Как уже указывалось выше, во многих актуальных проблемах вибротехники мы встречаемся с колеб̈ательными системами со многимит степенями свободы, в которых ряд параметров (эффективные собственные и внешние частоты, амплитуды вынуждающих сил и т. д.) медленно изменяются, причем медленно в указанном выше смысле-по сравнению с периодом собственных колебаний.

В настоящем параграфе мы остановимся на построении асимптотических разложений для дифференциальных уравнений, описывающих колебания в таких системах, в предноложении, что в системе совершается одночастотный колебательный процесс.

Как и в предыдущих параграфах, систему дифференциальных уравнений будем рассматривать в таком виде, когда невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колебаний.

Итак, рассмотрим колебательную систему с $N$ степенями свободы, кинетическая и потенциальная энергия которой могут быть представлены в виде
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{r, s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \dot{q}_{r} \dot{q}_{s}, \quad V=\frac{1}{2} \sum_{r, s=1}^{N} c_{r s}(\tau) q_{r} q_{s},
\]

где $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}$-обобщенные координаты, $\tau=s t$ – «медленное» время, $\varepsilon$, как и всегда, – малый положительный параметр, $a_{r s}(\tau)=a_{\mathrm{s} r}(\tau)$, $c_{r s}(\tau)=c_{s r}{ }^{f}(\tau) \quad(s, r=1,2, \ldots, N)$ – некоторые функции «медленного» времени $\tau$, обладающие производными любого порядка при всех конечных значениях $\tau$.

Предположим также, что на конечном интервале $0 \leqslant t \leqslant T$, где $T=\frac{L}{\varepsilon}$, причем $L$ может быть сделано сколь угодно большим для сколь угодно малых $\approx$, квадратичные формулы $T$ и $V$ определенно положительны.

Пусть исследуемая колебательная система находится под воздействием малого возмущения, определяемого обобщенными силами
\[
\begin{array}{c}
Q_{r}\left(\tau, \theta, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)=\varepsilon Q_{r^{\prime}}^{(1)}\left(\tau, \theta, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+ \\
+\varepsilon^{2} Q_{r}^{(2)}\left(\tau, \theta, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)+\ldots \\
(r=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

периодихескими по $\theta$ с периодом $2 \pi$ и разлагающимися в конечные суммы Фурье, с коэффициентами, являющимися некоторыми полиномами по отношению к $q_{s}, \dot{q}_{s}(s=1,2, \ldots, N)$. Кроме того, будем полагать, что $\frac{d \theta}{d t}=
u(\tau)$ п функции $
u(\tau), Q_{r}\left(\tau, \theta, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)(r=1,2, \ldots, N)$ неограниченно дифференцируемы по $\tau$ на интервале $0 \leqslant \tau \leqslant L$.

Тогда, согласно известным принципам механикп, мы приходим к рассмотрению системы $N$ нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left\{\sum_{s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \dot{q}_{s}\right\}+\sum_{s=1}^{N} c_{r s}(\tau) q_{s}=Q_{r}\left(\tau, \theta, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1} \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right) \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Одновременно с системой (23.3) рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными кођффициентами
\[
\sum_{s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \ddot{q}_{s}+\sum_{s=1}^{N} c_{r s}(\tau) q_{s}=0 \quad(r=1,2, \ldots, N),
\]

для получения которой необходимо в (23.3) положить $\varepsilon=0$, а $\tau$ рассматривать не как $\varepsilon t$, а как некоторый постоянный параметр.

В налем случае вспомогательная система (23.4) играет такую же роль, как и система (23.3), и мы ее в дальнейпем будем называть системой дифференциальных уравнений невозмущенного движения или просто невозмущенной системой уравнений.

Как и в § 21, при помощи обычных методов можно для уравнений (23.4) построить рещения, соответствующие нормальным колебаниям
\[
q_{s}^{(k)}=\varphi_{s}^{(k)}(\tau) a \cos \left(\omega_{k}(\tau) t+\alpha_{k}\right) \quad(s, k=1,2, \ldots, N),
\]

где $\omega_{k}(\tau)(k=1,2, \ldots, N)$ – собственные частоты, определяемые уравнением
\[
D\left\|-a_{r s}(\tau) \omega^{2}+c_{r s}(\tau)\right\|=0,
\]
a $\varphi_{s}^{(k)}(\tau)(s, k=1,2, \ldots, N)$ – нормальные функции, являющиеся нетривиальными решениями систем однородных алгебраических уравнений
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N}\left\{-a_{r s}(\tau) \omega_{k}^{2}(\tau)+c_{r s}(\tau)\right\} \varphi_{s}^{(k)}(\tau)=0 \\
(r, k=1,2, \ldots, N)
\end{array}
\]

и обладающие свойством ортогональности
\[
\left.\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \varphi_{s}^{(k)}(\tau) \varphi_{r}^{(l)}(\tau)=0 \\
\sum_{r, s=1}^{N} c_{r s}(\tau) \varphi_{s}^{(k)}(\tau) \varphi_{r}^{(l)}(\tau)=0 \\
(k
eq l) .
\end{array}\right\}
\]

Во всех пөследних формулах величины $\omega_{k}(\tau)$ и $\varphi_{s}^{(k)}(\tau)(s, k=1,2, \ldots$ $\ldots, N$ ) зависят от $\tau$ как от параметра.

Если же теперь положить в (23.4) и (23.5) $\tau=s t$, то функции (23.5) будут только приближенно (с точностью до величин порядка малости в) удовлетворять уравнениям (23.4), представляя собой колебания с медленно меняющимися частотой и формой.

Прежде чем приступать к построению асимптотических решений системы (23.3), соответствующих одночастотным колебаниям; близким (при достаточно малом в) к одному из нормальных невозмущенных колебаний (23.5) (для определенности опять будем полагать к первому нормальному колебанию), допустим, что для всех значений параметра $\tau$, принадлежащих рассматриваемом у интервалу $0 \leqslant \tau \leqslant L$, выполняются условия, аналогичные условиям, приведенным в § 21 на стр. 261, т. е. допустим, что: 1) в невозмущенной системе, описываемой дифференциальными уравнениями (23.4), возможны незатухающие гармонические колебания с частотой $\omega_{1}(\tau)$, зависящие только от двух произвольных постоянных; 2) единственным решением системы (23.4), соответствующим равновесию, является тривиальное решение $q_{1}=q_{2} \ldots=q_{N}=0$; 3) частота $\omega_{1}(\tau)$, а также ни один из ее обертонов $2 \omega_{1}(\tau), 3 \omega_{1}(\tau), \ldots$, $k \omega_{1}(\tau), \ldots$ не равны собственным частотам $\omega_{2}(\tau), \omega_{3}(\tau), \ldots,{ }^{()_{N}}(\tau)$ невозмущенной системы.

