Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
13. Бином Ньютона.Числа, стоящие в строках арифметического треугольника, встречаются при возведении в степень двучлена а
Но коэффициенты 1, 2, 1 — это числа, стоящие в третьей строке таблицы 1, т. е. Это замечание делает естественной гипотезу, что для любого
Проведем доказательство равенства (1) с помощью метода математической индукции. При Предположим теперь, что равенство (1) доказано при
Чтобы доказать истинность этого равенства при
В самом деле,
Мы получаем:
Получившееся равенство есть не что иное, как равенство (1) при Итак, мы доказали, что формула (I) верна при Формулу (1) называют формулой бинома Ньютона, хотя она была известна задолго до Ньютона уже упоминавшемуся Гиясэддину Каши, а также Паскалю и другим. Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение формулы (1) на случай нецелых показателей. С помощью формулы бинома Ньютона можно получить многие из доказанных ранее свойств чисел
(см. формулу
Иными словами,
Мы можем теперь дать доказательство формулы перекрытий (см. п. 2). Для этого подсчитаем, какой вклад дает в правую часть формулы
Но по формуле (4) эта сумма равна С помощью формулы бинома Ньютона можно доказать малую теорему Ферма: если
Раскрывая
Но при
Поскольку число Итак, делимость
|
1 |
Оглавление
|