tau ,\theta ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)+\dots \\ (r=1,2,\dots ,N),\end{array}$$

периодихескими по $\theta$ с периодом $2\pi$ и разлагающимися в конечные суммы Фурье, с коэффициентами, являющимися некоторыми полиномами по отношению к $q_s,{\dot{q}}_s(s=1,2,\dots ,N)$. Кроме того, будем полагать, что $\frac{d\theta }{dt}=u(\tau )$ п функции $u(\tau ),Q_r(\tau ,\theta ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,\epsilon )(r=1,2,\dots ,N)$ неограниченно дифференцируемы по $\tau$ на интервале $0⩽\tau ⩽L$.

Тогда, согласно известным принципам механикп, мы приходим к рассмотрению системы $N$ нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\{\sum _{s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\dot{q}}_s\}+\sum _{s=1}^N{c}_{rs}(\tau )q_s=Q_r(\tau ,\theta ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1\dots ,{\dot{q}}_N,\epsilon )\\ (r=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

Одновременно с системой (23.3) рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными кођффициентами
$$\sum _{s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\ddot{q}}_s+\sum _{s=1}^N{c}_{rs}(\tau )q_s=0(r=1,2,\dots ,N),$$

для получения которой необходимо в (23.3) положить $\epsilon =0$, а $\tau$ рассматривать не как $\epsilon t$, а как некоторый постоянный параметр.

В налем случае вспомогательная система (23.4) играет такую же роль, как и система (23.3), и мы ее в дальнейпем будем называть системой дифференциальных уравнений невозмущенного движения или просто невозмущенной системой уравнений.

Как и в § 21, при помощи обычных методов можно для уравнений (23.4) построить рещения, соответствующие нормальным колебаниям
$$q_s^{(k)}={\phi }_s^{(k)}(\tau )a\cos ({\omega }_k(\tau )t+{\alpha }_k)(s,k=1,2,\dots ,N),$$

где ${\omega }_k(\tau )(k=1,2,\dots ,N)$ — собственные частоты, определяемые уравнением
$$D\Vert -a_{rs}(\tau ){\omega }^2+c_{rs}(\tau )\Vert =0,$$
a ${\phi }_s^{(k)}(\tau )(s,k=1,2,\dots ,N)$ — нормальные функции, являющиеся нетривиальными решениями систем однородных алгебраических уравнений
$$\begin{array}{c}\sum _{s=1}^N\{-a_{rs}(\tau ){\omega }_k^2(\tau )+c_{rs}(\tau )\}{\phi }_s^{(k)}(\tau )=0\\ (r,k=1,2,\dots ,N)\end{array}$$

и обладающие свойством ортогональности
$$\begin{array}{c}\sum _{s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\phi }_s^{(k)}(\tau ){\phi }_r^{(l)}(\tau )=0\\ \sum _{r,s=1}^N{c}_{rs}(\tau ){\phi }_s^{(k)}(\tau ){\phi }_r^{(l)}(\tau )=0\\ (keql).\end{array}\}$$

Во всех пөследних формулах величины ${\omega }_k(\tau )$ и ${\phi }_s^{(k)}(\tau )(s,k=1,2,\dots$ $\dots ,N$ ) зависят от $\tau$ как от параметра.

Если же теперь положить в (23.4) и (23.5) $\tau =st$, то функции (23.5) будут только приближенно (с точностью до величин порядка малости в) удовлетворять уравнениям (23.4), представляя собой колебания с медленно меняющимися частотой и формой.

Прежде чем приступать к построению асимптотических решений системы (23.3), соответствующих одночастотным колебаниям; близким (при достаточно малом в) к одному из нормальных невозмущенных колебаний (23.5) (для определенности опять будем полагать к первому нормальному колебанию), допустим, что для всех значений параметра $\tau$, принадлежащих рассматриваемом у интервалу $0⩽\tau ⩽L$, выполняются условия, аналогичные условиям, приведенным в § 21 на стр. 261, т. е. допустим, что: 1) в невозмущенной системе, описываемой дифференциальными уравнениями (23.4), возможны незатухающие гармонические колебания с частотой ${\omega }_1(\tau )$, зависящие только от двух произвольных постоянных; 2) единственным решением системы (23.4), соответствующим равновесию, является тривиальное решение $q_1=q_2\dots =q_N=0$; 3) частота ${\omega }_1(\tau )$, а также ни один из ее обертонов $2{\omega }_1(\tau ),3{\omega }_1(\tau ),\dots$, $k{\omega }_1(\tau ),\dots$ не равны собственным частотам ${\omega }_2(\tau ),{\omega }_3(\tau ),\dots ,{}^{({)}_N}(\tau )$ невозмущенной системы.

При этих допущениях, естественно, согласно методике предыдущих параграфов и учитывая результаты, полученные в § 14, для системы с одной степенью свободы, искать решение возмущенных уравнений (23.3) в случае $p=q=1$, т. е. соответствующее основному резонансу (резонансу с собственной частотой ${\omega }_1(\tau )$ ) в виде асимптотических рядов *):
$q_s={\phi }_s^{(1)}(\tau )a\cos (\theta +\vartheta )+\epsilon u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\theta +\vartheta )+{\epsilon }^2{u}_s^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\theta +\vartheta )+\dots \ast )$,
$$(s=1,2,\dots ,N)\text{, }$$
*) Как уже указывалось, все рассуждения могут быть без существенных пзменений перенесены на общий случай ${\omega }_1(\vartheta )\approx \frac{p}{q}v(\tau )$, где $p$ и $q$-некоторые взаимно простые числа.
**) В дальнейшем верхний индекс у $q_s$ будем опускать, помня, что мы рассматриваем колебания, близкие к первому нормальному колебанию.

в которых $\tau =\epsilon t$, функции $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\theta +\vartheta ),u_s^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\theta +\vartheta ),\dots$, $(s=1,2,\dots ,N)$ — периодические по $\theta$ и $\theta +\vartheta$ с периодом $2\pi$, а величины $a$ и $\vartheta$, как функции времени, определяются из системы дифференциальных уравнений
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=\epsilon A_1(\tau ,a,\vartheta )+{\epsilon }^2{A}_2(\tau ,a,\vartheta )+\dots ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}={\omega }_1(\tau )-u(\tau )+\epsilon B_1(\tau ,a,\vartheta )+{\epsilon }^2{B}_2(\tau ,a,\vartheta )+\dots ,\end{array}\}$$

где ${\omega }_1(\tau )$ — наименьший корень уравнения $(23.6);{\phi }_s^{(1)}(\tau )(s=1,2,\dots ,N)$ нетривиальные решения алгебраических уравнений (23.7).