При этих допущениях, естественно, согласно методике предыдущих параграфов и учитывая результаты, полученные в § 14, для системы с одной степенью свободы, искать решение возмущенных уравнений (23.3) в случае $p=q=1$, т. е. соответствующее основному резонансу (резонансу с собственной частотой $\omega_{1}(\tau)$ ) в виде асимптотических рядов *):
$\left.q_{s}=\varphi_{s}^{(1)}(\tau) a \cos (\theta+\vartheta)+\varepsilon u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \theta+\vartheta)+\varepsilon^{2} u_{s}^{(2)}(\tau, a, \theta, \theta+\vartheta)+\ldots *\right)$,
\[
(s=1,2, \ldots, N) \text {, }
\]
*) Как уже указывалось, все рассуждения могут быть без существенных пзменений перенесены на общий случай $\omega_{1}(\vartheta) \approx \frac{p}{q} v(\tau)$, где $p$ и $q$-некоторые взаимно простые числа.
**) В дальнейшем верхний индекс у $q_{s}$ будем опускать, помня, что мы рассматриваем колебания, близкие к первому нормальному колебанию.

в которых $\tau=\varepsilon t$, функции $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \theta+\vartheta), u_{s}^{(2)}(\tau, a, \theta, \theta+\vartheta), \ldots$, $(s=1,2, \ldots, N)$ – периодические по $\theta$ и $\theta+\vartheta$ с периодом $2 \pi$, а величины $a$ и $\vartheta$, как функции времени, определяются из системы дифференциальных уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(\tau, a, \vartheta)+\varepsilon^{2} A_{2}(\tau, a, \vartheta)+\ldots, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)+\varepsilon B_{1}(\tau, a, \vartheta)+\varepsilon^{2} B_{2}(\tau, a, \vartheta)+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где $\omega_{1}(\tau)$ – наименьший корень уравнения $(23.6) ; \varphi_{s}^{(1)}(\tau)(s=1,2, \ldots, N)$ нетривиальные решения алгебраических уравнений (23.7).

Как и обычно, для решения нашей задачи необходимо найти такие выражения для функций:
\[
u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \theta+\vartheta), u_{s}^{(2)}(\tau, a, \theta, \theta+\vartheta), \ldots \quad(s=1,2, \ldots, N)
\]

и
\[
A_{1}(\tau, a, \vartheta), A_{2}(\tau, a, \vartheta), \ldots, B_{1}(\tau, a, \vartheta), B_{2}(\tau, a, \vartheta), \ldots,
\]

чтобы асимптотические ряды (23.9) после подстановки в них вместо $a$ и $\vartheta$ функций времени, определяемых уравнениями (23.10), являлись решением системы (23.3).

Функции (23.11) и (23.12) можно найти, применив ту же методику, что и в предыдущих параграфах, т. е. воспользовавшись формальным правилом, полученным в § 20 , и проводя аналогию с результатами, полученными для системы с одной степенью свободы. Однако при применении принципа гармонического баланса в рассматриваемом случае следует помнить, что у нас параметры не постоянны, а зависят от $\tau=\varepsilon t$, и поэтому при дифференцировании надо всегда помнить, что $\tau=\varepsilon t$, а при интегрировании $\tau$ считать постоянным параметром. Проведем подробные выкладки.

Дифференцируя ряды (23.9) с учетом того, что $a$ и $\vartheta$ должны удовлетворять уравнениям (23.10), найдем выражения для $q_{s}, \dot{q}_{s}(s=1,2, \ldots, N)$. Подставим полученные выражения в систему уравнений (23.3), правые части которой тоже разложим в ряды по степеням ะ. Приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получим ряд систем:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N}\left\{a_{r s}(\tau)\left[\omega_{1}^{2}(\tau) \frac{\partial^{2} u_{s}^{(1)}}{\partial \psi^{2}}+2
u(\tau) \omega_{1}(\tau) \frac{\partial^{2} u_{s}^{(1)}}{\partial \theta \partial \psi}+
u^{2}(\tau) \frac{\partial^{2} u_{s}^{(1)}}{\partial \theta}\right]+\right. \\
\left.+c_{r s}(\tau) u_{s}^{(1)}\right\}=G_{r 0}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi) \\
(r=1,2, \ldots, N) \\
\sum_{s=1}^{N}\left\{a_{r s}(\tau)\left[\omega_{1}^{2}(\tau) \frac{\partial^{2} u_{s}^{(2)}}{\partial \psi^{2}}+2
u(\tau) \omega_{1}(\tau) \frac{\partial^{2} u_{s}^{(2)}}{\partial \theta \partial \psi}+
u^{2}(\tau) \frac{\partial^{2} u_{s}^{(2)}}{\partial \theta^{2}}\right]+\right. \\
\left.+c_{r s}(\tau) u_{s}^{(2)}\right\}=G_{r 0}^{(2)}(\tau, a, \theta, \psi) \\
2, \ldots, N)
\end{array}
\]

в которых введены обозначения:
\[
\begin{array}{l}
G_{r 0}^{(1)}(\tau, a, \theta, \phi)=Q_{r 0}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)- \\
-\sum_{s=1}^{N}\left\{a_{r s}(\tau)\left[\varphi_{s}^{(1)}(\tau)\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) \frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta}-2 \varphi_{s}^{(1)}(\tau) \omega_{1}(\tau) a B_{1}\right] \cos \psi-\right. \\
-a_{r s}(\tau)\left[\varphi_{s}^{(1)}(\tau) a\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta}+2 \varphi_{s}^{(1)}(\tau) \omega_{1}(\tau) A_{1}\right] \sin \psi- \\
\left.-\left[2 \omega_{1}(\tau) \frac{d \varphi_{s}^{(1)}(\tau)}{d \tau} a_{r s}(\tau)+\frac{d \omega_{1}(\tau)}{d \tau} \varphi_{s}^{\prime}(\tau) a_{r s}(\tau)+\omega_{1}(\tau) \varphi_{s}^{(1)}(\tau) \frac{d a_{r s}(\tau)}{d \tau}\right] a \sin \psi\right\} . \\
G_{r 0}^{(2)}(\tau, a, \theta, \psi)=\Phi_{r_{0}}^{(2)}(\tau, a, \theta, \psi)-\sum_{s=1}^{N}\left\{a _ { r s } ( \tau ) \left[\varphi_{s}^{(1)}(\tau)\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) \frac{\partial A_{2}}{\partial \vartheta}-\right.\right. \\
-2 \varphi_{s}^{(1)}(\tau) \omega_{1}(\tau) a B_{2}+\varphi_{s}^{(1)}(\tau) \frac{\partial A_{1}}{\partial a} A_{1}+\varphi_{s}^{(1)}(\tau) \frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+\varphi_{s}^{(1)}(\tau) \frac{\partial A_{1}}{\partial \tau}- \\
\left.-\varphi_{s}^{(1)}(\tau) a B_{1}^{2}\right] \cos \psi-a_{r s}(\tau)\left[\varphi_{s}^{(1)}(\tau)\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) a \frac{\partial B_{2}}{\partial \vartheta}+2 \varphi_{s}^{(1)}(\tau) \omega_{1}(\tau) A_{2}+\right. \\
\left.+2 \varphi_{s}^{(1)}(\tau) A_{1} B_{1}+\varphi_{s}^{(1)}(\tau) a \frac{\partial B_{1}}{\partial a} A_{1}+\varphi_{s}^{(1)}(\tau) a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+\varphi_{s}^{(1)}(\tau) \frac{\partial B_{1}}{\partial \tau}\right] \sin \psi+ \\
+\left[a_{r s}(\tau) \frac{d^{2} \varphi_{s}^{(1)}(\tau)}{d \tau^{2}} a+\frac{d \varphi_{s}^{(1)}(\tau)}{d \tau} \frac{d a_{r s}(\tau)}{d \tau} a+\varphi_{s}^{(1)}(\tau) \frac{d a_{r s}(\tau)}{d \tau} A_{1}\right] \cos \phi- \\
\left.-\left[2 \frac{d \varphi_{s}^{(1)}(\tau)}{d \tau} a_{r s}(\tau) B_{1}+\varphi_{s}^{(1)}(\tau) \frac{d a_{r s}(\tau)}{d \tau} B_{1}\right] a \sin \psi\right\}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
(r=1,2, \ldots, N) \text {, } \\
\end{array}
\]

