19. Применение комбинаторики к вычислению вероятностей.

Приведем несколько примеров вычисления вероятностей с помощью формул для сочетаний, размещений и перестановок.

Пример 1. Пусть мешок содержит одинаковые по размерам и материалу шары, помеченные числами от 1 до 90. Из мешка выта скивают какие-то 5 шаров. Какова вероятность, что среди этих шаров один помечен числом 90?

Элементарным событием в этой задаче является извлечение данной пятерки шаров (например, пяти шаров с числами 24, 35, 42, 64, 83). Каждая такая пятерка является -подмножеством в

-множестве, а потому их число равно Поскольку все эти пятерки имеют одну и ту же вероятность появления, то вероятность появления каждой пятерки равна Теперь найдем, сколько элементарных событий входит в событие А (один из пяти шаров помечен числом 90). Мы можем считать, что этот шар заранее извлечен из мешка, а потом из оставшихся 89 шаров извлекают еще 4 шара.

Это можно сделать способами. Значит, нам надо сложить чисел, каждое из которых равно т. е., проще говоря, умножить на Получаем, что искомая вероятность есть

Пример 2. Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук, пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность, что среди них окажутся ровно две помеченные щуки?

В этой задаче элементарным событием является извлечение -подмножества из -множества. Значит, пространство элементарных событий содержит элементов, каждый из которых имеет вероятность Найдем, сколько этих -подмножеств содержат ровно две помеченные щуки. Выбор двух щук из пяти можно сделать способами. После этого надо еще выбрать 7 щук из 35 помеченных. Это можно сделать способами. По правилу произведения получаем способов вылова, при которых окажется ровно две помеченные щуки. Значит, искомая вероятность равна

Вообще, если является -подмножеством в -множестве X и из X выбирают -подмножество А, то вероятность того, что среди выбранных элементов содержится ровно элементов из равна:

Пример 3. Из коробки, содержащей карточки с буквами наудачу извлекают одну карточку за другой и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность, что в результате получится слово «конь»?

Здесь элементарным событием является расположение извлеченных карточек в определенном порядке. Но 4 карточки можно упорядочить способами. Вероятность каждого из этих способов равна Поскольку лишь в одном случае получается слово «конь», то вероятность получить это слово равна

Пример 4. Из коробки, содержащей карточки с буквами извлекают одну за другой буквы и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность, что получится слово «трактор»?

Так как общее число карточек равно 7, то их можно упорядочить способами. Поскольку обе буквы и обе буквы можно менять местами, не изменяя слова, то слово трактор получится раза. Искомая вероятность равна Иначе тот же результат можно было бы получить, заметив, что в результате извлечения карточек мы получаем перестановку с повторениями состава (2, 2, 1, 1, 1), причем все такие перестановки имеют одну и ту же вероятность. Так как число этих перестановок равно то вероятность каждой из перестановок равна

Пример 5. Из урны, содержащей белый и черный шары, извлекают шар, записывают его цвет и возвращают в урну. После извлечений получаем кортеж длины из букв бич. Какова вероятность, что он содержит букв

В этом случае элементарным событием является получение заданного кортежа длины причем все такие кортежи имеют одну и ту же вероятность. Но число кортежей длины в которые входят буквы равно (это число размещений с повторениями из двух элементов по . Из этих кортежей содержат раз букву Значит, вероятность того, что полученный кортеж содержит букв равна

Если бы в задаче речь шла о стрелке, сделавшем выстрелов, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна то вероятность попадания была бы равна