В качестве второго частного случая рассмотрим уравнение вида
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k x=s \dot{F}\left(\frac{d x}{d t}\right),
\]

которое можно интерпретировать как уравнение колебаний массы $m$, находящейся под воздействием линейной упругой силы $k x$ и нелинейного слабого трения $\varepsilon F\left(\frac{d x}{d t}\right)$, зависящего от скорости.

Это уравнение, очевидно, принадлежит к типу общего уравнения (1.1), причем здесь
\[
f\left(x, \frac{d x}{d t}\right)=\frac{1}{m} F\left(\frac{d x}{d t}\right) .
\]

Чтобы воспользоваться формулами (1.21)-(1.28), определяющими искомые приближенные решения, рассмотрим разложение
\[
\frac{1}{m} F(a \cos \psi)=\sum_{n=0}^{\infty} F_{n}(a) \cos n \psi,
\]

из которого получим:
\[
\frac{1}{m} F(-a \omega \sin \psi)=\sum_{n=0}^{\infty} F_{n}(a \omega) \cos n\left(\psi+\frac{\pi}{2}\right) .
\]

Сопост авляя последнее разложение с (1.16), находим:
\[
g_{n}(a)=F_{n}(a \omega) \cos \frac{n \pi}{2}, h_{n}(a)=-F_{n} !(a \omega) \sin \frac{n \pi}{2} .
\]

Поэтому согласно (1.17) имеем:
\[
A_{1}(a)=\frac{1}{2 \omega} F_{1}(a \omega), \quad B_{1}(a)=0 .
\]

Таким образом, учитывая (1.23) и (1.24), получим первое приближение в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =a \cos \psi, \\
\frac{d a}{d t} & =\frac{\mathrm{s}}{2 \omega} F_{1}(a \omega), \\
\frac{d \psi}{d t} & =\omega, \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда легко видеть, что для систем, описываемых уравнением типа (3.1), в первом приближении амплитуда колебания затухает согласно закону, выраженному вторым уравнением (3.5). Что касается мгновенной частоты, то она постоянна и равна обычной линейной частоте (1), так что.
\[
\rfloor=\omega t+\theta,
\]

где $\theta$ – начальное значение фазы ф.
Таким образом, в первом приближении колебания оказываются гармоническими с постоянной частотой $\omega$.

Мы уже имели возможность убедиться в том, что нелинейные колебательные системы, вообще говоря, не изохронны.

Рассматриваемый же пример является одним из важных случаев, когда в первом приближении система изохронна. Такие случаи будем называть случаями квазиизохронности*).
*) Мы прибавляем «квази» потому, что соответствующие колебательные системы, как показано ниже, будут изохронны липь в первом приближении.

Перейдем к построению второго приближения. Согласно и (3.3) находим:
\[
u_{1}(a, \psi)=-\frac{1}{\omega^{2}} \sum_{\substack{n=0 \\(n
eq 1)}}^{\infty} \frac{F_{n}(a \omega) \cos n\left(\psi+\frac{\pi}{2}\right)}{n^{2}-1} .
\]

Далее из (1.30), (3.4) и (3.6) получаем:
\[
\begin{array}{c}
A_{2}(a)=-\frac{A_{1}(a)}{2 \omega \pi m} \int_{0}^{2 \pi} F^{\prime}(-a \omega \sin \psi) \cos \psi \sin \psi d \psi- \\
-\frac{1}{2 \omega^{2} \pi m} \sum_{\substack{n=0 \\
(n
eq 1)}}^{\infty} \frac{n F_{n}(a \omega)}{n^{2}-1} \int_{0}^{2 \pi} F^{\prime}(-a \omega \sin \psi) \cdot \sin n\left(\psi+\frac{\pi}{2}\right) \sin \psi d \psi, \\
B_{2}(a)=\frac{1}{2 \omega} \frac{A_{1}(a)}{a} \frac{d A_{1}(a)}{d a}-\frac{A_{1}(a)}{2 \omega \pi a m} \int_{0}^{2 \pi} F^{\prime}(-a \omega \sin \psi) \times \\
\times \cos ^{2} \psi d \psi-\frac{1}{2 \omega^{2} \pi a m} \sum_{\substack{n=0 \\
(n
eq 1)}}^{\infty} \frac{n F_{n}(a \omega)}{n^{2}-1} \times \\
\times \int_{0}^{2 \pi} F^{\prime}(-a \omega \sin \psi) \sin n\left(\psi+\frac{\pi}{2}\right) \cos \psi d \psi .
\end{array}
\]