Как и обычно, для решения нашей задачи необходимо найти такие выражения для функций:
$$u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\theta +\vartheta ),u_s^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\theta +\vartheta ),\dots (s=1,2,\dots ,N)$$

и
$$A_1(\tau ,a,\vartheta ),A_2(\tau ,a,\vartheta ),\dots ,B_1(\tau ,a,\vartheta ),B_2(\tau ,a,\vartheta ),\dots ,$$

чтобы асимптотические ряды (23.9) после подстановки в них вместо $a$ и $\vartheta$ функций времени, определяемых уравнениями (23.10), являлись решением системы (23.3).

Функции (23.11) и (23.12) можно найти, применив ту же методику, что и в предыдущих параграфах, т. е. воспользовавшись формальным правилом, полученным в § 20 , и проводя аналогию с результатами, полученными для системы с одной степенью свободы. Однако при применении принципа гармонического баланса в рассматриваемом случае следует помнить, что у нас параметры не постоянны, а зависят от $\tau =\epsilon t$, и поэтому при дифференцировании надо всегда помнить, что $\tau =\epsilon t$, а при интегрировании $\tau$ считать постоянным параметром. Проведем подробные выкладки.

Дифференцируя ряды (23.9) с учетом того, что $a$ и $\vartheta$ должны удовлетворять уравнениям (23.10), найдем выражения для $q_s,{\dot{q}}_s(s=1,2,\dots ,N)$. Подставим полученные выражения в систему уравнений (23.3), правые части которой тоже разложим в ряды по степеням ะ. Приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon$, получим ряд систем:
$$\begin{array}{c}\sum _{s=1}^N\{a_{rs}(\tau )[{\omega }_1^2(\tau )\frac{{\partial }^2{u}_s^{(1)}}{\partial {\psi }^2}+2u(\tau ){\omega }_1(\tau )\frac{{\partial }^2{u}_s^{(1)}}{\partial \theta \partial \psi }+u^2(\tau )\frac{{\partial }^2{u}_s^{(1)}}{\partial \theta }]+\\ +c_{rs}(\tau )u_s^{(1)}\}=G_{r0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )\\ (r=1,2,\dots ,N)\\ \sum _{s=1}^N\{a_{rs}(\tau )[{\omega }_1^2(\tau )\frac{{\partial }^2{u}_s^{(2)}}{\partial {\psi }^2}+2u(\tau ){\omega }_1(\tau )\frac{{\partial }^2{u}_s^{(2)}}{\partial \theta \partial \psi }+u^2(\tau )\frac{{\partial }^2{u}_s^{(2)}}{\partial {\theta }^2}]+\\ +c_{rs}(\tau )u_s^{(2)}\}=G_{r0}^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\psi )\\ 2,\dots ,N)\end{array}$$

в которых введены обозначения:
$$\begin{array}{l}{G}_{r0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\varphi )=Q_{r0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )-\\ -\sum _{s=1}^N\{a_{rs}(\tau )[{\phi }_s^{(1)}(\tau )({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))\frac{\partial A_1}{\partial \vartheta }-2{\phi }_s^{(1)}(\tau ){\omega }_1(\tau )a{B}_1]\cos \psi -\\ -a_{rs}(\tau )[{\phi }_s^{(1)}(\tau )a({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))\frac{\partial B_1}{\partial \vartheta }+2{\phi }_s^{(1)}(\tau ){\omega }_1(\tau )A_1]\sin \psi -\\ -[2{\omega }_1(\tau )\frac{d{\phi }_s^{(1)}(\tau )}{d\tau }{a}_{rs}(\tau )+\frac{d{\omega }_1(\tau )}{d\tau }{\phi }_s^{\prime }(\tau )a_{rs}(\tau )+{\omega }_1(\tau ){\phi }_s^{(1)}(\tau )\frac{d{a}_{rs}(\tau )}{d\tau }]a\sin \psi \}.\\ G_{r0}^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\psi )={\mathrm{\Phi }}_{r_0}^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\psi )-\sum _{s=1}^N\{a_{rs}(\tau )[{\phi }_s^{(1)}(\tau )({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))\frac{\partial A_2}{\partial \vartheta }-\\ -2{\phi }_s^{(1)}(\tau ){\omega }_1(\tau )a{B}_2+{\phi }_s^{(1)}(\tau )\frac{\partial A_1}{\partial a}{A}_1+{\phi }_s^{(1)}(\tau )\frac{\partial A_1}{\partial \vartheta }{B}_1+{\phi }_s^{(1)}(\tau )\frac{\partial A_1}{\partial \tau }-\\ -{\phi }_s^{(1)}(\tau )a{B}_1^2]\cos \psi -a_{rs}(\tau )[{\phi }_s^{(1)}(\tau )({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))a\frac{\partial B_2}{\partial \vartheta }+2{\phi }_s^{(1)}(\tau ){\omega }_1(\tau )A_2+\\ +2{\phi }_s^{(1)}(\tau )A_1{B}_1+{\phi }_s^{(1)}(\tau )a\frac{\partial B_1}{\partial a}{A}_1+{\phi }_s^{(1)}(\tau )a\frac{\partial B_1}{\partial \vartheta }{B}_1+{\phi }_s^{(1)}(\tau )\frac{\partial B_1}{\partial \tau }]\sin \psi +\\ +[a_{rs}(\tau )\frac{d^2{\phi }_s^{(1)}(\tau )}{d{\tau }^2}a+\frac{d{\phi }_s^{(1)}(\tau )}{d\tau }\frac{d{a}_{rs}(\tau )}{d\tau }a+{\phi }_s^{(1)}(\tau )\frac{d{a}_{rs}(\tau )}{d\tau }{A}_1]\cos \varphi -\\ -[2\frac{d{\phi }_s^{(1)}(\tau )}{d\tau }{a}_{rs}(\tau )B_1+{\phi }_s^{(1)}(\tau )\frac{d{a}_{rs}(\tau )}{d\tau }{B}_1]a\sin \psi \},\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\\ (r=1,2,\dots ,N)\text{, }\end{array}$$

