4. Метод математической индукции и аксиомы Пеано.

Как и в случае полной индукции, название метод математической индукции обманчиво — на самом деле этот метод является дедуктивным и дает строгое доказательство утверждениям, угаданным с помощью индукции. Таким образом, метод математической индукции является одной из форм математического рассуждения.

Выясним теперь основу этого метода. Проводя доказательства методом математической индукции, мы говорили: если утверждение справедливо для то оно справедливо для и т. д., а значит, оно справедливо для всех натуральных значений При этом понятие натурального числа считалось само собой очевидным, не требующим разъяснения. Но в современной математике не допускается использование таких само собой очевидных понятий. Каждое понятие должно быть либо определено на основе ранее известных понятий, либо введено аксиоматически (т. е. путем указания высказываний, касающихся этого понятия, из которых логически выводятся все остальные его свойства).

Для арифметики такими исходными понятиями являются: единица, натуральное число и следовать за, а основными свойствами этих понятий — аксиомы, данные итальянским математиком Д. Пеано. Эти аксиомы таковы:

1) для каждого натурального числа существует одно и только одно следующее за ним натуральное число. Это число принято обозначать

2) единица является натуральным числом, причем она не следует ни за каким натуральным числом;

3) ни одно натуральное число не следует за двумя различными натуральными числами;

4) если множество А содержит единицу и вместе с каокдым числом содержит следующее за ним число то А содержит все натуральные числа.

Четвертую аксиому Пеано называют аксиомой математической индукции — именно на ней основан метод математической индукции. В самом деле, пусть высказывание истинно, а из истинности высказывания следует истинность высказывания . Обозначим через А множество тех натуральных чисел, для которых истинно По предположению (высказывание истинно при а из следует (если истинно при то оно истинно и при Но в силу аксиомы (4) отсюда следует, что А совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, истинно для всех натуральных чисел

Приведем пример использования математической индукции для доказательства свойств натуральных чисел.

Для любого натурального числа я, кроме существует предшествующее ему число т. е. такое число, что

В самом деле, обозначим через А множество, получаемое объединением 1 и множества всех натуральных чисел, имеющих предшествующие числа. По построению множество А содержит 1. Далее, пусть Тогда поскольку у есть предшествующий элемент Итак, и из следует Поэтому А совпадает со множеством всех натуральных чисел. Это и значит, что все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующие. (Из аксиомы 3 следует, что такое предшествующее число единственно.)

Математическая индукция используется для определения сложения и умножения натуральных чисел, для доказательства свойств этих операций. На ее основе вводятся отношения больше и меньше и доказываются свойства этих отношений. Мы не проводим соответствующих доказательств, которые излагают в пединститутах. Поскольку в школьной математике операции над натуральными числами и их свойства изучают индуктивно — давать эти доказательства в начальной и даже в средней школе невозможно.

Отметим еще одно важное свойство множества натуральных чисел, также доказываемое с помощью математической индукции.

В любом непустом подмножестве множества натуральных чисел есть наименьшее число.

Это утверждение называют свойством полной упорядоченности множества натуральных чисел. Из этого свойства вытекает следующее утверждение, эквивалентное аксиоме математической индукции, но иногда более удобное при проведении доказательств.

Если истинно при а из того, что оно истинно при всех следует, что оно истинно и при то истинно для всех натуральных значений

В самом деле, обозначим через А подмножество натуральных чисел, для которых ложно. Если это подмножество непусто, то оно содержит наименьшее число Этим числом не может быть 1, так как по условию истинно. Значит, Но поскольку наименьшее число, для которого ложно, то для всех истинно, а тогда по условию теоремы оно должно быть истинно и при Мы пришли к противоречию — одновременно оказалось, что истинно и ложно. Это противоречие показывает, что наше предположение (А не пустое множество) ложно. Значит, А — пустое множество, т. е. нет натуральных чисел, для которых ложно. Это и означает, что истинно для всех натуральных чисел