С другой стороны, заменяя в интегралах $\psi$ на $\psi-\frac{\pi}{2}$, находим:
\[
\begin{aligned}
\int_{0}^{2 \pi} F^{\prime}(-a(\omega) \sin \psi) \sin n\left(\psi+\frac{\pi}{2}\right) \sin \psi d \psi & = \\
& =-\int_{0}^{2 \pi} F^{\prime}(a \omega \cos \psi) \sin n \psi \cos \psi d \psi=0 .
\end{aligned}
\]

Далее, интегрируя по частям, получим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{m} \int_{0}^{2 \pi} F^{\prime}(-a \omega \sin \psi) \sin n\left(\psi+\frac{\pi}{2}\right) \cos \psi d \psi= \\
=\frac{1}{m} \int_{0}^{2 \pi} F^{\prime}(a(i) \cos \psi) \sin n \psi \sin \psi d \psi=-\frac{1}{m} \int_{0}^{2 \pi} \sin n \psi d\left[\frac{F(a \omega \cos \psi)}{a \omega}\right]= \\
=\frac{n}{a \omega m} \int_{0}^{2 \pi} F(a \omega \cos \psi) \cos n \psi d \psi=\frac{n \pi}{a \omega} F_{n}(a(\omega) .
\end{array}
\]

Поэтому (3.7) можно записать следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
A_{2}(a)=0, \\
B_{2}(a)=\frac{F_{1}(a \omega)}{8 \omega^{3} a} \frac{d F_{1}(a \omega)}{d a}-\frac{F_{1}^{2}(a \omega)}{4 \omega^{3} a^{2}}-\frac{1}{2 \omega^{3} a^{2}} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2} F_{n}^{2}(a \omega)}{n^{2}-1} .
\end{array}
\]

Итак, в рассматриваемом случае второе приближение имеет вид
\[
x=a \cos \psi-\frac{\varepsilon}{\omega^{2}} \sum_{\substack{n=0 \\(n
eq 1)}}^{\infty} \frac{F_{n}(a \omega) \cos n\left(\psi+\frac{\pi}{2}\right)}{n^{2}-1},
\]

причем
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=\frac{\varepsilon F_{1}(a \omega)}{2 \omega}, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega+\varepsilon^{2} B_{2}(a),
\end{array}\right\}
\]

где $B_{2}(a)$ определяется выражением (3.8).
Прежде чем перейти к анализу уравнений зависимости амплитуды от времени для различных законов силы трения, т. е. для различных видов функции $F\left(\frac{d x}{d t}\right)$, заметим, что для применимости выведенных формул необходимо общее ограничение, а именно: сила трения должна быть достаточно малой.

Переходя к анализу конкретных примеров, прежде всего рассмотрим линейное уравнение
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\lambda \frac{d x}{d t}+\omega^{2} x=0
\]

с малым коэффициентом затухания:
\[
\lambda=s v .
\]

Для данного уравнения
\[
F\left(\frac{d x}{d t}\right)=-
u \frac{d x}{d t},
\]

и потому
\[
\begin{array}{l}
F_{1}(a \omega)=-v \omega a, \\
F_{n}(a: v)=0 \quad(n=0,2,3, \ldots) .
\end{array}
\]

