§ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

1. Дедукция и индукция.

Одной из отличительных черт математики и таких наук, как теоретическая механика, теоретическая физика, математическая лингвистика, является дедуктивное построение теории, при котором все утверждения выводятся из нескольких основных положений, называемых аксиомами, с помощью дедукции, т. е. логического вывода (само слово дедукция по-русски означает вывод). Аксиомами называют высказывания, задающие свойства основных понятий данной теории и отношений между этими понятиями.

В течение более чем двух тысячелетий образцом дедуктивного построения теории была книга «Начала», написанная в III веке до нашей эры древнегреческим геометром Евклидом. По этому образцу писались не только математические сочинения, но и философские трактаты. Однако позднейшая критика вскрыла недочеты в изложении Евклида, показала, что наряду с явно сформулированными аксиомами он использовал наглядно очевидные утверждения, не фигурирующие в списке аксиом. Длительная работа многих поколений геометров, важным этапом которой было построение в начале XIX века Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии, завершилась в конце XIX века созданием полной аксиоматики геометрии. В книге немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии» за основные понятия приняты точка, прямая, плоскость, а за основные отношения между ними принадлежать, лежать между, быть конгруэнтными. Сейчас в школе применяется иная система аксиом, в которой за основные понятия приняты точка, прямая, плоскость, расстояние, а понятие конгруэнтности строится на базе этих основных понятий.

Однако, какая бы система аксиом ни была положена в основу геометрии, после того как аксиомы сформулированы, все остальные геометрические понятия и теоремы должны строиться на их основе. При доказательстве теорем уже нельзя ссылаться на результаты измерения длин сторон и величин углов конкретных треугольников, все должно выводиться дедуктивно, на основе чистой логики.

Аналогично этому была построена аксиоматика арифметики, основанная на отношении следовать за. И здесь даже такие очевидные утверждения, как сумма не меняется при перестановке слагаемых, получили строгое доказательство, основанное на этой системе аксиом.

Однако дедукция не является единственным методом научного мышления. Уже в вычислительной математике не всегда удается строго доказать, что вычислительные процессы сходятся и их применимость обосновывается тем, что они дают, как правило, результаты, подтверждаемые практикой. Еще шире используется апелляция к наблюдению и опыту в таких науках, как физика, химия, биология. В них наряду с дедукцией широко используются индуктивные рассуждения. Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т. е. полученные путем заключения от частного к общему.

Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока. Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И тем не менее этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломаного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек выполняется неравенство Лежащее в основе арифметики понятие следовать за тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами.

Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку

верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства. Как правило, справедливость теоремы сначала делается очевидной из опыта и наглядных соображений и лишь потом получает дедуктивное подтверждение. Лишь после того, как на многочисленных примерах убедились, что сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых, возникла потребность вывести это утверждение из аксиом арифметики.

Индуктивные рассуждения широко использовал в своих исследованиях по теории чисел член Петербургской Академии наук великий математик XVIII века Леонард Эйлер. Он писал: «Покажется немало парадоксальным приписывать большое значение наблюдениям даже в той части математических наук, которая обычно называется чистой математикой, так как существует распространенное мнение, что наблюдения ограничиваются физическими объектами, которые воздействуют на наши чувства... Однако в действительности, как я здесь покажу, приведя очень веские доводы, свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путем наблюдения и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгими доказательствами. Имеется даже много свойств чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые мы все еще не в состоянии доказать; только наблюдения привели нас к их познанию... Этот вид знания, которое подкрепляется только наблюдениями и все еще не доказано, следует тщательно отличать от истины; оно, как мы обычно говорим, приобретается индукцией. Однако мы видели случаи, когда простая индукция вела к ошибке. Поэтому мы должны проявлять большую осторожность, чтобы не принять за истинные такие свойства чисел, которые мы открыли путем наблюдения и которые подкрепляются одной лишь индукцией. В действительности мы должны пользоваться таким открытием, как возможностью более точно исследовать эти открытые свойства и доказать их или опровергнуть; в обоих случаях мы должны научиться кое-чему полезному».