3. Метод математической индукции.

Метод полной индукции имеет весьма ограниченную область применимости в математике. Как правило, математические утверждения касаются бесконечного множества объектов (например, всех натуральных чисел, всех простых чисел, всех многогранников и т. д.), и перебрать все эти

объекты оказывается невозможным. Но существует метод рассуждения, заменяющий неосуществимый перебор бесконечного множества случаев доказательством того, что если данное утверждение истинно в одном случае, то оно окажется истинным и в следующем за ним случае. Такой метод рассуждения называется математической индукцией или рассуждением от

Моделью математической индукции может служить следующее рассуждение: «Причиной кажущегося восхода Солнца на востоке является суточное вращение Земли вокруг оси. Если сегодня Солнце взошло на востоке, то через сутки Земля и Солнце снова окажутся в том же самом положении, и мы вновь будем наблюдать то же саше явление. Но тогда мы будем наблюдать его спустя еще сутки, а потом еще через сутки и таким образом увидим его каждое утро».

Неточность этого рассуждения заключается в том, что в нем не учитываются движение Земли по орбите, меняющее час восхода Солнца, изменение скорости вращения Земли и т. д. Но в математике такая схема рассуждения часто оказывается полезной. Будем, например, вычислять последовательные суммы нечетных чисел: Мы получим числа 1, 4, 9, 16, являющиеся квадратами натуральных чисел 1, 2, 3, 4. Можно ожидать, что, прибавив к сумме следующее нечетное число, 9, получим квадрат числа 5, т. е. 25. И действительно, Итак, мы делаем гипотезу, что для любого натурального числа истинно равенство

Как уже отмечалось выше, последовательный перебор натуральных чисел не даст доказательства этой гипотезы, так как, сколько бы чисел мы ни проверили, всегда остается возможность, что среди оставшихся чисел есть такое, для которого равенство (1) не выполняется. Нам нужно провести рассуждение, которое было бы аналогом слов «через сутки Земля и Солнце окажутся в том же самом положении, и мы будем наблюдать то же самое явление». Иными словами, нам надо доказать, что если

то такое же равенство будет справедливо и при добавлении к левой части равенства следующего нечетного числа и одновременной замене правой части на т. е.

Итак, доказательство справедливости равенства (1) не только для чисел , но и для всех натуральных чисел сводится к тому, чтобы доказать следующее утверждение: если истинно равенство (2), то истинно и равенство (3). Равенство (3), истинность которого мы хотим доказать, можно переписать следующим образом:

Но, по предположению, квадратную скобку в левой части равенства можно заменить на . В результате получаем тождество

Итак, равенство (1) истинно при а из его истинности при вытекает, что оно истинно и при Но тогда из его истинности при следует, что оно истинно при а тогда оно истинно при при и вообще при всех натуральных значениях

Как и все доказательства методом математической индукции, проведенное рассуждение состоит из следующих частей:

1) на основе разбора нескольких частных случаев формулируется утверждение в формулировку которого входит натуральное число (среди этих частных случаев фигурирует и

2) доказывается, что если утверждение справедливо при то оно справедливо и при

А после этого рассуждают так: так как данное утверждение истинно при то оно истинно и при но тогда оно истинно при при и вообще при всех натуральных значениях

В школе, к сожалению, не всегда придается должное значение первой части, т. е. обучению школьников искусству делать индуктивные предположения. При таком, более формальном подходе метод математической индукции становится лишь способом доказательства заранее сформулированных утверждений, а не завершающим этапом на пути к открытию новых истин. В этом случае доказательство начинают с того, что проверяют истинность утверждения при