10. Строго монотонные отображения.

Пусть -упорядоченное -множество, упорядоченное -множество. Отображение множества называется строго монотонным, если из следует Иными словами, строго монотонные отображения обратимы и сохраняют порядок. На рисунке 6 изображено строго монотонное отображение множества

Каждое упорядоченное множество имеет единственное строго монотонное отображение на себя, а именно тождественное отображение, оставляющее все элементы неподвижными, при любом другом отображении X на порядок элементов изменяется. Аналогично доказывается, что существует единственное строго монотонное отображение -множества X на -множество а именно отображение, при котором первый элемент в X отображается на первый элемент в У, второй элемент — на второй, на

Найдем теперь число строго монотонных отображений упорядоченного -множества X в упорядоченное -множество Любое -подмножество упорядочено, причем существует единственное строго монотонное отображение X на А. Обратно, каждому строго монотонному отображению

Рис. 6

X в соответствует -подмножество в У, состоящее из образов элементов X при этом отображении. Таким образом, число строго монотонных отображений равно числу -подмножеств в

Итак, число строго монотонных отображений упорядоченного -множества X в упорядоченное -множество равно