где также обозначено:
\[
\begin{array}{l}
Q_{r 0}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)=Q_{r}^{(1)}\left(\tau, \theta, q_{10}, \ldots, q_{N_{0}}, \dot{q}_{10}, \ldots, \dot{q}_{N 0}\right), \\
\Phi_{r 0}^{(2)}(\tau, a, \theta, \psi)=Q_{r_{0}}^{(2)}\left(\tau, \theta, q_{10}, \ldots, q_{N 0}, \dot{q}_{10}, \ldots, \dot{q}_{N 0}\right)+\sum_{s=1}^{N}\left[\frac{\partial Q_{r}^{(1)}}{\partial q_{s}} u_{s}^{(1)}+\right. \\
+\frac{\partial Q_{r}^{(1)}}{\partial \dot{q}_{s}}\left(\frac{d \varphi_{s}^{(1)}(\Sigma)}{d s} a \cos \psi+\varphi_{s}^{(1)}(\tau) \cos \psi A_{1}-\varphi_{s}^{(1)}(\tau) a \sin \psi B_{1}\right)+\frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial \theta}
u(\tau)+ \\
\left.+\frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial \psi} \omega_{1}(\tau)\right]-\sum_{s=1}^{N}\left\{a _ { r s } ( \tau ) \left[2 \frac{\partial^{2} u_{s}^{(1)}}{\partial \tau \partial \psi} \omega_{1}(\tau)+2 \frac{\partial^{2} u_{s}^{(1)}}{\partial \tau \partial \theta}
u(\tau)+2 \frac{\partial^{2} u_{s}^{(1)}}{\partial a \partial \theta}
u(\tau) A_{1}+\right.\right. \\
+2 \frac{\partial^{2} u_{s}^{(1)}}{\partial \theta \partial \psi} \vee(\tau) B_{1}+2 \frac{\partial^{2} u_{s}^{(1)}}{\partial \psi^{2}} \omega_{1}(\tau) B_{1}+2 \frac{\partial^{2} u_{s}^{(1)}}{\partial a \partial \psi} \omega_{1}(\tau) A_{1}+ \\
+\frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial \psi}\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta}+\frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial a}\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) \frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta^{-}}+\frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial \theta} \frac{d
u(\tau)}{d \tau}+ \\
\left.\left.+\frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial \psi} \frac{d \omega_{1}(\tau)}{d \tau}\right]+\frac{d a_{r_{s}}(\tau)}{d \tau} \frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial \theta}
u(\tau)+\frac{d a_{r s}(\tau)}{d \tau} \frac{\partial u_{s}^{(1)}}{\partial \psi} \omega_{1}(\tau)\right\} \\
(r=1,2, \ldots, N) \text {, } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\psi=\theta+\vartheta, \quad q_{s 0}=\varphi_{s}^{(1)}(\tau) a \cos \psi, \quad \dot{q}_{s 0}=-\varphi_{s}^{(1)}(\tau) \omega_{1}(\tau) a \sin \psi \\
(s=1,2, \ldots, N) \text {. } \\
\end{array}
\]

Определим из системы (23.13) $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$. Для этого правые части системы (23.13) как периодические функции $\theta$ и $\psi$ целесообразно разложить в ряды Фурье:
\[
G_{r_{0}}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)=\sum_{n, m} g_{n, m}^{(r, 1)}(\tau, a) e^{i(n \theta+m \psi)},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
g_{n, m}^{(r, 1)}(\tau, a)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} G_{r_{0}}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi) e^{-i(n \theta+m \psi)} d \theta d \psi \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Искомые функции $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$ также естественно представить в виде рядов
\[
\begin{array}{c}
u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)=\sum_{n, m} \dot{k}_{n, m}^{(s)}(\tau, a) e^{i(n \theta+m \psi)} \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Подставляя значения $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi) . \quad(s=1,2, \ldots, N)$ и $G_{r 0}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)(r=1,2, \ldots, N)$ (при подстановке считаем, что $\tau$ – параметр) в уравнения (23.13) и приравнивая коэффидиенты при одинаковых гармониках, получаем для определения коэффициентов $k_{n, m}^{(s)}(\tau, a)$ систему алгебрайческих уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N}\left\{a_{r s}(\tau)\left[-\omega_{1}^{2}(\tau) m^{2}-2 v(\tau) \omega_{1}(\tau) m n-
u^{2}(\tau) n^{2}\right]+c_{r s}(\tau)\right\} k_{n, m}^{(s)}(\tau, a)= \\
\quad=g_{n, m}^{(r, 1)}(\tau, a)
\end{array}
\]

Решая эту систему, как и в предыдущем параграфе, с помощью введения нормальных координат находим:
\[
k_{n, m}^{(s)}(\tau, a)=\sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)}(\tau) \frac{\sum_{r=1}^{N} g_{n, m}^{(r, 1)}(\tau, a) \varphi_{r}^{(j)}(\tau)}{m_{j}(\tau)\left\lfloor\omega_{j}^{2}(\tau)-\left(\omega_{1}(\tau) m+
u(\tau) n\right)^{2}\right]}
\]

и, следовательно, для $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi) \quad(s=1,2, \ldots, N)$ получаем следующие выражения:
\[
\begin{array}{c}
u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)=\sum_{n, m} \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)}(\tau) \frac{\sum_{r=1}^{N} g_{n, m}^{(r, 1)}(\tau, a) \varphi_{r}^{(j)}(\tau) e^{i(n \theta+m \psi)}}{m_{j}(\tau)\left[\omega_{j}^{2}(\tau)-\left(\omega_{1}(\tau) m+
u(\tau) n\right)^{2}\right]} \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Для того чтобы $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$ были конечны, необходимо, чтобы для любых $\tau$ на интервале $0 \leqslant \tau \leqslant L$ знаменатели в правых частях (23.22) не обращались в нуль. Однако знаменатели могут обратиться в нуль для тех $n$ и $m$, для которых выполняются равенства:
\[
m \omega_{1}(\tau)+n
u(\tau)= \pm \omega_{1}(\tau)
\]

или
\[
n+m \pm 1=0,
\]

так как ввиду того, что мы рассматриваем основной резонанс, при некотором $\tau(0 \leqslant \tau \leqslant L)$ возможно $\omega_{1}(\tau)=
u(\tau)$.