где также обозначено:
$$\begin{array}{l}{Q}_{r0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )=Q_r^{(1)}(\tau ,\theta ,q_{10},\dots ,q_{N_0},{\dot{q}}_{10},\dots ,{\dot{q}}_{N0}),\\ {\mathrm{\Phi }}_{r0}^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\psi )=Q_{r_0}^{(2)}(\tau ,\theta ,q_{10},\dots ,q_{N0},{\dot{q}}_{10},\dots ,{\dot{q}}_{N0})+\sum _{s=1}^N[\frac{\partial Q_r^{(1)}}{\partial q_s}{u}_s^{(1)}+\\ +\frac{\partial Q_r^{(1)}}{\partial {\dot{q}}_s}(\frac{d{\phi }_s^{(1)}(\mathrm{\Sigma })}{ds}a\cos \psi +{\phi }_s^{(1)}(\tau )\cos \psi A_1-{\phi }_s^{(1)}(\tau )a\sin \psi B_1)+\frac{\partial u_s^{(1)}}{\partial \theta }u(\tau )+\\ +\frac{\partial u_s^{(1)}}{\partial \psi }{\omega }_1(\tau )]-\sum _{s=1}^N\{a_{rs}(\tau )[2\frac{{\partial }^2{u}_s^{(1)}}{\partial \tau \partial \psi }{\omega }_1(\tau )+2\frac{{\partial }^2{u}_s^{(1)}}{\partial \tau \partial \theta }u(\tau )+2\frac{{\partial }^2{u}_s^{(1)}}{\partial a\partial \theta }u(\tau )A_1+\\ +2\frac{{\partial }^2{u}_s^{(1)}}{\partial \theta \partial \psi }\vee (\tau )B_1+2\frac{{\partial }^2{u}_s^{(1)}}{\partial {\psi }^2}{\omega }_1(\tau )B_1+2\frac{{\partial }^2{u}_s^{(1)}}{\partial a\partial \psi }{\omega }_1(\tau )A_1+\\ +\frac{\partial u_s^{(1)}}{\partial \psi }({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))\frac{\partial B_1}{\partial \vartheta }+\frac{\partial u_s^{(1)}}{\partial a}({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))\frac{\partial A_1}{\partial {\vartheta }^{-}}+\frac{\partial u_s^{(1)}}{\partial \theta }\frac{du(\tau )}{d\tau }+\\ +\frac{\partial u_s^{(1)}}{\partial \psi }\frac{d{\omega }_1(\tau )}{d\tau }]+\frac{d{a}_{r_s}(\tau )}{d\tau }\frac{\partial u_s^{(1)}}{\partial \theta }u(\tau )+\frac{d{a}_{rs}(\tau )}{d\tau }\frac{\partial u_s^{(1)}}{\partial \psi }{\omega }_1(\tau )\}\\ (r=1,2,\dots ,N)\text{, }\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\\ \psi =\theta +\vartheta ,q_{s0}={\phi }_s^{(1)}(\tau )a\cos \psi ,{\dot{q}}_{s0}=-{\phi }_s^{(1)}(\tau ){\omega }_1(\tau )a\sin \psi \\ (s=1,2,\dots ,N)\text{. }\end{array}$$

Определим из системы (23.13) $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$. Для этого правые части системы (23.13) как периодические функции $\theta$ и $\psi$ целесообразно разложить в ряды Фурье:
$$G_{r_0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )=\sum _{n,m}{g}_{n,m}^{(r,1)}(\tau ,a)e^{i(n\theta +m\psi )},$$

где
$$\begin{array}{c}{g}_{n,m}^{(r,1)}(\tau ,a)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{G}_{r_0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )e^{-i(n\theta +m\psi )}d\theta d\psi \\ (r=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

Искомые функции $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$ также естественно представить в виде рядов
$$\begin{array}{c}{u}_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )=\sum _{n,m}{\dot{k}}_{n,m}^{(s)}(\tau ,a)e^{i(n\theta +m\psi )}\\ (s=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

Подставляя значения $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi ).(s=1,2,\dots ,N)$ и $G_{r0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(r=1,2,\dots ,N)$ (при подстановке считаем, что $\tau$ — параметр) в уравнения (23.13) и приравнивая коэффидиенты при одинаковых гармониках, получаем для определения коэффициентов $k_{n,m}^{(s)}(\tau ,a)$ систему алгебрайческих уравнений:
$$\begin{array}{c}\sum _{s=1}^N\{a_{rs}(\tau )[-{\omega }_1^2(\tau )m^2-2v(\tau ){\omega }_1(\tau )mn-u^2(\tau )n^2]+c_{rs}(\tau )\}{k}_{n,m}^{(s)}(\tau ,a)=\\ =g_{n,m}^{(r,1)}(\tau ,a)\end{array}$$

Решая эту систему, как и в предыдущем параграфе, с помощью введения нормальных координат находим:
$$k_{n,m}^{(s)}(\tau ,a)=\sum _{j=1}^N{\phi }_s^{(j)}(\tau )\frac{\sum _{r=1}^N{g}_{n,m}^{(r,1)}(\tau ,a){\phi }_r^{(j)}(\tau )}{m_j(\tau )\lfloor {\omega }_j^2(\tau )-{({\omega }_1(\tau )m+u(\tau )n)}^2]}$$

и, следовательно, для $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$ получаем следующие выражения:
$$\begin{array}{c}{u}_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )=\sum _{n,m}\sum _{j=1}^N{\phi }_s^{(j)}(\tau )\frac{\sum _{r=1}^N{g}_{n,m}^{(r,1)}(\tau ,a){\phi }_r^{(j)}(\tau )e^{i(n\theta +m\psi )}}{m_j(\tau )[{\omega }_j^2(\tau )-{({\omega }_1(\tau )m+u(\tau )n)}^2]}\\ (s=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

Для того чтобы $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$ были конечны, необходимо, чтобы для любых $\tau$ на интервале $0⩽\tau ⩽L$ знаменатели в правых частях (23.22) не обращались в нуль. Однако знаменатели могут обратиться в нуль для тех $n$ и $m$, для которых выполняются равенства:
$$m{\omega }_1(\tau )+nu(\tau )=\pm {\omega }_1(\tau )$$

или
$$n+m\pm 1=0,$$

так как ввиду того, что мы рассматриваем основной резонанс, при некотором $\tau (0⩽\tau ⩽L)$ возможно ${\omega }_1(\tau )=u(\tau )$.

