§ 6. Разложение многочлена на множители

Функция

где — целое число, как известно, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от число называется степенью многочлена. Здесь коэффициенты действительные или комплексные числа; независимая переменная также может принимать как действительные, так и комплексные значения. Корнем многочлена называется такое значение переменной при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема 1 (теорема Безу). При делении многочлена на разность а получается остаток, равный

Доказательство. При делении на частным будет многочлен степень которого на единицу ниже степени f (x), остатком будет постоянное число R. Таким образом, можем написать

Это равенство справедливо при всех значениях отличных от а (деление на при не имеет смысла).

Заставим теперь стремиться к а. Тогда предел левой части равенства (1) равен f (а), а предел правой части равен R. Так как функции равны между собой для всех , то равны и их пределы при .

Следствие. Если а есть корень многочлена, т. е. , то делится без остатка на и, следовательно, представляется в виде произведения

где многочлен.

Пример 1. Многочлен при обращается в нуль, т. е. поэтому данный многочлен делится без остатка на

Перейдем теперь к рассмотрению уравнений с одним неизвестным х.

Всякое число (действительное или комплексное), котйрое, будучи подставлено в уравнение вместо обращает уравнение в тождество, называется корнем уравнения.

Пример 2. Числа являются корнями уравнения .

Если уравнение имеет вид , где многочлен степени , то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени . Из определения следует, что корни алгебраического уравнения те же, что и корни многочлена

Естественно, возникает вопрос: всякое ли уравнение имеет корни?

В случае неалгебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалгебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня — ни действительного, ни комплексного, например уравнение

Однако в случае алгебраического уравнения ответ на поставленный вопрос положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры:

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякая целая рациональная функция имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Эта теорема доказывается в высшей алгебре. Здесь мы ее примем без доказательства.

Пользуясь основной теоремой алгебры, легко доказать следующую теорему.

Теорема 3. Всякий многочлен степени разлагается на линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при

Доказательство. Пусть есть многочлен степени :

Этот многочлен в силу основной теоремы имеет по крайней мере один корень; обозначим его через на основании следствия из теоремы Безу мы можем написать

где многочлен степени; также имеет корень. Обозначим его через Тогда

где многочлен степени. Аналогично

Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения

где многочлен нулевой степени, т. е. некоторое фиксированное число. Это число, очевидно, равно коэффициенту при т.е.

На основании полученных равенств можем написать

Из разложения (2) следует, что числа суть корни многочлена так как при подстановке правая часть, а следовательно, и левая обращается в нуль.

Пример 3. Многочлен обращается в нуль при Следовательно,

Никакое значение , отличное от не может быть корнем многочлена так как ни один из множителей в правой части равенства (2) не обращается в нуль при Отсюда вытекает следующее предложение.

Многочлен степени не может иметь более различных корней.

Но в таком случае имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Если значения двух многочленов степени совпадают при различных значениях аргумента то эти многочлены тождественны.

Доказательство. Обозначим через разность многочленов

По условию есть многочлен степени не выше , обращающийся в нуль в точках Следовательно, его можно представить в виде

Но по условию обращается в нуль также в точке Тогда и при этом ни один из линейных множителей не равен нулю. Поэтому , а тогда из равенства (2) следует, что многочлен тождественно равен нулю. Следовательно, или

Теорема 5. Если многочлен

тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Доказательство. Запишем разложение этого многочлена на множители по формуле (2):

Если этот многочлен тождественно равен нулю, то он равен нулю и при некотором значении отличном от Но тогда ни одна из скобок не равна нулю и, следовательно,

Аналогичным образом доказывается, что и т. д. Теорема 6. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Это следует из того, что разность данных многочленов есть многочлен, тождественно равный нулю. Следовательно, на основании предыдущей теоремы все его коэффициенты — нули.

Пример 4. Если многочлен тождественно равен многочлену то