18. Некоторые понятия теории вероятностей.

Событие, которое может произойти или не произойти, называют случайным событием. Примерами таких событий являются попадание стрелка в мишень при данном выстреле, извлечение туза пик из колоды карт, выигрыш данного билета в очередном розыгрыше лотереи, бракованность данной детали и т. д. Изучение отдельно взятого случайного события не может быть предметом научной теории — нельзя, например, научно предсказать, какие номера «Спортлото» окажутся выигрышными в данном тираже. Но если происходят последовательные испытания, причем исход каждого испытания случаен, то выявляются определенные закономерности, позволяющие делать количественные предсказания. Например, если бросить 1200 раз игральную кость, имеющую форму куба и изготовленную достаточно точно, то с высокой степенью достоверности можно сказать, что выпадение шести очков более 300 раз весьма маловероятно — неизмеримо больше шансов, что шесть очков выпадут от 150 до 250 раз. Точно так же при заданной технологии изготовления деталей можно указать число, к которому будет близок процент бракованных деталей в большой партии изделий. При этом, чем больше проверяемая партия изделий, тем результат эксперимента окажется ближе к теоретически предсказанному.

Опыт показал, что вообще для многих случайных событий можно указать число называемое вероятностью этого события и обладающее следующим свойством: если производится серия из испытаний, то при больших значениях примерно в случаях произойдет это событие. Ясно, что число изменяется от 0 до 1 — событие не может произойти менее нуля раз и более раз.

Изучением свойств вероятностей, правил, по которым, зная вероятности одних событий, можно найти вероятности других событий, занимается раздел математики, называемый теорией вероятностей. Подобно тому как геометрия изучает не конкретные тела (мяч, ядро и т. д.), а идеализированные геометрические тела (например, шар), теория вероятностей изучает математические схемы, идеализирующие конкретные случайные события. И так же, как геометрия теперь строится на основе системы аксиом, теория вероятностей приняла современный вид лишь после того, как в 1933 г. А. Колмогоров создал ее аксиоматику. Эта аксиоматика имеет весьма общий характер и охватывает как случаи, когда события могут иметь лишь конечное число исходов (например, бросание игральной кости или извлечение карты из колоды), так и события с бесконечным множеством исходов (например, измерение длины детали, если считать, что это измерение можно сделать сколь угодно точно).

Мы изложим здесь лишь понятия, относящиеся к событиям с конечным числом исходов. Основным понятием теории является пространство элементарных событий. Так называют конечное множество X, состоящее из конечного числа элементов (элементарных событий) причем каждому событию соответствует неотрицательное число называемое его вероятностью. При этом требуется, чтобы сумма этих чисел равнялась единице:

Событием мы назовем любое подмножество а вероятностью события А — сумму вероятностей элементарных событий, принадлежащих этому подмножеству. Как и любые множества, события, содержащиеся в данном пространстве X, можно пересекать и объединять, а для каждого события А можно находить его дополнение. Это дополнение в теории вероятностей называют противоположным событием и обозначают Если вероятность А равна то вероятность А равна Два события, имеющие пустое пересечение, называют несовместными. Событие, вероятность которого равна 1, называют достоверным, а событие, вероятность которого равна нулю, — невозможным. Если все элементарные случайные события имеют положительную вероятность (т. е. среди них нет невозможных), то достоверным событием является лишь событие X, а невозможным лишь пустое событие .

Поясним сказанное примерами. Пусть проводится некоторое испытание, которое может иметь различных исходов, причем

никакие два исхода не могут появиться одновременно. Тогда каждому возможному исходу испытания соответствует элемент в пространстве событий, т. е. элементарное случайное событие. Например, при бросании игральной кости такими элементами являются появление одного, двух, трех, четырех, пяти или шести очков. Иными словами, в этом случае X состоит из шести элементов. А событиями могут быть: появление четного числа очков (т. е. подмножество появление числа очков, не превосходящего трех (подмножество ) и т. д.

Наряду с отдельными испытаниями рассматривают серии испытаний, например несколько бросаний кости, несколько выстрелов и т. д. В этом случае пространство событий для серии является декартовым произведением пространств событий для каждого испытания или некоторым подпространством этого пространства. Пусть, например, в мешке лежат одинаковых шаров, помеченных числами от 1 до Каждое испытание состоит в извлечении одного шара. Если после каждого извлечения шар возвращается обратно, то отчет об извлечениях имеет форму кортежа элементами которого являются числа от 1 до . В этом случае пространством элементарных событий является декартово произведение экземпляров множества Если же вынутый шар не возвращается обратно, то получатся не произвольные кортежи, а упорядоченные множества, так как числа не могут повторяться. Здесь пространство событий — подмножество декартова произведения.

Разумеется, составить пространство событий лишь часть дела, надо еще узнать вероятность каждого элементарного события. В одних случаях вероятности определяют статистически. Например, путем наблюдений можно найти вероятность того, что данный стрелок попадет в мишень, что данный рабочий даст не более одного процента бракованной продукции и т. д. В других случаях вероятности определяют из соображений симметрии. Например, при бросании кости, имеющей кубическую форму и вполне однородной, естественно считать все исходы равновероятными. А так как общее число исходов равно шести и сумма вероятностей равна единице, то вероятность появления каждого элементарного события равна

Точно так же из соображений симметрии выводим, что вероятность вынуть из полной колоды карт короля треф равна и т. д. Не следует, однако, думать, что элементарные случайные события всегда равновероятны. Если, например, испытывается деталь, то есть два исхода — деталь годна или она бракованна, и эти исходы отнюдь не являются равновероятными.

Если производится серия испытаний и можно считать исход каждого следующего испытания не зависящим от исхода предыдущего испытания (это имеет место, например, при стрельбе в мишень без пристрелки или при извлечении шаров из мешка с последующим

возвращением), то за вероятность кортежа принимают произведение вероятностей исходов число Например, если стрелок имеет вероятность попасть в мишень, то вероятность того, что он попадет первые два раза и промахнется в третий раз, равна где вероятность промаха, вероятность же трех промахов равна

Из данного выше определения вероятности вытекает следующее правило ее вычисления, называемое правилом суммы: если события несовместны (т. е. если то Это правило доказывается почти так же, как правило суммы в комбинаторике, только вместо подсчета элементов надо складывать вероятности.

Если же пересечение событий непусто, то справедливо равенство

которое аналогично формуле (2) в

Найдем, например, вероятность того, что вытащенная из полной колоды карта окажется пикой или картинкой (валетом, дамой, королем или тузом). Так как вероятность вытащить любую карту равна — а число пик в полной колоде равно 13, то вероятность события А (извлечена пика) равна Число картинок равно 16 (по четыре в каждой масти), и вероятность события В (извлечена картинка) равна . Но вероятность события отлична от так как события имеют непустое пересечение — может случиться, что вытащенная карта является одновременно и пикой и картинкой (валет пик, дама пик, король пик, туз пик). Множество состоит из четырех элементов и потому Окончательно по формуле (1) получаем: