6. Доказательство тождеств и неравенств с помощью математической индукции.

Метод математической индукции позволяет доказывать тождества и неравенства, одна или обе части которых зависят от натурального числа Например, можно сначала убедиться, что доказываемое тождество истинно при а потом записать его при и при и вычесть соответствующие части полученных тождеств. Если при этом получится, что разность левых частей тождества равна разности правых частей, то из истинности доказываемого тождества при будет следовать его истинность при а тем самым в силу математической индукции и при всех значениях

Докажем, например, что при любом истинно тождество

При оно принимает вид и потому справедливо.

Запишем теперь доказываемое тождество при и при

и

Вычитая соответствующие части тождеств друг из друга, приходим к истинному равенству

Значит, если истинно равенство (3), то истинно и равенство (2), а потому в силу математической индукции тождество (1) справедливо для всех значений

В других случаях оказывается полезно разделить друг на друга соответствующие части доказываемых тождеств. Например, тождество

сразу доказывается, если записать его при и при и заметить, что отношение левых и отношение правых частей полученных равенств имеет вид

При доказательстве неравенств используют свойства неравенств. Докажем, например, что если то для любого натурального значения истинно неравенство При справедливость доказываемого неравенства сразу вытекает из условия. Пусть верно, что Так как то мы можем умножить обе части этого неравенства на соответствующие части неравенства которое истинно по условию, и получить требуемое неравенство После этого выводим по математической индукции, что для всех натуральных чисел

Точно так же доказывается следующее утверждение, называемое неравенством Бернулли:

Если то для всех натуральных значений истинно неравенство

В самом деле, при имеем истинное неравенство Пусть Так как по условию то это неравенство не изменит смысла при умножении обеих частей на Получаем

Так как то отсюда вытекает:

откуда в силу математической индукции выводим, что неравенство (5) истинно для всех натуральных