Поэтому условие конечности для $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$ принимает следующий вид:
\[
\sum_{\substack{r=1 \\(n+m
eq 1=0)}}^{N} g_{n, m}^{(r, 1)}(\tau, a) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) e^{i(n \theta+m \psi)}=0 .
\]

Принимая во внимание (23.18), (23.22) и (23.25), после ряда пре$(s=1,2, \ldots, N)$ :
\[
\begin{array}{l}
u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \sum_{n, m} \sum_{j=1}^{N} \varphi_{s}^{(j)}(\tau) \times \\
\left(\begin{array}{c}
n q+p(m+1)
eq 0 \\
\text { для } j=1
\end{array}\right) \\
\times \frac{\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} Q_{r_{0}}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi) \varphi_{r}^{(j)}(\tau) e^{-i(n \theta+m \psi)} d \theta d \psi}{m_{j}(\tau)\left[\omega_{j}^{2}(\tau)-\left(\omega_{1}(\tau) m+
u(\tau) n\right)^{2}\right]} e^{i(n \theta+m \psi)} \\
-2 \omega_{1}(\tau) a \sum_{j=2}^{N} \frac{\sum_{r=1}^{N} \frac{d}{d \tau}\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial \dot{q}_{r}}\right]_{\dot{q}_{s}=\varphi_{s}^{(1)}(\tau)} \varphi_{r}^{(j)}(\tau)}{m_{j}(\tau)\left[\omega_{j}^{2}(\tau)-\omega_{1}^{2}(\tau)\right]} \sin \psi \\
(s=1,2, \ldots, N) \text {, } \\
\end{array}
\]

где
\[
m_{j}(\tau)=\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \varphi_{r}^{(j)}(\tau) \varphi_{s}^{(j)}(\tau)=2 T\left[\varphi^{(j)}(\tau)\right]
\]

и, следовательно,
\[
\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial \dot{q}_{r}}\right]_{\dot{q}_{s}=\varphi_{s(\tau)}^{(1)}}=\sum_{s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \varphi_{s}^{(1)}(\tau) \quad(r=1,2, \ldots, N) .
\]

Не представляет затруднений сформулировать правило составления \”регуляризированных\” выражений для $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$, исходя непосредственно из выражений возмущающих сил и выражений для кинетической и потенциальной энергии.

Заметим, что сумма $\sum_{r=1}^{N} Q_{r 0}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi) \varphi_{r}^{(j)}(\tau)$ представляет собой обобщенную силу, действующую на $j$-ю нормальную координату. Выражение $\sum_{r=1}^{N} \frac{d}{d \tau}\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial \dot{q}_{r}}\right]_{\dot{q}_{s}=\varphi_{s}^{(1)}(\tau)} \varphi_{r}^{(j)}(\tau)$ также можно интерпретировать как обобщенную силу, действующую на $j$-ю нормальную координату. Наличие этой дополнительной силы объясняется появлением (в результате зависимости инерционных коэффициентов $a_{i j}$ от «медленного» времени $\tau$ ) «силь» $\frac{d}{d \tau}\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial \dot{q}_{r}}\right]_{\dot{q}_{s}=\varphi_{s}^{(1)}(ت)}$.

Таким образом, для получения функций $\dot{u}_{\mathrm{s}}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$ надо подставить в функции $Q_{r}^{(1)}\left(\tau, \theta, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)(r=1,2, \ldots N)$ нулевые приближения $q_{s}, \dot{q}_{s}(s=1,2, \ldots, N)$ и найти $(n, m)$-й член в ряде Фурье для обобщенной силы, действующей на $j$-ю нормальную координату; далее, надо найти производную кинетической энергии по скорости, заменить в ней $\dot{q}_{s}$ на $\varphi_{s}^{(1)}(\tau)(s=1,2, \ldots, N)$, после чего полученные выражения подставить в формулу (23.26). Величины $m_{j}(\tau)$ $(j=1,2, \ldots, N)$ представляют собой удвоенные формы кинетической энергии, в которых скорости $\dot{q}_{s}(s=1,2, \ldots, N$ ) заменены «нормальными» функциями $\varphi_{\mathrm{s}}^{(j)}(\tau)(s, j=1,2, \ldots, N)$.

Перейдем к определению функщий $A_{1}(\tau, a, \vartheta)$ и $B_{1}(\tau, a, \vartheta)$, которые, как и обычно, определяются так, чтобы вышолнялось условие конечности (23.25).

Вводя обозначения $n=-\sigma, m \pm 1=0$, условие (23.25) представляем в виде
\[
\begin{array}{c}
\sum_{r=1}^{N} g_{-\sigma p, \sigma q \pm 1}^{(r, 1)}(\bar{v}, a) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) e^{ \pm i \psi+i \sigma q \theta}=0 \\
(-\infty<\sigma<\infty) .
\end{array}
\]

Подставляя сюда значения $g_{-\sigma, \sigma+1}^{(r, 1)}(\tau, a)$ согласно (23.18) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем систему уравнений для $A_{1}(\tau, a, \vartheta)$ и $B_{1}(\tau, a, \vartheta)$, аналогичную системе (19.8):
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) \frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta}-2 a \omega_{1}(\tau) B_{1}= \\
=\frac{1}{2 \pi^{2} m_{1}(\tau)} \sum_{\sigma} e^{i \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} Q_{r_{0}}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) e^{-i \sigma \vartheta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi ; \\
\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta}+2 \omega_{1}(\tau) A_{1}=-\frac{a}{m_{1}(\tau)} \frac{d\left(m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau)\right)}{d \tau}- \\
-\frac{1}{2 \pi^{2} m_{1}(\tau)} \sum_{\sigma} e^{i \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} Q_{r_{0}}^{(1)}(\tau, a, \vartheta, \psi) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) e^{-i \sigma \vartheta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi \\
\left(\vartheta^{\prime}=\psi-\theta\right) .
\end{array}\right\}
\]