Таким образом, согласно (3.8), (3.9) и (3.10) получим сразу во втором ириближении:
\[
\left.\begin{array}{rl}
x & =a \cos \psi, \\
\frac{d a}{d t} & =-\frac{\lambda a}{2}, \\
\frac{d \psi}{d t} & =\omega\left\{1-\frac{1}{8}\left(\frac{\lambda}{\omega}\right)^{2}\right\} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Как видно из первого уравнения (3.12), для закона затухания амплитуды получается полное совпадение с точной формулой
\[
a=a_{0} e^{-\frac{\lambda t}{2}},
\]

а для частоты колебаний имеем приближенную формулу.
\[
\omega_{2}=\omega\left\{1-\frac{1}{8}\left(\frac{\lambda}{\omega}\right)^{2}\right\},
\]

которая соответствует двум первым слагаемым в разложении точного.

выражения для частоты
\[
\omega \sqrt{1-\frac{1}{4}\left(\frac{\lambda}{\omega}\right)^{2}}=\omega\left\{1-\frac{1}{8}\left(\frac{\lambda}{\omega}\right)^{2}-\frac{1}{128}\left(\frac{\lambda}{\omega}\right)^{4}+\ldots\right\}
\]

по стешеням $\frac{\lambda}{\omega}$, что, впрочем, совершенно естественно, так как мы не учитываем членов выше второго порядка малости.

Чтобы составить себе представление о степени точности полученной приближенной формулы (3.13), возьмем, например, $\frac{\lambda}{\omega}=\frac{\ln 2}{\pi}$. Заметим, что это значение коэффициента $\lambda$ соответствует весьма значительному затуханию. Так за один период амплитуда колебаний уменьшается в два раза. По абсолютной величине «возмущающий член» $\lambda \frac{d x}{d t}$ достигает еще примерно $1 / 4$ «главных членов»: $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ или $\omega^{2} x$. Несмотря на это, относительная погрешность формулы (3.13) оказывается меныше чем $0,01 \%$.

Рассмотрим еще один простой пример, приводящий к уравнению типа (3.1): гармонические или вообще малые колебания маятника в среде, сопротивление которой пропорционально второй степени скорости и мало.
В этом случае уравнение колебаний будет:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\alpha\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\omega^{2} x=0, \text { если } \frac{d x}{d t}>0, \\
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-\alpha\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\omega^{2} x=0, \text { если } \frac{d x}{d t}<0,
\end{array}\right\}
\]

или
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\alpha \frac{d x}{d t}\left|\frac{d x}{d t}\right|+\omega^{2} x=0,
\]

где, как всегда, $\left|\frac{d x}{d t}\right|$ обозначает абсолютную величину $\frac{d x}{d t}$. (Мы прибегаем к такой записи, чтобы отметить, что член $\alpha\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}$ представляет собой сопротивление движению.)
Считая затухание достаточно слабым, положим
\[
\alpha=\text { sv. }
\]

Тогда уравнение (3.15) будет уравнением вида (3.1), причем
\[
F\left(\frac{d x}{d t}\right)=-
u \frac{d x}{d t}\left|\frac{d x}{d t}\right| .
\]

ННадим выражение $n$-го члена в разложении Фурье для $F(a \cos \psi)$ :
\[
\begin{aligned}
F_{n}(a)=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} F(a \cos \psi) \cos n \psi d \psi & =-\frac{2 v a^{2}}{\pi} \int_{0}^{\pi}|\cos \psi| \cos \psi \cos n \psi d \psi= \\
& =-\frac{2 v a^{2}}{\pi}\left\{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} \psi \cos n \psi d \psi-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos ^{2} \psi \cos n \psi d \psi\right\},
\end{aligned}
\]