Поэтому условие конечности для $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$ принимает следующий вид:
$$\sum _{\begin{array}{c}r=1\\ (n+meq1=0)\end{array}}^N{g}_{n,m}^{(r,1)}(\tau ,a){\phi }_r^{(1)}(\tau )e^{i(n\theta +m\psi )}=0.$$

Принимая во внимание (23.18), (23.22) и (23.25), после ряда пре$(s=1,2,\dots ,N)$ :
$$\begin{array}{l}{u}_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )=\frac{1}{4{\pi }^2}\sum _{n,m}\sum _{j=1}^N{\phi }_s^{(j)}(\tau )\times \\ \left(\begin{array}{c}nq+p(m+1)eq0\\ \text{ для }j=1\end{array}\right)\\ \times \frac{{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{Q}_{r_0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi ){\phi }_r^{(j)}(\tau )e^{-i(n\theta +m\psi )}d\theta d\psi }{m_j(\tau )[{\omega }_j^2(\tau )-{({\omega }_1(\tau )m+u(\tau )n)}^2]}{e}^{i(n\theta +m\psi )}\\ -2{\omega }_1(\tau )a\sum _{j=2}^N\frac{\sum _{r=1}^N\frac{d}{d\tau }{\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial {\dot{q}}_r}\right]}_{{\dot{q}}_s={\phi }_s^{(1)}(\tau )}{\phi }_r^{(j)}(\tau )}{m_j(\tau )[{\omega }_j^2(\tau )-{\omega }_1^2(\tau )]}\sin \psi \\ (s=1,2,\dots ,N)\text{, }\end{array}$$

где
$$m_j(\tau )=\sum _{r,s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\phi }_r^{(j)}(\tau ){\phi }_s^{(j)}(\tau )=2T[{\phi }^{(j)}(\tau )]$$

и, следовательно,
$${\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial {\dot{q}}_r}\right]}_{{\dot{q}}_s={\phi }_{s(\tau )}^{(1)}}=\sum _{s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\phi }_s^{(1)}(\tau )(r=1,2,\dots ,N).$$

Не представляет затруднений сформулировать правило составления \»регуляризированных\» выражений для $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$, исходя непосредственно из выражений возмущающих сил и выражений для кинетической и потенциальной энергии.

Заметим, что сумма $\sum _{r=1}^N{Q}_{r0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi ){\phi }_r^{(j)}(\tau )$ представляет собой обобщенную силу, действующую на $j$-ю нормальную координату. Выражение $\sum _{r=1}^N\frac{d}{d\tau }{\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial {\dot{q}}_r}\right]}_{{\dot{q}}_s={\phi }_s^{(1)}(\tau )}{\phi }_r^{(j)}(\tau )$ также можно интерпретировать как обобщенную силу, действующую на $j$-ю нормальную координату. Наличие этой дополнительной силы объясняется появлением (в результате зависимости инерционных коэффициентов $a_{ij}$ от «медленного» времени $\tau$ ) «силь» $\frac{d}{d\tau }{\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial {\dot{q}}_r}\right]}_{{\dot{q}}_s={\phi }_s^{(1)}(ت)}$.

Таким образом, для получения функций ${\dot{u}}_{\mathrm{s}}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$ надо подставить в функции $Q_r^{(1)}(\tau ,\theta ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N)(r=1,2,\dots N)$ нулевые приближения $q_s,{\dot{q}}_s(s=1,2,\dots ,N)$ и найти $(n,m)$-й член в ряде Фурье для обобщенной силы, действующей на $j$-ю нормальную координату; далее, надо найти производную кинетической энергии по скорости, заменить в ней ${\dot{q}}_s$ на ${\phi }_s^{(1)}(\tau )(s=1,2,\dots ,N)$, после чего полученные выражения подставить в формулу (23.26). Величины $m_j(\tau )$ $(j=1,2,\dots ,N)$ представляют собой удвоенные формы кинетической энергии, в которых скорости ${\dot{q}}_s(s=1,2,\dots ,N$ ) заменены «нормальными» функциями ${\phi }_{\mathrm{s}}^{(j)}(\tau )(s,j=1,2,\dots ,N)$.

Перейдем к определению функщий $A_1(\tau ,a,\vartheta )$ и $B_1(\tau ,a,\vartheta )$, которые, как и обычно, определяются так, чтобы вышолнялось условие конечности (23.25).

Вводя обозначения $n=-\sigma ,m\pm 1=0$, условие (23.25) представляем в виде
$$\begin{array}{c}\sum _{r=1}^N{g}_{-\sigma p,\sigma q\pm 1}^{(r,1)}(\overline{v},a){\phi }_r^{(1)}(\tau )e^{\pm i\psi +i\sigma q\theta }=0\\ (-\mathrm{\infty }<\sigma <\mathrm{\infty }).\end{array}$$

Подставляя сюда значения $g_{-\sigma ,\sigma +1}^{(r,1)}(\tau ,a)$ согласно (23.18) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем систему уравнений для $A_1(\tau ,a,\vartheta )$ и $B_1(\tau ,a,\vartheta )$, аналогичную системе (19.8):
$$\begin{array}{l}({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))\frac{\partial A_1}{\partial \vartheta }-2a{\omega }_1(\tau )B_1=\\ =\frac{1}{2{\pi }^2{m}_1(\tau )}\sum _{\sigma }{e}^{i\sigma \vartheta }{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{Q}_{r_0}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi ){\phi }_r^{(1)}(\tau )e^{-i\sigma {\vartheta }^{\prime }}\cos \psi d\theta d\psi ;\\ ({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))a\frac{\partial B_1}{\partial \vartheta }+2{\omega }_1(\tau )A_1=-\frac{a}{m_1(\tau )}\frac{d(m_1(\tau ){\omega }_1(\tau ))}{d\tau }-\\ -\frac{1}{2{\pi }^2{m}_1(\tau )}\sum _{\sigma }{e}^{i\sigma \vartheta }{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{Q}_{r_0}^{(1)}(\tau ,a,\vartheta ,\psi ){\phi }_r^{(1)}(\tau )e^{-i\sigma {\vartheta }^{\prime }}\sin \psi d\theta d\psi \\ ({\vartheta }^{\prime }=\psi -\theta ).\end{array}\}$$

После того как нами найдены выражения для $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )$ $(s=1,2,\dots ,N),A_1(\tau ,a,\vartheta )$ и $B_1(\tau ,a,\vartheta )$, становятся известными правые части уравнений (23.14), из которых находим функции $u_8^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$, а из условий конечности
$$\sum _{\begin{array}{c}r=1\\ (n+m\pm 1=0)\end{array}}^N{g}_{n,2}^{(r,2)}(\tau ,a){\phi }_r^{(1)}(\tau )e^{i(n\theta +m^{\prime }\psi )}=0$$

