5. Метод неопределенных коэффициентов

Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие является метод неопределенных коэффициентов.

Поясним применение этого метода на примерах.

Пример 1. Разложить на простейшие дроби

Решение. Применим формулу (14):

где — пока неизвестные числа.

Приводим правую часть тождества (15) к общему знаменателю:

В этом тождестве знаменатели дробей одинаковы. Следовательно, числители должны быть тождественно равны:

Раскрыв скобки и расположив многочлен в правой части последнего равенства по убывающим степеням получим

Два многочлена тогда и только тогда тождественно равны друг другу, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Приравнивая друг другу коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях х, получим систему уравнений:

Решив эту систему, получим

Подставив в формулу (15) вместо , найденные значения, получим окончательно

Пример 2, Разложить на простейшие дроби

Решение. Так как знаменатель имеет только действительные корни, то разложение дроби согласно формуле (14) имеет вид

Приведем правую часть соотношения (17) к общему знаменателю:

Приравнивая числители, получаем

Расположим многочлен в правой части по убывающим степеням

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях равенства, получим систему уравнений

Решив эту систему, найдем .

Подставив найденные значения коэффициентов в соотношение (17), получим

Пример 3. Разложить на простейшие дроби

Решение. Применяя формулу (14), имеем тождество

Приводя дроби в правой части к общему знаменателю и приравнивая после этого числители правой и левой частей, получим тождество

откуда

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим систему уравнений

из которой находим . Следовательно,

Часто нахождение коэффициентов разложения можно значительно упростить. В самом деле, рассмотрим только что приведенный пример. Полученное там выражение (19)

есть тождество, справедливое при любом значении

Выбираем такие значения при которых выражение (19) примет наиболее простой вид. Здесь проще всего за принять один из корней знаменателя.

Полагая имеем откуда .

Аналогично, полагая , найдем . При

Указанный метод особенно удобен в случае, когда знаменатель правильной рациональной дроби имеет только действительные простые корни.

На практике часто комбинируются оба рассмотренных выше приема.

Пример Разложить на простейшие дроби

Решение. Применяя формулу (14), получим

Приводя дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравнивая после этого числители правой и левой частей, получим

или

Полагая в формуле имеем , откуда Приравнивая коэффициенты при и замечая, что получаем

откуда

Следовательно,