17.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции

Строя спектральное разложение стационарной случайной функции  на конечном участке времени , мы получили спектр дисперсий случайной функции в виде ряда отдельных дискретных линий, разделенных равными промежутками (так называемый «прерывистый» или «линейчатый» спектр).

Очевидно, чем больший участок времени мы будем рассматривать, тем полнее будут наши сведения о случайной функции. Естественно поэтому в спектральном разложении попытаться перейти к пределу при  и посмотреть, во что при этом обратится спектр случайной функции. При  ; поэтому расстояния между частотами , на которых строится спектр, будут при  неограниченно уменьшаться. При этом дискретный спектр будет приближаться к непрерывному, в котором каждому сколь угодно малому интервалу частот  будет соответствовать элементарная дисперсия .

Попробуем изобразить непрерывный спектр графически. Для этого мы должны несколько перестроить график дискретного спектра при конечном . А именно, будем откладывать по оси ординат уже не самую дисперсию  (которая безгранично уменьшается при ), а среднею плотность дисперсии, т. е. дисперсию, приходящуюся на единицу длины данного интервала частот. Обозначим расстояние между соседними частотами :

и на каждом отрезке , как на основании, построим прямоугольник с площадью  (рис. 17.3.1). Получим ступенчатую диаграмму, напоминающую по принципу построения гистограмму статистического распределения.

Рис. 17.3.1.

Высота диаграммы на участке , прилежащем к точке , равна

            (17.3.1)

и представляет собой среднюю плотность дисперсии на этом участке.

Суммарная площадь всей диаграммы, очевидно, равна дисперсии случайной функции.

Будем неограниченно увеличивать интервал . При этом , и ступенчатая кривая будет неограниченно приближаться к плавной кривой  (рис. 17.3.2). Эта кривая изображает плотность распределения дисперсии по частотам непрерывного спектра, а сама функция  называется спектральной плотностью дисперсии, или, короче, спектральной плотностью стационарной случайной функции .

Рис. 17.3.2.

Очевидно, площадь, ограниченная кривой , по-прежнему должна равняться дисперсии  случайной функции :

.                  (17.3.2)

Формула (17.3.2) есть не что иное, как разложение дисперсии  на сумму элементарных слагаемых , каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся на элементарный участок частот , прилежащий к точке  (рис. 17.3.2).

Таким образом, мы ввели в рассмотрение новую дополнительную характеристику стационарного случайного процесса – спектральную плотность, описывающую частотный состав стационарного процесса. Однако эта характеристика не является самостоятельной; она полностью определяется корреляционной функцией данного процесса. Подобно тому, как ординаты дискретного спектра  выражаются формулами (17.2.4) через корреляционную функцию , спектральная плотность  также может быть выражена через корреляционную функцию.

Выведем это выражение. Для этого перейдем в каноническом разложении корреляционной функции к пределу при  и посмотрим, во что оно обратится. Будем исходить из разложения (17.2.1) корреляционной функции в ряд Фурье на конечном интервале :

,                                 (17.3.3)

где дисперсия, соответствующая частоте , выражается формулой

.                                 (17.3.4)

Перед тем как переходить к пределу при , перейдем в формуле (17.3.3) от дисперсии  к средней плотности дисперсии . Так как эта плотность вычисляется еще при конечном значении  и зависит от , обозначим ее:

.                                (17.3.5)

Разделим выражение (17.3.4) на ; получим:

.                  (17.3.6)

Из (17.3.5) следует, что

.                (17.3.7)

Подставим выражение (17.3.7) в формулу (17.3.3); получим:

.                  (17.3.8)

Посмотрим, во что превратится выражение (17.3.8) при . Очевидно, при этом ; дискретный аргумент  переходит в непрерывно меняющийся аргумент ; сумма переходит в интеграл по переменной ; средняя плотность дисперсии  стремится к плотности дисперсии , и выражение (17.3.8) в пределе принимает вид:

,               (17.3.9)

где  - спектральная плотность стационарной случайной функции.

Переходя к пределу при  в формуле (17.3.6), получим выражение спектральной плотности через корреляционную функцию:

.                        (17.3.10)

Выражение типа (17.3.9) известно в математике под названием интеграла Фурье. Интеграл Фурье есть обобщение разложения в ряд Фурье для случая непериодической функции, рассматриваемой на бесконечном интервале, и представляет собой разложение функции на сумму элементарных гармонических колебаний с непрерывным спектром.

Подобно тому, как ряд Фурье выражает разлагаемую функцию через коэффициенты ряда, которые в свою очередь выражаются через разлагаемую функцию, формулы (17.3.9) и (17.3.10) выражают функции  и  взаимно: одна через другую. Формула (17.3.9) выражает корреляционную функцию через спектральную плотность; формула (17.3.10), наоборот, выражает спектральную плотность через корреляционную функцию. Формулы типа (17.3.9) и (17.3.10), связывающие взаимно две функции, называются преобразованиями Фурье.

