5. Метод математической индукции и вычисление сумм и произведений.

По-видимому, естественным моментом введения метода математической индукции в школе могло бы оказаться изучение прогрессий и последовательностей. Прогрессии определяются рекуррентными соотношениями, т. е. соотношениями, позволяющими найти следующий член последовательности по одному или нескольким предыдущим ее членам. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением а геометрическая прогрессия — рекуррентным соотношением Иными словами, само определение этих прогрессий дается с помощью индукции от Поэтому и большинство формул, относящихся к прогрессиям, было бы целесообразно выводить при помощи метода математической индукции.

Например, при выводе формулы общего члена арифметической прогрессии замечаем, что

Эти формулы позволяют предположить, что для любого натурального числа истинно равенство

Докажем его с помощью математической индукции. При оно истинно, поскольку и при равны

Предположим теперь, что Тогда

Равенство (2) можно переписать так:

Полученное равенство является не чем иным, как равенством (1) при Итак, равенство (1) истинно при а из его истинности при следует, что оно истинно и при Значит, оно истинно при всех натуральных значениях

Точно так же доказывается, что общий член геометрической прогрессии выражается формулой

Выведем теперь с помощью математической индукции формулы для сумм членов арифметической и геометрической прогрессий.

Для арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, нам надо вывести формулу для суммы первых натуральных чисел. Обозначим сумму первых натуральных чисел через

Имеем:

Этого достаточно, чтобы сделать предположение индукции: , т. е.

Поскольку при тоже равно 1, то наше предположение истинно при Пусть оно истинно при т. е. пусть

Тогда имеем:

Полученное равенство есть равенство (3) при Пользуясь методом математической индукции, мы доказали формулу (3). Таким образом, а потому

Так как то эту формулу можно переписать следующим образом:

Аналогично выводится формула для суммы членов геометрической прогрессии. Сначала замечаем, что в силу формул сокращенного умножения имеем:

(мы считаем, что и

Поскольку и можно записать в виде то приходим к индуктивному предположению: . Равенство

позволяет сделать переход от Предоставляем читателю самому провести детали доказательства.

Метод математической индукции позволяет выводить и формулы для многих других сумм. Выведем, например, с помощью этого метода формулу для суммы квадратов первых натуральных чисел:

При обе части равенства (4) принимают значение 1. Таким образом, при это равенство выполняется. Пусть равенство (4) истинно при

Тогда

Правая часть полученного равенства является правой частью равенства (4) при Итак, равенство (4) истинно при а из его истинности при следует, что оно верно и при Значит, в силу метода математической индукции оно истинно при всех значениях

Предоставляем читателю доказать равенство:

Иногда бывает, что тщательное изучение доказательства, полученного с помощью математической индукции, позволяет найти более короткое доказательство той же формулы. Равенства

приводят к индуктивному предположению:

Поскольку то равенство (5) верно при Пусть оно верно при

Тогда

откуда в силу математической индукции получаем, что (5) верно при всех натуральных значениях

Центральным местом этого вывода явилось тождество

т. е.

Его можно непосредственно вывести следующим образом:

А тогда равенство (5) проще доказывается так:

Легко видеть, что сумма членов этого ряда, за исключением первого и последнего, равна нулю и потому

С помощью математической индукции можно получать и формулы для произведений. Пусть

Из равенств

делаем индуктивное предположение, что Доказательство предоставляем закончить читателю.