откуда
\[
\begin{array}{c}
F_{0}(a)=F_{2}(a)=F_{4}(a)=\ldots=F_{2 q}(a)=\ldots=0, \\
F_{1}(a)=-\frac{8 v a^{2}}{3 \pi}, F_{2 q+1}(a)=\frac{8 v a^{2}(-1)^{q+1}}{\pi(2 q+1)\left[(2 q+1)^{2}-4\right]} \\
(q=0,1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Таким образом, согласно (3.8), (3.9) п (3.10) второе приближение можем написать в виде
\[
\begin{array}{l}
x=a \cos \psi-\frac{8 \alpha a^{2}}{\pi} \sum_{q=1}^{\infty} \frac{\sin (2 q+1) \psi}{(2 q+1)\left[(2 q+1)^{2}-1\right]\left[(2 q+1)^{2}-4\right]}= \\
=a \cos \psi-\frac{\alpha a^{2}}{15 \pi}\left\{\sin 3 \psi+\frac{1}{21} \sin 5 \psi+\ldots\right\},
\end{array}
\]

где $a$ и $ф$ определяются уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=-\frac{4 \alpha \omega}{3 \pi} a^{2}, \\
\frac{d \psi}{d t}=\omega\left\{1-\frac{4 \alpha^{2} a^{2}}{\pi^{2}} C\right\} ;
\end{array}\right\}
\]

здесь для сокращения обозначено:
\[
\begin{array}{l}
C=8 \sum_{q=1}^{\infty} \frac{1}{\left[(2 q+1)^{2}-1\right]\left[(2 q+1)^{2}-4\right]^{2}}= \\
=\frac{1}{25}+\frac{1}{1323}+\frac{1}{12150}+\ldots=0,0407 \ldots
\end{array}
\]

Интегрируя первое уравнение (3.17), имеем:
\[
\frac{1}{a}-\frac{1}{a_{0}}=\frac{4 \alpha \omega}{3 \pi} t
\]

откуда находим закон затухания амплитуды основной гармоники колебания:
\[
a=\frac{a_{0}}{1+\frac{4 \alpha \omega a_{0}}{3 \pi} t} .
\]

Таким образом, амплитуда колебаний при квадратичном законе затухания затухает приблизительно обратно пропорционально увеличению линейной функции времени.

Подставив выражение (3.20) во второе из уравнений (3.17) и интегрируя, получим закон вращения фазового угла:
\[
\psi=\omega t-\frac{3 C \alpha a_{0}}{\pi}\left\{1-\frac{1}{1+\frac{4 \alpha \omega a_{0}}{3 \pi} t}\right\}+\dot{\psi}_{0} .
\]

Итак, имеем явные выражения для представления колебательного процесса во втором приближении.

Заметим, что поправочные члены второго приближения весьма малы даже при значительном затухании. Так, если взять $\alpha a_{0}=\frac{3}{8}$, т. е. рассматривать случай, в котором амплитуда $a$ через один цикл после начала колебаний уменьшается в два раза, то сумма амплитуд всех обертонов колебания будет составлять менее $1 \%$ от амплитуды главной гармоники, а поправка второго приближения для частоты колебаний будет менее $0,25 \%$.
Сопоставим теперь полученное приближенное решение с точным.
Уравнение (3.15) может быть проинтегрировано до конда. Действительно, полагая при $t=0, x=x_{0}>0, \frac{d x}{d t}=0$, находим:
\[
\int_{x}^{x_{0}} \frac{d x}{\sqrt{(1+2 \alpha x)-\left(1+2 \alpha x_{0}\right) e^{-2 \alpha\left(x-x_{0}\right)}}}=\frac{\omega}{\sqrt{2} \alpha} t .
\]

Ввиду того, что правая часть является трансцендентной квадратурой, искомую функцию $x$ нельзя представить с помощыо элементарных функций. Однако нетрудно установить уравнение для двух последовательных амплитуд, затухающих из-за наличия трения, пропорционального квадрату скорости. Следуя F. Prásil’ю
\[
\left(2 \alpha x_{\mathrm{I}}+1\right)-\ln \left(2 \alpha x_{\mathrm{I}}+1\right)=\left(2 \alpha x_{\mathrm{II}}+1\right)-\ln \left(2 \alpha x_{\mathrm{II}}+1\right),
\]

или в напих обозначениях
\[
\left(2 \alpha a_{0}+1\right)-\ln \left(2 \alpha a_{0}+1\right)=\left(2 \alpha a_{1}+1\right)-\ln \left(2 \alpha a_{1}+1\right),
\]

где $a_{0}$ – начальное значение амплитуды, $a_{1}$-значение амплитуды по истечении одного периода колебания.