находим $A_2(\tau ,a,\vartheta )$ и $B_2(\tau ,a,\vartheta )$. После ряда выкладок получаем для определения $A_2(\tau ,a,\vartheta )$ п $B_2(\tau ,a,\vartheta )$ систему уравнений:
$$\begin{array}{c}({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))\frac{\partial A_2}{\partial \vartheta }-2a{\omega }_1(\tau )B_2=-\{\frac{\partial A_1}{\partial a}{A}_1+\frac{\partial A_1}{\partial \vartheta }{B}_1+\frac{\partial A_1}{\partial \tau }-a{B}_1^2+\}\\ +\frac{d{m}_1(\tau )}{d\tau }\frac{A_1}{m_1(\tau )}-\frac{\gamma (\tau )a}{m_1(\tau )}\}+\\ +\frac{1}{2{\pi }^2{m}_1(\tau )}\sum _{\sigma }{e}^{i\sigma \vartheta }{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\mathrm{\Phi }}_{r_0}^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\psi ){\phi }_r^{(j)}(\tau )e^{-i\sigma {\vartheta }^{\prime }}\cos \psi d\theta d\psi ,\\ ({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))a\frac{\partial B_2}{\partial \vartheta }+2{\omega }_1(\tau )A_2=-\{a\frac{\partial B_1}{\partial a}{A}_1+a\frac{\partial B_1}{\partial \vartheta }{B}_1+\\ +a\frac{\partial B_1}{\partial \tau }+2A_1{B}_1+\frac{d{m}_1(\tau )}{d\tau }a\frac{B_1}{m_1(\tau )}\}-\\ -\frac{1}{2{\pi }^2{m}_1(\tau )}\sum _{\sigma }{e}^{i\sigma \vartheta }{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{\mathrm{\Phi }}_{r_0}^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\psi )e^{-i\sigma {\vartheta }^{\prime }}\sin \psi d\theta d\psi ,\end{array}\}$$

где обозначено:
$$\gamma (\tau )=\sum _{j=1}^N\frac{d}{d\tau }{\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial {\dot{q}}_j}\right]}_{{\dot{q}}_i={\phi }_i^{(1)}(\tau )}{\phi }_j^{(1)}(\tau ).$$

После того как нами найдены функции $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$, $A_1(\tau ,a,\vartheta ),A_2(\tau ,a,\vartheta ),B_1(\tau ,a,\vartheta ),B_2(\tau ,a,\vartheta )$, мы можем построить решения уравнений (23.3), соответствующие одночастотному режиму, как в первом, так и во втором приближении.

Резюмируя изложенное, приведем схему построения первого и второго приближения для частных двупараметрических решений системы (23.3), соответствующих одночастотному режиму.

Заметим, что эта схема при $\tau =$ const может быть также применена и к результатам предыдущего параграфа, в котором ради краткости мы не останавливались на приведении такой схемы.

Итак, прежде всего выделяем невозмущенную систему (23.4) и проверяем, возможны ли в ней при любых значения параметра $\tau (0⩽\tau ⩽L)$ незатухающие гармонические собственные колебания с частотой ${\omega }_1(\tau )$, зависящие от двух произвольных постоянных; проверяем также, отсутствуют ли нетривиальные статические решения и внутренний резонанс. Далее, находим собственные частоты ${\omega }_k(\tau )(k=1,2,\dots ,N)$ и собственные функции ${\mathrm{\Psi }}_s^{(1)}(\tau )(s=1,2,\dots ,N)$, причем при определении их считаем, что коэффициенты соответствующих алгебраических уравнений зависят от г как от некоторого постоянного параметра.
После этого в качестве первого приближения берем выражения
$$q_{\mathbf{s}}={\phi }_{\mathrm{s}}^{(1)}(\tau )a\cos (\theta +\vartheta )(s=1,2,\dots ,N),$$

в которых $a$ и $\vartheta$ являются некоторыми функциями времени, определяемыми из уравнений первого приближения:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=\epsilon A_1(\tau ,a,\vartheta ),\\ \frac{d\vartheta }{dt}={\omega }_1(\tau )-u(\tau )+\epsilon B_1(\tau ,a,\vartheta ),\end{array}\}$$

где $A_1(\tau ,a,\vartheta )$ и $B_1(\tau ,a,\vartheta )$ — частные периодические по $\vartheta$ ренения системы (23.28).
В качестве второго приближения принимаем выражения:
$$\begin{array}{c}{q}_{\mathrm{s}}={\phi }_{\mathrm{s}}^{(1)}(\tau )a\cos (\theta +\vartheta )+\epsilon u_{\mathrm{s}}^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\theta +\vartheta )\\ (s=1,2,\dots ,N),\end{array}$$

где $a$ и $\vartheta$ определяются из уравнений второго приближения:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=\epsilon A_1(\tau ,a,\vartheta )+{\epsilon }^2{A}_2(\tau ,a,\vartheta ),\\ \frac{d\vartheta }{dt}={\omega }_1(\tau )-u(\tau )+\epsilon B_1(\tau ,a,\vartheta )+{\epsilon }^2{B}_2(\tau ,a,\vartheta ),\end{array}\}$$

в которых $A_1(\tau ,a,\vartheta ),B_1(\tau ,a,\vartheta ),A_2(\tau ,a,\vartheta ),B_2(\tau ,a,\vartheta )$ находим из систем (23.28) и (23.30), а $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\theta +\vartheta )(s=1,2,\dots ,N)$ по формулам (23.26).

Итак, интегрирование системы (23.3) сведено нами к интегрированию уравнений (23.33) или (23.35), которые, как уже указывалось в общем случае, не интегрируются в замкнутом виде, и их приходится интегрировать численными методами. В § 19 указывалось на преимущество численного интегрирования системы уравнений, определяющей $a$ и $\vartheta$, по сравнению с численным интегрированием непосредственно уравнений движения. В данном же случае это преимущество во много раз увеличивается ввиду того, что мы при численном интегрировании рассматриваем не систему $N$ уравнений второго порядка, а только два уравнения первого порядка.

Рассмотрим некоторые частные случаи системы нелинейных дифференциальных уравнений (23.3), для которых уравнения первого приближения принимают особенно простой вид.

В качестве первого частного случая рассмотрим «свободные» одночастотные колебания системы со многими степенями свободы и медленно меняющимися параметрами, т. е. когда правые части уравнений (23.3) не зависят от $\theta$ и имеют следующий вид:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\{\sum _{s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\dot{q}}_s\}+\sum _{s=1}^N{c}_{rs}(\tau )q_s=Q_r(\tau ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,\epsilon )\\ (r=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

В этом случае приближенное двупараметрическое частное решение в первом приближении будет:
$$q_s={\phi }_s^{(1)}(\tau )a\cos \psi (s=1,2,\dots ,N),$$

где $a$ и $\psi$ должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{\epsilon a}{2m_1(\tau ){\omega }_1(\tau )}\frac{d(m_1(\tau ){\omega }_1(\tau ))}{d\tau }-\frac{\epsilon }{2\pi m_1(\tau ){\omega }_1(\tau )}{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{Q}_{r_0}^{(1)}(\tau ,a,\psi ){\phi }_r^{(1)}(\tau )\sin \psi d\psi ,\\ \frac{d\psi }{dt}={\omega }_1(\tau )-\frac{\epsilon }{2\pi m_1(\tau ){\omega }_1(\tau )a}{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{Q}_{r_0}^{(1)}(\tau ,a,\psi ){\phi }_r^{(1)}(\tau )\cos \psi d\psi ,\end{array}$$