После того как нами найдены выражения для $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)$ $(s=1,2, \ldots, N), A_{1}(\tau, a, \vartheta)$ и $B_{1}(\tau, a, \vartheta)$, становятся известными правые части уравнений (23.14), из которых находим функции $u_{8}^{(2)}(\tau, a, \theta, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$, а из условий конечности
\[
\sum_{\substack{r=1 \\(n+m \pm 1=0)}}^{N} g_{n, 2}^{(r, 2)}(\tau, a) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) e^{i\left(n \theta+m^{\prime} \psi\right)}=0
\]

находим $A_{2}(\tau, a, \vartheta)$ и $B_{2}(\tau, a, \vartheta)$. После ряда выкладок получаем для определения $A_{2}(\tau, a, \vartheta)$ п $B_{2}(\tau, a, \vartheta)$ систему уравнений:
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) \frac{\partial A_{2}}{\partial \vartheta}-2 a \omega_{1}(\tau) B_{2}=-\left\{\frac{\partial A_{1}}{\partial a} A_{1}+\frac{\partial A_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+\frac{\partial A_{1}}{\partial \tau}-a B_{1}^{2}+\right\} \\
\left.+\frac{d m_{1}(\tau)}{d \tau} \frac{A_{1}}{m_{1}(\tau)}-\frac{\gamma(\tau) a}{m_{1}(\tau)}\right\}+ \\
+\frac{1}{2 \pi^{2} m_{1}(\tau)} \sum_{\sigma} e^{i \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \Phi_{r_{0}}^{(2)}(\tau, a, \theta, \psi) \varphi_{r}^{(j)}(\tau) e^{-i \sigma \vartheta^{\prime}} \cos \psi d \theta d \psi, \\
\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right) a \frac{\partial B_{2}}{\partial \vartheta}+2 \omega_{1}(\tau) A_{2}=-\left\{a \frac{\partial B_{1}}{\partial a} A_{1}+a \frac{\partial B_{1}}{\partial \vartheta} B_{1}+\right. \\
\left.+a \frac{\partial B_{1}}{\partial \tau}+2 A_{1} B_{1}+\frac{d m_{1}(\tau)}{d \tau} a \frac{B_{1}}{m_{1}(\tau)}\right\}- \\
-\frac{1}{2 \pi^{2} m_{1}(\tau)} \sum_{\sigma} e^{i \sigma \vartheta} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} \Phi_{r_{0}}^{(2)}(\tau, a, \theta, \psi) e^{-i \sigma \vartheta^{\prime}} \sin \psi d \theta d \psi,
\end{array}\right\}
\]

где обозначено:
\[
\gamma(\tau)=\sum_{j=1}^{N} \frac{d}{d \tau}\left[\frac{\partial T(\dot{q})}{\partial \dot{q}_{j}}\right]_{\dot{q}_{i}=\varphi_{i}^{(1)}(\tau)} \varphi_{j}^{(1)}(\tau) .
\]

После того как нами найдены функции $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)(s=1,2, \ldots, N)$, $A_{1}(\tau, a, \vartheta), A_{2}(\tau, a, \vartheta), B_{1}(\tau, a, \vartheta), B_{2}(\tau, a, \vartheta)$, мы можем построить решения уравнений (23.3), соответствующие одночастотному режиму, как в первом, так и во втором приближении.

Резюмируя изложенное, приведем схему построения первого и второго приближения для частных двупараметрических решений системы (23.3), соответствующих одночастотному режиму.

Заметим, что эта схема при $\tau=$ const может быть также применена и к результатам предыдущего параграфа, в котором ради краткости мы не останавливались на приведении такой схемы.

Итак, прежде всего выделяем невозмущенную систему (23.4) и проверяем, возможны ли в ней при любых значения параметра $\tau(0 \leqslant \tau \leqslant L)$ незатухающие гармонические собственные колебания с частотой $\omega_{1}(\tau)$, зависящие от двух произвольных постоянных; проверяем также, отсутствуют ли нетривиальные статические решения и внутренний резонанс. Далее, находим собственные частоты $\omega_{k}(\tau)(k=1,2, \ldots, N)$ и собственные функции $\Psi_{s}^{(1)}(\tau)(s=1,2, \ldots, N)$, причем при определении их считаем, что коэффициенты соответствующих алгебраических уравнений зависят от г как от некоторого постоянного параметра.
После этого в качестве первого приближения берем выражения
\[
q_{\mathbf{s}}=\varphi_{\mathrm{s}}^{(\mathrm{1})}(\tau) a \cos (\theta+\vartheta) \quad(s=1,2, \ldots, N),
\]

в которых $a$ и $\vartheta$ являются некоторыми функциями времени, определяемыми из уравнений первого приближения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(\tau, a, \vartheta), \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)+\varepsilon B_{1}(\tau, a, \vartheta),
\end{array}\right\}
\]

где $A_{1}(\tau, a, \vartheta)$ и $B_{1}(\tau, a, \vartheta)$ – частные периодические по $\vartheta$ ренения системы (23.28).
В качестве второго приближения принимаем выражения:
\[
\begin{array}{c}
q_{\mathrm{s}}=\varphi_{\mathrm{s}}^{(1)}(\tau) a \cos (\theta+\vartheta)+\varepsilon u_{\mathrm{s}}^{(1)}(\tau, a, \theta, \theta+\vartheta) \\
(s=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

где $a$ и $\vartheta$ определяются из уравнений второго приближения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\varepsilon A_{1}(\tau, a, \vartheta)+\varepsilon^{2} A_{2}(\tau, a, \vartheta), \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)+\varepsilon B_{1}(\tau, a, \vartheta)+\varepsilon^{2} B_{2}(\tau, a, \vartheta),
\end{array}\right\}
\]

в которых $A_{1}(\tau, a, \vartheta), B_{1}(\tau, a, \vartheta), A_{2}(\tau, a, \vartheta), B_{2}(\tau, a, \vartheta)$ находим из систем (23.28) и (23.30), а $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \theta+\vartheta)(s=1,2, \ldots, N)$ по формулам (23.26).

Итак, интегрирование системы (23.3) сведено нами к интегрированию уравнений (23.33) или (23.35), которые, как уже указывалось в общем случае, не интегрируются в замкнутом виде, и их приходится интегрировать численными методами. В § 19 указывалось на преимущество численного интегрирования системы уравнений, определяющей $a$ и $\vartheta$, по сравнению с численным интегрированием непосредственно уравнений движения. В данном же случае это преимущество во много раз увеличивается ввиду того, что мы при численном интегрировании рассматриваем не систему $N$ уравнений второго порядка, а только два уравнения первого порядка.

Рассмотрим некоторые частные случаи системы нелинейных дифференциальных уравнений (23.3), для которых уравнения первого приближения принимают особенно простой вид.