Таким образом, корреляционная функция и спектральная плотность выражаются одна через другую с помощью преобразований Фурье.

Заметим, что из общей формулы (17.3.9) при  получается ранее полученное разложение дисперсии по частотам (17.3.2).

На практике вместо спектральной плотности  часто пользуются нормированной спектральной плотностью:

,                     (17.3.11)

где  - дисперсия случайной функции.

Нетрудно убедиться, что нормированная корреляционная функция  и нормированная спектральная плотность  связаны теми же преобразованиями Фурье:

                                  (17.3.12)

Полагая в первом из равенств (17.3.12)  и учитывая, что , имеем:

,                      (17.3.13)

т. е. полная площадь, ограниченная графиком нормированной спектральной плотности, равна единице.

Пример 1. Нормированная корреляционная функция  случайной функции  убывает по линейному закону от единицы до нуля при ; при   (рис. 17.3.3).

Рис. 17.3.3.

Определить нормированную спектральную плотность случайной функции .

Решение. Нормированная корреляционная функция выражается формулами:

Из формул (17.3.12) имеем:

.

График нормированной спектральной плотности представлен на рис. 17.3.4.

Рис. 17.3.4.

Первый - абсолютный - максимум спектральной плотности достигается при ; раскрытием неопределенности в этой точке убеждаемся, что он равен . Далее при возрастании  спектральная плотность достигает ряда относительных максимумов, высота которых убывает с возрастанием  при  .

Характер изменения спектральной плотности  (быстрое или медленное убывание) зависит от параметра . Полная площадь, ограниченная кривой , постоянна и равна единице. Изменение  равносильно изменению масштаба кривой  по обеим, осям при сохранении ее площади. При увеличении  масштаб по оси ординат увеличивается, по оси абсцисс - уменьшается; преобладание в спектре случайной функции нулевой частоты становится более ярко выраженным. В пределе при  случайная функция вырождается в обычную случайную величину; при этом , а спектр становится дискретным с одной-единственной частотой .

Пример 2. Нормированная спектральная плотность  случайной функции  постоянна на некотором интервале частот  и равна нулю вне этого интервала (рис. 17.3.5).

Рис. 17.3.5.

Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции .

Решение. Значение  при  определяем из условия, что площадь, ограниченная кривой , равна единице:

,    .

Из (17.3.12) имеем:

.

Общий вид функции  изображен на рис. 17.3.6.

Рис. 17.3.6.

Она носит характер убывающих по амплитуде колебаний с рядом узлов, в которых функция обращается в нуль. Конкретный вид графика, очевидно, зависит от значений .

Представляет интерес предельный вид функции  при . Очевидно, при  спектр случайной функции обращается в дискретный с одной-единственной линией, соответствующей частоте ; при этом корреляционная функция обращается в простую косинусоиду:

.

Посмотрим, какой вид в этом случае имеет сама случайная функция . При дискретном спектре с одной-единственной линией спектральное разложение стационарной случайной функции  имеет вид:

,                            (17.3.14)

где  и  - некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и равными дисперсиями:

.

Покажем, что случайная функция типа (17.3.14) может быть представлена как одно гармоническое колебание частоты  со случайной амплитудой и случайной фазой. Обозначая

,   ,

приводим выражение (17.3.14) к виду:

.

В этом выражении  - случайная амплитуда;  - случайная фаза гармонического колебания.

До сих пор мы рассматривали только тот случай, когда распределение дисперсий по частотам является непрерывным, т. е. когда на бесконечно малый участок частот приходится бесконечно малая дисперсия. На практике иногда встречаются случаи, когда случайная функция имеет в своем составе чисто периодическую составляющую частоты  со случайной амплитудой. Тогда в спектральном разложении случайной функции, помимо непрерывного спектра частот, будет фигурировать еще отдельная частота  с конечной дисперсией . В общем случае таких периодических составляющих может быть несколько. Тогда спектральное разложение корреляционной функции будет состоять из двух частей: дискретного и непрерывного спектра:

.             (17.3.15)

Случаи стационарных случайных функций с таким «смешанным» спектром на практике встречаются довольно редко. В этих случаях всегда имеет смысл разделить случайную функцию на два слагаемых - с непрерывным и дискретным спектром - и исследовать эти слагаемые в отдельности.

Относительно часто приходится иметь дело с частным случаем, когда конечная дисперсия в спектральном разложении случайной функции приходится на нулевую частоту (). Это значит, что в состав случайной функции в качестве слагаемого входит обычная случайная величина с дисперсией . В подобных случаях также имеет смысл выделить это случайное слагаемое и оперировать с ним отдельно.