которую получаем непосредственно из соотношений (23.28), в которых полагаем, что $A_1$ и $B_1$ зависят только от $a$ и $\tau$.
Введем по аналогии с § 19 обозначения:
$$\begin{array}{l}{\lambda }_e^{(1)}(a,\tau )=\frac{\epsilon }{{\omega }_1(\tau )}\frac{d(m_1(\tau ){\omega }_1(\tau ))}{d\tau }+\\ +\frac{\epsilon }{\pi a{\omega }_1(\tau )}{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{Q}_{r_0}^{(1)}(\tau ,a,\psi ){\psi }_r^{(1)}(\tau )\sin \psi d\psi \\ {\omega }_e^{(1)}(a,\tau )={\omega }_1(\tau )-\frac{\epsilon }{\pi a{m}_1(\tau ){\omega }_1(\epsilon )}{\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{Q}_{r_0}^{(1)}(\tau ,a,\psi ){\phi }_r^{(1)}(\tau )\cos \psi d\psi ;\end{array}$$

тогда уравнения первого приближения можно записать в виде
$$\begin{array}{r}\frac{da}{dt}=-{\hat{\delta }}_e^{(1)}(a,\tau )a,\\ \frac{d\psi }{dt}={\omega }_e^{(1)}(a,\tau ),\end{array}\}$$

где ${\delta }_e^{(1)}(a,\tau )=\frac{{\lambda }_e^{(1)}(a,\tau )}{2m_1(\tau )}$.
Таким образом, уравнения первого приближения для системы $N$ дифференциальных уравнений (23.36) будут такими же, как и для системы с одной степенью свободы, описываемой уравнением
$$m_1(\tau )(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_1^2(\tau )x)=\epsilon \sum _{r=1}^N{Q}_{r_0}^{(1)}(\tau ,{\phi }_1^{(1)}x,\dots ,{\phi }_N^{(1)}x,{\phi }_1^{(1)}\dot{x},\dots ,{\phi }_N^{(1)}\dot{x}){\phi }_r^{(1)}(\tau ).$$

Рассмотрим теперь случай, когда внешние возмущающие силы имеют следующий вид:
$$\begin{array}{l}{Q}_r(\tau ,\theta ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,s)=\epsilon Q_r(\tau ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,s)+\\ +\epsilon E_r(\tau )\sin \theta \end{array}\begin{array}{r}(r=1,2,\dots ,N),\end{array}$$

где $\frac{d\theta }{dt}=u(\tau )$
Тогда система дифференциальных уравнений (23.3) будет:
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dt}\{\sum _{s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\dot{q}}_s\}+\sum _{s=1}^N{c}_{rs}(\tau )q_s=\epsilon Q_r(\tau ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,\epsilon )+\\ +\epsilon E_r(\tau )\sin \theta (r=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

В случае рассматриваемого нами основного резонанса ( $p=1,q=1$ ) в первом приближении решения системы (23.43), соответствующие одночастотным колебаниям, близким к одному из нормальных, будут:
$$q_s={\psi }_s^{(1)}(\tau )a\cos (\theta +\vartheta )(s=1,2,\dots ,N),$$

где функции времени $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-\frac{\epsilon a}{2m_1(\tau ){\omega }_1(\tau )}\frac{d(m_1(\tau ){\omega }_1(\tau ))}{d\tau }-\frac{\epsilon }{2\pi m_1(\tau ){\omega }_1(\tau )}\times \\ \times {\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{Q}_{r0}^{(1)}(\tau ,a,\psi ){\phi }_r^{(1)}(\tau )\sin \psi d\psi -\frac{\sum _{r=1}^N\epsilon E_r(\tau ){\phi }_r^{(1)}(\tau )}{m_1(\tau )({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))}\cos \vartheta ,\\ \frac{d\vartheta }{dt}={\omega }_1(\tau )-u(\tau )-\frac{\epsilon }{2\pi m_1(\tau ){\omega }_1(\tau )a}\times \\ \times {\int }_0^{2\pi }\sum _{r=1}^N{Q}_{r0}^{(1)}(\tau ,a,\psi ){\phi }_r^{(1)}(\tau )\cos \psi d\psi +\frac{\sum _{r=1}^N\epsilon E_r(\tau ){\phi }_r^{(1)}(\tau )}{m_1(\tau )a({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))}\sin \vartheta ,\end{array}\}$$

которую, учитывая введенные обозначения (23.39), можно представить в виде:
$$\begin{array}{l}\frac{da}{dt}=-{\hat{\delta }}_e^{(1)}(a,\tau )a-\frac{E(\tau )}{m_1(\tau )({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))}\cos \vartheta \\ \frac{d\vartheta }{dt}={\omega }_e^{(1)}(a,\tau )-u(\tau )+\frac{E(\tau )}{m_1(\tau )a({\omega }_1(\tau )-u(\tau ))}\sin \vartheta \end{array}\}$$

где обозначено:
$$E(\tau )=\epsilon \sum _{r=1}^N{E}_r(\tau ){\phi }_r{}^1(\tau ).$$

Итак, для того чтобы составить уравнения первого приближения для системы с $N$ степенями свободы при наличии одночастотного режима, мы должны воспользоваться правилом, приведенным в 19 для колебательной системы с одной степенью свободы, описываемой следующим дифференциальным уравнением с медленно меняющимися коэффициентами:
$$\begin{array}{r}{m}_1(\tau )(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }_1^2(\tau )\dot{x})=\sum _{r=1}^N\epsilon Q_r^{(1)}(\tau ,{\phi }_1^{(1)}x,\dots ,{\phi }_N^{(1)}x,{\phi }_1^{(1)}\dot{x},\dots ,{\phi }_N^{(1)}\dot{x}){\phi }_r^{(1)}(\tau )+\\ +E(\tau )\sin \theta .\end{array}$$

Проиллюстрируем изложенную методику на простом примере. В качестве такого примера рассмотрим, как и в § 22 , крутильные колебания вала, схематически изображенного на рис. 118, причем для упрощения предположим, что все параметры, характеризующие нашу колебательную систему, такие же, как и в § 22, и только внешний крутящий момент, действующий на среднюю массу, имеет вид
$$M=E\sin \theta ,$$

где $\frac{d\theta }{dt}=u(\tau )$.
Тогда наша задача, как и в § 22 , сводится к построению приближенного решения системы дифференциальных уравнений:
$$\begin{array}{l}{I}_1{I}_2\ddot{x}+c_1(I_1+I_2)x-c_2{I}_{1}y=-(I_1+I_2)\epsilon f(x)+\alpha I_1\dot{y}+E{I}_1\sin \theta ,\\ I_2{I}_3\ddot{y}-c_1{I}_{3}x+c_2(I_2+I_3)y=I_3\epsilon f(x)-\alpha (I_2+I_3)\dot{y}-I_{3}E\sin \theta ,\end{array}\}$$

где $\frac{d\theta }{dt}=u(\tau )$.

Предположим, что частота внешней силы $u(\tau )$, которая медяенно изменяется со временем, находится вблизи значений собственной частоты ${\omega }_1$. В этом случае представляет интерес рассмотреть нестационарные колебания системы, соответствующие возбуждению гармоник с частотой, близкой к ${\omega }_1$.
Приближенные решения ищем в виде
$$\begin{array}{l}x={\phi }_1^{(1)}a\cos (\theta +\vartheta ),\\ y={\phi }_2^{(1)}a\cos (\theta +\vartheta ),\end{array}\}$$

где ${\phi }_1^{(1)},{\phi }_2^{(1)}$ — нетривиальные решения системы алгебраических уравфункции времени должны быть определены из уравнений первого приближения. Для составления этих уравнений можем воспользоваться правилом и формулами, приведенными в § 19 для колебательной системы с одной степенью свободы. Для этого вместо системы (23.49) рассматриваем эквивалентное ей при одночастотном режиме одно уравнение второго порядка:
$$m_1(\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+{\omega }_1^{2}z)=Q(z,\frac{dz}{dt})+E_1\sin \theta ,$$

где введены обозначения:
$$\begin{array}{c}{m}_1=I_2({\phi }_1^{(1{)}^2}+{\phi }_2^{(1{)}^2})\\ E_1=E(I_1{\phi }_1^{(1)}-I_2{\phi }_2^{(1)})\\ Q(z,\frac{dz}{dt})=[I_3{\phi }_2^{(1)}-(I_1+I_2){\phi }_1^{(1)}]\epsilon f\left({\phi }_1^{(1)}z\right)+\\ +\alpha [(I_2+I_3){\phi }_2^{(1)}-I_1{\phi }_1^{(1)}{\phi }_2^{(1)}]\frac{dz}{dt}\end{array}\}$$

Подставляя значения $m_1,E_1$ и $Q(z,\frac{dz}{dt})(z=a\cos \psi )$ непосредственно в формулы (19.22), получаем:
$$\begin{array}{rl}\frac{da}{dt}=-\frac{a}{m_1}[(I_2+I_3){\phi }_2^{(1{)}^2}-I_1{\phi }_1^{(1)}{\phi }_2^{(1)}]a& -\frac{E(I_1{\phi }_1^{(1)}-I_2{\phi }_2^{(1)})}{m_1({\omega }_1+u(\tau ))}\cos \vartheta \\ \frac{d\vartheta }{dt}={\omega }_1-u(\tau )-\frac{[I_3{\phi }_2^{(1)}-(I_1+I_2){\phi }_1^{(1)}]}{m_1{\omega }_{1}a}& \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\epsilon f({\phi }_1^{(1)}a\cos \psi )\cos \psi d\psi -\\ & -\frac{E(I_1{\phi }_1^{(1)}-I_2{\phi }_2^{(1)})}{m_{1}a({\omega }_1+u(\tau ))}\sin \vartheta .\end{array}$$

Полагая, что нелинейность упругой связи определяется той же самой характеристикой, что в примере § 22 , вычисляя интеграл, стоящий в правой части второго уравнения системы (23.53), и после этого численно интегрируя систему (23.53) при различных скоростях изменения частоты внешнего крутящего момента $u(\tau )$, получаем ряд кривых, приведенных на рис. 121, характеризующих изменение величины $а$ в зависимости от изменения $u(\tau )$.

Заканчивая настоящую главу, посвященную исследованию одночастотных колебаний в нелинейных системах со многими степенями свободы, заметим, что изложенная методика может быть без особого затруднения применена к исследованию более сложных колебательных систем, например к исследованию колебательных систем с $N$ степенями
свободы, для которых функция Лагранжа может быть представлена в виде
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\{\sum _{r,s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\dot{q}}_s{\dot{q}}_r+2\sum _{s,r=1}^N{g}_{sr}(\tau )q_r{\dot{q}}_s-\sum _{r,s=1}^N{c}_{rs}(\tau )q_s{q}_r\},$$

где, как и выше, $q_1,q_2,\dots ,q_N$ — обобщенные координаты, $\tau =\epsilon t$, $\epsilon$ — малый положительный параметр, $a_{rs}(\tau )=a_{sr}(\tau ),c_{rs}(\tau )=c_{sr}(\tau )$ и $g_{sr}(\tau )(s,r=1,2,\dots ,N)$ имеют достаточное число производных при всех конечных $\tau$.
Рис. 121.
(Рассматривая $\tau$ как постоянный параметр, мы получаем, что $a_{sr},g_{sr}$, и $c_{sr}(s,r=1,2,\dots ,N)$ — постоянные и, следовательно, приходим к более общему случаю по сравнению с рассматриваемыми в $\mathrm{\S }\mathrm{\S }21-22$; если жө $\tau =\epsilon t$, то рассматриваемый случай будет более общим также и по сравнению с системами, рассмотренными в настоящем параграфе.)

Будем предполагать, что полная энергия рассматриваемой колебательной системы
$$H=\sum _{s=1}^N{\dot{q}}_s\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{q}}_s}-\mathcal{L}$$

является определенно-положительной квадратичной формой для любых $\tau$ на интервале $0⩽\tau ⩽L$, а сама система находится под воздействием внешних возмущающих сил типа (23.2). Тогда мы приходим к исследованию следующей системы нелинейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\{\sum _{s=1}^N{a}_{sr}(\tau ){\dot{q}}_s\}+\sum _{s=1}^N{b}_{sr}(\tau ){\dot{q}}_s+\sum _{s=1}^N{c}_{sr}(\tau )q_s=\\ =Q_r(\tau ,\theta ,q_1,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,\dots ,{\dot{q}}_N,s)-\epsilon \sum _{s=1}^N\frac{d{g}_{r_s}(\tau )}{d\tau }{q}_s\\ (r=1,2,\dots ,N)\end{array}$$

в которой $b_{s{r}^r}(\tau )=g_{sr}(\tau )-g_{rs}(\tau )$ и, следовательно,
$$b_{sr}(\tau )=-b_{rs}(\tau )(s,r=1,2,\dots ,N).$$

Предположим, что для системы (23.56) выполняются все условия, приведенные на стр. 283 настоящего параграфа. Для построепия приближенных асимптотических решений системы (23.56), зависящих от двух произвольных постоянных и соответствующих одночастотному режиму, мы можем либо воспользоваться общей методикой, разработанной в § 20, с соответствующими уточнениями, как это было сделано в начале $\mathrm{\S }23$, либо непосредственно результатами $\mathrm{\S }23$.

