2. Полная индукция.

Как отмечено в приведенном выше высказывании Л. Эйлера, индукция может привести и к ошибочным выводам. Например, французский математик XVII века Пьер Ферма, рассматривая числа

пришел к выводу, что при любом натуральном значении число является простым. Проверить справедливость этого утверждения при он не смог, так как не сумел выяснить, имеет ли число нетривиальные делители. Но Эйлеру удалось показать, что это число делится на 641.

В теории чисел доказывается, что если простое число, то делится на Но ни для одного из простых чисел, меньших не делится на Поэтому возникла гипотеза, что вообще ни для одного простого числа число не делится на Однако оказалось, что делится на 10932. Существуют примеры, когда число, опровергающее гипотезу, настолько велико, что найти его перебором практически невозможно. Например, первое значение такое, что число является точным квадратом, насчитывает 29 десятичных знаков. Поэтому, если бы кто-нибудь сформулировал гипотезу: число никогда не является точным квадратом, то для опровержения этого утверждения ему пришлось бы перебрать столь много чисел, что это оказалось бы не под силу самой быстродействующей вычислительной машине (разумеется, опровергающее гипотезу число было найдено иным путем).

Из сказанного выше следует, что угаданный с помощью индукции результат подлежит дедуктивному доказательству. В некоторых случаях такое доказательство можно провести, разобрав конечное число случаев, исчерпывающих все возможности.

Например, чтобы доказать утверждение; для любого правильного многогранника справедливо соотношение где В — число его вершин, ребер и граней, достаточно рассмотреть пять случаев: тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр — других правильных многогранников не существует. А для этих пяти случаев утверждение проверяется с помощью следующей таблицы:

В самом деле, для всех пяти многогранников имеем

Такой метод перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией. Несмотря на свое название, этот метод является на самом деле не индуктивным, а дедуктивным — применяя его, мы опираемся на общие положения логики, позволяющие расчленять общий случай на конечное число частных случаев и рассматривать их по отдельности.