2.6. Разностные уравнения

Системы, у которых входная и выходная последовательности  и  связаны линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, образуют подмножество класса линейных систем с постоянными параметрами. Описание ЛПП-систем разностными уравнениями очень важно, так как оно часто позволяет найти эффективные способы построения таких систем. Более того, по разностному уравнению можно определить многие характеристики рассматриваемой системы, включая собственные частоты и их кратность, порядок системы, частоты, соответствующие нулевому коэффициенту передачи, и т. д.

В самом общем случае линейное разностное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами, относящееся к физически реализуемой системе, имеет вид

                     (2.18)

где коэффициенты  и  описывают конкретную систему, причем . Каким именно образом порядок системы  характеризует математические свойства разностного уравнения, будет показано ниже. Уравнение (2.18) записано в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий [например, ,  для ] и входную последовательность , по формуле (2.18) можно непосредственно вычислить выходную последовательность  для . Например, разностное уравнение

                                        (2.19)

с начальным условием  и  можно решить подстановкой, что дает

Хотя решение разностных уравнений прямой подстановкой и целесообразно в некоторых случаях, значительно полезнее получить решение уравнения в явном виде. Методы нахождения таких решений подробно освещены в литературе по разностным Уравнениям, и здесь будет дан лишь краткий обзор. Основная идея сводится к получению двух решений разностного уравнения: однородного и частного. Однородное решение получается путем подстановки нулей вместо всех членов, содержащих элементы входной последовательности , и определения отклика при нулевой входной последовательности. Именно этот класс решений описывает основные свойства заданной системы. Частное решение получают, подбирая вид последовательности  на выходе при заданной входной последовательности . Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия. В качестве примера решим этим методом уравнение (2.19). Однородное уравнение имеет вид

              (2.20)

Известно, что характеристическими решениями однородных уравнений, соответствующих линейным разностным уравнениям с постоянными коэффициентами, являются решения вида .Поэтому, подставив в уравнение (2.20)  вместо , получим

                                 (2.21)

Частное решение, соответствующее входной последовательности , попробуем найти в виде

                     (2.22)

Из уравнения (2.19) получаем

    (2.23)

Поскольку коэффициенты при равных степенях  должны совпадать, B,СиDдолжны быть равны

                                (2.24)

Таким образом, общее решение имеет вид

          (2.25)

Коэффициент определяется из начального условия , откуда  и

             (2.26)

Выборочная проверка решения (2.26) при  показывает полное его совпадение с приведенным выше прямым решением. Очевидное преимущество решения (2.26) состоит в том, что оно позволяет весьма просто определить  для любого конкретного .

Фиг. 2.7. Схема реализации простого разностного уравнения первого порядка.

Важное значение разностных уравнений состоит в том, что они непосредственно определяют способ построения цифровой системы. Так, разностное уравнение первого порядка самого общего вида

             (2.27)

можно реализовать с помощью схемы, изображенной на фиг. 2.7. Блок «задержка» осуществляет задержку на один отсчет. Рассмотренная форма построения системы, в которой для входной и выходной последовательностей используются раздельные элементы задержки, называется прямой формой 1. Ниже мы обсудим различные методы построения этой и других цифровых систем.

Разностное уравнение второго порядка самого общего вида

  (2.28)

Фиг. 2.8. Схема реализации разностного уравнения второго порядка.

может быть реализовано с помощью схемы, приведенной на фиг. 2.8. В этой схеме для входной и выходной последовательностей также используются раздельные элементы задержки.

Из последующего изложения материалов этой главы станет ясно, что системы первого и второго порядка могут быть использованы при реализации систем более высокого порядка, так как последние могут быть представлены в виде последовательно или параллельно соединенных систем первого и второго порядка.