Для применения результатов § 20 необходимо систему $N$ уравнений второго порядка (23.56) свести к системе $2N$ уравнений первого порядка. Для этого, как и обычно, вводим новые переменные по формулам:
$$q_{N+s}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{q}}_s}(s=1,2,\dots ,N)$$

или в развернутом виде
$$q_{N+s}=\sum _{r=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\dot{q}}_r+\sum _{r=1}^N{g}_{rs}(\tau )q_r(s=1,2,\dots ,N).$$

Воспользовавпись обозначением (23.57), имеем:
$$H=\sum q_{\mathrm{s}}{q}_{N+3}-\mathcal{L}.$$

После этого систему (23.3), согласно известным принципам механики, можно заменить системой $2N$ уравнений:
$$\frac{d{q}_s}{dt}=\frac{\partial \stackrel{⏜}{H}}{\partial q_{N+s}},\frac{d{q}_{N+s}}{dt}=-\frac{\partial \stackrel{⏜}{H}}{\partial q_s}+{\stackrel{⏜}{Q}}_s,$$

где $\stackrel{⏜}{H}$ и ${\stackrel{⏜}{Q}}_s(s=1,2,\dots ,N)$ являются так называемыми союзными выражениями для функций $H(23.55)$ и $Q_s(s=1,2,\dots ,N)(23.2)$, получающимися после замены в последних скоростях ${\dot{q}}_{\mathrm{s}}(s=1,2,\dots ,N)$ их значениями, выраженными из системы (23.58) через значения $q_r(r=1,2,\dots ,N)$.
Подставляя ${\dot{q}}_s(s=1,2,\dots ,N)$ в выражение (23.59), получим:
$$\stackrel{⏜}{H}=\frac{1}{2}\sum _{s,r=1}^N{\alpha }_{sr}(\tau )q_s{q}_r+\sum _{s,r=1}^N{\gamma }_{sr}(\tau )q_s{q}_{N+r}+\frac{1}{2}\sum _{s,r=1}^N{\beta }_{sr}(\tau )q_{N+s}{q}_{N+r},$$

причем ${\alpha }_{sr}(\tau )={\alpha }_{rs}(\tau ),{\beta }_{sr}(\tau )={\beta }_{rs}(\tau )$ и ${\gamma }_{sr}(\tau )(s,r=1,2,\dots ,N)$ имеют достаточное число производных на интервале $0⩽\tau ⩽L$.

После этого система уравнений (23.60) может быть записана в явном виде следующим образом:
$$\begin{array}{c}\sum _{r=1}^N{\alpha }_{sr}(\tau )q_s+\sum _{r=1}^N[{\gamma }_{sr}(\tau )q_{N+r}+\frac{d{q}_{N+s}}{dt}]={\hat{Q}}_s,\\ \sum _{r=1}^N[{\gamma }_{rs}(\tau )q_r-\frac{d\cdot I_s}{dt}]+\sum _{r=1}^N{\beta }_{sr}(\tau )q_{N+s}=0\\ (s=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

Система (23.62) имеет такой же вид, как и рассмотренная в $\mathrm{\$}20$ система уравнений (20.1), и следовательно, мы можем построить асимптотические решения, воспользовавшись результатами § 20 (разумеется, с учетом того, что в данном случае коэффициенты уравнений, а также правые части зависят еще от «медленного» времени $\tau$ ).

Однако можно и не приводить систему уравнений (23.56) к системе $2N$ уравнений первого порядка, а построить непосредственно для нее асимптотические решения, несколько обобщив результаты, полученные в § 20 и в настоящем параграфе.

Мы должны будем в этом случае вместо вспомогательной системы (23.4) рассматривать следующую:
$$\begin{array}{c}\sum _{s=1}^N{a}_{rs}(\tau ){\ddot{q}}_{sr}+\sum _{s=1}^N{b}_{rs}(\tau ){\dot{q}}_s+\sum _{s=1}^N{c}_{sr}(\tau )q_s=0\\ (r=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

Решение системы (23.56), соответствующее одночастотному режиму, ищем в виде рядов
$$\begin{array}{c}{q}_s=u_s^{(0)}(\tau ,a,\psi )+\epsilon u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )+{\epsilon }^2{u}_s^{(2)}(\tau ,a,\theta ,\psi )+\dots \\ (s=1,2,\dots ,N),\end{array}$$

где
$$\begin{array}{c}{u}_s^{(0)}(\tau ,a,\psi )={\phi }_s^{(1)}(\tau )a{e}^{i\psi }+{\phi }_s^{\ast (1)}(\tau )a{e}^{-i\psi }(\psi =\frac{p}{q}u(\tau )+\vartheta )\\ (s=1,2,\dots ,N),\end{array}$$
${\phi }_s^{(1)}(\tau )$ — фундаментальные функции, являющиеся нетривиальными рещениями системы однородных алгебраических уравнений:
$$\sum _{r=1}^N\{-a_{sr}(\tau ){\omega }_1^2(\tau )+i{b}_{sr}(\tau ){\omega }_1(\tau )+c_{sr}(\tau )\}{\phi }_r^{(1)}(\tau )=0$$
$$(s=1,2,\dots ,N)\text{, }$$
${\phi }_s^{\ast (1)}(\tau )-$ сопряженные с ${\phi }_s^{(1)}(\tau )(s=1,2,\dots ,N)$, а ${\omega }_1(\tau )$ определяется из уравнения
$$D\Vert -a_{sr}(\tau ){\omega }^2+i{b}_{rs}(\tau )\omega +c_{sr}(\tau )\Vert =0.$$

Для составления же уравнений, определяющих величины $a$ и $\vartheta$ и имеющих такой же вид, как и уравнения (23.10), поступаем как и обычно, т. е. находим вначале «регуляризированное» выражение для $u_s^{(1)}(\tau ,a,\theta ,\psi )(s=1,2,\dots ,N)$, а из условий конечности, которые в нашем случае будут иметь такой же вид, как и условия (23.25), находим $A_1(\tau ,a,\vartheta )$ и $B_1(\tau ,a,\vartheta )$ и т. д.