В качестве первого частного случая рассмотрим «свободные» одночастотные колебания системы со многими степенями свободы и медленно меняющимися параметрами, т. е. когда правые части уравнений (23.3) не зависят от $\theta$ и имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left\{\sum_{s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \dot{q}_{s}\right\}+\sum_{s=1}^{N} c_{r s}(\tau) q_{s}=Q_{r}\left(\tau, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right) \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

В этом случае приближенное двупараметрическое частное решение в первом приближении будет:
\[
q_{s}=\varphi_{s}^{(1)}(\tau) a \cos \psi \quad(s=1,2, \ldots, N),
\]

где $a$ и $\psi$ должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon a}{2 m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau)} \frac{d\left(m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau)\right)}{d \tau}-\frac{\varepsilon}{2 \pi m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau)} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} Q_{r_{0}}^{(1)}(\tau, a, \psi) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) \sin \psi d \psi, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{1}(\tau)-\frac{\varepsilon}{2 \pi m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau) a} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} Q_{r_{0}}^{(1)}(\tau, a, \psi) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) \cos \psi d \psi,
\end{array}
\]

которую получаем непосредственно из соотношений (23.28), в которых полагаем, что $A_{1}$ и $B_{1}$ зависят только от $a$ и $\tau$.
Введем по аналогии с § 19 обозначения:
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{e}^{(1)}(a, \tau)=\frac{\varepsilon}{\omega_{1}(\tau)} \frac{d\left(m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau)\right)}{d \tau}+ \\
+\frac{\varepsilon}{\pi a \omega_{1}(\tau)} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} Q_{r_{0}}^{(1)}(\tau, a, \psi) \psi_{r}^{(1)}(\tau) \sin \psi d \psi \\
\omega_{e}^{(1)}(a, \tau)=\omega_{1}(\tau)-\frac{\varepsilon}{\pi a m_{1}(\tau) \omega_{1}(\varepsilon)} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} Q_{r_{0}}^{(1)}(\tau, a, \psi) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) \cos \psi d \psi ; \\
\end{array}
\]

тогда уравнения первого приближения можно записать в виде
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d a}{d t}=-\hat{\delta}_{e}^{(1)}(a, \tau) a, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega_{e}^{(1)}(a, \tau),
\end{array}\right\}
\]

где $\delta_{e}^{(1)}(a, \tau)=\frac{\lambda_{e}^{(1)}(a, \tau)}{2 m_{1}(\tau)}$.
Таким образом, уравнения первого приближения для системы $N$ дифференциальных уравнений (23.36) будут такими же, как и для системы с одной степенью свободы, описываемой уравнением
\[
m_{1}(\tau)\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2}(\tau) x\right)=\varepsilon \sum_{r=1}^{N} Q_{r_{0}}^{(1)}\left(\tau, \varphi_{1}^{(1)} x, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} x, \varphi_{1}^{(1)} \dot{x}, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} \dot{x}\right) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) .
\]

Рассмотрим теперь случай, когда внешние возмущающие силы имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
Q_{r}\left(\tau, \theta, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, s\right)=\varepsilon Q_{r}\left(\tau, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, s\right)+ \\
+\varepsilon E_{r}(\tau) \sin \theta
\end{array} \begin{aligned}
(r=1,2, \ldots, N),
\end{aligned}
\]

где $\frac{d \theta}{d t}=
u(\tau)$
Тогда система дифференциальных уравнений (23.3) будет:
\[
\begin{array}{r}
\frac{d}{d t}\left\{\sum_{s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \dot{q}_{s}\right\}+\sum_{s=1}^{N} c_{r s}(\tau) q_{s}=\varepsilon Q_{r}\left(\tau, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \varepsilon\right)+ \\
+\varepsilon E_{r}(\tau) \sin \theta \quad(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

В случае рассматриваемого нами основного резонанса ( $p=1, q=1$ ) в первом приближении решения системы (23.43), соответствующие одночастотным колебаниям, близким к одному из нормальных, будут:
\[
q_{s}=\psi_{s}^{(1)}(\tau) a \cos (\theta+\vartheta) \quad(s=1,2, \ldots, N),
\]

где функции времени $a$ и $\vartheta$ должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{\varepsilon a}{2 m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau)} \frac{d\left(m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau)\right)}{d \tau}-\frac{\varepsilon}{2 \pi m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau)} \times \\
\times \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} Q_{r 0}^{(1)}(\tau, a, \psi) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) \sin \psi d \psi-\frac{\sum_{r=1}^{N} \varepsilon E_{r}(\tau) \varphi_{r}^{(1)}(\tau)}{m_{1}(\tau)\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right)} \cos \vartheta, \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)-\frac{\varepsilon}{2 \pi m_{1}(\tau) \omega_{1}(\tau) a} \times \\
\times \int_{0}^{2 \pi} \sum_{r=1}^{N} Q_{r 0}^{(1)}(\tau, a, \psi) \varphi_{r}^{(1)}(\tau) \cos \psi d \psi+\frac{\sum_{r=1}^{N} \varepsilon E_{r}(\tau) \varphi_{r}^{(1)}(\tau)}{m_{1}(\tau) a\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right)} \sin \vartheta,
\end{array}\right\}
\]

которую, учитывая введенные обозначения (23.39), можно представить в виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\hat{\delta}_{e}^{(1)}(a, \tau) a-\frac{E(\tau)}{m_{1}(\tau)\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right)} \cos \vartheta \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{e}^{(1)}(a, \tau)-
u(\tau)+\frac{E(\tau)}{m_{1}(\tau) a\left(\omega_{1}(\tau)-
u(\tau)\right)} \sin \vartheta
\end{array}\right\}
\]

где обозначено:
\[
E(\tau)=\varepsilon \sum_{r=1}^{N} E_{r}(\tau) \varphi_{r}{ }^{1}(\tau) .
\]

Итак, для того чтобы составить уравнения первого приближения для системы с $N$ степенями свободы при наличии одночастотного режима, мы должны воспользоваться правилом, приведенным в 19 для колебательной системы с одной степенью свободы, описываемой следующим дифференциальным уравнением с медленно меняющимися коэффициентами:
\[
\begin{array}{r}
m_{1}(\tau)\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2}(\tau) \dot{x}\right)=\sum_{r=1}^{N} \varepsilon Q_{r}^{(1)}\left(\tau, \varphi_{1}^{(1)} x, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} x, \varphi_{1}^{(1)} \dot{x}, \ldots, \varphi_{N}^{(1)} \dot{x}\right) \varphi_{r}^{(1)}(\tau)+ \\
+E(\tau) \sin \theta .
\end{array}
\]

Проиллюстрируем изложенную методику на простом примере. В качестве такого примера рассмотрим, как и в § 22 , крутильные колебания вала, схематически изображенного на рис. 118, причем для упрощения предположим, что все параметры, характеризующие нашу колебательную систему, такие же, как и в § 22, и только внешний крутящий момент, действующий на среднюю массу, имеет вид
\[
M=E \sin \theta,
\]

где $\frac{d \theta}{d t}=
u(\tau)$.
Тогда наша задача, как и в § 22 , сводится к построению приближенного решения системы дифференциальных уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
I_{1} I_{2} \ddot{x}+c_{1}\left(I_{1}+I_{2}\right) x-c_{2} I_{1} y=-\left(I_{1}+I_{2}\right) \varepsilon f(x)+\alpha I_{1} \dot{y}+E I_{1} \sin \theta, \\
I_{2} I_{3} \ddot{y}-c_{1} I_{3} x+c_{2}\left(I_{2}+I_{3}\right) y=I_{3} \varepsilon f(x)-\alpha\left(I_{2}+I_{3}\right) \dot{y}-I_{3} E \sin \theta,
\end{array}\right\}
\]

где $\frac{d \theta}{d t}=
u(\tau)$.

