4. Целые числа. Рациональные числа.

Если сложение и умножение натуральных чисел всегда приводят вновь к натуральному числу, то уже вычитание не всегда выполнимо, если оставаться в области арифметики натуральных чисел. Для возможности образования разности любых двух натуральных чисел возникает необходимость расширить совокупность чисел, вводя нуль и целые отрицательные числа Натуральные числа называются также целыми положительными числами. Если хотят подчеркнуть, что данное число положительное, то перед ним ставится знак «+», но, как правило, пишут не а просто 4 и т. д., перед отрицательными же числами знак «-» ставится обязательно.

Число нуль не относят ни к отрицательным, ни к положительным числам. Числа называют противоположными.

Вся совокупность целых чисел

состоит из целых положительных (натуральных) чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Теперь уже, во множестве всех целых чисел, действие вычитания (так же как и сложения) всегда выполнимо. При этом, действие вычитания может быть сведено к сложению с числом, противоположным вычитаемому:

Мы предполагаем известными правила действий с целыми (положительными и отрицательными) числами.

Для умножения целых чисел вводится известное правило знаков: если а, b положительные, то

В частности, .

Таким образом, произведение двух чисел одного знака есть положительное число, двух чисел противоположного знака — отрицательное число. Число, противоположное данному, равно произведению данного числа на минус единицу.

Произведение любого числа на нуль равно нулю.

Множество чисел, обладающее тем свойством, что сумма, разность и произведение двух любых чисел этого множества снова ему принадлежат, называется числовым кольцом. В числовом кольце неограниченно выполнимы целые рациональные действия, т. е. рациональные действия, кроме, быть может, деления. Натуральные числа не образовали числового кольца, так как действие вычитания не всегда приводило вновь к натуральному числу. Целые числа образуют числовое кольцо, кольцо целых чисел.

Множество чисел, в котором выполнимы все рациональные действия, включая и деление (кроме деления на нуль, которое невозможно), называется числовым полем. Целые числа не образуют поля, так как в области целых чисел деление не всегда выполнимо.

В связи с этим множество целых чисел вновь расширяют до множества рациональных чисел. Рациональным числом называется число, представимое в виде , где числитель а — целое, а знаменатель b — натуральное число. Если а делится на b нацело, то рациональное число — целое; в противном случае рациональное число называется дробным. Оно считается положительным, если а — положительное, и отрицательным, если а — отрицательное.

Дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на н.о.д. чисел а и b. В дальнейшем, как правило, при записи рационального числа в виде дробь считается несократимой, т. е. а и b полагаются взаимно простыми числами.

В области рациональных чисел неограниченно выполнимы все рациональные действия (кроме деления на нуль): сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел также являются рациональными числами. Поэтому рациональные числа образуют числовое поле — поле рациональных чисел.

Практически правила действий над рациональными числами хорошо известны из арифметики. Для сложения и умножения справедливы те же основные законы, что и для натуральных чисел

Каждое рациональное число если оно само не является целым, заключено между двумя соседними целыми числами: Так, например, лежит между 3 и 4, 13/54 — между - между -3 и -2.

Введем следующее определение: целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данного.

Целая часть числа обозначается так: Например:

Разность между данным числом и его целой частью называется дробной частью числа. Дробная часть числа равна и иногда обозначается через . В наших примерах дробная часть чисел равна соответственно 1/2, 13/54, 1/3, 0. Дробная часть целого числа равна нулю, так как целое число совпадает со своей целой частью. Для любого числа его дробная часть неотрицательна и строго меньше единицы:

Всякое рациональное число однозначно разлагается на сумму целой и дробной частей, например:

С разложением рационального числа на целую и дробную части связано понятие деления (натуральных чисел) с остатком. Число однозначно представляется в виде суммы своей целой части и дробной части h (не исключено, что целая или дробная часть равна нулю):

Обозначим (ясно, что ). Тогда

Здесь q называется частным, остатком при делении а на b. При этом остаток удовлетворяет неравенствам Равенство (4.1) можно использовать для такого более формального определения понятий частного и остатка. Пусть а, b - натуральные числа. Два целых неотрицательных числа называются соответственно частным и остатком от деления а на b, если выполняется равенство (4.1) и неравенство

На процессе деления с остатком основывается способ отыскания н.о.д. двух чисел; исторически он связан с теорией измерения отрезков у Евклида (см. п. 163) и носит название алгоритма Евклида.

Пусть даны два натуральных числа а и Произведем деление а на если а разделится на b нацело, то чисел а, b. В противном случае получится некоторый остаток

Теперь будем делить b на если b разделится на нацело, то окажется общим делителем чисел а и действительно, в этом случае оба слагаемых правой части равенства (4.2) делятся на нацело, значит, делится на нацело и его левая часть а. То, что явится именно наибольшим общим делителем а и b, также видно из (4.2): если d - какой-нибудь общий делитель чисел а, b, то он будет также делителем числа

Если b делится на с остатком, то придем к равенству вида

где уже . После этого разделим на . Снова представляются две возможности: делится на нацело, или , делится на с остатком. Если осуществится первая из этих возможностей, то будет н.о.д. чисел а и b (это легко доказать, пользуясь равенствами (4.2), (4.3); рекомендуем читателю провести это доказательство). Если же осуществляется вторая возможность, то получим результат деления

и вновь будем делить на . Процесс обязательно закончится на некотором шаге: числа последовательно уменьшаются, и либо одно из них, не равное единице, окажется делителем предыдущего (оно и будет чисел а, b), либо цепочка чисел закончится единицей. В этом случае чисел а, b равен единице, числа а, b взаимно простые.

Пример. Найти н.о.д. чисел 162 и 42, пользуясь алгоритмом Евклида.

Решение. Делим 162 на 42:

Остаток делим на :

Второй остаток . Делим на

Деление выполняется без остатка; поэтому чисел 162 и 42.