Для того чтобы сравнить результаты, полученные по точной формулс (3.24) и приближенной (3.19), преобразуем формулу (3.19). Очевидно, ее можно представить в следующем виде:
\[
\frac{1}{2 a a}-\frac{1}{2 \alpha a_{0}}=\frac{2 \omega}{3 \pi} t .
\]

Подставляя в правую часть значение периода в первом приближении, получим следующее соотношение, связывающее между собой две последовательные амплитуды **):
\[
\frac{1}{2 \alpha a_{1}}-\frac{1}{2 \alpha a_{0}}=\frac{4}{3}
\]

Приводимая ниже табд. 4 показывает хорошее совпадение последовательных амплитуд, рассчитанных по точной формуле (3.24) и приближенной. Для $2 \alpha a_{0}=1$, т. е. в случае, когда амшлитуда через полуцикл уменьшится до 0,6 своего значения, результаты по формуле (3.26) (которая характеризует только первое приближение) отличаются от точных результатов по формуле (3.24) только на $1 \%$; для случая же $2 \alpha a_{0}=0,1$ на $0,4 \%$.

Рассмотрим еще один пример, приводящий к уравнению типа (3.1): колебания төла, находящег оя под воздействием кулоновского трения.
В этом случае приходим к расомотрению уравнения .
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+k x=-A \operatorname{sign}\left(\frac{d x}{d t}\right),
\]
*) F. Prásil, Schweiz. Bauz. 52, 334 (1908).
**) Заметим, что такую же приближенную формулу эмпирически нашел A. de Caligny, Recherches sur les oscillations de l’eau, 1 Versailles, p. 20.

Та блиц а 4

где
\[
\operatorname{sign}\left(\frac{d x}{d t}\right)=\left\{\begin{array}{r}
1, \text { если } \frac{d x}{d t}>0, \\
-1, \text { если } \frac{d x}{d t}<0 .
\end{array}\right.
\]

Сопоставляя уравнение (3.27) с (3.1), имеем:
\[
\frac{\varepsilon}{m} F\left(\frac{d x}{d t}\right)=-\frac{A}{m} \operatorname{sign}\left(\frac{d x}{d t}\right) .
\]

Следовательно, при $a>0$ получаем:
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon \int_{0}^{2 \pi} F(a \omega \cos \psi) \cos \psi d \phi= \\
\quad=-A\left\{\int_{0}^{2 \pi} \cos \psi d \phi-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos \phi d \phi+\int_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos \psi d \psi\right\}=-4 A \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \psi d \psi=-4 A .
\end{array}
\]

Далее, при $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$
\[
\varepsilon \int_{0}^{2 \pi} F(a \omega \cos \psi) \cos \psi d \psi=0 .
\]

Поэтому согласно (3.5) в первом приближении для мгновенной амплитуды можем написать уравнения:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\frac{d a}{d t}=-\frac{2 A}{\pi m \omega}, & \text { если } a>0 ; \\
\frac{d a}{d t}=0, & \text { если } a=0 .
\end{array}\right\}
\]

Интегрируя ура внение (3.30) при начальных значениях $t=0, a=a_{0}$, находим:
\[
\left.\begin{array}{ll}
a=a_{0}-\frac{2 A}{\pi m \omega} t & \text { при } t \leqslant \frac{\pi m \omega}{2 A} a_{0} \\
a=0 & \text { при } t>\frac{\pi m \omega}{2 A} a_{0^{+}}
\end{array}\right\}
\]

Согласно (3.31) очевидно, что при кулоновском трении колебания совершенно затухнут, начиная с момента времени $t=\vec{t}$, где
\[
\vec{t}=\frac{\pi m \omega}{2 \boldsymbol{A}} a_{0} .
\]