Предположим, что частота внешней силы $
u(\tau)$, которая медяенно изменяется со временем, находится вблизи значений собственной частоты $\omega_{1}$. В этом случае представляет интерес рассмотреть нестационарные колебания системы, соответствующие возбуждению гармоник с частотой, близкой к $\omega_{1}$.
Приближенные решения ищем в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\varphi_{1}^{(1)} a \cos (\theta+\vartheta), \\
y=\varphi_{2}^{(1)} a \cos (\theta+\vartheta),
\end{array}\right\}
\]

где $\varphi_{1}^{(1)}, \varphi_{2}^{(1)}$ – нетривиальные решения системы алгебраических уравфункции времени должны быть определены из уравнений первого приближения. Для составления этих уравнений можем воспользоваться правилом и формулами, приведенными в § 19 для колебательной системы с одной степенью свободы. Для этого вместо системы (23.49) рассматриваем эквивалентное ей при одночастотном режиме одно уравнение второго порядка:
\[
m_{1}\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+\omega_{1}^{2} z\right)=Q\left(z, \frac{d z}{d t}\right)+E_{1} \sin \theta,
\]

где введены обозначения:
\[
\left.\begin{array}{c}
m_{1}=I_{2}\left(\varphi_{1}^{(1)^{2}}+\varphi_{2}^{(1)^{2}}\right) \\
E_{1}=E\left(I_{1} \varphi_{1}^{(1)}-I_{2} \varphi_{2}^{(1)}\right) \\
Q\left(z, \frac{d z}{d t}\right)=\left[I_{3} \varphi_{2}^{(1)}-\left(I_{1}+I_{2}\right) \varphi_{1}^{(1)}\right] \varepsilon f\left(\varphi_{1}^{(1)} z\right)+ \\
+\alpha\left[\left(I_{2}+I_{3}\right) \varphi_{2}^{(1)}-I_{1} \varphi_{1}^{(1)} \varphi_{2}^{(1)}\right] \frac{d z}{d t}
\end{array}\right\}
\]

Подставляя значения $m_{1}, E_{1}$ и $Q\left(z, \frac{d z}{d t}\right)(z=a \cos \psi)$ непосредственно в формулы (19.22), получаем:
\[
\begin{aligned}
\frac{d a}{d t}=-\frac{a}{m_{1}}\left[\left(I_{2}+I_{3}\right) \varphi_{2}^{(1)^{2}}-I_{1} \varphi_{1}^{(1)} \varphi_{2}^{(1)}\right] a & -\frac{E\left(I_{1} \varphi_{1}^{(1)}-I_{2} \varphi_{2}^{(1)}\right)}{m_{1}\left(\omega_{1}+
u(\tau)\right)} \cos \vartheta \\
\frac{d \vartheta}{d t}=\omega_{1}-
u(\tau)-\frac{\left[I_{3} \varphi_{2}^{(1)}-\left(I_{1}+I_{2}\right) \varphi_{1}^{(1)}\right]}{m_{1} \omega_{1} a} & \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varepsilon f\left(\varphi_{1}^{(1)} a \cos \psi\right) \cos \psi d \psi- \\
& -\frac{E\left(I_{1} \varphi_{1}^{(1)}-I_{2} \varphi_{2}^{(1)}\right)}{m_{1} a\left(\omega_{1}+
u(\tau)\right)} \sin \vartheta .
\end{aligned}
\]

Полагая, что нелинейность упругой связи определяется той же самой характеристикой, что в примере § 22 , вычисляя интеграл, стоящий в правой части второго уравнения системы (23.53), и после этого численно интегрируя систему (23.53) при различных скоростях изменения частоты внешнего крутящего момента $
u(\tau)$, получаем ряд кривых, приведенных на рис. 121, характеризующих изменение величины $а$ в зависимости от изменения $
u(\tau)$.

Заканчивая настоящую главу, посвященную исследованию одночастотных колебаний в нелинейных системах со многими степенями свободы, заметим, что изложенная методика может быть без особого затруднения применена к исследованию более сложных колебательных систем, например к исследованию колебательных систем с $N$ степенями
свободы, для которых функция Лагранжа может быть представлена в виде
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2}\left\{\sum_{r, s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \dot{q}_{s} \dot{q}_{r}+2 \sum_{s, r=1}^{N} g_{s r}(\tau) q_{r} \dot{q}_{s}-\sum_{r, s=1}^{N} c_{r s}(\tau) q_{s} q_{r}\right\},
\]

где, как и выше, $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}$ – обобщенные координаты, $\tau=\varepsilon t$, $\varepsilon$ – малый положительный параметр, $\quad a_{r s}(\tau)=a_{s r}(\tau), \quad c_{r s}(\tau)=c_{s r}(\tau) \quad$ и $g_{s r}(\tau) \quad(s, r=1,2, \ldots, N)$ имеют достаточное число производных при всех конечных $\tau$.
Рис. 121.
(Рассматривая $\tau$ как постоянный параметр, мы получаем, что $a_{s r}, \quad g_{s r}$, и $c_{s r}(s, r=1,2, \ldots, N)$ – постоянные и, следовательно, приходим к более общему случаю по сравнению с рассматриваемыми в $\S \S 21-22$; если жө $\tau=\varepsilon t$, то рассматриваемый случай будет более общим также и по сравнению с системами, рассмотренными в настоящем параграфе.)

