1.2. Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса

Совокупность всех конечномерных законов распределения случайного процесса является полной его характеристикой. Но при решении многих прикладных задач по разным причинам ограничиваются использованием одно- и двумерных законов распределений случайных процессов и связанных с ними моментов первого и второго порядков, существование которых предполагается. Отметим, что моментами порядка случайного процесса называют соответствующие моменты его сечений.

Определение 1.3. Математическим ожиданием векторного случайного процесса называют неслучайную вектор-функцию значение которой при каждом фиксированном равно математическому ожиданию случайного вектора являющегося сечением исходного случайного процесса, соответствующего рассматриваемому значению

Если — одномерная функция плотности вероятностей -мерного случайного процесса т.е. плотность распределения (вероятностей) его сечения (возможно обобщенная), соответствующего рассматриваемому значению то, согласно определению математического ожидания случайного вектора, имеем

где

и для любого фиксированного , имеем

где — плотность распределения (вероятностей) компоненты сечения исходного случайного процесса в момент времени Таким образом

и окончательно

Математическое ожидание случайного процесса можно интерпретировать как его усредненную траекторию.

Если , где X — некоторое множество и то при дальнейших рассуждениях будем говорить, что определена матричная функция типа с областью определения X и областью значений

Определение 1.4. Ковариационной матрицей (матрицей ковариаций) -мерного случайного процесса называют неслучайную матричную функцию типа , которая при каждом фиксированном представляет собой ковариационную матрицу случайного вектора являющегося сечением исходного случайного процесса, соответствующего рассматриваемому значению

Если — одномерная функция плотности вероятностей -мерного случайного процесса , то

где

и поэтому ковариационная матрица -мерного случайного процесса является симметрической. Ее диагональные элементы имеют вид

Таким образом, при каждом фиксированном значение равно дисперсии скалярной случайной величины, являющейся компонентой сечения исходного случайного процесса, соответствующего рассматриваемому значению t.

При получаем, что

т.е. при каждом фиксированном значение , равно ковариации двух скалярных случайных величин, являющихся компонентами сечения исходного случайного процесса, соответствующего рассматриваемому значению

При решении прикладных задач используют понятие дисперсии -мерного случайного процесса . По определению полагают, что

т.е. она равна следу ковариационной матрицы этого векторного случайного процесса. При этом очевидно, что

Определение 1.5. Ковариационной функцией -мерного случайного процесса , называют матричную функцию типа двух скалярных переменных значение которой при фиксированных равно ковариации двух случайных векторов определяемой следующим образом:

где — двумерная функция плотности вероятностей (возможно обобщенная) исходного случайного процесса.

Согласно определению 1.5, на пересечении i-й строки и j-го столбца ковариационной функции -мерного случай ного процесса находится скалярная функция

двух скалярных переменных Ее значение при фиксированных равно ковариации двух скалярных случайных величин обладающих математическими ожиданиями и являющихся компонентами -мерных случайных векторов и соответственно, т.е.

Пример 1.3. Пусть — скалярные случайные величины с числовыми характеристиками: Определим математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса

где — постоянная. Имеем

Пусть далее

Тогда

В этом случае

В частности, если случайные величины являются некоррелированными то

Теорема 1.1. Пусть — -мерный случайный процесс, для которого существует ковариационная функция Тогда

3) евклидова норма ковариационной функции, т.е. корень квадратный из суммы квадратов ее элементов, удовлетворяет неравенству Коши — Буняковского

4) если — неслучайная -мерная вектор-функция скалярного аргумента — матричная неслучайная функция типа , определенная на Т, и

то в этом случае

5) если ковариационная функция непрерывна в точках диагонали квадрата , то она непрерывна в любой другой точке этого квадрата;

6) для любого и для любого множества точек отсчета квадратичная форма

переменных , является неотрицательно определенной.

Первое утверждение следует непосредственно из определения ковариационной функции и свойств операции транспонирования матриц, так как

Второе утверждение следует непосредственно из определения 1.4 ковариационной матрицы и определения 1.5 ковариационной функции случайного процесса, так как

Третье утверждение следует из неравенства Шварца для математического ожидания

в котором

если считать, что

Для доказательства неравенства Шварца предположим, что — неслучайный параметр. Тогда для любого А

и поэтому дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен.

Это дает неравенство

В случае скалярных случайных величин это неравенство превращается для них в неравенство Шварца

Используя его в векторном случае, получаем

что и завершает доказательство неравенства Шварца.

Чтобы доказать четвертое утверждение, достаточно воспользоваться очевидными равенствами:

и определением 1.5 ковариационной функции. Действительно,

Для доказательства пятого утверждения положим

и рассмотрим

где использованы неравенство треугольника [IV] и неравенство Шварца. А так как

и по условию

Для любого , то утверждение 5 доказано полностью.

Для доказательства шестого утверждения теоремы 1.1 рассмотрим выражение

А так как в левой части записано математическое ожидание неотрицательной случайной величины, то оно неотрицательно, и утверждение 6 доказано.

Замечание 1.1. По аналогии с коэффициентом корреляции двух скалярных случайных величин в теории случайных процессов используют понятие корреляционной функции

Замечание 1.2. Если случайный процесс принимает значение в измеримом пространстве , то его называют комплексным случайным процессом. Для него полагают, что

где символ означает операцию комплексного сопряжения. Таким образом, если , — комплексный случайный процесс, то

где — скалярные случайные процессы.

Пример 1.4. Пусть — комплексная случайная величина с нулевым математическим ожиданием, — неслучайный скалярный параметр и комплексный случайный процесс имеет вид

Тогда

Определение 1.6. Взаимной ковариационной функцией двух -мерных случайных процессов определенных на одном и том же множестве и на одном и том же вероятностном пространстве принимающих значения в одном и том же измеримом пространстве называют неслучайную матричную функцию типа двух скалярных аргументов значение которой при фиксированных равно ковариации случайных векторов определяемой следующим образом:

где — функция плотности вероятностей

Мерного случайного вектора

Согласно определению 1.6, на пересечении строки и столбца взаимной ковариационной функции находится скалярная функция

Взаимная ковариационная функция обладает следующими свойствами:

в) если — неслучайные -мерные вектор-функции, — неслучайные матричные функции типа , определенные на , и при

где и — -мерные случайные процессы, определенные на одном и том же множестве одном и том же вероятностном пространстве и принимающие значения в одном и том же измеримом пространстве то