13. Бином Ньютона.

Числа, стоящие в строках арифметического треугольника, встречаются при возведении в степень двучлена а Например,

Но коэффициенты 1, 2, 1 — это числа, стоящие в третьей строке таблицы 1, т. е. числа, стоящие в четвертой строке той же таблицы, т. е.

Это замечание делает естественной гипотезу, что для любого истинно равенство

Проведем доказательство равенства (1) с помощью метода математической индукции.

При равенство (1) принимает вид и истинно, поскольку

Предположим теперь, что равенство (1) доказано при т. е.

Чтобы доказать истинность этого равенства при умножим обе части (2) на а Мы получим:

В самом деле, может получиться в двух случаях — при умножении на а и при умножении на . А теперь вспомним, что

Мы получаем:

Получившееся равенство есть не что иное, как равенство (1) при

Итак, мы доказали, что формула (I) верна при из ее справедливости при вывели, что она истинна и при Значит, она верна при всех натуральных значениях

Формулу (1) называют формулой бинома Ньютона, хотя она была известна задолго до Ньютона уже упоминавшемуся Гиясэддину Каши, а также Паскалю и другим. Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение формулы (1) на случай нецелых показателей.

С помощью формулы бинома Ньютона можно получить многие из доказанных ранее свойств чисел а также вывести иные свойства этих чисел. Например, полагая получаем:

(см. формулу . А если положить то будем иметь

Иными словами,

Мы можем теперь дать доказательство формулы перекрытий (см. п. 2). Для этого подсчитаем, какой вклад дает в правую часть формулы каждый элемент объединения Пусть этот элемент входит, например, во множества Тогда он по одному разу учитывается в слагаемых Но число слагаемых вида равно вида равно Учитывая знаки этих слагаемых, получаем, что вклад данного элемента в правую часть формулы равен:

Но по формуле (4) эта сумма равна т. е. 1. Значит, правая часть формулы равна сумме такого количества единиц, сколько элементов во множестве Иными словами, она равна что и требовалось доказать.

С помощью формулы бинома Ньютона можно доказать малую теорему Ферма: если простое число, то делится на . В самом деле, при

это утверждение справедливо, так как делится на Пусть уже доказано, что делится на Чтобы доказать делимость на числа рассмотрим разность

Раскрывая по формуле бинома Ньютона, получим:

Но при имеем:

Поскольку число простое, оно не делится ни на одно из чисел стоящих в знаменателе. Поэтому делится на при Но тогда все слагаемые в правой части равенства (5) делятся на а значит, и левая часть делится на Поскольку в силу предположения к — к делится на то и делится на

Итак, делимость на доказана при а из делимости на следует, что и делится на Значит, делится на при всех натуральных значениях