Будем предполагать, что полная энергия рассматриваемой колебательной системы
\[
H=\sum_{s=1}^{N} \dot{q}_{s} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{s}}-\mathscr{L}
\]

является определенно-положительной квадратичной формой для любых $\tau$ на интервале $0 \leqslant \tau \leqslant L$, а сама система находится под воздействием внешних возмущающих сил типа (23.2). Тогда мы приходим к исследованию следующей системы нелинейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left\{\sum_{s=1}^{N} a_{s r}(\tau) \dot{q}_{s}\right\}+\sum_{s=1}^{N} b_{s r}(\tau) \dot{q}_{s}+\sum_{s=1}^{N} c_{s r}(\tau) q_{s}= \\
=Q_{r}\left(\tau, \theta, q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, s\right)-\varepsilon \sum_{s=1}^{N} \frac{d g_{r_{s}}(\tau)}{d \tau} q_{s} \\
(r=1,2, \ldots, N)
\end{array}
\]

в которой $b_{s r^{r}}(\tau)=g_{s r}(\tau)-g_{r s}(\tau)$ и, следовательно,
\[
b_{s r}(\tau)=-b_{r s}(\tau) \quad(s, r=1,2, \ldots, N) .
\]

Предположим, что для системы (23.56) выполняются все условия, приведенные на стр. 283 настоящего параграфа. Для построепия приближенных асимптотических решений системы (23.56), зависящих от двух произвольных постоянных и соответствующих одночастотному режиму, мы можем либо воспользоваться общей методикой, разработанной в § 20, с соответствующими уточнениями, как это было сделано в начале $\S 23$, либо непосредственно результатами $\S 23$.

Для применения результатов § 20 необходимо систему $N$ уравнений второго порядка (23.56) свести к системе $2 N$ уравнений первого порядка. Для этого, как и обычно, вводим новые переменные по формулам:
\[
q_{N+s}=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_{s}} \quad(s=1,2, \ldots, N)
\]

или в развернутом виде
\[
q_{N+s}=\sum_{r=1}^{N} a_{r s}(\tau) \dot{q}_{r}+\sum_{r=1}^{N} g_{r s}(\tau) q_{r} \quad(s=1,2, \ldots, N) .
\]

Воспользовавпись обозначением (23.57), имеем:
\[
H=\sum q_{\mathrm{s}} q_{N+3}-\mathscr{L} .
\]

После этого систему (23.3), согласно известным принципам механики, можно заменить системой $2 N$ уравнений:
\[
\frac{d q_{s}}{d t}=\frac{\partial \overparen{H}}{\partial q_{N+s}}, \quad \frac{d q_{N+s}}{d t}=-\frac{\partial \overparen{H}}{\partial q_{s}}+\overparen{Q}_{s},
\]

где $\overparen{H}$ и $\overparen{Q}_{s}(s=1,2, \ldots, N)$ являются так называемыми союзными выражениями для функций $H(23.55)$ и $Q_{s}(s=1,2, \ldots, N)(23.2)$, получающимися после замены в последних скоростях $\dot{q}_{\mathrm{s}}(s=1,2, \ldots, N)$ их значениями, выраженными из системы (23.58) через значения $q_{r}(r=1,2, \ldots, N)$.
Подставляя $\dot{q}_{s}(s=1,2, \ldots, N)$ в выражение (23.59), получим:
\[
\overparen{H}=\frac{1}{2} \sum_{s, r=1}^{N} \alpha_{s r}(\tau) q_{s} q_{r}+\sum_{s, r=1}^{N} \gamma_{s r}(\tau) q_{s} q_{N+r}+\frac{1}{2} \sum_{s, r=1}^{N} \beta_{s r}(\tau) q_{N+s} q_{N+r},
\]

причем $\alpha_{s r}(\tau)=\alpha_{r s}(\tau), \beta_{s r}(\tau)=\beta_{r s}(\tau)$ и $\gamma_{s r}(\tau)(s, r=1,2, \ldots, N)$ имеют достаточное число производных на интервале $0 \leqslant \tau \leqslant L$.

После этого система уравнений (23.60) может быть записана в явном виде следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{r=1}^{N} \alpha_{s r}(\tau) q_{s}+\sum_{r=1}^{N}\left[\gamma_{s r}(\tau) q_{N+r}+\frac{d q_{N+s}}{d t}\right]=\widehat{Q}_{s}, \\
\sum_{r=1}^{N}\left[\gamma_{r s}(\tau) q_{r}-\frac{d \cdot I_{s}}{d t}\right]+\sum_{r=1}^{N} \beta_{s r}(\tau) q_{N+s}=0 \\
(s=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Система (23.62) имеет такой же вид, как и рассмотренная в $\$ 20$ система уравнений (20.1), и следовательно, мы можем построить асимптотические решения, воспользовавшись результатами § 20 (разумеется, с учетом того, что в данном случае коэффициенты уравнений, а также правые части зависят еще от «медленного» времени $\tau$ ).

Однако можно и не приводить систему уравнений (23.56) к системе $2 N$ уравнений первого порядка, а построить непосредственно для нее асимптотические решения, несколько обобщив результаты, полученные в § 20 и в настоящем параграфе.

Мы должны будем в этом случае вместо вспомогательной системы (23.4) рассматривать следующую:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{s=1}^{N} a_{r s}(\tau) \ddot{q}_{s r}+\sum_{s=1}^{N} b_{r s}(\tau) \dot{q}_{s}+\sum_{s=1}^{N} c_{s r}(\tau) q_{s}=0 \\
(r=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Решение системы (23.56), соответствующее одночастотному режиму, ищем в виде рядов
\[
\begin{array}{c}
q_{s}=u_{s}^{(0)}(\tau, a, \psi)+\varepsilon u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi)+\varepsilon^{2} u_{s}^{(2)}(\tau, a, \theta, \psi)+\ldots \\
(s=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
u_{s}^{(0)}(\tau, a, \psi)=\varphi_{s}^{(1)}(\tau) a e^{i \psi}+\varphi_{s}^{*(1)}(\tau) a e^{-i \psi}\left(\psi=\frac{p}{q}
u(\tau)+\vartheta\right) \\
(s=1,2, \ldots, N),
\end{array}
\]
$\varphi_{s}^{(1)}(\tau)$ – фундаментальные функции, являющиеся нетривиальными рещениями системы однородных алгебраических уравнений:
\[
\sum_{r=1}^{N}\left\{-a_{s r}(\tau) \omega_{1}^{2}(\tau)+i b_{s r}(\tau) \omega_{1}(\tau)+c_{s r}(\tau)\right\} \varphi_{r}^{(1)}(\tau)=0
\]
\[
(s=1,2, \ldots, N) \text {, }
\]
$\varphi_{s}^{*(1)}(\tau)-$ сопряженные с $\varphi_{s}^{(1)}(\tau) \quad(s=1,2, \ldots, N)$, а $\omega_{1}(\tau)$ определяется из уравнения
\[
D\left\|-a_{s r}(\tau) \omega^{2}+i b_{r s}(\tau) \omega+c_{s r}(\tau)\right\|=0 .
\]

Для составления же уравнений, определяющих величины $a$ и $\vartheta$ и имеющих такой же вид, как и уравнения (23.10), поступаем как и обычно, т. е. находим вначале «регуляризированное» выражение для $u_{s}^{(1)}(\tau, a, \theta, \psi) \quad(s=1,2, \ldots, N)$, а из условий конечности, которые в нашем случае будут иметь такой же вид, как и условия (23.25), находим $A_{1}(\tau, a, \vartheta)$ и $B_{1}(\tau, a, \vartheta)$ и т. д.